Пропорция. Основное свойство пропорции

Цели урока:

 Обучающие цели:

1. введение понятия пропорции и её членов;
2. самостоятельное выведение основного свойства пропорции;
3. отработка навыков составления  пропорций.

Развивающие цели:

1. развивать умение анализировать и делать выводы;
2. развивать навыки самостоятельной исследовательской работы.

Воспитательные цели:

1. воспитывать уважительное отношение друг к другу;
2. воспитывать умения обобщать изучаемые факты, применять их в повседневной жизни;
3. воспитывать у учащихся интерес к предмету.

План:

1. Организационный момент.
2. Подготовка к восприятию новой темы.
3. Изучение нового материала.
4. Закрепление изученного материала.
5. Подведение итогов.

ХОД  УРОКА:

I. Организационный момент

II. Подготовка к восприятию новой темы

Учитель: 

  - Добрый день, ребята. На прошлых уроках мы успешно работали над темой “Отношения” и я уверена, что сегодня вы будете так же активны и сделаете интересные открытия на нашем уроке. Я желаю вам удачи.

- Откройте тетради, запишите число, классная работа. А тему урока вы сформулируете сами позже в ходе нашей деятельности.

- Мы с вами хорошо знаем, что математика играет большую роль в нашей жизни. Давайте еще раз вспомним, какую?

Многие великие люди говорили о математике:

М.В.Ломоносов: «Математику уже затем изучать нужно, что она ум в порядок приводит»

Галилео Галилей: «Математика – это язык, на котором написана книга природы»

Карл Фридрих Гаусс: «Математика – царица наук»

А есть и такое: Бертран Рассел (английский математик, философ, 18 мая 1872 года — 2 февраля 1970 ) сказал: «Математика владеет не только истиной, но и высшей красотой».

Как вы думаете, что хотел этим сказать Бертран Рассел? Какая связь между математикой и красотой? Сегодня мы с вами это и узнаем.

Я решила построить дом. Перед вами два его проекта, выполненных архитекторами. Материальные затраты одинаковы, а внешний вид отличается. Помогите мне выбрать лучший дом. В каком доме хотели жить вы? Почему?

- Правильно. Дом слева более пригоден для жилья, а про правый дом говорят, что в таком доме нет соразмерности, нет гармонии. Слово «пропорция» ввел  в употребление Цицерон в 1 веке до н.э., которое буквально означало   «аналогия, соотношение».

О ней мы сегодня с вами и будем говорить. Узнаем, что такое пропорция, ее свойства.

Запишем тему урока: «Пропорция». 

- А сейчас ребята проведем небольшую разминку.

1. Вычислите:  ;     2,7: 0, 3 = 9;  ; 3,4 : 17 = 0,2

2. Как называют частное двух чисел? (Отношение)

Каким числом может быть выражено отношение? (целым, дробным)

3. Задача на повторение.

На клумбе 6 белых и 12 красных роз. Что показывают ОТНОШЕНИЯ?

6:12

12:6

6:18

4. Найдите значения отношений.

1) 3 : ;

2) 2 : 0,5;

3) 2,4 : 8;

4) 6 : 1;

5)3 : 10;

6)  ;

7) 3 : 2.

Дети вычисляют их значения на листах, один выходит к доске и записывает ответы, проверяем).

Определите, какие из этих отношений равны.

Учитель:

- Ребята, а при помощи чего можно записать равные отношения? ( при помощи равенства)

Учитель:

- Молодцы, ребята.  Вы успешно справились с поставленной задачей.

- Посмотрите, пожалуйста, на полученные равенства отношений. Как можно записать эти равенства при помощи математических символов и буквенных выражений?

Учитель:

- Ребята,  равенства, которые мы с вами записали,  и носят название - пропорция.  

III. Изучение нового материала

- А теперь ребята нам надо дать определение новому математическому понятию.

- Как вы считаете, какое слово в определении пропорции главное? (равенство)

Равенство чего? (двух отношений)

Учитель:

- Ребята, сформулируйте, пожалуйста, определение пропорции. ( Пропорция – это равенство двух отношений.) 

- С помощью букв пропорция записывается:

а: в = с: d или

Запишем в тетради. Будем считать, что а0, b0, с0, d0.

Читается: “а  относится к b, как с относится к d”, или “отношение а к b равно отношению с к d”

Учитель:

- Прочитайте пропорции разными способами.

- Попробуйте записать свои пропорции. (Записываем на доске). Прочитайте их своему соседу. Проверим 2 на доске.

- По классу развешаны листы с надписями. Посмотрите на все листы и ответьте на вопрос: являются ли пропорциями следующие равенства? Запишите в тетрадь равенства, являющиеся пропорциями.

Проверка на доске.

1) 45 : 5 = 4 + 5;

2) 3 : 4 = 75 : 100;

3) 30 : 5 =  : ;

4) ;

5) 2 + 6 = 4 + 4;

6) 0,5 · 40 = 10 · 2;

7) ;

8) 0,6 : 2=0,9 : 3;

9) .

- Бывают равенства верные и неверные.

Например, 5=4 – неверное равенство, 25+5=15+15 – верное равенство.

А так как пропорция – это равенство двух отношений, то пропорции тоже могут быть верными и неверными.

Приведем примеры: 24 : 3=16 : 2 – верная пропорция, 0,4 : 2=20 : 5 – неверная пропорция.

Приведите еще примеры верных и неверных пропорций.

В записанных пропорциях назовите числа, которыми вы начинали и заканчивали запись пропорций. Попробуйте дать им названия.

( После заслушивания ответов ребят, учитель дает определение средним и крайним членам пропорции) 

Запись в тетради стрелками средние и крайние члены пропорции.

Учитель:

- Прочитайте  пропорции на слайде, назовите крайние и средние члены этих пропорций.

- А теперь я предлагаю вам  следующее задание:

Перед вами на листах таблицы сейчас вы их заполните:

Проверим. Что вы замечаете?

( ребята должны самостоятельно заметить, что произведение средних членов равно произведению крайних членов пропорции) 

- Это свойство называется “основным”, так как позволяет ответить на вопрос: “Является ли пропорция верной?”

Проверьте, верны ли пропорции: ; 25 : 5 = 40 : 4, 12 : 2 = 36 : 6?

V. Закрепление изученного материала

Учитель:

- А теперь проверим полученные знания на практике.

Тест:

1. Какие из чисел являются крайними членами пропорции ?

а) 3 и 25; б) 5 и 15; в) 3 и 15; г) 5 и 25.

2. Какие из чисел являются средними членами пропорции ?

а) 7 и 22; б) 11 и 14; в) 7 и 14; г) 11 и 22.

3. Найдите верную пропорцию:

а) 3 : 5=; б) 5 : 3= : ; в) 3 : 2=2 : 3; г) 7 : 2=3 : 10.

4. При каком значении х верна пропорция ?

Учитель:

- А теперь вернемся к тому, с чего мы начинали. С красоты. Так почему в одном доме нельзя было жить, а в другом – можно?  (Все должно быть пропорционально)

Где еще мы встречаемся с пропорциональностью?

Ученики. Могут вспомнить: люди часто говорят о пропорциональности человеческого тела, в изобразительном искусстве для изображения портрета человека тоже используют пропорцию, т.е. равенство расстояний от подбородка до носа, от носа до уровня глаз, от глаз до корней волос.

Учение об отношениях и пропорциях успешно развивалось в IV в. до н.э. в Древней Греции. С пропорциями связывались представления о красоте, порядке и гармонии, о созвучных аккордах в музыке.

Пропорциональность в природе, искусстве, архитектуре означает соблюдение определенных соотношений между размерами отдельных частей растения, скульптуры, здания и является непременным условием правильного и красивого изображения предмета.

Золотое сечение (божественная пропорция) – это деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина большей части к меньшей.

 “Золотая пропорция” встречается и в растительном мире. Рассматривая расположение трех подряд идущих пар листьев на общем стебле растения, можно заметить, что между третьей и первой парой вторая находится в месте “золотого сечения”.

 “Золотая пропорция” часто использовалась в древнегреческой архитектуре, например, при строительстве знаменитого  ПАРФЕНОНА. Архитекторы понимали, что при зрительном восприятии прямоугольник, отношение сторон которого выбрано по “золотому сечению”, вызывает ощущение гармонии, покоя.

Наш современник, американский хирург Стивен Марквард создал, используя принципы золотого сечения, геометрическую маску, которая может служить эталоном прекрасного лица. Каждая отдельная часть тела – голова, руки, кисть и т. д. – также делятся по закону золотого сечения на естественные части.  

 На знаменитой картине И. Шишкина “Корабельная роща” с очевидностью просматриваются мотивы “золотого сечения”. Ярко освещенная солнцем сосна (стоящая на первом плане) делит длину картины по золотому сечению. Справа от сосны – освещенный солнцем пригорок. Он делит правую часть картины по золотому сечению. Наличие в картине ярких вертикалей и горизонталей, делящих ее в отношении “золотого сечения”, придают ей характер уравновешенности и спокойствия.

№ 760

VI. Подведение итогов урока

Учитель:

 - Ребята, сегодня на уроке мы с вами очень активно поработали. На следующих уроках мы будем применять наши знания о пропорции и ее свойствах для решения упражнений.

- Запишите домашнее задание. п.21;  № 761, №762, №765.

При наличии свободного времени:

- Используя верное равенство, составьте верные пропорции.  

- Проверьте правильно ли вы их составили.

- Но помимо основного свойства, пропорция обладает еще рядом свойств, которые позволили вам составлять разные пропорции из предлагаемых чисел. Какое?  Вывод!   (в пропорции можно менять местами средние или крайние члены)

Спасибо за урок!