Двоичная система счисления.
материал по математике (5 класс) на тему

Двоичная система счисления.

(кружковое занятие по математике в 5 классе)

Основная цель занятия: Познакомить учащихся с записью чисел в двоичной системе счисления. Научить выполнять действия сложения, вычитания, умножения и деления чисел, записанных в двоичной системе счисления. Научить переводу чисел, записанных в двоичной системе счисления в десятичную запись и обратно. Отметить преимущества и недостатки двоичной системы счисления.

Изучение двоичной системы счисления я обычно начинаю со стихотворения про «странную» девочку:

Ей было тысяча сто лет,

Она в сто первый класс ходила,

В портфеле по сто книг носила, -

Всё это правда, а не бред.

Когда, пыля десятком ног,

Она шагала по дороге,

За ней всегда бежал щенок

С одним хвостом, зато стоногий.

Она ловила каждый звук

Своими десятью ушами,

И десять загорелых рук

Портфель и поводок держали.

И десять тёмно-синих глаз

Рассматривали мир привычно...

Но станет всё совсем обычным,

Когда поймёте мой рассказ.

Эти стихи вызывают живой интерес у детей, и это самое главное, так как далее обучение идёт в форме непринуждённой беседы. Учащиеся предполагают, что в этом случае используется какой-то другой способ записи чисел. Мы говорим о том, что системой счисления называют способ наименования и записи чисел. Вспоминаем, что, как правило, мы пользуемся десятичной системой счисления, в которой используются цифры: 123456789 (10 цифр) и, что особенно важно, значение каждой цифры в этой системе определяется не только ею самой, но и местом (позицией), которое она занимает в записи числа. Поэтому эта система называется позиционной десятичной системой счисления. Для позиционной системы характерно разбиение числа на разряды. Например, запись 735 означает, что число состоит из 5 единиц, 3 десятков и 7 сотен. Единица каждого следующего разряда в 10 раз превосходит единицу предыдущего разряда. Число 10 называется основанием системы счисления, поэтому система называется десятичной.

Вспоминаем (об этом говорилось на уроках математики в 5 классе), как представить число, записанное в десятичной системе счисления, в виде суммы разрядных единиц.  Например: 2379 = 2*100043*100+7*10+9 = 2*103+3*102+7*10+9

Кроме десятичной системы счисления существуют позиционные системы счисления с любым другим натуральным основанием (кроме 1). В Древнем Вавилоне применялась шестидесятеричная система счисления. Эта система поныне находит применение при измерении времени: час мы делим на 60 минут, а минуту на 60 секунд. В некоторых африканских племенах и в Древнем Китае употреблялась пятеричная система счисления, (по количеству пальцев на руке), а в Центральной Америке двадцатеричная система счисления (по количеству пальцев на руках и ногах).

В последнее время широкое распространение получила двоичная система счисления. В этой системе используются только две цифры 0 и 1. Далее записываем в двоичной системе первые полтора десятка чисел.

Необходимо подчеркнуть, что эта система, как и десятичная, тоже позиционная, но основанием системы является число 2, поэтому единица каждого следующего (левее стоящего) разряда в 2 раза превосходит единицу предыдущего разряда.

Задание: Разложить по разрядам следующие числа, записанные в двоичной системе, найти соответствующую запись этого числа в десятичной системе счисления:

2. ;
3. .

Далее переходим к изучению действий над числами, записанными в двоичной системе счисления. Сообщаю, что для этого надо выучить таблицы сложения и умножения в двоичной системе счисления. Большого восторга это, естественно, не вызывает. Изображаем эти таблицы:

Таблица сложения:

Таблица умножения:

Дети с удивлением обнаруживают, что учить ничего не надо, таблицы краткие и очевидные.

Задание. Выполнить действия:

Тем ученикам, которые быстро справились с заданием, можно предложить перевести исходные числа и результат в десятичную систему счисления и убедиться, что посчитали верно.

Осталось решить ещё одну задачу - освоить перевод из десятичной системы в двоичную. В том случае, если число не очень большое, намекнуть ребятам, что можно использовать путь обратный переводу двоичного числа в десятичное. А именно, представить десятичное число в виде суммы чисел, которые являются степенями числа 2, начиная с большего. Например:

Задание: перевести в двоичную систему следующие десятичные числа: 319; 741; 1035.

Подводя итоги занятия и отмечая достоинства и недостатки двоичной системы счисления,  обратить внимание ребят на удобство счёта в этой системе, а также на то, что запись числа в двоичной системе гораздо длиннее, чем в десятичной.