№

 п/п

Тема

Количество часов в авторской программе

Количество часов в рабочей программе

Контроль

Примечание

По программе

Фактический

Блок «Алгебра и начала математического анализа» (102 часа)

1.

Числовые функции

9

9

2.

Тригонометрические функции

26

26

Контр.р №1,№2,№3

Контр.р №1,№2,№3

3.

Тригонометрические уравнения

10

10

Контр.р №4

Контр.р №4

4.

Преобразование тригонометрических выражений

15

15

Контр.р №5

Контр.р №5

5.

Производная

31

31

Контр.р №6,№7,№8

Контр.р №6,№7,№8

6.

Повторение

11

11

Блок «Геометрия» (51 час)

1.

Введение

3

3

2.

Параллельность прямых и плоскостей

16

16

Контр.р.№1

Зачет№1

Контр.р.№1

Зачет№1

3.

Перпендикулярность прямых и плоскостей

17

17

Контр р.№2

Зачет№2

Контр р.№2

Зачет№2

4.

Многогранники

12

12

Контр.р №3

Зачет№3

Контр.р №3

Зачет№3

5.

Итоговое повторение

3

3

Итого:

153

153

№

 п/п

Тема

Количество часов в авторской программе

Количество часов в рабочей программе

Контроль

Примечание

По программе

Фактический

Блок «Алгебра и начала математического анализа» (102 часа)

1.

Степени  и корни. Степенные функции

18

18

Контр.р №1

Контр.р №1

2.

Показательная и логарифмическая функции

29

29

Контр.р.№2,№3,№4

Контр.р.№2,№3,№4

3.

Первообразная и интеграл

8

8

Контр.р.№5

Контр.р.№5

4.

Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

15

15

Контр.р.№6

Контр.р.№6

5.

Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

20

20

Контр.р.№7

Контр.р.№7

6.

Повторение

12

9

Блок «Геометрия» (51  час)

1.

Векторы в пространстве

6

6

Зачет №4

Зачет № 1

2.

Метод координат в пространстве. Движения

11

11

К.р.№5

Зачет №5

К.р.№ 1

Зачет №2

3.

Цилиндр. Конус. Шар.

13

13

К.р. № 6,

Зачет№ 6

К.Р № 2,

Зачет№ 3

4.

Объемы тел

15

15

К.р. № 7,

Зачет№ 7

К.р. № 3,

Зачет№ 4

5.

Повторение

6

4

Итого:

153

148

§

Содержание

Кол-во часов

Требования к обязательному уровню

Требования к уровню возможностей

Примечание

1

Числовые функции

.

9

Знать:

1). Определение функции; способы задания функции.

2).Графики элементарных функций:   

3). Определение модуля  и график функции . 4). Определения: чётной и нечётной функций; возрастающей и убывающей функций.

5). Свойства графиков чётной и нечетной  функций. 6). Преобразования графиков функций: сдвиг по оси ординат и по оси абсцисс; растяжение вдоль оси абсцисс и вдоль оси ординат; симметрия относительно оси абсцисс.

7) Графики функций: их свойства: периодичность, чётность, нечётность; знаки в координатных четвертях.

Уметь: 

1). Строить графики элементарных функций.

2). Выполнять преобразование графиков функций:  

3). Исследовать функцию на чётность и нечётность, определять свойства элементарных функций.

Типовые задания: 1. Постройте график функции: а). б). в). г).  2. Выясните, какие из следующих функций являются чётными: а).

б). в). г).  Найдите область определения функции:а). б). ;

в).

Знать:

Определение функции, обратной данной; обратные триг.функции; их свойства и графики. Преобразования графиков функций: сдвиг по оси ординат и по оси абсцисс; растяжение и сжатие вдоль оси  абсцисс  и вдоль оси ординат; симметрия относительно оси абсцисс и оси ординат.

Уметь:  1). Выполнять преобразование графиков функций:  

2). Строить множество точек, заданное уравнением:

3). Исследовать функцию на возрастание и убывание.

Задачи продвинутого уровня 1. Постройте график функции: а) б)  в)  г) 2. Изобразите на плоскости множество точек, заданное уравнением: а)б) 3) Исследуйте на возрастание и убывание функцию: а)

2

Тригонометрические функции

26

Знать: 1). Определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса; значения этих функций для углов:

2). Координатную окружность.

3). Определение радиана; связь радианной меры угла с градусной

.4). Графики функций:  их свойства: периодичность, чётность, нечётность; знаки в координатных четвертях.

5). Основное тригонометрическое тождество. 6). Формулы: приведения;

Уметь: 

1) Переводить градусную меру угла в радианную и наоборот.

2) Изображать углы на координатной окружности.

3) Применять формулы для упрощения выражений, содержащих тригонометрические функции.

4). Строить графики тригонометрических функций

и выполнять простейшие преобразования  этих графиков.

Типовые задания:

1.Перевести в радианы: 400; 1600; 320; 560.

2. Перевести в радианы:

3. Построить точку на окружности, соответствующую углу поворота: . 4. Найти синус, косинус, тангенс, котангенс угла α, если α равен: 3π; 2,5π; 2π; 0,25π; . 5. Найти , если   6. Доказать тождество:

7.Упростите выражение: а)

б). 3. Постройте график функции:

 а). б).

Уметь: 

находить значения тригонометрических выражений с помощью преобразований; строить графики тригонометрических функций, содержащих модуль;

строить графики более сложных тригонометрических функций и определять их свойства.

Задачи продвинутого уровня:

1. Упростите выражение:

2.Вычислить:

3. Постройте график функции: y=sin;y=,y= а). б).  

в).

4.Найти наименьший положительный период функции:

y=sinx+tgx;

y=tg5x

5. Вычислите а): б).в).г).

3

Тригонометрические уравнения

10

Знать:

 1).Определения: арксинуса; арккосинуса; арктангенса; арккотангенса.

2).Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

3).Определение однородного тригонометрического уравнения.

4).Основные методы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители; введение новой переменной;

Уметь: 

1).Решать: простейшие тригонометрические уравнения; однородные  уравнения.

2).Решать тригонометрические уравнения: разложением на множители; введением новой переменной.

3).Решать простейшие тригонометрические неравенства.

Типовые задания:

1. Решить уравнение:

 к)л)

Решите неравенство: а). б).

Знать:

Способы решения тригонометрических уравнений:  условие равенства одноимённых тригонометрических функций;  универсальная  подстановка; как объединить корни, полученные в ходе решения уравнения; способы преобразования неравенств и приведения их к простейшим.

 Уметь: 

находить значения выражений, содержащих арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс угла; решать более сложные уравнения и неравенства

Задачи продвинутого уровня:

1. Вычислить:

2.Решить неравенство:

3. Решить систему уравнений:

4. Решить уравнение: . а).  

б) 

4

Преобразование тригонометрических выражений

15

Знать:

1) Формулы: приведения; сложения; двойного угла; преобразования суммы в произведение. 2). Основные методы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители; введение новой переменной; введение вспомогательного угла.

Уметь: 1). Применять формулы для упрощения выражений, содержащих тригонометрические функции. 2). Решать тригонометрические уравнения: разложением на множители; введением новой переменной.

Типовые задания:

1. Вычислить:

 Вычислите 1). .

2). .

3).  . 4.  .

2. Решить уравнение:

а)б) 

в)

Знать:

Формулы половинного аргумента; выражение синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента; преобразование произведения триг. функций в сумму; понижения степени.

 Способы решения триг. уравнений:  введение вспомогательного угла;  условие равенства одноимённых триг. функций;  универсальная  подстановка.

Уметь: Выполнять тождественные  преобразования  выражений, содержащих триг. функции. Решать триг. уравнения введением вспомогательного угла, универсальной подстановкой,  использованием условия равенства одноимённых триг. функций.

Задачи продвинутого уровня

1. Упростите выражение:

а)

2.Решите уравнение: а). sinx = cos5x; б). 3sinx – 4cosx = 2,5; в). -6sinx + 8cosx = 7;г).  

 .

5

Производная

31

Знать:

1). Геометрический и физический смысл производной. 2). Уравнение касательной к графику функции в точке. 3). Формулы производных элементарных функций. 4). Правила дифференцирования. Правило вычисления производной сложной функции. 5). Определение критической точки функции. 6). Признаки: убывания и возрастания функции на интервале; максимума и минимума функции; точки перегиба функции. 7).План исследования функции для построения её графика. 8). План нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

Уметь:

1). Составлять уравнение касательной  к графику функции в точке.

 2). Вычислять производные элементарных функций и  некоторых сложных функций. 3).Вычислять производные суммы, разности, произведения  и частного функций. 4). Исследовать функции и строить их графики.

5). Находить наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.

Типовые задания:

1. Напишите уравнение касательной к графику функции в точке

а). б).в). 2. Вычислите производную функции: а)б)в)г). 3. Исследуйте функцию и постройте её график:

а). б).

4. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

а).

б).

Знать:

Определения бесконечно малой функции  на бесконечности и бесконечно большой функции  на бесконечности. Находить предел функции на бесконечности и в точке. Находить горизонтальные, вертикальные и наклонные асимптоты графика функции. Строить эскиз графика дробно–линейной функции, асимптотическим методом. Находить производные сложных функций, состоящих из трёх и более элементарных функций.

Уметь:

Решать прикладные задачи по геометрии и физике; находить угол между кривыми в точке их пересечения; составлять уравнение касательной, удовлетворяющей данным условиям; на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции на промежутке. Исследовать функции и строить их графики.

Задачи продвинутого уровня

1) Графики каких функций имеют горизонтальные, вертикальные или наклонные асимптоты: а)б)в)г)2) Постройте эскиз графика функции: а)б)в)г)

3) Вычислите производную функции: а).б).

4) Исследуйте функцию и постройте её график: а).б).  4) Из 25  ткани необходимо изготовить палатку в виде четырёхугольной призмы с наиб. вместимостью. Какими должны быть размеры палатки, если отходы составляют 1 5) Прямолинейные движения двух материальных точек заданы уравнениями: ( - в метрах, t – в сек.). Найти ускорения точек в тот момент, когда скорости их равны.

6

Повторение

11

Знать:

1). Формулы корней простейших тригонометрических уравнений.

2). Значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов

на координатной окружности. 3). Основное тригонометрическое тождество. Основные тригонометрические формулы: сложения, двойного аргумента,

преобразования суммы в произведение. 3). Основные методы решения тригонометрических уравнений: разложение на множители, введение  новой переменной.  Определение однородного тригонометрического уравнения

и метод его решения. 4).Геометрический и физический смысл производной; формулы  производных элементарных функций; правила дифференцирования; правило нахождения производной сложной функции.

5). Уравнение касательной к графику функции в точке. 6). Определение критической точки; признаки возрастания  и убывания функции на промежутке; признаки максимума и минимума функции; признак точки перегиба.

Уметь:

1).Решать простейшие тригонометрические уравнения. 2).Решать однородные тригонометрические уравнения. 3). Решать тригонометрические уравнения:  разложением на множители; введением новой переменной. 4). Решать простейшие тригонометрические неравенства. 5). Находить производные элементарных функций.  Находить производные суммы, произведения и частного. 6). Составлять уравнение касательной к графику функции в точке. 7). Находить: промежутки возрастания и убывания функции на промежутке;  критические точки и точки экстремумов функции.

Типовые задачи

1. Решите уравнение: а). б). в). г).

Знать:

1). Определения возвратного и однородного уравнений. 2). Методы решения  возвратных и однородных уравнений.

3). Тригонометрические формулы: понижения степени; половинного аргумента; выражения синуса и косинуса через тангенс половинного аргумента; преобразования произведения тригонометрических функций в сумму. 4). Методы решения тригонометрических уравнений: введением вспомогательного угла; универсальной подстановкой; использованием условия равенства одноимённых тригонометрических функций.

5). Правило нахождения производной сложной функции.

Уметь: 1). Решать возвратные и однородные уравнения.2). Решать тригонометрические уравнения: введением вспомогательного угла; универсальной подстановкой; использованием условия равенства одноимённых тригонометрических функций. 3). Решать тригонометрические неравенства введением новой переменной. 4). Находить производные сложных функций.

Задачи продвинутого уровня

1. Решите уравнение:

а). 

б).  

 в).

№

п/п

Тема

Кол-во

часов

Требования к обязательному уровню

Требования к уровню возможностей

Примечание

1

Введение

3

Знать:  что такое стереометрия;

основные фигуры стереометрии;

 аксиомы стереометрии и следствия из них.

Уметь: доказывать следствия из аксиом стереометрии;

решать несложные задачи логического характера.

Типовые задания:

1. Три точки соединены попарно отрезками. Доказать, что все отрезки лежат в одной плоскости.

 2. Три точки данной окружности лежат в некоторой плоскости. Доказать, что все точки данной окружности лежат в этой плоскости.

Знать:  формулировки и доказательства всех изучаемых теорем.

Уметь:  решать более сложные задачи

Типовые задания:

1.Доказать, что сумма квадратов четырёх диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его рёбер.

2

Параллельность прямых и плоскостей

16

Знать: определения: параллельных прямых в пространстве; параллельных прямой и плоскости; параллельных  плоскостей; скрещивающихся прямых; тетраэдра; правильного тетраэдра; параллелепипеда; угла между скрещивающимися прямыми;  прямой и плоскостью.

Признаки: параллельности прямой и плоскости; параллельности плоскостей; скрещивающихся прямых.

Свойства: параллельных плоскостей; параллелепипеда

Уметь: строить сечения тетраэдра и параллелепипеда «методом «следа».

Решать простейшие задачи на: нахождение угла между скрещивающимися прямыми; доказательство параллельности прямой и плоскости; доказательство параллельности плоскостей

Типовые задания:

1. Прямая  пересекает прямую и не пересекает прямую ,  параллельную прямой . Докажите, что  и  - скрещивающиеся прямые.

2. Прямые и  параллельны, а  и  - скрещивающиеся. Найдите угол между  и , если  

3. Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через данные три точки.

4.Пусть АВС – правильный треугольник, а BCKM – параллелограмм. Чему равен угол между прямыми AB и KM?

Знать: доказательства признаков: параллельности прямой и плоскости; параллельности плоскостей; скрещивающихся прямых.

Доказательства свойств: параллельных плоскостей; параллелепипеда.

Уметь: строить сечения тетраэдра и параллелепипеда методом центрального и параллельного проецирования. Решать многошаговые задачи на нахождение угла между скрещивающимися прямыми. Применять вышеперечисленные признаки и свойства при решении задач

Типовые задания:

1. В прямоугольном параллелепипеде  Найдите углы между а)и  б) и  в) и  2. Докажите, что три параллельные плоскости отсекают на любых пересекающих эти плоскости прямых, пропорциональные отрезки.

3. Стороны основания прямоугольного параллелепипеда относятся как  а диагональное сечение представляет собой квадрат с площадью   Определите объём параллелепипеда.

4. В правильном тетраэдре - центр грани- центр грани  Найдите площадь сечения тетраэдра плоскостью, проходящей через точки:

а) 

б)

3

Перпендикулярность прямых и плоскостей

17

Знать: определения: перпендикулярных прямых в пространстве; перпендикулярных прямой и плоскости; перпендикулярных плоскостей. Определения расстояния между: точкой и прямой; точкой и плоскостью; прямыми; прямой и плоскостью; плоскостями. Определения: угла между прямой и плоскостью; двугранного угла; линейного угла двугранного угла

Признаки перпендикулярности: прямой и плоскости; плоскостей. Теорему о трёх перпендикулярах и теорему, обратную теореме о трёх перпендикулярах.

Теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Уметь: Решать простейшие задачи на доказательство перпендикулярности: прямых; прямой и плоскости;  плоскостей.

Решать простейшие задачи на нахождение расстояния между: прямыми; прямой и плоскостью; плоскостями.

Решать простейшие задачи на нахождение угла между: прямой и плоскостью; плоскостями.

Типовые задания:

1. В    сумма углов А и В равна  Прямая BD

перпендикулярна плоскости АВС. Докажите, что

2. Прямая BD перпендикулярна к плоскости    АВС. Известно, что BD=9, AC=10, BC=BA=13. Найдите расстояние от точки D до прямой АС.

3.Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 13см, а диагонали его боковых граней  равны  и  см.  Найдите измерения параллелепипеда.  

Знать: доказательства признаков перпендикулярности прямой и плоскости; плоскостей. Доказательства теоремы о трёх перпендикулярах и теоремы, обратной ей.

Доказательства свойств параллелепипеда. Четыре способа нахождения расстояния между скрещивающимися прямыми.

Уметь: решать задачи на нахождение расстояния между скрещивающимися прямыми. Решать многошаговые задачи с применением теоремы о трёх перпендикулярах

Типовые задания:

1. Дан куб длина ребра которого равна 1см. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими: а).диагональ куба и ребро куба; б) диагональ куба и диагональ грани куба; в) диагонали смежных граней куба.

2. Докажите, что в кубе  прямые  и  перпендикулярны.

3. Какие углы образует диагональ куба с его гранями? 4. В тетраэдре  DABC  рёбра AD, BD и CD равны 5, а рёбра АВ, АС и ВС равны.

 4. Найдите расстояние между рёбрами АС и BD, AB и CD.

 5. Боковое ребро  правильной треугольной пирамиды  составляет с основанием угол , а сторона основания равна .Найдите расстояние между  и .

4

Многогранники

12

Знать: определения: многогранника; призмы; прямой призмы; правильной призмы;  пирамиды;  правильной пирамиды; усечённой пирамиды;  правильного многогранника.

Определения: высоты призмы и пирамиды; апофемы пирамиды.

Формулы площади боковой и полной поверхности: правильной призмы; правильной пирамиды; правильной усечённой пирамиды. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых: от вершин треугольника; от сторон треугольника.

Уметь: решать простейшие задачи на нахождение площади боковой и полной поверхности призмы и пирамиды.

Типовые задания:

1. Основанием пирамиды DABC является  АВС, у которого АВ=29 см, АС=21см. Ребро DA

 перпендикулярно плоскости      АВС и равно 20 см. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

2. Докажите, что площадь полной поверхности куба равна 2 где - диагональ куба.

3. В основании треугольной пирамиды лежит правильный треугольник. Высота пирамиды равна 3. Все боковые грани наклонены к плоскости основания под углом Найдите площадь боковой и полной поверхности.

 4. Сторона основания правильной треугольной призмы равна 8 см, боковое ребро равно 6 см. Найдите  площадь сечения, проходящего через сторону  нижнего основания и противолежащую вершину верхнего основания.

Знать: определение перпендикулярного сечения наклонной призмы. Формулу площади боковой поверхности наклонной призмы. Геометрическое место точек пространства, равноудалённых: от вершин многоугольника; от  сторон многоугольника.

Пять правильных многогранников и их свойства.

Уметь: выводить формулы площади боковой поверхности: правильной призмы; правильной пирамиды; правильной усечённой пирамиды. Решать задачи на нахождение площади боковой и полной поверхности призмы и пирамиды «в общем виде» (длины и углы заданы буквами).

Типовые задания:

1. Боковое ребро наклонной четырёхугольной призмы равно 12 см, а перпендикулярным сечением является ромб со стороной 5 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

2. В прямоугольном параллелепипеде диагональ, равная d, образует с плоскостью основания угол , а с одной из сторон основания – угол . Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.

3. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна , а высота равна H. Найдите: а) боковое ребро пирамиды; б) плоский угол при вершине пирамиды; в) угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды; г) двугранный угол при ребре основания пирамиды; д) двугранный угол при боковом ребре пирамиды.

4. Стороны оснований правильной усечённой четырёхугольной пирамиды равны 4 дм и 2 дм, а боковое ребро равно 2 дм. Найдите высоту, а также площадь полной поверхности.

5

Повторение

3

Уметь: определения параллельных: прямых; прямой и плоскости; плоскостей.

Признаки параллельности: прямых; прямой и плоскости; плоскостей. Определения перпендикулярности: прямых; прямой и плоскости; плоскостей.

 Признаки  перпендикулярности: прямых; прямой и плоскости; плоскостей.

Определение и признак скрещивающихся прямых

Определение угла между: прямыми в пространстве; прямой и плоскостью; двугранного угла;  линейного угла двугранного угла.

Теорему о трёх перпендикулярах. Определения расстояния между: прямыми; прямой и плоскостью; плоскостями; точкой и прямой; точкой и плоскостью.

Определения: многогранника; призмы; правильной призмы; пирамиды; правильной пирамиды.

Формулы площади боковой поверхности: правильной призмы; правильной пирамиды; правильной усечённой  пирамиды.

Теорему о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда.

Знать: решать простейшие задачи с применением основных теорем и формул планиметрии и стереометрии.

Типовые задания:

1. Середина диагоналей параллелепипеда является осью симметрии:   а) да;           б) нет;

2.    Все грани куба – равные ромбы:  а) да;   б) нет;

3. Два ребра прямоугольного параллелепипеда, выходящие из одной вершины, равны 3  и 4. Площадь поверхности параллелепипеда равна 47. Найдите третье ребро.

Уметь: формулу площади боковой поверхности наклонной призмы. Геометрическое место точек  пространства, равноудалённых: от вершин  многоугольника; от  сторон многоугольника. Определение правильного многогранника; пять правильных многогранников.

Знать: строить сечения многогранников методами: следа, параллельного проецирования, центрального проецирования.

Определять вид многоугольника, полученного в сечении и вычислять его площадь.

Решать задачи на комбинацию многогранников и тел вращения.

Типовые задания:

1. В правильной треугольной призме ABCA1B1C1 стороны основания равны 6, боковые ребра 8,  точка D середина ребра СС1. Найдите расстояние от вершины В до плоскости АВ1D.

2.  В правильной шестиугольной призме АВСDEF A1B1C1  длины всех ребер равны 1. Найдите расстояние от точки А до прямой  .

3.  В правильной треугольной пирамиде SABC c основанием  АВС известны ребра АВ=2, SС=3. Найдите угол между плоскостью АВС и прямой АО, где О центр вписанной окружности SВС

№

п/п

Тема

Кол.

часов

Требования к обязательному уровню

Требования к уровню возможностей

Повторение

1

Степени и корни. Степенные функции

17

Знать: Понятие корня n-ой степени; свойства радикалов для положительных подкоренных выражений. Свойства и график функции  Понятие степени с любым рациональным показателем. Свойства и график степенной функции  для  Формулы производной и первообразной для степенной функции

Уметь: Владеть умениями тождественных преобразований иррациональных выражений и выражений, содержащих степени с рациональными показателями; нахождение производных степенных функций и решение задач (простых) на приложение производной для случая степенной функции; вычисление первообразных и интегралов от степенных функций.

Типовые задания:

1) Найдите область определения функции .

2) Решите уравнение .

3) Расположите числа в порядке возрастания: .

4) Найдите значение выражения

5) Упростите выражение .

6) Найдите угловой коэффициент касательной к графику функции  в точке с абсциссой .

7) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

Знать: Свойства радикалов на случай подкоренных выражений произвольных знаков.

Уметь: Решать задачи повышенной сложности на преобразование иррациональных выражений и выражений, содержащих степени с рациональными показателями. Выполнять многошаговые преобразования при преобразовании или при построении графиков.

Задачи продвинутого уровня

1) Вычислить:

2) Сравнить

3) Определите число решений системы уравнений

7)Решите графически неравенство .

8) Используя свойство монотонности функции, решите уравнение .

Иррациональные уравнения

1. Найдите корень уравнения:  Если уравнение имеет более одного корня, укажите меньший из них.
2. Найдите корень уравнения 

2

Показательная и логарифмическая функции

26

Знать:Понятие о степени с иррациональным показателем (наглядно-интуитивный уровень). Показательная функция, её свойства и график. Th 1-4 (1,§45), на которых базируется теория решений показательных уравнений и неравенств. Понятие логарифма. Логарифмическая функция, её свойства и график. Свойства логарифмов (включая формулу перехода к новому основанию и её частный случай )

Число е и натуральный логарифм. Функции  их свойства и графики. Формулы дифференцирования и интегрирования показат. и логарифмич. функций.

Уметь: решать более сложные уравнения, выполняя равносильные преобразования или проверку; формулу перехода от логарифма по одному основанию к логарифму по другому основанию; находить значения логарифмических выражений без калькулятора и таблиц; строить графики более сложных функций; решать более сложные логарифмические уравнения и неравенства.

Задачи продвинутого уровня

1.Найти наибольшее и наименьшее значение функции на

2. Решить уравнение:

3.Решить неравенство:

1. Вычислить:

2. Упростите: а)  б)

Показательные уравнения

1. Найдите корень уравнения 
2. Решите уравнение 

Логарифмические  выражения и уравнения

1. Найдите значение выражения 
2. Найдите значение выражения .
3. Найдите значение выражения , если .
4. Найдите , если .
5. Найдите корень уравнения .

Уметь: Выполнять тождественных преобразований показательных и логарифмических выражений; основными методами решения показательных и логарифмических уравнений: функционально-графическим, методом уравнивания показателей и методом потенцирования, методом введения новой переменной.

Владение методом равносильного перехода при решении показательных и логарифмических неравенств (простейших).

Владение умениями и навыками нахождения производных и первообразных показательных и логарифмических функций.

Типовые задания:

1) Сравните числа:

  а) и ;  б)  и .

2) Найдите область определения функции .

3) Найдите множество значений функции .

4) Решите графически уравнение:

а)   б)

5) Решите уравнение (систему уравнений):

   а)

   б)

в)     г)

6) Решите неравенство:

а)  б)

7) Вычислите: а)

   б)

8) Решите уравнение (систему уравнений):

   а)

   б)

   в)

   г)

9) Решите неравенство:

а)  б)

10) Найдите значение производной заданной функции в указанной точке :

   а)

   б)

11) Найдите первообразнуюFфункции , если F(0)=2.

.

2. Построить график функции:

3. Решить уравнение:

4.Решить неравенство:

5) Решите неравенство (систему неравенств):

   а)

   б)

   в)

6) Найдите значение выражения:

  а)

  б)

7) Решите уравнение (систему уравнений):

а)  

 б) в)

г)

8) Решите неравенство (систему неравенств):  

   а)

   б)

   в)

   г)

9) Найдите производную функции:  

а) б)

10) Исследуйте функцию на монотонность и экстремумы:

11) Вычислите , если

12) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями:

13)При каких значениях  сумма  и  будет равна единице хотя бы при одном значении

14)Даны два уравнения  и . Значение параметра выбирается так, что  и число различных корней первого уравнения в сумме с числом различных корней второго уравнения дает число . Решите первое уравнение при каждом значении параметра, выбранным таким образом.

15)Для каждого допустимого значения параметра  решите неравенство 7)При каких значениях  выражение  больше выражения  при всех допустимых значениях  ?

16)При каких значениях  сумма  и  будет больше 1 при всех значениях ?

6. Найдите корень уравнения .

7. Найдите корень уравнения 

Подбор комплекта или комбинации

1. Для обслуживания международного семинара необходимо собрать группу переводчиков. Сведения о кандидатах представлены в таблице.

 Пользуясь таблицей, соберите хотя бы одну группу, в которой переводчики вместе владеют четырьмя иностранными языками: английским, немецким, французским и испанским, а суммарная стоимость их услуг не превышает 12 000 рублей в день. В ответе укажите ровно один набор номеров переводчиков без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2. Турист подбирает себе экскурсионную программу. Сведения о некоторых музеях и парках, подготовленные туристическим бюро, представлены в таблице.

 Пользуясь таблицей, подберите экскурсионную программу так, чтобы турист посетил не менее трёх достопримечательностей за один день.

В ответе для подобранной программы укажите номера экскурсий без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

3

Первообразная и интеграл

8

Знать: Понятие первообразной: её свойство. Таблица первообразных. Правила нахождения первообразных. Неопределённый интеграл. Понятие определённого интеграла; его свойства, геометрический смысл. Формула Ньютона-Лейбница.

Уметь: Владеть техникой непосредственного интегрирования (с применением таблицы и правил нахождения первообразных). Умение вычислять площадь криволинейной трапеции с помощью определённого интеграла.

Типовые задачи:

1) Найдите первообразную для функции .

2) Для функции  найдите такую первообразную, график которой проходит через точку .

3) Найдите неопределённый интеграл .

4) Вычислите определённый интеграл .

5) Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

Знать: что такое неопределенный и определенный интеграл; находить первообразные, удовлетворяющие даннымусловиям.

Уметь: вычислять неопределенные и определенные интегралы. Решать физические задачи, требующие интегрирование или дифференцирование функций.

Задачи продвинутого уровня

1. Вычислите интегралы.

а) б) .

2. Материальная точка движется по координатной  прямой со скоростью Найдите уравнение движения точки, если при  её координата равна 3.Найти одну из первообразных функций:у = sinЗхcos5x. 4. Найти первообразную функции у = 2sin5x+cos, которая при принимает значение,равное 0.

Установление соответствий

1. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

4

Элементы математической статистики, комбинаторики и теории вероятностей

13

Знать:Виды соединений (без повторений). Формулы числа перестановок, сочетаний, размещений. Формула бинома Ньютона. Треугольник Паскаля. Событие; возможные, невозможные события. Совместные, несовместные события. Независимые, зависимые события. Классическое определение вероятности. Табличное и графическое представление данных.

Уметь: Определять число перестановок, сочетаний, размещений по формулам. Различать случайные события. Определять вероятность случайных событий.

Типовые задания:

1. Сколько чётных пятизначных чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4 (цифры в числе не повторяются)

2. Сколько пятизначных чисел можно составить из цифр 1,2,3,4,5,6 (цифры в числе не повторяются) или 0,2,5,8,7,9,3

3. На полке стоит 12 книг, из которых 4-учебники. С полки наугад снимают 6 книг. Какова вероятность того, что 3 из них окажутся учебниками?

4. Из ящика, содержащего 8 красных, 4 синих, 8 зелёных шаров. Наугад берутся два. Событие А-оба шара не зелёные. Событие В- шары одного цвета. Опишите события

Знать: 1. Основные  формулы  комбинаторики: число размещений без повторений  число размещений с повторениями  число перестановок  число сочетаний без повторений число сочетаний с повторениями

2. Формулу бинома Ньютона.

3. Определение  вероятности  события.

4. Понятия случайного события, условной  вероятности.

5. Формулу Бернулли.

Уметь: 1. Применять  основные  формулы  комбинаторики  при решении  простейших: комбинаторных задач, задач на вероятность события.

2. Вычислять биномиальные коэффициенты.

Задачи продвинутого уровня

1. Расписание  одного  дня  содержит 5 уроков по разным предметам.  Определить  количество таких расписаний при выборе из 11 предметов.

2. В вазе стоят 10 красных  и 5 розовых гвоздик. Сколькими способами можно выбрать из вазы пять гвоздик одного цвета?

3. В классе m человек, среди них n отличников. Наудачу выбирают одного ученика. Какова вероятность того, что он будет отличником?

4. Какова вероятность того, что при 10 бросках игральной кости пять очков выпадет три раза?

5. Найдите наибольший коэффициент в разложении  

1. На экзамен вынесено 60 вопросов, Андрей не выучил 3 из них. Найдите вероятность того, что ему попадется выученный вопрос.

2. В случайном эксперименте бросают две игральные кости. Найдите вероятность того, что в сумме выпадет 8 очков. Результат округлите до сотых.

3. В чемпионате мира участвуют 16 команд. С помощью жребия их нужно разделить на четыре группы по четыре команды в каждой. В ящике вперемешку лежат карточки с номерами групп:

1, 1, 1, 1, 2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4.

 Капитаны команд тянут по одной карточке. Какова вероятность того, что команда России окажется во второй группе?

4.Если гроссмейстер А. играет белыми, то он выигрывает у гроссмейстера Б. с вероятностью 0,52. Если А. играет черными, то А. выигрывает у Б. с вероятностью 0,3. Гроссмейстеры А. и Б. играют две партии, причем во второй партии меняют цвет фигур. Найдите вероятность того, что А. выиграет оба раза.

5. Игральную кость с 6 гранями бросают дважды. Найдите вероятность того, что хотя бы раз выпало число, большее 3.

5

Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств

18

Знать: Понятие равносильных уравнений, неравенств; равносильных преобразований уравнений, неравенств; понятие уравнения- следствия; теоремы о равносильности уравнений, неравенств.

Основная схема решения уравнения:         1) технический этап; 2) анализ решений;  3) проверка.

Общие методы решения:

1) замена уравнения  уравнением;

2) метод разложения на множители;

3) метод введения новой переменой;

4) функционально-графический метод.

Преобразования, приводящие к уравнению-следствию (необходима проверка)

Уметь: Практическое владение общими методами решения уравнений и неравенств, систем уравнений.

Типовые задания:

1) Докажите, что уравнение  не имеет корней.

2) Решите уравнение:  

   а)

   б)

   в)

г)      д)

3) Решите неравенство:

   а)

   б)

4) Решите систему (совокупность) неравенств:

а) б)

5) Решите систему уравнений:

а)

б)      в)

Знать: Равносильность уравнений и неравенств с модулями; способы решения уравнений и неравенств с модулями. Некоторые нестандартные приёмы решения иррациональных уравнений, использование монотонности  функции.

Уметь: Решать методом интервалов неравенства вида: 2. Решать графически уравнения вида и неравенства вида:

3. Решать уравнения и неравенства  вида:

4. Решать комбинированные уравнения, системы уравнений, неравенства, системы неравенств.

5. Уравнения и неравенства с модулем, с параметром.

Задачи продвинутого уровня:

1. Решите уравнения: а)

б) в)

2. Решите уравнения:

а)

б)

в)

3. Решить уравнение:

4. Решить неравенство:

5. Решите неравенства:

а) б)  в)

6.Решите системы уравнений: а)

б) в)  в) г)

1. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

Обобщающее повторение

9

Знания: 1. Определения, свойства и графики элементарных функций, в том числе, показательной, логарифмической и  степенной функций.

2. Геометрический и физический смысл производной; формулы производных основных функций, в том числе показательной, логарифмической и степенной функций; правило нахождения производной сложной функции; правила дифференцирования;

план нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке.

3. Определение первообразной функции; правила  нахождения

 первообразных; формулы первообразных основных функций.

Умения: 1. Решать  простейшие иррациональные показательные, логарифмические  уравнения  и  неравенства.

2. Вычислять площадь криволинейной трапеции, заданной  графиками  элементарных функций.3. Составлять уравнение касательной к графику функции в точке с данной абсциссой; находить наибольшее и наименьшее значения  функции на данном отрезке; исследовать функцию по плану и строить её график.

Типовые задания:

1. Решите  уравнения: а) б)  в)2. Решите  неравенства: а)

б)  в)

3. Найдите производные функций. а)

б)  4. Найдите общий вид первообразных для функции :а) б)

5. Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями  6. Определите знак разности  

Умения:

1. Решать уравнения и неравенства, содержащие две и более различных функций: тригонометрические, показательные, логарифмические, степенные.

2. Применять производную при решении задач, связанных с показательной, логарифмической и степенной функциями.

Задачи продвинутого уровня

 1. Решите  уравнения:

а)

б)

в)

г)

2. Решите  неравенства:

а) б)

в)

3. Исследуйте на возрастание, убывание и экстремумы функцию

4. Найдите множество значений функции:

 а)

 б)

1. В городе Z в 2013 году мальчиков родилось больше, чем девочек. Мальчиков чаще всего называли Андрей, а девочек — Мария. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных.

Среди рождённых в 2013 году в городе Z:

1) девочек с именем Мария больше, чем с именем Светлана.

2) мальчиков с именем Николай больше, чем с именем Аристарх.

3) хотя бы одного из родившихся мальчиков назвали Андреем.

4) мальчиков с именем Андрей больше, чем девочек с именем Мария.

В ответе укажите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за один прыжок. Кузнечик начинает прыгать из начала координат. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков?
3. Найдите трёхзначное натуральное число, большее 400, которое при делении на 6 и на 5 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других цифр. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.
4. Найдите четырёхзначное число, кратное 18, произведение цифр которого равно 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

Решать тренировочные варианты.

№

п/п

Содержание

Кол-во часов

Требования к обязательному уровню

Требования к уровню

возможностей

Повторение

1.

Векторы в пространстве

6

Знать:

1. Что такое вектор;
2. Коллинеарные, сонаправленные, противоположно направленные векторы;
3. Компланарные векторы.

Уметь:

1. Построить вектор, равный данному;
2. Найти сумму (разность) векторов;
3. Разложить вектор по двум не коллинеарным векторам;
4. Найти на чертеже компланарные и коллинеарные векторы.

Типовые задания:

1. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Являются ли компланарными векторы: а) ВС 1, С1D и BD; б) DA, DC и DB1?
2. В параллелепипеде ABCDA1B1C1D1 вектор D1B разложите по векторам D1A1, D1C1 и DD1.

Знать: 1). Теорему о точке пересечения медиан треугольника: ,где О - произвольная точка пространства,M- точка пересечения медиан АВС.

Уметь: 1). Решать задачи с применением теоремы о точке пересечения медиан треугольника. 2). Решать многошаговые задачи по теме «Векторы в пространстве».

Задачи продвинутого уровня

1. Медианы тетраэдра ОАВС пересекаются в точке M. Разложите  вектор по векторам где  - середины  рёбер  ВС, АС и АВ. 2. . Дан куб , в котором  точка О – центр ABD. Выразите вектор через векторы .

3. Докажите, что диагональ  параллелепипеда проходит через точки пересечения медиан      и   и делится  этими точками на три равных отрезка.

4.PАВСD – правильная четырёхугольная пирамида, длины всех рёбер которой равны по 1. K – середина [PC]; N – центр треугольника РCD. 1) Найдите: а) ; б) ; в) ; г) в каком отношении (BPD) делит [AN]. 2) Укажите расположение центроидаM для множества вершин данной пирамиды.

1. В треугольнике  угол  равен 90°, , . Найдите .
2. В треугольнике  , . Найдите .
3. Найдите длину вектора    с координатами   (6; 8).
4. Стороны правильного треугольника  равны 3. Найдите длину вектора .

5. Вектор  с началом в точке (2; 4) имеет координаты (6; 2). Найдите абсциссу точки .

2.

Метод координат в пространстве

11

Знать:

1. Формулы расстояния между двумя точками и координат середины отрезка, длины вектора
2. Что такое угол между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями
3. Что такое вектор, его координаты

1. Находить расстояние между точками и координаты сере дины отрезка
2. Решать несложные задачи на преобразование фигур в пространстве
3. Находить угол между скрещивающимися прямыми, между прямой и плоскостью, между плоскостями
4. Находить координаты вектора в пространстве
5. Производить действия с векторами. Типовые задания:

1. Построить точку А(1,3,2) в декартовой системе координат
2. Центр тяжести одно родного стержня находится в точке М(7,1,4), один из его концов находится в точке А(9,-3,0). Найти координаты другого конца стержня В(x,y,z).
3. Даны три точки: А(1,0,1), В(-1,1,2), С(0,2,-1). Найти точку D(x,y,z), если векторыи  равны.
4. Даны векторы:

(1,-4,2) и (-4,8,3). Найти векторы:

5 и их модули

Знать:

вывод формулы координат середины отрезка; решать более сложные задачи с использованием векторов.

Уметь:

вводить систему координат в данные условия задачи и находить углы и расстояния  векторным способом. Уравнение плоскости, формула расстояния от точки до плоскости, геометрический смысл скалярного произведения векторов. Составлять уравнение плоскости, находить расстояние от точки до плоскости, используя метод координат, использовать этот метод при решении задач. Строить образы точек и прямых в изучаемых преобразованиях

Задачи продвинутого уровня

1.Дан равнобедренный треугольник АВС (АС=СВ), А(1,-2,1), В(3,2,-3). Вершина С лежит на оси ординат. Найти площадь треугольника АВС.

2.В основании пирамиды MABCD, помещённой в прямоугольную систему координат, лежит ромб ABCD. A(-3,10,-5); C(3,4,1); M(5,8,-3). ∠MAD = =∠MAB. Найти высоту пирамиды. 3. Дана правильная треугольная призма , в которой Найдите угол между  прямыми  3. В кубе  точка М лежит на ребре  причём а точка N лежит на ребре  причём Вычислите синус угла между прямой  МN  и плоскостью грани  Используя скалярное произведение векторов, найдите наибольшее значение суммы . При каком значении переменной это значение суммы достигается?

1. Из единичного куба вырезана правильная четырехугольная призма со стороной основания 0,5 и боковым ребром 1. Найдите площадь поверхности оставшейся части куба.

2. Площадь поверхности тетраэдра равна 12. Найдите площадь поверхности многогранника, вершинами которого являются середины рёбер данного тетраэдра.

3.

Цилиндр, конус, шар

13

Знать:

1. Понятие о телах и поверхностях вращения
2. Определение прямого кругового цилиндра и его элементов
3. Осевые сечения и сечения, перпендикулярные оси; сечения, параллельные оси.
4. Определение прямого кругового конуса и его элементов
5. Осевые сечения; сечения, перпендикулярные оси; сечения проходящие через вершину
6. Определение шара и сферы
7. Сечения шара плоскостью
8. Понятие касательной плоскости к сфере
9. Как найти площадь поверхности (боковой и полной) тел вращения .

Уметь:

1. Различать тела вращения
2. Распознавать цилиндр и его элементы на чертеже и на моделях
3. Решать задачи на нахождение элементов цилиндра
4. Распознавать конус и его элементы на моделях и чертежах
5. Решать задачи на нахождение элементов конуса
6. Распознавать шар и сферу, их элементы на моделях и чертежах
7. Решать задачи на нахождение элементов шара и сферы
8. Решать задачи на нахождение площади поверхности цилиндра, конуса, шара

Типовые задания:

1. В цилиндре диаметр и высота равны по 50см. Найти площадь сечения, проведённого параллельно оси цилиндра на расстоянии 15см от неё.
2. Радиус основания и образующая конуса равны соответственно 5см и 13см. Найти высоту конуса.
3. Радиус шара равен 50см. Найти длину окружности и площадь сечения, находящегося на расстоянии 48см от центра.
4. Дан шар радиуса R. Через одну точку его поверхности проведены две плоскости: одна касательная к шару, другая – под углом α к первой. Найти площадь сечения.

Знать:

1. Способы       построения      вписанных и описанных тел
2. Понятие  усечённого конуса

Уметь:

Решать задачи на построение сечений конуса, решать задачи на комбинацию конуса и многогранника, конуса и цилиндра. Находить элементы усеченного конуса.

Решать задачи на нахождение площадей сечений шара, задачи, в которых присутствует касательная плоскость. Задачи на комбинацию шара и многогранников или тел вращения.

Задачи продвинутого уровня

1.Угол между диагоналями осевого сечения  цилиндра  и плоскостью его основания равен α. Найти угол между диагональю развёртки его боковой поверхности и стороной основания развёртки.

2.Точки А(1,2,-2), В(4,2,-2), С(3,4,-2) лежат на окружности основания конуса, высота которого равна 3. Конус пересекает плоскость z=0. Найти площадь сечения конуса этой плоскостью, координаты вершины конуса .4. В правильной пяти- угольной пирамиде боковые рёбра наклонены к плоскости основания  под углом ϕ. Образующая вписанного в пирамиду конуса равна m. Найти площадь осевого сечения конуса. Радиус сферы равен R. Найдите площадь полной поверхности описанного около сферы многогранника, если этот многогранник является: а) кубом; б) правильной шестиугольной призмой; в) правильным тетраэдром. 5. Цилиндр вписан в сферу. Найдите отношение площади полной поверхности цилиндра к площади сферы, если высота цилиндра равна диаметру основания. 6. В усечённый конус вписана правильная усечённая четырёхугольная пирамида. Радиусы оснований усечённого конуса равны 2 см и 5см,а высота равна 4 см. Вычислите площадь полной поверхности пирамиды.

1. Правильная четырехугольная призма описана около цилиндра, радиус основания которого равен 2. Площадь боковой поверхности призмы равна 48. Найдите высоту цилиндра.
2. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
3. Длина окружности основания конуса равна 3, образующая равна 2. Найдите площадь боковой поверхности конуса.
4. Площадь боковой поверхности конуса в два раза больше площади основания. Найдите угол между образующей конуса и плоскостью основания. Ответ дайте в градусах.
5. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?
6. Шар, объём которого равен 6π, вписан в куб. Найдите объём куба.
7. Даны два шара. Диаметр первого шара в 8 раз больше диаметра второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

4.

Объемы тел

14

Знать:

1. Понятие объёма и его свойства
2. Формулы объёма прямоугольного параллелепипеда,  призмы, пирамиды
3. Формулы объёма цилиндра, конуса, шара
4. Какие тела называются равновеликими
5. Как найти объём усечённой пирамиды, не пользуясь формулой
6. Отношение объёмов подобных тел

Уметь:

1. Вычислять объёмы прямоугольного параллелепипеда, призмы, пирамиды
2. Вычислять объём цилиндра, конуса, шара

Типовые задания:

1. Стороны основания прямого параллелепипеда 4см и 7см образуют угол 300. Боковая поверхность параллелепипеда равна 132см2. Найти его объём.
2. Диагональ правильной четырёхугольной призмы равна 14см, а диагональ боковой грани 2см. Найти объём призмы.
3. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна а, боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 450.Найти объём.
4. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отстоящее от оси на расстоянии 1дм и отсекающее от окружности основания дугу в 900. Площадь сечения равна 6см2. Найти объём цилиндра.
5. Объём конуса 21дм3. Радиус основания увеличили в 3 раза, а высоту уменьшили в 9 раз. Чему равен объём нового конуса?

Знать:

1. Формулу объёма усечённой пирамиды
2. Как найти объём наклонного параллелепипеда, наклонной призмы

Уметь:

1. Решать более сложные задачи на нахождение объёма параллелепипеда, призмы, пирамиды, усечённой пирамиды
2. Находить объём частей шара

Задачи продвинутого уровня

1. Основанием пирамиды является ромб со стороной а и острым углом . В пирамиду  вписан конус, образующая  которого составляет с плоскостью основания  угол Найдите объём конуса. 2. Найдите объём конуса, если радиус его основания равен 6 см, а радиус вписанной в конус сферы

равен 3 см. 3. В шар вписана пирамида, основанием которой  является прямоугольник с диагональю 10 см. Каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол Найдите площадь поверхности

и объём шара. 4.В наклонной треугольной призме расстояние от бокового ребра до диагонали противолежащей боковой грани равно 5, а площадь этой грани 40. Найти объём призмы. 5. Высота правильной четырёхугольной пирамиды равна h, а плоский угол при вершине α. Найти объём пирамиды. 6. Найти объём двояковыпуклого стекла, у которого  радиусы поверхностей 13 и 20, а расстояние между центрами – 21.

7. Образующая конуса равна 10, а площадь его боковой поверхности - 60π. Найти объём вписанного в конус шара

1.В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной Sбиссектрисы треугольника ABC пересекаются в точке O. Площадь треугольника ABC равна 2; объем пирамиды равен 6. Найдите длину отрезка OS.

Объем параллелепипеда равен 9. Найдите объем треугольной пирамиды .

1. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили 2300  воды и погрузили в воду деталь. При этом уровень воды поднялся с отметки 25 см до отметки 27 см. Найдите объем детали. Ответ выразите в .
2. Около конуса описана сфера (сфера содержит окружность основания конуса и его вершину). Центр сферы находится в центре основания конуса. Образующая конуса равна . Найдите радиус сферы.
3. Найдите объем V конуса, образующая которого равна 2 и наклонена к плоскости основания под углом 30. В ответе укажите .
4. Диаметр основания конуса равен 6, а угол при вершине осевого сечения равен 90°. Вычислите объем конуса, деленный на π.

5.

Повторение

4

Знать:

Основные теоремы и формулы планиметрии стереометрии.

Уметь:Решать простейшие задачи с применением основных теорем и формул планиметрии и стереометрии.

Типовые задачи

1. Через два противоположных ребра куба проведено сечение, площадь которого равна Найдите объём куба.

2. Высота треугольной пирамиды равна 40 см, а высота каждой боковой грани, проведённая из вершины пирамиды, равна 41 см. Найдите площадь основания пирамиды, если его периметр равен 42 см. 3. Даны векторы Найдите координаты вектора   4. Диагональ осевого сечения цилиндра равна 48 см. Угол между этой диагональю и образующей цилиндра равенНайдите полную поверхность и объём цилиндра.5. Высота конуса равна 15 см, а радиус основания равен 8 см. Найдите полную поверхность и объём  конуса. 6. Шар радиуса 41 дм пересечён плоскостью, находящейся  на расстоянии 9 дм от центра. Найдите площадь сечения.

Уметь

1. Строить сечения многогранников методами: следа, параллельного проецирования, центрального проецирования; определять вид многоугольника, полученного в сечении и вычислять его площадь.

2. Решать задачи на комбинацию многогранников и тел вращения.

Задачи продвинутого уровня

1. Площадь боковой грани правильной

четырёхугольной пирамиды равнаS. Найдите площадь

сечения пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты пирамиды  и параллельной плоскости боковой грани. 2. В правильной треугольной пирамиде радиус вписанного шара равен 6 см, а радиус шара с центром на основании пирамиды, касающегося всех боковых граней пирамиды, равен 9 см. Найдите радиус шара, описанного около пирамиды. 3. В шар вписана пирамида, основанием которой является прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 2 см. Найдите площадь поверхности и объём шара, если каждое боковое ребро пирамиды составляет с основанием угол 4. В шар вписан конус, радиус основания которого равен r, а высота равна h. Найдите площадь поверхности и объём шара.

Решать тренировочные варианты.