Задания по математике для школьного этапа олимпиады 11 класс Учитель Колесникова М.Г
олимпиадные задания по математике (11 класс) на тему

Задания по математике  для школьного этапа олимпиады

11 класс  Учитель Колесникова М.Г

1. Постройте график функции: .

2. Докажите, что 2а +>3 при 0<а<1.

3.  

4. Две окружности касаются сторон KL и MN четырехугольника KLMN: первая в точках A и B,  вторая – в точках C и D соответственно. На отрезке AC взята точка E, а на отрезке CD – точка F так, что отрезок EF касается обеих окружностей: первой – в точке G, а второй в точке H. Найдите EC, если AE=BF+9 и BD=13.

5. Дано:  Найти косинус угла между векторами и .

Решения (11 класс)

1. Графиком функции будет прямая, заданная уравнением у=4.

      =

  =

2. Найдем производную функции f(a)= 2a +  

<0 при  Значит, f(a) убывает на   (0;1), а поэтому f(0)>f(1),

где   f(1=3, то есть        2a +   >3 при      

3.Ответ: .

4.  При построении не

будем проводить стороны

KN и LM, a проведем только

KL и MN.

Так как длины касательных,

проведенных из одной точки

к одной окружности, равны,

то OC=OD, OA=OB, значит

AC=BD=13.

Обозначим EC=EH=x,

BF=FG=а, и

AE=EG=а+9 и FH=FD=у.

Тогда АС=а+9+х=13. Для отрезка ЕF запишем два выражения. С одной стороны ЕF=FH+HE=x+y, с другой стороны ЕF=EG+EF=a+a+9=2a+9, откуда получаем уравнение x+y=2a+9.

Таким образом получили систему уравнений  Решив систему, запишем а=2, х=2=ЕС.         Ответ: ЕС=2.

5. Ответ: .