Из опыта работы
статья по математике (5, 6, 7, 8 класс) на тему

Применение контрпримеров как способ обоснования ложности утверждения и как средство активизации мыслительной деятельности учащихся.

Из опыта работы учителя математики МБОУ «Лицей №35» г. Майкопа Шепталенко Татьяны Николаевны

Понятие контрпримера встречается крайне редко в школьных учебниках математики. Из всех школьных учебников, по которым я работала, это понятие встретила только в учебнике Е.А. Бунимовича Математика. Арифметика. Геометрия-5класс.

Между тем, считаю, что познакомить и научить детей применять этот прием при опровержении утверждений просто необходимо.

Процесс обучения Алгебре большей частью заключается в том, что учитель показывает ученику методы, приемы, алгоритмы, которые были найдены и обобщены известными математиками. Эти алгоритмы трудно, почти невозможно найти самостоятельно.  Работа по алгоритму не вызывает больших  проблем и с этим связано то, что учащиеся более успешно осваивают этот предмет. Результаты итоговых работ и экзаменов  по Алгебре значительно выше, чем по Геометрии. Объясняется это тем, что в Геометрии, в отличие от Алгебры, подобных алгоритмов, очень мало.  Поэтому почти каждая задача по Геометрии является нестандартной.

Естественно, здесь у учащихся возникают трудности из-за низкого уровня развития творческой самостоятельности и недостатка опыта применения теоретических знаний, а также слабой теоретической подготовки. Многие дети пытаются вызубрить геометрические факты, не понимая их сути. Это ведет к неизбежным ошибкам при попытках применить эти факты на практике. Часто, не понимая значимости некоторых геометрических высказываний, они пытаются заменить их другими или даже не полностью формулируют. И откровенно не понимают, за что была снижена учителем отметка. Для обоснования недочетов в формулировках геометрических фактов я часто использую контрпример.

Контрпример — пример, опровергающий верность некоторого утверждения.

Построение контрпримера — обычный способ опровержения  гипотез (утверждениий, предполагающих доказательство). Если имеется утверждение типа «Для любого X из множества M выполняется свойство A», то контрпримером для этого утверждения будет: «Существует объект X0 из множества M, для которого свойство A не выполняется».

Иногда найти контрпример очень сложно. Но зачастую это является очень убедительным средством обоснования ложности некоторого утверждения.

Практика моей работы показывает положительный результат приведения контрпримеров при изучении предмета «Геометрия». Кроме этого данный прием позволяет активизировать мыслительную и познавательную активность учащихся.

Так, при изучении раздела «Окружность» по геометрии в 8 классе в учебнике Геометрия 7-9 Л.С. Атанасяна формулируется теорема:

Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу,

проведенному в точку касания.

Желая минимизировать количество слов, ученик говорит только

часть формулировки и не уточняет, какой именно радиус!

Это недостаточное утверждение. Ведь радиусов можно провести

из центра окружности множество!!!

Привожу контрпример с помощью чертежа. Анализируем ошибку и аргументируем

         При изучении центральных и вписанных углов даются определения этих понятий.

Опр.1 Угол с вершиной в центре окружности называется центральным углом. (Рис.1)

Опр.2 Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность,    называется вписанным углом. (Рис.2)

        Пытаясь сформулировать Опр.2  по аналогии с первым, и не понимая необходимости четкой формулировки, ученики часто пишут так: Угол, вершина которого лежит на окружности называется вписанным углом. Сразу же привожу чертеж по тексту формулировки (Рис.3). Вместе с детьми приходим к выводу, что это не то, что нам нужно и делаем акцент на важности полной формулировки определения понятия.        

В тестах по математике ОГЭ-9 класс задание №20 представляет собой анализ геометрических высказываний. Для успешного решения этих заданий важно не только хорошо знать теорию, но и уметь подбирать контрпримеры.

Примеры из банка задач и способы рассуждений.

1. Любая биссектриса равнобедренного треугольника является его медианой. (неверно, только биссектриса, проведенная к основанию)
2. Если площади фигур равны, то равны и сами фигуры. (здесь наглядно применить контрпример: прямоугольник со сторонами 8 и 2, квадрат, со стороной 4. Их площади равны, сами фигуры – нет.)
3. Площадь трапеции равна произведению суммы оснований на высоту.(неверно. в этом случае надо знать формулу)
4. Смежные углы равны. (неверно, контрпример в виде чертежа)
5. Любые две прямые имеют ровно одну общую точку.( неверно, т.к. прямые могут быть параллельны и не иметь общих точек)
6. Если угол равен 108°, то вертикальный с ним равен 108°.(верно, свойство вертикальных углов надо знать)
7. Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.( надо знать свойство, что сумма смежных углов = 180 градусов. 120+120≠180, значит утверждение неверно)
8. Диагонали параллелограмма равны. (нет такого свойства параллелограмма. контрпример на чертеже)
9. В тупоугольном треугольнике все углы тупые. (надо знать  понятие тупоугольного треугольника)
10. Через любую точку проходит не более одной прямой (неверно,  прямых можно провести множество)

Хочется отметить, что подобрать контрпример получается успешнее тогда, когда  больше опыт  и шире кругозор учащихся. Поэтому развивать этот навык надо  с младшего школьного возраста и систематически. Кроме того, можно включать этот прием в устную работу в начале урока для актуализации знаний или в конце урока для проверки усвоения нового материала.