Некоторые способы решения задач из материалов ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа) по математике (10, 11 класс) на тему

МУНИЦИПАЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

«УПРАВЛЕНИЕ ОБРАЗОВАНИЯ АДМИНИСТРАЦИИ

г.о. ПРОХЛАДНЫЙ, КБР»

Учебно-методический кабинет

Семинар

«Особенности подготовки к ГИА выпускников по математике»

Мастер-класс

«Некоторые способы решения задач из материалов ЕГЭ»

                                                                                                                                Подготовила

                                                                                                     Захарченко Т.В.                учитель математики    

высшей категории

МБОУ «СОШ №5»

Протокол заседания ГМО № ___ от    13.05. 2016 г.    

Руководитель ГМО ___________   /  Харитонова Е.В./

Некоторые способы решения задач из материалов ЕГЭ.

Хочется начать с того, что в математике нет царских путей. Математика - высокая винтовая лестница. Чтобы взобраться по ней к вершинам знаний, надо пройти каждую ступеньку, от первой до последней. Прежде чем достичь вершины, нам вместе с учениками нужно пройти долгий путь познания. Главной задачей, которая стоит перед каждым учителем, становится качественная подготовка учащихся к сдаче ЕГЭ, поэтому каждый педагог апробирует в своей работе наиболее эффективные методы, формы и технологии обучения. Не являюсь исключением и я.

Подготовка учащихся к ЕГЭ осуществляется на моих уроках математики по следующим направлениям:

– информационная работа;

– содержательная подготовка;

– психологическая подготовка.

Сегодня мы поговорим с вами о содержательном направлении подготовки.

Считаю, что  намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению задач из материалов ЕГЭ, чем прорешивать варианты прошлых лет.

Принципы построения методической подготовки к ЕГЭ.

Первый принцип – тематический. Разумнее выстраивать такую подготовку, соблюдая правило – от простых типовых заданий до заданий второй части. Система развития логического мышления учащихся осуществляется с помощью системы различных типов задач с нарастающей трудностью. Расположение однотипных задач группами особенно полезно, поскольку дает возможность научиться логическим рассуждениям при решении задач и освоить основные приемы их решения.

Второй принцип: переход к комплексным тестам разумен, начиная со 2 полугодия, когда у школьника накоплен запас общих подходов к основным типам заданий и есть опыт в их применении на заданиях любой степени сложности.

Третий принцип: все тренировочные тесты следует проводить с жестким ограничением времени. Занятия по подготовке к тестированию нужно стараться всегда проводить в форсированном режиме с подчеркнутым акцентированием контроля времени. Этот режим очень тяжел школьникам на первых порах, но, привыкнув к этому, они затем чувствуют себя на ЕГЭ намного спокойнее и собраннее.

Четвертый принцип в шутливой форме звучит так: «Умный в гору не пойдёт, умный гору обойдёт!». Нужно учиться использовать наличный запас знаний, применяя различные «хитрости» и «правдоподобные рассуждения» для получения ответа наиболее простым, понятным способом  и с наименьшей затратой времени. На этом пункте я остановлюсь поподробнее.

Группу задач с кратким ответом на ЕГЭ безошибочно решают не более 30 процентов сдающих. Только малая часть выпускников за 40-60 минут верно осуществляют решение и спокойно приступают к сложным заданиям. Учитывая тот факт, что выполнение заданий первой части дает ученику наибольшее количество баллов, целесообразнее было бы уделить внимание на подготовку именно по этому разделу.

 Многие на этих простеньких задачках теряют неоправданно много времени, а далее на решение и грамотное оформление задач с развёрнутым ответом его просто не хватает. Что самое обидное — не хватает времени именно на оформление когда задача уже решена. 

I) Например: при отработке заданий на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке, после отработки навыков выполнения заданий по алгоритму, нужно показать обучающимся метод логического рассуждения для тех задач, где присутствуют такие элементы как:

1. Показательная функция: ex;
2. Логарифмическая функция: ln x;
3. Тригонометрические функции: sin x, cos x и tg x;

Почему нас интересуют именно они? Дело в том, что нам заранее известно, что ответ должен быть рациональным числом, а каждая из этих функций принимает рациональное значение лишь в конечном количестве аргументов. В случае с синусом и с косинусом мы имеем дело с бесконечным множеством чисел, но поскольку у нас всегда присутствует отрезок, то на отрезке это бесконечное множество превращается в конкретный набор точек.

 Задача № 12(1).  Найдите наименьшее значение функции                на отрезке  

Когда  ex  принимает рациональное значение? Только если х = 0. В этом случае e0 = 1. Во всех остальных случаях, например, e1, e2, мы не сможем записать полученные числа в ответ просто потому, что число e является  иррациональным числом  и, следовательно,  e1 или  e2  тоже являются иррациональными числами — бесконечными и непредставимыми в виде десятичной дроби.

Для того, чтобы найти наибольшее или наименьшее значение  функции, нужно понять, когда эта функция принимает «красивое» значение. Вариантов тут два:

1. Выражение e x -7 само по себе может быть хорошим числом;
2. Выражение e x - 7 может быть любым числом, однако то, на что это выражение умножается, будет нулем.

Почему нас интересует именно ноль? Да все очень просто. Каким бы не было выражение  e x - 7 , но если мы умножаем его на ноль, то и получим ноль, т. е. красивое число. Это возможно при значениях аргумента равных  7 или 8, которые входят в данный отрезок. Осталось вычислить значения функции при указанных аргументах и выбрать из них наименьшее.     Ответ: -1

Задача № 12(2).  Найдите наименьшее значение функции:

на отрезке .  

Разумеется, все это не отменяет необходимости учить детей как находить  производные функций в задаче №12. Потому что никто не даст гарантию, что на экзамене попадется именно иррациональная функция.

II) Одной из хитростей при решении прямоугольных треугольников является знание Египетского треугольника (со сторонами 3, 4, 5), треугольников ему подобных (со сторонами 6, 8, 10;   9, 12, 15 и т.д.) и, так называемых, Пифагоровых треугольников (со сторонами 5, 12, 13 и 7, 24, 25).

Задача № 6 (1).  В треугольнике ∆АВС . Найти АС.

Вспомним, что Пифагоров треугольник имеет стороны 5, 12 и 13. Гипотенуза совпадает и равна 13. Синус – отношение противолежащего катета к гипотенузе, если противолежащий катет равен 5, то отношение , как и задано в условии, в таком случае прилежащий катет равен 12: .

Задача № 6 (2).  В  треугольнике ∆АВС . Найти ВС.

В Египетском  треугольнике стороны равны 3, 4, 5, , если напротив угла  А лежит катет 3, а при нем катет 4, что пока соответствует заданному условию. Но т. к. гипотенуза равна 20 а не 5, значит, имеем подобный стандартному прямоугольный треугольник, необходимо определить коэффициент подобия, очевидно, что он равен 4. Умножим катеты на коэффициент подобия и получим треугольник со сторонами 12, 16, 20. Искомый катет ВС в нем равен 12.

Задача № 6 (3). В  треугольнике ∆АВС .  Найти АС.

Решим данный пример вторым способом.

Предположим, что катеты треугольника равны  и , чтобы проверить эту гипотезу, запишем теорему Пифагора:

Поскольку теорема Пифагора соблюдена, заданный треугольник обладает катетами  и  и гипотенузой , искомый катет .

Задача № 6 (4).   В треугольнике  ABC  угол  C  равен  , , . Найдите .

Это Пифагоров треугольник с гипотенузой 25, значит, =0,28.

(Диагональ квадрата, гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника, диагональ куба)

III) Применение формулы Пика даёт возможность решать задачи на нахождение площади многоугольника, изображённого на клетчатой бумаге быстро и легко.  Это позволяет экономить время на ЕГЭ по математике.

Формула Пика: S = в + -1, где S – площадь многоугольника, с вершинами в узлах квадратной сетки; Г – количество узлов сетки, лежащих на границах многоугольника (на сторонах и в вершинах), В – количество узлов сетки, лежащих внутри многоугольника

Узлы сетки – точки, в которых пересекаются линии сетки.

IV) Все геометрические тела по виду формулы объёма можно условно разделить на три группы:

                            1) призма, цилиндр – V = Sоснh;

                           2) пирамида, конус - V = Sоснh;

                           3) шар - V = R2h;

V) Вычислительные навыки. Пользоваться калькулятором не рекомендую, объясняя его вред. Показываю ребятам некоторые способы быстрого умножения чисел, возведения в степень, извлечения корней, перевода из обыкновенной дроби в десятичную и  др..

Решение задачи с параметром из варианта досрочного ЕГЭ 2016 года   (28 марта и 16 апреля в  резервный день).

1). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений =0,

 имеет ровно два различных решения.

Решение: =0,

2). Найдите все значения параметра a, при каждом из которых система уравнений                      

 имеет ровно два различных решения.