Дидактические материалы для занятий математического кружка "Математика +" 7 класс. Занятие36-38. Решение олимпиадных задач
олимпиадные задания по математике (7 класс) на тему

Решение олимпиадных задач

1. Бочка наполнена бензином. Как перелить из нее в мотоцикл 6 л бензина с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?

2. Вычислите:  

3. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство:

(х – у)(х + у) – (а – х + у)(а – х – у) – а(2х – а) = 0.

4. Через точку В проведены четыре прямые так, что АВBD, BE BC, и проведена прямая AC, пересекающая данные прямые так, что AB = BC. Прямая AC пересекает BD в точке D, AC пересекает BE в точке E. Докажите, что ABE = BCD.

5. Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?
6. Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?
7. Из прямоугольника размером 8×11 клеток требуется по линиям сетки вырезать несколько квадратов так, чтобы не было одинаковых квадратов. Какое наибольшее число квадратов можно вырезать?
8. В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.
9. а) Имеется 9 палочек длины 1, 2, …, 9. Можно ли из них сложить равносторонний треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.) б) Аналогичная задача, если имеется 10 палочек длины 1, 2, …, 10.
10. Даны натуральные числа aи b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же цифру, если известно, что: а) числа 2a+b и 2b+a  оканчиваются на одну и ту же цифру; б) числа 3a+b и 3b+a оканчиваются на одну и ту же цифру?
11. На кофту нужно пришить 3 пуговицы одинакового цвета. Имеется мешочек с пуговицами одинаковыми по форме и различающимися только по цвету. Всего цветов 4. Какое наименьшее количество пуговиц нужно высыпать из мешочка, чтобы быть уверенным, что среди них найдутся 3 пуговицы одного цвета?
12. Найдите наименьшее целое число a≥1000, которое при делении на 35 и на 45 имеют одинаковые остатки равные 1.
13. Саша и Даша придумали игру. В мешок сложили 2013 карточек, на которых написана двойка и 1340 карточек, на которых написан 0. Каждый из ребят, по очереди, берет из мешка вслепую две карточки, суммирует написанные на них числа, пишет результат на новую карточку и возвращает ее в мешок.  Игра заканчивается, когда в мешке останется одна карточка. Какое число будет на ней написано? Кто ее обнаружит, если игру начинал Саша?
14. Сколько существует двузначных чисел, кратных трем и делящихся на сумму своих цифр? Найдите наибольшее такое число.
15. Цифры четырёхзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 909. Найдите минимальное исходное число.

Ответы и решения

1. Бочка наполнена бензином. Как перелить из нее в мотоцикл 6 л бензина с помощью 9-литрового ведра и 5-литрового бидона?

РЕШЕНИЕ. Наливаем бензин в 5-литровый бидон и переливаем в бак мотоцикла. Затем вновь наливаем бензин в 5-литровый бидон, переливаем в 9-литровое ведро, наливаем еще раз в 5-литровый бидон и отливаем недостающие 4 л в 9-литровое ведро. Тогда в 5-литровом бидоне остается ровно 1 л, его и переливаем в бак мотоцикла.

2. Вычислите:  

ОТВЕТ: .

РЕШЕНИЕ.

3. Докажите, что при любых значениях букв верно равенство:

(х – у)(х + у) – (а – х + у)(а – х – у) – а(2х – а) = 0.

РЕКОМЕНДАЦИИ. Упростив левую часть, получим в ней 0.

4. Через точку В проведены четыре прямые так, что АВBD, BE BC, и проведена прямая AC, пересекающая данные прямые так, что AB = BC. Прямая AC пересекает BD в точке D, AC пересекает BE в точке E. Докажите, что ABE = BCD.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Так как АВ = ВС, то ВАС = ВСА (см. рис.). Далее, АВЕ = 90º – ЕВD, CBD = 90º – EBD. Отсюда, АВЕ =CBD. Итак, имеем: AB = BC, BAC = BCA, ABE = CBD. Значит, ABE = BCD.

5. Сколько бабушек и прабабушек было у ваших прабабушек и прадедушек?

ОТВЕТ: 16 бабушек и 32 прабабушки.

РЕШЕНИЕ. Так как у вас может быть всего 4 прабабушки и 4 прадедушки, а у каждого из прабабушек и прадедушек может в свою очередь быть по 2 бабушки и 4 прабабушки, то всего может быть по 16 бабушек и 32 прабабушки.

6. Две машины едут по трассе скоростью 80 км/ч и с интервалом 10 м. У знака ограничения скорости машины мгновенно снижают скорость до 60 км/ч. С каким интервалом они будут двигаться после знака ограничения?

Ответ.  7,5 м..

Указание.  Пусть v(м/час) – скорость машин до знака, u (м/час) – скорость машин после знака. Вторая машина проедет знак позже первой на 10/v(час). За это время первая машина проедет 10u/v(метров) =10⋅6/8 =7.5 метров. Этот интервал и будет сохраняться после знака.

7. Из прямоугольника размером 8×11 клеток требуется по линиям сетки вырезать несколько квадратов так, чтобы не было одинаковых квадратов. Какое наибольшее число квадратов можно вырезать?

Решение. 6 квадратов вырезать не удастся, т.к. даже самые маленькие 6 квадратов занимают площадь 1+4+9+16+25+36=91, что превосходит площадь прямоугольника. (Другое рассуждение, приводящее к тому же выводу без привлечения площадей, основано на следующем:  если мы поместим два квадрата  со стороной 6 и 5, то они примыкают друг к другу, и тогда для квадрата со стороной 4 не хватит места, т.к. 5+4>8).

5 квадратов со сторонами от 1 до 5 разместить очень просто (например, поместим квадрат со стороной 5 в угол прямоугольника и приставим к одной его «свободной»  стороне квадрат со стороной 4, а к другой – квадраты со сторонами 3 и 2). 

Ответ.  5 квадратов.

8. В шестизначном числе зачеркнули одну цифру и получили пятизначное. Из исходного числа вычли это пятизначное число и получили 654321. Найдите исходное число.

Решение. Заметим, что зачёркнута была последняя цифра, т.к. в противном случае после вычитания последняя цифра числа была бы нулевой. Пусть y– последняя цифра исходного числа, x– пятизначное число после зачёркивания. Тогда полученное число равно 10x+y–x = 9x+y=654321. Деля это число на 9 с остатком (и учитывая, что y не превосходит 9), получим остаток y=3  и частное  x=727 02.  

Ответ.  727 023.

9. а) Имеется 9 палочек длины 1, 2, …, 9. Можно ли из них сложить равносторонний треугольник? (Палочки нельзя ломать, их можно прикладывать концами друг к другу; требуется использовать все палочки.) б) Аналогичная задача, если имеется 10 палочек длины 1, 2, …, 10.

Решение.

а) Сосчитав сумму длин 1+2+…+9=45, разобьём  палочки на три группы с суммой длин 15 в каждой. Это можно сделать, например, так:  9+6=8+7=6+5+4+3+2+1. Палочки каждой группы приставим друг к другу, сложив тем самым соответствующую сторону треугольника.

10. б) Сумма 10 палочек равна 55, она не делится на 3, и поэтому сложить треугольник нельзя.
11. Ответ.  а) Можно, б) нельзя..

10. Даны натуральные числа aи b. Обязательно ли они оканчиваются на одну и ту же цифру, если известно, что: а) числа 2a+b и 2b+a  оканчиваются на одну и ту же цифру; б) числа 3a+b и 3b+a оканчиваются на одну и ту же цифру?

Решение.

а) Вычитая эти два числа 2a+b и 2b+a, получаем, что разность a– bделится на 10, т.е. aи bоканчиваются на одну и ту же цифру.

б).Можно взять, например, a=1 и b=6, тогда обачисла 3a+b и 3b+aоканчиваются на 9.

Ответ.  а) Да, обязательно, б) нет.

11 . На кофту нужно пришить 3 пуговицы одинакового цвета. Имеется мешочек с пуговицами одинаковыми по форме и различающимися только по цвету. Всего цветов 4. Какое наименьшее количество пуговиц нужно высыпать из мешочка, чтобы быть уверенным, что среди них найдутся 3 пуговицы одного цвета?

Решение.

Существует набор из 8 пуговиц, в котором нет трех пуговиц одного цвета: каждого цвета по две. В любом наборе из 9 пуговиц найдется хотя бы одна тройка пуговиц  одного цвета.

Если предположить противное, что одинаковых по цвету не более 2 пуговиц, то всего таких пуговиц не более 8 штук, что противоречит условию.

Ответ: 9 пуговиц.

12. Найдите наименьшее целое число a≥1000, которое при делении на 35 и на 45 имеют одинаковые остатки равные 1.

Решение.

Ответ: 1261.

13. Саша и Даша придумали игру. В мешок сложили 2013 карточек, на которых написана двойка и 1340 карточек, на которых написан 0. Каждый из ребят, по очереди, берет из мешка вслепую две карточки, суммирует написанные на них числа, пишет результат на новую карточку и возвращает ее в мешок.  Игра заканчивается, когда в мешке останется одна карточка. Какое число будет на ней написано? Кто ее обнаружит, если игру начинал Саша?

Решение.

При каждом шаге игры сумма чисел, написанных на карточках в мешке, не меняется.

В начале игры она составляла 20132=4026. Каждый шаг игры меняет четность числа карточек в мешке, поскольку уменьшает их число на единицу. Первоначально общее число карточек в мешке нечетно, поэтому Саша будет делать свой ход, когда число карточек в мешке нечетное, а Даша – когда четное. Последний ход происходит когда карточка в мешке одна, то есть их число нечетно и обнаружит это Саша.

Ответ: 1) 4026; 2) Саша.

14. Сколько существует двузначных чисел, кратных трем и делящихся на сумму своих цифр? Найдите наибольшее такое число.

Решение.

Ответ: 17 чисел; анаиб=90.

15. Цифры четырёхзначного числа, кратного 9, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 909. Найдите минимальное исходное число.

Решение.

Запишем все условия.

Ответ: 2781