Рабочая программа по математике 7-9 класс
рабочая программа по математике (7, 8, 9 класс)

Предметные результаты изучения учебного предмета

Ученик научится:

Ученик получит возможность научиться:

Математика 7-9 классах

Элементы теории множеств и математической логики

• Оперировать на базовом уровне^[1] понятиями: множество, элемент множества, подмножество, принадлежность;
• задавать множества перечислением их элементов;
• находить пересечение, объединение, подмножество в простейших ситуациях;
• оперировать на базовом уровне понятиями: определение, аксиома, теорема, доказательство;
• приводить примеры и контрпримеры для подтверждения своих высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать графическое представление множеств для описания реальных процессов и явлений, при решении задач других учебных предметов.

• Оперировать^[2] понятиями: определение, теорема, аксиома, множество, характеристики множества, элемент множества, пустое, конечное и бесконечное множество, подмножество, принадлежность, включение, равенство множеств;
• изображать множества и отношение множеств с помощью кругов Эйлера;
• определять принадлежность элемента множеству, объединению и пересечению множеств;
• задавать множество с помощью перечисления элементов, словесного описания;
• оперировать понятиями: высказывание, истинность и ложность высказывания, отрицание высказываний, операции над высказываниями: и, или, не, условные высказывания (импликации);
• строить высказывания, отрицания высказываний.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• строить цепочки умозаключений на основе использования правил логики;
• использовать множества, операции с множествами, их графическое представление для описания реальных процессов и явлений.

Числа

• Оперировать на базовом уровне понятиями: натуральное число, целое число, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число;
• использовать свойства чисел и правила действий с рациональными числами при выполнении вычислений;
• использовать признаки делимости на 2, 5, 3, 9, 10 при выполнении вычислений и решении несложных задач;
• выполнять округление рациональных чисел в соответствии с правилами;
• сравнивать рациональные числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• оценивать результаты вычислений при решении практических задач;
• выполнять сравнение чисел в реальных ситуациях;
• составлять числовые выражения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

• Оперировать понятиями: натуральное число, множество натуральных чисел, целое число, множество целых чисел, обыкновенная дробь, десятичная дробь, смешанное число, рациональное число, множество рациональных чисел, геометрическая интерпретация натуральных, целых, рациональных;
• понимать и объяснять смысл позиционной записи натурального числа;
• выполнять вычисления, в том числе с использованием приемов рациональных вычислений, обосновывать алгоритмы выполнения действий;
• использовать признаки делимости на 2, 4, 8, 5, 3, 6, 9, 10, 11, суммы и произведения чисел при выполнении вычислений и решении задач, обосновывать признаки делимости;
• выполнять округление рациональных чисел с заданной точностью;
• упорядочивать числа, записанные в виде обыкновенных и десятичных дробей;
• находить НОД и НОК чисел и использовать их при решении задач;
• оперировать понятием модуль числа, геометрическая интерпретация модуля числа.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• применять правила приближенных вычислений при решении практических задач и решении задач других учебных предметов;
• выполнять сравнение результатов вычислений при решении практических задач, в том числе приближенных вычислений;
• составлять числовые выражения и оценивать их значения при решении практических задач и задач из других учебных предметов.

Тождественные преобразования

• Выполнять несложные преобразования для вычисления значений числовых выражений, содержащих степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;
• выполнять несложные преобразования целых выражений: раскрывать скобки, приводить подобные слагаемые;
• использовать формулы сокращенного умножения (квадрат суммы, квадрат разности, разность квадратов) для упрощения вычислений значений выражений;
• выполнять несложные преобразования дробно-линейных выражений и выражений с квадратными корнями.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• понимать смысл записи числа в стандартном виде;
• оперировать на базовом уровне понятием «стандартная запись числа».

• Оперировать понятиями степени с натуральным показателем, степени с целым отрицательным показателем;
• выполнять преобразования целых выражений: действия с одночленами (сложение, вычитание, умножение), действия с многочленами (сложение, вычитание, умножение);
• выполнять разложение многочленов на множители одним из способов: вынесение за скобку, группировка, использование формул сокращенного умножения;
• выделять квадрат суммы и разности одночленов;
• раскладывать на множители квадратный   трехчлен;
• выполнять преобразования выражений, содержащих степени с целыми отрицательными показателями, переходить от записи в виде степени с целым отрицательным показателем к записи в виде дроби;
• выполнять преобразования дробно-рациональных выражений: сокращение дробей, приведение алгебраических дробей к общему знаменателю, сложение, умножение, деление алгебраических дробей, возведение алгебраической дроби в натуральную и целую отрицательную степень;
• выполнять преобразования выражений, содержащих квадратные корни;
• выделять квадрат суммы или разности двучлена в выражениях, содержащих квадратные корни;
• выполнять преобразования выражений, содержащих модуль.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выполнять преобразования и действия с числами, записанными в стандартном виде;
• выполнять преобразования алгебраических выражений при решении задач других учебных предметов.

Уравнения и неравенства

• Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство, числовое равенство, уравнение, корень уравнения, решение уравнения, числовое неравенство, неравенство, решение неравенства;
• проверять справедливость числовых равенств и неравенств;
• решать линейные неравенства и несложные неравенства, сводящиеся к линейным;
• решать системы несложных линейных уравнений, неравенств;
• проверять, является ли данное число решением уравнения (неравенства);
• решать квадратные уравнения по формуле корней квадратного уравнения;
• изображать решения неравенств и их систем на числовой прямой.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• составлять и решать линейные уравнения при решении задач, возникающих в других учебных предметах.

• Оперировать понятиями: уравнение, неравенство, корень уравнения, решение неравенства, равносильные уравнения, область определения уравнения (неравенства, системы уравнений или неравенств);
• решать линейные уравнения и уравнения, сводимые к линейным с помощью тождественных преобразований;
• решать квадратные уравнения и уравнения, сводимые к квадратным с помощью тождественных преобразований;
• решать дробно-линейные уравнения;
• решать простейшие иррациональные уравнения вида , ;
• решать уравнения вида ;
• решать уравнения способом разложения на множители и замены переменной;
• использовать метод интервалов для решения целых и дробно-рациональных неравенств;
• решать линейные уравнения и неравенства с параметрами;
• решать несложные квадратные уравнения с параметром;
• решать несложные системы линейных уравнений с параметрами;
• решать несложные уравнения в целых числах.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• составлять и решать линейные и квадратные уравнения, уравнения, к ним сводящиеся, системы линейных уравнений, неравенств при решении задач других учебных предметов;
• выполнять оценку правдоподобия результатов, получаемых при решении линейных и квадратных уравнений и систем линейных уравнений и неравенств при решении задач других учебных предметов;
• выбирать соответствующие уравнения, неравенства или их системы для составления математической модели заданной реальной ситуации или прикладной задачи;
• уметь интерпретировать полученный при решении уравнения, неравенства или системы результат в контексте заданной реальной ситуации или прикладной задачи.

ФУНКЦИИ

• Находить значение функции по заданному значению аргумента;
• находить значение аргумента по заданному значению функции в несложных ситуациях;
• определять положение точки по ее координатам, координаты точки по ее положению на координатной плоскости;
• по графику находить область определения, множество значений, нули функции, промежутки знакопостоянства, промежутки возрастания и убывания, наибольшее и наименьшее значения функции;
• строить график линейной функции;
• проверять, является ли данный график графиком заданной функции (линейной, квадратичной, обратной пропорциональности);
• определять приближенные значения координат точки пересечения графиков функций;
• оперировать на базовом уровне понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;
• решать задачи на прогрессии, в которых ответ может быть получен непосредственным подсчетом без применения формул.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать графики реальных процессов и зависимостей для определения их свойств (наибольшие и наименьшие значения, промежутки возрастания и убывания, области положительных и отрицательных значений и т.п.);
• использовать свойства линейной функции и ее график при решении задач из других учебных предметов.

• Оперировать понятиями: функциональная зависимость, функция, график функции, способы задания функции, аргумент и значение функции, область определения и множество значений функции, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность функции, четность/нечетность функции;
• строить графики линейной, квадратичной функций, обратной пропорциональности, функции вида: , ,, ;
• на примере квадратичной функции, использовать преобразования графика функции y=f(x) для построения графиков функций ;
• составлять уравнения прямой по заданным условиям: проходящей через две точки с заданными координатами, проходящей через данную точку и параллельной данной прямой;
• исследовать функцию по ее графику;
• находить множество значений, нули, промежутки знакопостоянства, монотонности квадратичной функции;
• оперировать понятиями: последовательность, арифметическая прогрессия, геометрическая прогрессия;
• решать задачи на арифметическую и геометрическую прогрессию.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• иллюстрировать с помощью графика реальную зависимость или процесс по их характеристикам;
• использовать свойства и график квадратичной функции при решении задач из других учебных предметов.

Статистика и теория вероятностей

•  Иметь представление о статистических характеристиках, вероятности случайного события, комбинаторных задачах;
• решать простейшие комбинаторные задачи методом прямого и организованного перебора;
• представлять данные в виде таблиц, диаграмм, графиков;
• читать информацию, представленную в виде таблицы, диаграммы, графика;
• определять основные статистические характеристики числовых наборов;
• оценивать вероятность события в простейших случаях;
• иметь представление о роли закона больших чисел в массовых явлениях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• оценивать количество возможных вариантов методом перебора;
• иметь представление о роли практически достоверных и маловероятных событий;
• сравнивать основные статистические характеристики, полученные в процессе решения прикладной задачи, изучения реального явления;

• оценивать вероятность реальных событий и явлений в несложных ситуациях.

• Оперировать понятиями: столбчатые и круговые диаграммы, таблицы данных, среднее арифметическое, медиана, наибольшее и наименьшее значения выборки, размах выборки, дисперсия и стандартное отклонение, случайная изменчивость;
• извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках;
• составлять таблицы, строить диаграммы и графики на основе данных;
• оперировать понятиями: факториал числа, перестановки и сочетания, треугольник Паскаля;
• применять правило произведения при решении комбинаторных задач;
• оперировать понятиями: случайный опыт, случайный выбор, испытание, элементарное случайное событие (исход), классическое определение вероятности случайного события, операции над случайными событиями;
• представлять информацию с помощью кругов Эйлера;
• решать задачи на вычисление вероятности с подсчетом количества вариантов с помощью комбинаторики.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках, отражающую свойства и характеристики реальных процессов и явлений;
• определять статистические характеристики выборок по таблицам, диаграммам, графикам, выполнять сравнение в зависимости от цели решения задачи;
• оценивать вероятность реальных событий и явлений.

Текстовые задачи

• Решать несложные сюжетные задачи разных типов на все арифметические действия;
• строить модель условия задачи (в виде таблицы, схемы, рисунка или уравнения), в которой даны значения двух из трех взаимосвязанных величин, с целью поиска решения задачи;
• осуществлять способ поиска решения задачи, в котором рассуждение строится от условия к требованию или от требования к условию;
• составлять план решения задачи;
• выделять этапы решения задачи;
• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;
• знать различие скоростей объекта в стоячей воде, против течения и по течению реки;
• решать задачи на нахождение части числа и числа по его части;
• решать задачи разных типов (на работу, на покупки, на движение), связывающих три величины, выделять эти величины и отношения между ними;
• находить процент от числа, число по проценту от него, находить процентное снижение или процентное повышение величины;
• решать несложные логические задачи методом рассуждений.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выдвигать гипотезы о возможных предельных значениях искомых в задаче величин (делать прикидку).

• Решать простые и сложные задачи разных типов, а также задачи повышенной трудности;
• использовать разные краткие записи как модели текстов сложных задач для построения поисковой схемы и решения задач;

• различать модель текста и модель решения задачи, конструировать к одной модели решения несложной задачи разные модели текста задачи;

• знать и применять оба способа поиска решения задач (от требования к условию и от условия к требованию);
• моделировать рассуждения при поиске решения задач с помощью граф-схемы;
• выделять этапы решения задачи и содержание каждого этапа;
• уметь выбирать оптимальный метод решения задачи и осознавать выбор метода, рассматривать различные методы, находить разные решения задачи, если возможно;
• анализировать затруднения при решении задач;
• выполнять различные преобразования предложенной задачи, конструировать новые задачи из данной, в том числе обратные;
• интерпретировать вычислительные результаты в задаче, исследовать полученное решение задачи;
• анализировать всевозможные ситуации взаимного расположения двух объектов и изменение их характеристик при совместном движении (скорость, время, расстояние) при решении задач на движение двух объектов как в одном, так и в противоположных направлениях;
• исследовать всевозможные ситуации при решении задач на движение по реке, рассматривать разные системы отсчета;
• решать разнообразные задачи «на части»,
• решать и обосновывать свое решение задач (выделять математическую основу) на нахождение части числа и числа по его части на основе конкретного смысла дроби;
• осознавать и объяснять идентичность задач разных типов, связывающих три величины (на работу, на покупки, на движение), выделять эти величины и отношения между ними, применять их при решении задач, конструировать собственные задач указанных типов;
• владеть основными методами решения задач на смеси, сплавы, концентрации;
• решать задачи на проценты, в том числе, сложные проценты с обоснованием, используя разные способы;
• решать логические задачи разными способами, в том числе, с двумя блоками и с тремя блоками данных с помощью таблиц;
• решать задачи по комбинаторике и теории вероятностей на основе использования изученных методов и обосновывать решение;
• решать несложные задачи по математической статистике;
• овладеть основными методами решения сюжетных задач: арифметический, алгебраический, перебор вариантов, геометрический, графический, применять их в новых по сравнению с изученными ситуациях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выделять при решении задач характеристики рассматриваемой в задаче ситуации, отличные от реальных (те, от которых абстрагировались), конструировать новые ситуации с учетом этих характеристик, в частности, при решении задач на концентрации, учитывать плотность вещества;
• решать и конструировать задачи на основе рассмотрения реальных ситуаций, в которых не требуется точный вычислительный результат;
• решать задачи на движение по реке, рассматривая разные системы отсчета.

Геометрические фигуры

• Оперировать на базовом уровне понятиями геометрических фигур;
• извлекать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах в явном виде;
• применять для решения задач геометрические факты, если условия их применения заданы в явной форме;
• решать задачи на нахождение геометрических величин по образцам или алгоритмам.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать свойства геометрических фигур для решения типовых задач, возникающих в ситуациях повседневной жизни, задач практического содержания.

• Оперировать понятиями геометрических фигур;
• извлекать, интерпретировать и преобразовывать информацию о геометрических фигурах, представленную на чертежах;
• применять геометрические факты для решения задач, в том числе, предполагающих несколько шагов решения;
• формулировать в простейших случаях свойства и признаки фигур;
• доказывать геометрические утверждения;
• владеть стандартной классификацией плоских фигур (треугольников и четырехугольников).

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать свойства геометрических фигур для решения задач практического характера и задач из смежных дисциплин.

Отношения

• Оперировать на базовом уровне понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать отношения для решения простейших задач, возникающих в реальной жизни.

•  Оперировать понятиями: равенство фигур, равные фигуры, равенство треугольников, параллельность прямых, перпендикулярность прямых, углы между прямыми, перпендикуляр, наклонная, проекция, подобие фигур, подобные фигуры, подобные треугольники;
• применять теорему Фалеса и теорему о пропорциональных отрезках при решении задач;
• характеризовать взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать отношения для решения задач, возникающих в реальной жизни.

Измерения и вычисления

• Выполнять измерение длин, расстояний, величин углов, с помощью инструментов для измерений длин и углов;
• применять формулы периметра, площади и объема, площади поверхности отдельных многогранников при вычислениях, когда все данные имеются в условии;
• применять теорему Пифагора, базовые тригонометрические соотношения для вычисления длин, расстояний, площадей в простейших случаях.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• вычислять расстояния на местности в стандартных ситуациях, площади в простейших случаях, применять формулы в простейших ситуациях в повседневной жизни.

• Оперировать представлениями о длине, площади, объеме как величинами. Применять теорему Пифагора, формулы площади, объема при решении многошаговых задач, в которых не все данные представлены явно, а требуют вычислений, оперировать более широким количеством формул длины, площади, объема, вычислять характеристики комбинаций фигур (окружностей и многоугольников) вычислять расстояния между фигурами, применять тригонометрические формулы для вычислений в более сложных случаях, проводить вычисления на основе равновеликости и равносоставленности;
• проводить простые вычисления на объемных телах;
• формулировать задачи на вычисление длин, площадей и объемов и решать их.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• проводить вычисления на местности;
• применять формулы при вычислениях в смежных учебных предметах, в окружающей действительности.

 Геометрические построения

• Изображать типовые плоские фигуры и фигуры в пространстве от руки и с помощью инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни.

• Изображать геометрические фигуры по текстовому и символьному описанию;
• свободно оперировать чертежными инструментами в несложных случаях,
• выполнять построения треугольников, применять отдельные методы построений циркулем и линейкой и проводить простейшие исследования числа решений;
• изображать типовые плоские фигуры и объемные тела с помощью простейших компьютерных инструментов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• выполнять простейшие построения на местности, необходимые в реальной жизни;
• оценивать размеры реальных объектов окружающего мира.

Геометрические преобразования

• Строить фигуру, симметричную данной фигуре относительно оси и точки.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• распознавать движение объектов в окружающем мире;
• распознавать симметричные фигуры в окружающем мире.

• Оперировать понятием движения и преобразования подобия, владеть приемами построения фигур с использованием движений и преобразований подобия, применять полученные знания и опыт построений в смежных предметах и в реальных ситуациях окружающего мира;
• строить фигуру, подобную данной, пользоваться свойствами подобия для обоснования свойств фигур;
• применять свойства движений для проведения простейших обоснований свойств фигур.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• применять свойства движений и применять подобие для построений и вычислений.

Векторы и координаты на плоскости

• Оперировать на базовом уровне понятиями вектор, сумма векторов, произведение вектора на число, координаты на плоскости;
• определять приближенно координаты точки по ее изображению на координатной плоскости.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать векторы для решения простейших задач на определение скорости относительного движения.

• Оперировать понятиями вектор, сумма, разность векторов, произведение вектора на число, угол между векторами, скалярное произведение векторов, координаты на плоскости, координаты вектора;
• выполнять действия над векторами (сложение, вычитание, умножение на число), вычислять скалярное произведение, определять в простейших случаях угол между векторами, выполнять разложение вектора на составляющие, применять полученные знания в физике, пользоваться формулой вычисления расстояния между точками по известным координатам, использовать уравнения фигур для решения задач;
• применять векторы и координаты для решения геометрических задач на вычисление длин, углов.

В повседневной жизни и при изучении других предметов:

• использовать понятия векторов и координат для решения задач по физике, географии и другим учебным предметам.

История математики

• Описывать отдельные выдающиеся результаты, полученные в ходе развития математики как науки;
• знать примеры математических открытий и их авторов, в связи с отечественной и всемирной историей;
• понимать роль математики в развитии России.

• Характеризовать вклад выдающихся математиков в развитие математики и иных научных областей;
• понимать роль математики в развитии России.

Методы математики

• Выбирать подходящий изученный метод для решения изученных типов математических задач;
• Приводить примеры математических закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства.

• Используя изученные методы, проводить доказательство, выполнять опровержение;
• выбирать изученные методы и их комбинации для решения математических задач;
• использовать математические знания для описания закономерностей в окружающей действительности и произведениях искусства;
• применять простейшие программные средства и электронно-коммуникационные системы при решении математических задач.

Классы

Предметы математического цикла

Количество часов на ступени основного образования

7-9

Алгебра

315

Геометрия

210

Всего

525

№

п\п  

Тема, количество часов

Содержание.

Требования к результату обучения

Характеристика основных видов

 деятельности ученика

 (на уровне учебных действий).

1

Повторение 4 часов

Решение задач за курс математики 6 класс

2

Алгебраические выражения.

( 10 часов )

Числовые выражения. Алгебраические выражения. Формулы. свойства арифметических действий. Правила раскрытия скобок.

Знает, понимает:

• понятия: « алгебраическое выражение», «значение алгебраического выражения»,                  « числовое выражение», «значение числового выражения», « допустимые значения переменных, входящих в алгебраическое выражение»;
• правила раскрытия скобок;
• порядок выполнения действий в числовых выражениях;
• законы сложения и умножения (переместительный, сочетательный, распределительный).

Умеет:

• составлять буквенные выражения и формулы по условиям задач;
• осуществлять в выражениях и формулах числовые подстановки и выполнять соответствующие вычисления;
• выражать из формул одни переменные через другие;

Применяет полученные знания:

• для выполнения расчетов по формулам;
• для составления формул, выражающих зависимости между реальными величинами.

Выполнять элементарные знаково-символические действия: применять буквы для обозначения чисел, для записи общих утверждений; составлять буквенные выражения по условиям, заданным словесно, преобразовывать алгебраические суммы и произведения (выполнять приведение подобных слагаемых, раскрытие скобок, упрощение выражений). Вычислять числовое значение буквенного выражения. Составлять формулы, выражающие зависимости между величинами, вычислять по формулам.

3

Уравнения с одним неизвестным.

( 8 часов )

Уравнение и его корни. Уравнения с одним неизвестным, сводящиеся к линейным. Решение задач с помощью уравнений.

Знает, понимает:

• понятия: « уравнение», « корень уравнения», « решить уравнение»;
• свойства уравнений;
• алгоритм решения уравнения.

Умеет:

• решать линейные уравнения;
• решать текстовые задачи алгебраическим методом.

  Применяет полученные знания:

для решения задач

Проводить доказательные рассуждения о корнях уравнения с опорой на определение корня, числовые свойства выражений. Распознавать линейные уравнения. Решать линейные, а также уравнения сводящиеся к ним. Решать простейшие уравнения с неизвестным под знаком модуля. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат.

4

Одночлены и многочлены.

( 15 часов )

Степень с натуральным показателем и её свойства. Одночлен. многочлен. Сложение, вычитание и умножение многочленов. Деление одночлена и многочлена на одночлен.

Знает, понимает:

• понятия: «степень с натуральным показателем», «многочлен», «одночлен», «стандартный вид одночлена»;
• свойства степени с натуральным показателем;
• правила действий с одночленами и многочленами (кроме деления многочлена на многочлен);

Умеет:        

• выполнять основные действия с многочленами и одночленами;
• выполнять основные действия со степенями;
• приводить одночлен и многочлен к стандартному виду.

Формулировать, записывать в символической форме и обосновывать свойства степени с натуральным показателем; применять свойства степени для преобразования выражений и вычислений. Выполнять действия с одночленами и многочленами. Применять различные формы самоконтроля при выполнении преобразований выражений.

5

Разложение многочлена на множители.

( 16 часов )

Вынесение общего множителя за скобки. Способ группировки. Формулы сокращенного умножения:

 (a + b)(a - b)=(a2 – b2),

 ( b)2 = a2  2ab+b2.

Знает, понимает:

• формулы сокращенного умножения;
• смысл «разложить на множители»;
• алгоритм разложения многочлена на множители.

Умеет:

выполнять разложение многочлена на множители.

Применяет полученные знания:

для упрощения выражений

Доказывать формулы сокращенного умножения, применять их в преобразованиях выражений и вычислениях.

Выполнять разложение многочленов на множители разными способами.  Выполнять разложение многочленов на множители с помощью формул куба суммы, куба разности, суммы кубов, разности кубов. Решать уравнения, применяя свойство равенства нулю произведения. Применять различные формы самоконтроля при выполнении преобразований.

6

Алгебраические дроби.

( 16 часов )

Алгебраическая дробь. Сокращение дробей.  Сложение, вычитание, умножение и деление  алгебраических дробей. Совместные действия над алгебраическими дробями.

Знает, понимает:

• понятия: « алгебраическая дробь»,     « допустимые значения алгебраической  дроби»,                                        « сокращение алгебраической  дроби»;
• смысл сходства действий над алгебраическими и обыкновенными дробями;
• правила выполнения основных действий  с алгебраическими  дробями.

Умеет:

• выполнять основные действия  с алгебраическими  дробями.

Применяет полученные знания:

для решения задач

Формулировать основное свойство алгебраической дроби и применять его для преобразования дробей. Выполнять действия с алгебраическими дробями.  Находить допустимые значения букв, входящих в алгебраическую дробь. Решать уравнения, сводящиеся к линейным с дробными коэффициентами. Выполнять совместные действия над выражениями, содержащими алгебраические дроби.

7

Линейная функция и её график.

( 12 часов )

Прямоугольная система координат на плоскости. Понятие функции. Способы задания функций. График функции.  Функция y=kx и её график. Линейная функция и её график.

Знает, понимает:

• понятия: «функция»,                       « функциональная зависимость»,  « независимая переменная»,        « график функции»;
• способы задания функций;
• влияние коэффициента k на расположение графика функции y=kx,  y=kx+b.

Умеет:

• находить значения функции, заданной формулой, таблицей, графиком по её аргументу;
• находить значения аргумента по значению функции, заданной таблицей или графиком;

описывать свойства изученной функции, строить её график.

Вычислять значения функций, заданных формулами (при необходимости использовать калькулятор ); составлять таблицы значений функции. Описывать свойства функции на основе её графического представления. Моделировать реальные зависимости, выражаемые линейной функцией, с помощью формул и графиков. Интерпретировать графики реальных зависимостей. Использовать функциональную  символику для записи разнообразных фактов, связанных с линейной функцией, обогащая опыт выполнения знаково-символических действий. Строить речевые конструкции с использованием функциональной терминологии. Использовать компьютерные программы для исследования положения на координатной плоскости графика линейной функции в зависимости от значений коэффициентов, входящих в формулу. Распознавать линейную функцию. Показывать схематически положение на координатной плоскости графиков функций вида y = kx, y = kx + b в зависимости от значений коэффициентов, входящих в формулы. Строить график функции y = . Строить график линейной функции; описывать её свойства. Распознавать прямую и обратную пропорциональные зависимости. Решать текстовые задачи на прямую и обратную пропорциональные зависимости (в том числе с контекстом из смежных дисциплин, из реальной жизни).

8

Системы двух уравнений с двумя неизвестными.

( 12 часов )

Система уравнений с двумя неизвестными. Решение системы уравнений первой степени с двумя неизвестными способами подстановки и сложения, графическим способом. Решение задач методом составления систем уравнений.

Знает, понимает:

• понятия: «система уравнений», «система линейных уравнений с двумя неизвестными»;
• основные способы решения систем уравнений с двумя неизвестными.

Умеет:

• решать системы двух линейных уравнений;

•  решать текстовые задачи алгебраическим методом.

  Применяет полученные знания:

для решения задач

Определять, является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя неизвестными; приводить примеры решений  уравнений с двумя неизвестными. Строить графики уравнений с двумя неизвестными, указанных в содержании. Находить целые решения систем уравнений с двумя неизвестными путём перебора. Решать   системы двух уравнений первой степени с двумя неизвестными. Решать текстовые задачи, алгебраической моделью которых является  уравнение с двумя неизвестными: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели  путём  составления системы уравнений; решать составленную систему уравнений; интерпретировать результат. Конструировать речевые высказывания, эквивалентные друг другу, с использованием алгебраического и геометрического языков. Использовать функционально- графические представления для решения и исследования уравнений и систем.    

9

Введение в комбинаторику.

( 5 часов )

Исторические комбинаторные задачи. Различные комбинации с выбором из трёх элементов. Таблица вариантов. Правило произведения. Подсчет вариантов с помощью графов.

Знает, понимает:

• Различные комбинации с выбором из трех элементов;
• Таблицу вариантов;
• Правила произведения;
• Правила подсчета вариантов с помощью графов

Умеет:

• Решает задачи на  различные комбинации с  выбором  из трех элементов, на правило произведения;
• Составляет таблицу вариантов

Подсчитывает количество вариантов с помощью графов  

Применяет полученные знания:

для решения задач

Выполнять перебор всех возможных вариантов для пересчета объектов или комбинаций объектов. Применять правило комбинаторного умножения для решения задач на нахождение числа объектов, вариантов или комбинаций (диагонали многоугольника, рукопожатия, число кодов, шифров, паролей и т. п.). Подсчитывать число вариантов с помощью графов.

10

Итоговое повторение.

(  4часов )

Решение задач за курс алгебры 7 класса.

Nпп

Тема, количество часов

Содержание

Требования к результату обучения

Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)

1

Начальные геометрические сведения, 11 часов

Точка, прямая, плоскость. Понятие о геометрическом месте точек. Часть прямой (отрезок, луч), угол. Отрезок прямой, как кратчайший путь между двумя точками. Расстояние. Длина отрезка. Угол. Прямой угол. Острые и тупые углы. Вертикальные и смежные углы. Биссектриса угла. Градусная мера угла. Перпендикулярность прямых.

Знать: какие фигуры называются равными; свойства измерения отрезков и углов; определение вертикальных и смежных углов, их свойства.

Уметь: Распознавать на чертежах и моделях геометрические фигуры (отрезки, углы, лучи, прямые). Изображать указанные геометрические фигуры, выполнять чертежи по условию простейших задач по теме «Вертикальные и смежные углы».

Применять: Владеть практическими навыками использования геометрических инструментов для нахождения длин отрезков и величин углов. Использовать их при решении простейших задач

Объяснять, что такое отрезок, луч. Угол, какие фигуры называются равными. Как сравниваются и измеряются отрезки и углы, что такое градус и градусная мера угла, какой угол называется прямым, тупым, острым, развернутым, что такое середина отрезка и биссектриса угла, какие углы называются смежными и вертикальными; формулировать и обосновывать утверждения о свойствах смежных и вертикальных углов; объяснять какие прямые называются перпендикулярными; формулировать и обосновывать утверждение о свойстве двух прямы, перпендикулярных третьей прямой; изображать и распознавать указанные простейшие фигуры на чертежах; решать задачи. Связанные с этими простейшими фигурами.

2

Треугольники, 18  часов

 Внутренние и внешние углы треугольника. Стороны треугольника, его медиана, биссектриса и высота. Остроугольные, прямоугольные и тупоугольные треугольники. Равнобедренные треугольник, его свойства и признаки. Равносторонний треугольник. Признак равенства

треугольников. Центр, радиус, диаметр

окружности и круга. Хорда и дуга.

Знать определение и свойства, признаки равных треугольников; определение медианы, высоты и биссектрисы треугольника, перпендикуляра к прямой.

Знать определение и свойства равнобедренного треугольника.

Уметь доказывать равенство треугольников, т.е. выделять равенство трех соответствующих элементов данных треугольников и делать ссылки на изученные признаки (с помощью учителя и самостоятельно).

Применять  их при решении простейших задач.

Объяснять, какая фигура называется треугольником, что такое вершины, стороны, углы и периметр треугольника, какой треугольник называется равнобедренным, равносторонним; какие треугольники называются равными; изображать распознавать на чертежах треугольники и их элементы; формулировать и доказывать теоремы о признаках равенства треугольников; объяснять, что называется перпендикуляром, проведенным из данной точки к данной прямой; формулировать и доказывать теорему о перпендикуляре к прямой; объяснять, какие отрезки называются медианой, биссектрисой и высотой треугольника; формулировать и доказывать теоремы о свойствах равнобедренного треугольника; решать задачи, связанные с применением признаков равенства треугольников и свойствами равнобедренного треугольника; формулировать определение окружности; объяснять, что такое центр, радиус, хорда и диаметр окружности; решать простейшие задачи на построение (построение угла, равного данному, построение биссектрисы угла, построение перпендикулярных прямых, построение середины отрезка) и более сложные задачи, использующие указанные простейшие; сопоставлять полученный результат с условием задачи; анализировать возможные случаи.

3

Параллельные прямые, 13 часов

Параллельность прямых, признаки и свойства параллельных прямых

Знать как называются углы при пересечении двух прямых секущей, определения, признаки, свойства и аксиому параллельных прямых.

Уметь доказывать параллельность прямых, используя соответствующие признаки, находить равные углы при параллельных прямых и секущей,

Применять теоремы для

обоснования способов построения параллельных прямых.  

Формулировать определение параллельных прямых; объяснять с помощью рисунка, какие углы, образованные при пересечении двух прямых секущей, называются накрест лежащими, какие односторонними и какие соответственными; формулировать и доказывать теоремы, выражающие признаки параллельности прямых; объяснять, что такое аксиомы геометрии и какие аксиомы уже использовались ранее; формулировать аксиому параллельных прямых и выводить следствия из нее; формулировать и доказывать теоремы о свойствах параллельных прямых, обратные свойствам параллельных прямых, в связи с этим объяснять, что такое условие и заключение теоремы, какая теорема называется обратной по отношению к данной теореме; объяснять, в чем заключается метод доказательства от противного; приводить примеры использования этого метода; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с параллельными прямыми.

4

Соотношения между сторонами и углами треугольника, 20  часов

Сумма углов треугольника. Неравенство треугольника. Соотношение между сторонами и углами треугольника. Перпендикуляр и наклонная. Прямоугольный треугольник, его признаки и свойства.

Знать:  

определение остроугольных, тупоугольных, прямоугольных  треугольников;

 свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников; теорему о сумме углов треугольника,

понятие расстояния от точки до прямой, между параллельными  прямыми,

 неравенство треугольника.  

Понимать, что сторонами и углами в треугольнике существует взаимно однозначное соответствие.

Уметь решать задачи по теме «Сумма углов в треугольнике», задачи на построение треугольников с помощью циркуля и линейки. Применять  их при решении простейших задач.

Формулировать и доказывать теорему о сумме углов треугольника и ее следствие о внешнем угле треугольника; проводить классификацию треугольников по углам; формулировать и доказывать теорему о соотношениях между сторонами и углами треугольника (прямое и обратное утверждение) и следствия из нее, теорему о неравенстве треугольника; формулировать и доказывать теоремы о свойствах прямоугольных треугольников; формулировать определения расстояния от точки до прямой, расстояния между параллельными прямыми; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с соотношением между сторонами и углами треугольника и расстоянием между параллельными прямыми, при необходимости проводить по ходу решения дополнительные построения, сопоставлять полученный результат с условием задачи, в задачах на построение исследовать возможные случаи.

5

Повторение, 6  часов

Решение задач за курс геометрии 7 класс

№

п\п  

Тема.

Основное содержание.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Характеристика основных видов

 деятельности ученика

 (на уровне учебных действий).

1

Повторение 4 часа

Решение задач за курс алгебры 7 класс

2

Неравенства

( 19часов).

Положительные и отрицательные числа. Числовые неравенства, и их свойства. Сложение и умножение неравенств. Строгие и нестрогие неравенства. Неравенства с одним неизвестным. Системы неравенств с одним неизвестным. Числовые промежутки.

Знает, понимает:

• свойства чисел, свойства числовых неравенств;
• понятия числовых промежутков;
• понятия:

«линейное неравенство», «решение неравенства», «решить неравенство» «доказать неравенство», «система неравенств», «решение  системы неравенств», «решить систему неравенств»;

• теоремы о почленном сложении и умножении неравенств;
• понятия: « уравнение и неравенство, содержащее неизвестное под знаком модуля»;
• алгоритм решения неравенств с одной переменной и их систем.

Умеет:

• Решать линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Сравнивать и упорядочивать рациональные числа. Формулировать свойства числовых неравенств, иллюстрировать их на координатной прямой, доказывать алгебраически. Применять свойства неравенств в ходе решения задач. Распознавать линейные неравенства, уравнения и неравенства, в том числе содержащие неизвестные под знаком модуля.  Решать линейные неравенства, системы линейных неравенств,    в том числе содержащие неизвестные под знаком модуля.   Использовать в письменной математической речи обозначения и графические изображения числовых множеств, теоретико -  множественную символику.

3

Приближенные  вычисления

(11 часов ).

Приближенные значения величин. Погрешность приближения. Оценка погрешности. Округление чисел. Относительная погрешность. Простейшие вычисления на калькуляторе.

Стандартный вид числа. Вычисление на калькуляторе степени числа и числа, обратного данному. Последовательное выполнение нескольких операций на калькуляторе. Вычисление на калькуляторе с использованием ячеек памяти.

Знает, понимает:

• понятия: «погрешность приближения», « приближенные значения величин», «оценка погрешности», « относительная погрешность», « стандартный вид числа»;
• правила округления чисел;
• приёмы приближенных вычислений;

Умеет:

• округлять целые числа и десятичные дроби;
• находить приближения чисел с избытком и с недостатком;
• выполнять оценку числовых выражений;
• производить вычисления с помощью калькулятора.

Находить, анализировать, сопоставлять числовые характеристики объектов окружающего мира. Использовать разные формы записи приближённых значений; делать выводы о точности приближения по их записи. Выполнять вычисления с

реальными данными. Выполнять прикидку и оценку результатов вычислений. Использовать запись чисел в стандартном виде для выражения размеров объектов, длительности процессов в окружающем мире. Сравнивать числа и величины, записанные с использованием степени 10. Выполнять вычисления на микрокалькуляторе при решении задач из смежных дисциплин и реальной действительности.

4

Квадратные корни

(14 часов ).

Понятие арифметического квадратного корня. Действительные числа. Квадратный корень из степени, произведения и дроби.

Знает, понимает:

• понятия:

«арифметический квадратный корень», «иррациональное число»,

« действительное число»;

• свойства арифметических квадратных корней;
• этапы развития представления о числе;
• правила сравнения действительных чисел.

Умеет:

• применять свойства арифметических квадратных корней для вычисления значений и преобразований числовых выражений, содержащих квадратные корни.
• сравнивать действительные числа.

Приводить примеры иррациональных чисел; распознавать рациональные и иррациональные числа; изображать числа точками координатной прямой. Описывать множество действительных чисел. Использовать в письменной математической речи обозначения и графические изображения числовых множеств, теоретико-множественную символику. Доказывать свойства арифметических квадратных корней; применять их к преобразованию выражений. Формулировать определение понятия тождества, приводить примеры различных тождеств. Вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни; выражать переменные из геометрических и физических формул, содержащих квадратные корни. Находить значения квадратных корней, точные и приближённые, при необходимости, используя калькулятор; вычислять значения выражений, содержащих квадратные корни. Использовать квадратные корни при записи выражений и формул. Оценивать квадратные корни целыми числами и десятичными дробями; сравнивать и упорядочивать рациональные числа и иррациональные, записывать с помощью квадратных корней. Применять теорему о соотношении среднего арифметического и среднего геометрического положительных чисел. Исключать иррациональность из знаменателя дроби.

5

Квадратные уравнения

( 23 часа ).

Квадратное уравнение и его корни. Неполные квадратные уравнения. Метод выделения полного квадрата. Решение квадратных уравнений. Разложение квадратного трехчлена на множители. Уравнения, сводящиеся к квадратным. Решение задач с  помощью квадратных уравнений. Решение простейших систем, содержащих уравнение второй степени. Уравнение окружности.

Знает, понимает:

• понятия: «квадратное уравнение», «полное квадратное уравнение»,

 « неполное квадратное уравнение»,                       « приведённое квадратное уравнение», « корень квадратного уравнения»;

• формулу корней квадратного уравнения;
• теорему Виета;
• формулу разложения квадратного трёхчлена на множители;
• алгоритмы решения: неполных квадратных уравнений, рациональных уравнений, уравнений, сводящихся к квадратным.

Умеет:

• решать квадратные уравнения;
• рациональные уравнения, сводящиеся к квадратным;
• решать несложные нелинейные системы;

решать текстовые задачи алгебраическим методом, интерпретировать полученный результат, проводить отбор решений, исходя из формулировки задачи.

Проводить доказательные рассуждения о корнях уравнения с опорой на определение корня, числовые и функциональные свойства выражений. Распознавать типы квадратных уравнений. Решать квадратные уравнения, а также уравнения, сводящиеся к ним; решать дробно-рациональные уравнения,  сводящиеся к квадратным. Применять при решении квадратного уравнения метод разложения на множители, метод вынесения полного квадрата, формулу корней квадратного уравнения, формулу чётного второго коэффициента, формулу корней приведенного квадратного уравнения. Раскладывать на множители квадратный трёхчлен. Исследовать квадратные уравнения по дискриминанту и коэффициентам. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления уравнения; решать составленное уравнение; интерпретировать результат. Решать системы двух уравнений с двумя неизвестными, содержащих уравнение второй степени. Выполнять действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме. Решать квадратные уравнения, дискриминант которых отрицателен.

6

Квадратичная функция

( 14 часов ).

Определение квадратичной функции. Функции y=x2, y=ax2, y=ax2+bx+c. Построение графика квадратичной функции.

Знает, понимает:

• понятия:

«квадратичная функция», «парабола»,

 «вершина параболы»,

 « нули функции»,                

« ось симметрии параболы»,

« возрастание и убывание функции»,

 «наибольшее и наименьшее значения функции»,

«промежутки знакопостоянства»;

• алгоритм построения графика квадратичной функции.

Умеет:

• строить график квадратичной функции;
• определять по графику промежутки возрастания и убывания функции;
• определять по графику промежутки знакопостоянства;
• определять нули функции.

Вычислять значения функций, заданных формулами  y=x2, y=ax2, y=ax2+bx+c (при необходимости использовать калькулятор); составлять таблицы значений функций.  Строить по точкам графики функций. Описывать свойства функции на основе её графического представления. Интерпретировать графики реальных зависимостей. Использовать функциональную символику для записи разнообразных фактов, связанных с квадратичной функцией, обогащая опыт выполнения знаково-символических действий. Строить речевые конструкции с использованием функциональной терминологии. Показывать схематически положение на координатной плоскости графиков функций вида  y=x2, y=ax2, y=ax2+bx+c в зависимости от значений коэффициентов  а, в, с, входящих в формулы. Строить график квадратичной функции; описывать свойства функции ( возрастание, убывание, наименьшее, наибольшее значения).  Строить график квадратичной функции с применением движений графиков, растяжений и сжатий.

7

Квадратные неравенства

( 12 часов ).

Квадратное неравенство и его решение. Решение квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции.

Знает, понимает:

• понятия:

« квадратное неравенство», «решение квадратного неравенства», « решить квадратное неравенство»;

• метод решения квадратного неравенства с помощью графика квадратичной функции;
• метод интервалов.

Умеет:

• решать квадратные неравенства с одной переменной.

Применять свойства неравенств в ходе решения задач. Распознавать квадратные неравенства. Решать  квадратные неравенства, используя графические представления. Применять метод интервалов при решении квадратных неравенств и простейших дробно-рациональных неравенств, сводящихся к квадратным. Использовать квадратичную функцию  y=ax2+bx+c  в зависимости от значений коэффициентов а, в и с.

8

Повторение

( 5 часа ).

Решение задач за курс алгебры 8 класса.

№ п/п

Тема, количество часов

Содержание

Требования к результату обучения

Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)

1

Вводное повторение

2 часа

Решение задач за курс геометрии 7 класс

2

Четырехугольники,   14часов

Многоугольники Выпуклые многоугольники. Сумма углов выпуклого многоугольника. Правильные многоугольники Параллелограмм, его свойства и признаки. Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция. Теорема Фалеса   Прямоугольник, ромб, квадрат их свойства и признаки.

Знать определение и свойства, признаки параллелограмма и его частных видов: прямоугольника, ромба, квадрата.

Определение выпуклого многоугольника. Формулу суммы углов выпуклого многоугольника.

Знать определение и свойства равнобедренной трапеции.

Иметь представление о фигурах, имеющих центр и ось симметрии.

Уметь  определять вид четырёхугольника, делать ссылки на изученные признаки (с помощью учителя и самостоятельно). Уметь решать задачи на доказательство, построение, вычисление с помощью изученного материала

Применять изученный материал в практической деятельности (использовать наличие осей и центра симметрии)

Объяснять, что такое многоугольник, выпуклый многоугольник, его вершины, смежные стороны, диагонали, изображать и распознавать  выпуклые и невыпуклые многоугольники на чертежах; показывать элементы многоугольника, его внутреннюю и внешнюю области; формулировать и доказывать  утверждение о сумме углов выпуклого многоугольника; объяснять, какие стороны, вершины четырехугольника называются противоположными; формулировать определения параллелограмма, трапеции, равнобедренной и прямоугольной трапеции, прямоугольника, ромба, квадрата; изображать и распознавать эти четырехугольники; формулировать и доказывать утверждения об их свойствах и признаках; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с этими четырехугольниками;  объяснять, какие две точки называются симметричными относительно прямой (точки), в каком случае фигура называется симметричной относительно прямой (точки) и что такое ось (центр) симметрии фигуры; приводить примеры фигур, обладающих осевой (центральной) симметрией, а так же примеры осевой и центральной симметрии в окружающей нас обстановке.

3

Площади фигур, 14 часов

Понятие о площади плоских фигур. Площадь прямоугольника Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы). Теорема Пифагора.

Знать: Понятие площади, свойства площади, определение равновеликих фигур, формулы для вычисления площади прямоугольника, параллелограмма, треугольника, трапеции. Формулировку теоремы Пифагора, обратной ей теоремы. Знать формулировку теоремы об отношении площадей треугольников, имеющих равные углы.

Уметь решать задачи на вычисление площадей фигур, на применение теоремы Пифагора.

Применять формулы и теорему Пифагора в практической деятельности, при изучении смежных предметов, для обоснования построения прямого угла.

Объяснить, как производится измерение площадей многоугольников; формулировать основные свойства площадей прямоугольника, параллелограмма, треугольника и трапеции; формулировать и доказывать теорему Пифагора и обратную ей; выводить формулу Герона для площади треугольника; решать задачи на вычисление и доказательство,  связанные с формулами площадей и теоремой Пифагора.

4

Подобные треугольники, 20 часов

Подобие треугольников; коэффициент подобия. Связь между площадями подобных фигур. Признаки подобия треугольников Признаки подобия треугольников; коэффициент подобия. Средняя линия треугольника. Решение прямоугольных треугольников.

Знать:  

определение подобных треугольников, свойства периметров и площадей подобных треугольников, признаки подобия треугольников; Понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, основное тригонометрическое тождество.

Понимать, что между сторонами и углами в прямоугольном треугольнике существует взаимно однозначное соответствие.

Уметь решать задачи по теме «Признаки подобия треугольников»,  доказывать теоремы и решать задачи с использованием признаков подобия треугольников. Решать прямоугольные треугольники.

Применять при решении практических задач с использованием признаков подобия треугольников.

Объяснять понятие пропорциональности отрезков; формулировать определение подобных треугольников и коэффициента подобия; формулировать и доказывать теоремы: об отношении площадей подобных треугольников, о признаках подобия треугольников, о средней линии треугольника, о пересечении медиан треугольника, о пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике; объяснять что такое метод подобия в задачах на построение, и приводить примеры применения этого метода; объяснять, как можно использовать метод подобия в измерительных работах на местности; объяснять, как ввести понятие подобия для произвольных фигур; формулировать определения и иллюстрировать понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника; выводить основное тригонометрическое тождество и значение этих функций для углов 45°, 30°, 60°; решать задачи, связанные с подобием треугольников, для вычислений значений тригонометрических функций использовать компьютерные программы.

5

Окружность, 16 часов

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная и секущая к окружности, равенство касательных, проведённых из одной точки. Центральный и вписанный угол; величина вписанного угла. Замечательнее точки треугольника: точки пересечения перпендикуляров, биссектрис, медиан. Окружность вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.

Знать: определение, свойство и признак касательной, определение центрального и вписанного угла, соотношение между углом и дугой окружности, понятие вписанной и описанной окружности, вписанного и описанного многоугольника, свойство серединного перпендикуляра к отрезку, биссектрисы угла, точек пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан треугольника

Уметь решать задачи и доказывать теоремы по данной теме, решать задачи на построение циркулем и линейкой.

Систематизировать методы решения задач на доказательство, вычислительных, на построение.

Применять полученные знания в практической деятельности.

Исследовать взаимное расположение прямой и окружности; формулировать определение касательной к окружности; доказывать теоремы о свойстве касательной, о признаке касательной, об отрезках касательных, проведенных из одной точки; формулировать понятие центрального  угла и градусной меры длины окружности; формулировать и доказывать теоремы о вписанном угле, о произведении отрезков пересекающихся хорд; формулировать и доказывать теоремы о замечательных точках треугольника: о биссектрисе угла и, как следствие, о пересечении биссектрис треугольника; о пересечении высот треугольника; формулировать определение окружностей, вписанных в многоугольник и описанной около многоугольника; формулировать и доказывать теоремы о серединном перпендикуляре к отрезку  о пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, об окружности, вписанной в треугольник и описанной около треугольника, о свойстве сторон описанного четырехугольника; о свойстве углов вписанного четырехугольника; о свойстве углов вписанного четырехугольника; решать задачи на вычисление, доказательство и построение, связанные с окружностью, вписанными и описанными треугольниками и четырехугольниками; исследовать свойства конфигураций, связанных с окружностью, с помощью компьютерных программ.

5

Повторение, 2 часа

Решения задач за курс геометрии 8 класс

№

Тема.

Основное содержание.

Требования к уровню подготовки учащихся.

Характеристика основных видов

 деятельности ученика

 (на уровне учебных действий). 

1

Повторение курса алгебры 8 класса.

( 3 часов )

Квадратные корни. Квадратные уравнения и неравенства. Квадратичная функция.

2

Алгебраические уравнения. Системы нелинейных уравнений.

(15 часов )

Деление многочленов. Решение алгебраических уравнений. Уравнения, сводящиеся к алгебраическим. Системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Различные способы решения систем уравнений. Решение задач с помощью систем уравнений.

Знает и понимает:

• понятие степени многочлена;
• понятие корня многочлена;
• алгоритм деления многочленов уголком;
• основной способ решения алгебраических уравнений - разложение на множители;
• способы решения систем нелинейных уравнений: подстановка, алгебраическое сложение, введение вспомогательных неизвестных, делением уравнений.

Умеет:

• определять степень многочлена;
• выполнять деление многочленов уголком;
• решать алгебраические уравнения и  системы нелинейных уравнений изученными способами.

Выполнять деление многочлена на многочлен. Знать способы поиска корня алгебраического уравнения. Решать алгебраические уравнения третьей и четвёртой степени. Решать уравнения, сводящиеся к алгебраическим ( в том числе возвратные ). Определять, является ли пара чисел решением данного уравнения с двумя неизвестными; приводить примеры решений уравнений с двумя неизвестными, обозначенные в содержании. Решать задачи, алгебраической моделью которых является система нелинейных уравнений с двумя неизвестными.  Решать системы двух  нелинейных уравнений с двумя неизвестными. Решать текстовые задачи алгебраическим способом: переходить от словесной формулировки условия задачи к алгебраической модели путём составления системы уравнений; решать составленную систему уравнений; интерпретировать результат.

3

Степень с рациональным показателем.

( 11 часов )

Степень с целым показателем и её свойства. Возведение числового неравенства в степень с натуральным показателем. [Корень n-й степени, степень с рациональным показателем.]

Знает и понимает:

• понятие степени с целым показателем;
• основные свойства степени с целым показателем;
• определение стандартного вида числа;
• понятия корня n-й степени и степени с рациональным показателем;
• свойства арифметического корня n-й степени;
• свойство возведения в степень числового неравенства.

Умеет:

• выполнять основные действия со степенями с целыми показателями;
• вычислять значения числовых выражений и выполнять преобразования простейших выражений, содержащих степень с целым показателем.

Сравнивать и упорядочивать степени с целыми и рациональными показателями, выполнять вычисления с рациональными числами, вычислять значения степеней с целым показателем. Формулировать определение арифметического корня натуральной степени из числа. Вычислять приближённые значения корней, используя при необходимости калькулятор; проводить оценку корней. Применять свойства арифметического корня для преобразования выражений. Формулировать определение корня третьей степени; находить значения кубических корней, используя при необходимости калькулятор. Исследовать свойства кубического корня, проводя числовые эксперименты с использованием  калькулятора, компьютера. Возводить числовое неравенство с положительными левой и правой частью в степень. Сравнивать степени с разными основаниями и равными показателями. Формулировать определение степени с рациональным показателем, применять свойства степени с рациональным показателем при вычислениях.  

4

Степенная функция.

( 16 часов )

Область определения функции. Возрастание и убывание функции. Чётность и нечётность функции. Функция y = k/x.

Знает и понимает:

• понятия: область определения, чётность и нечётность функции, возрастание и убывание функции на промежутке;
• понятие обратной пропорциональности;
• свойства функции y=k/x, название её графика.

 Умеет:

• находить область определения функции;
• находить промежутки возрастания и убывания функции с помощью графика, рассматриваемой функции;
• определять чётность и нечётность функции;
• исследовать функции по заданному графику.

Вычислять значения функций, заданных формулами (при необходимости использовать калькулятор); составлять таблицы значений функций. Формулировать определение функции. Строить по точкам графики функций. Описывать свойства функции на основе её графического представления (область определения, множество значений, промежутки знакопостоянства, четность, нечетность, возрастание, убывание, наибольшее, наименьшее значения). Интерпретировать графики реальных зависимостей. Использовать функциональную символику для записи разнообразных фактов, связанных с функциями y=x3,

Y= , y=, y=, обогащая опыт выполнения знаково-символических действий. Строить речевые конструкции с использованием функциональной терминологии. Исследования графиков функций в зависимости от значений коэффициентов, входящих в формулу. Распознавать виды изучаемых функций. Строить графики указанных функций ( в том числе с применением движений графиков ); описывать их свойства. Решать простейшие уравнения и неравенства, содержащие степень. Решать иррациональные уравнения.

5

Прогрессии.

( 13 часов )

Числовая последовательность. Арифметическая и геометрическая прогрессии. Формулы n-го члена и суммы n первых членов арифметической и геометрической прогрессий.

Знает и понимает:

• определения арифметическая и геометрическая прогрессии;
• формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий;
• формулы суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий

Умеет:

• распознавать арифметические и геометрические прогрессии;
• решать задачи с применением формулы общего члена и суммы первых нескольких членов.

Применять индексные обозначения, строить речевые высказывания с использованием терминологии, связанной с понятием последовательности. Вычислять члены последовательностей, заданных формулой n – го члена или рекуррентной формулой. Устанавливать закономерность в построении последовательности, если выписаны первые несколько её членов. Изображать члены последовательности  точками на координатной плоскости. Распознавать арифметическую и геометрическую прогрессии при разных способах задания. Выводить на основе доказательных рассуждений формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых n членов арифметической и геометрической прогрессий; решать задачи с использованием этих формул. Доказывать характеристические свойства арифметической и геометрической прогрессий, применять эти свойства при решении задач. Рассматривать примеры из реальной жизни, иллюстрирующие изменение процессов в арифметической прогрессии, в геометрической прогрессии; изображать соответствующие зависимости графически. Решать задачи на сложные проценты, в том числе задачи из реальной практики (с использованием калькулятора).  

6

Случайные события.

( 12 часов )

События невозможные, достоверные, случайные. Совместные и несовместные события. Равновозможные события. Классическое определение вероятности события. Представление о геометрической вероятности. Решение вероятностных задач с помощью комбинаторики. Противоположные события и их вероятности. Относительная частота и закон больших чисел. Тактика игр, справедливые и несправедливые игры.

Знает и понимает:

Находить вероятность события в испытаниях с равновозможными исходами (с применением классического определения вероятности). Проводить случайные эксперименты, в том числе с помощью компьютерного моделирования, интерпретировать их результаты. Вычислять частоту случайного события; оценивать вероятность с помощью частоты, полученной опытным путём. Приводить примеры достоверных и невозможных событий. Объяснять значимость маловероятных событий в зависимости от их последствий. Решать задачи на нахождение вероятностей событий, в том числе с применением комбинаторики. Приводить примеры противоположных событий. Решать задачи на применение представлений о геометрической вероятности. Использовать при решении задач свойство вероятностей противоположных событий.  

7

Случайные величины.

( 10 часов )

Таблицы распределения значений случайной величины. Наглядное представление распределения случайной величины: полигон частот, диаграммы круговые, линейные, столбчатые, гистограмма. Генеральная совокупность и выборка. Репрезентативная выборка. Характеристики выборки: размах, мода, медиана, среднее. Представление о законе нормального распределения.

Знает и понимает:

Организовывать информацию и представлять её в виде табличных и круговых диаграмм. Строить полигоны частот. Находить среднее арифметическое, размах, моду и   медиану совокупности числовых данных. Приводить содержательные примеры использования средних значений для характеристики совокупности данных (спортивные показатели, размеры одежды и др.). Приводить содержательные примеры генеральной совокупности, произвольной выборки из неё и репрезентативной выборки.

8

Множества и логика (7 часов)

Повторение курса алгебры.

( 15 часов )

Решение задач по курсу алгебры 7-9 классов.

№ п/п

Тема, количество часов

Содержание

Требования к результату обучения

Характеристика основных видов деятельности ученика (на уровне учебных действий)

1

Вводное повторение 2 часа

Решение задач за курс геометрии 8 класса

2

Векторы, 12 часов

Вектор. Координаты, длин (модуль) вектора, равенство векторов. Операции над векторами: умножения на число, сложения, разложения. Угол между векторами. Координаты середины отрезка. Формула расстояния между двумя точками плоскости. Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке. Средняя линия трапеции.

Знать: понятие вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов;

Уметь: строить сумму и разность двух векторов двумя способами;

Уметь умножать вектор на число

Применять полученные знания  

при изучении физики, при решении геометрических задач.

Формулировать определения и иллюстрировать понятия вектора, его длины, коллинеарных и равных векторов; мотивировать введение понятий и действий, связанных с векторами, соответствующими примерами, относящимися к физическим векторным величинам; применять векторы и действия над ними при решении геометрических задач.

3

Метод координат, 10 часов

Синус, косинус, тангенс, котангенс углов от 0 до 180°, приведение к острому углу. Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла. Теорема косинусов и теорема синусов, примеры их применения для вычисления элементов треугольника. Формулы, выражающие площадь треугольника : через две его стороны и угол между ними; через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона. Скалярное произведение векторов

Знать: понятие координат вектора, правила действий над векторами с заданными координатами;

Уметь: вычислять длину вектора по его координатам, длину отрезка и координаты его середины, уравнение прямой и окружности. Применять знания для изучения геометрических фигур с помощью методов алгебры

Объяснять и иллюстрировать понятия прямоугольной системы координат, координат точки и координат вектора; выводить и использовать при решении задач формулы координат середины отрезка, длины вектора, расстояния между двумя точками, уравнения окружности и прямой.

4

Соотношения между сторонами и углами треугольника. Скалярное произведение векторов. 14 часов

Многоугольник, выпуклый многоугольник, сумма углов выпуклого многоугольника; вписанный и описанный многоугольник, правильный многоугольник. Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Длина окружности, длина дуги, градусная мера угла, число π, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Площадь треугольника через периметр  и радиус вписанной окружности, площадь круга и кругового сектора.

Знать определения синуса, косинуса и тангенса угла; теоремы синусов и косинусов; основные алгоритмы решения произвольных треугольников;

Уметь использовать алгоритмы при решении задач;

Знать определение угла между векторами , скалярного произведения векторов;

Знать формулу, выражающую площадь треугольника через две стороны и угол между ними.

Применять  приобретённые знания для решения треугольников при решении геометрических задач,

применять знания при решении практических задач, в том числе на местности.

Формулировать и иллюстрировать определения синуса, косинуса и тангенса углов от 0 до 180°; выводить основное тригонометрическое тождество и формулы приведения; формулировать и доказывать теоремы синусов и косинусов, применять их при решении треугольников; объяснять, как используются тригонометрические формулы в измерительных работах на местности; формулировать определения угла между векторами и скалярного произведения векторов; выводить формулу скалярного произведения векторов через координаты векторов; формулировать и обосновывать утверждение о свойствах скалярного произведения; использовать скалярное произведение при решении задач.

5

Длина окружности и площадь круга. 12 часов

Понятие правильного многоугольника; сектора и сегмента  Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника. Длина окружности, длина дуги, градусная мера угла, число π, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности. Площадь треугольника через периметр  и радиус вписанной окружности, площадь круга и кругового сектора.

Знать формулы связывающие аn, r, R, Sn, Pn; длины окружности и площади круга, Sсектора, S ∆ по формуле Герона;

Уметь решать задачи с использованием этих формул

Применять изученные формулы при изучении других предметов, на практике

Получить интуитивное представление о пределе последовательности периметров правильных многоугольников, вписанных в окружность.

Формулировать определение правильного многоугольника; формулировать и доказывать теоремы об окружностях, описанной около правильного многоугольника и вписанного в него; выводить и использовать формулы для вычисления площади правильного многоугольника, его стороны и радиуса вписанной окружности; решать задачи на построение правильных многоугольников; объяснять понятия длины окружности и площади круга; выводить формулы для нахождения длины окружности и длины дуги, площади круга и площади кругового сектора; применять эти формулы для решения задач.

6

Движения 9 часов

Геометрические преобразования. Примеры движений фигур. Симметрия фигур. Осевая симметрия и параллельный перенос. Поворот и центральная симметрия. Понятие о гомотетии. Подобие фигур

Знать что такое симметрия фигур: осевая симметрия, параллельный перенос, поворот, центральная симметрия; гомотетия и подобие фигур.

Уметь: строить образы точек, отрезков, треугольников при симметриях, параллельном переносе, повороте.

Применять изученный материал в практической деятельности, на уроках МХК, черчения.

Объяснять, что такое отображение плоскости на себя и в каком случае оно называется движением плоскости; объяснять, что такое осевая симметрия, центральная симметрия, параллельный перенос и поворот; обосновывать, что эти отображения плоскости на себя являются движениями; объяснять, какова связь между движениями и наложениями; иллюстрировать основные виды движений, в том числе с помощью компьютерных программ.

7

Начальные сведения из стереометрии, 5 часов

Предмет стереометрия. Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений. Примеры разверток. Объем тела. Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра, конуса.

Уметь изображать пространственные тела на бумаге; строить не сложные сечения этих тел плоскостями;

Знать формулы объема куба, параллелепипеда, шара, цилиндра и конуса.

Применять изученный материал в практической деятельности при вычислении площади поверхности и объёма.

Объяснять, что такое многогранник, его ребра и грани, вершины, диагонали, какой многоугольник называется выпуклым, что такое п-угольная призма, ее основания, боковые грани, боковые ребра, какая призма называется прямой и наклонной, что такое высота призмы, какая призма называется параллелепипедом и какой параллелепипед называется прямоугольным; формулировать и обосновывать утверждения о свойстве диагоналей параллелепипеда и о квадрате диагонали прямоугольного параллелепипеда; объяснять, что такое объем многогранника; выводить (с помощью принципа Кавальери) формулу объема прямоугольного параллелепипеда; объяснять, какой многогранник является пирамидой, что такое основание, вершина, боковые грани, боковые ребра и высота пирамиды, какая пирамида называется правильной, что такое апофема правильной пирамиды, приводить формулу объема пирамиды; объяснять, какое тело называется цилиндром, что такое его ось, высота, основания, радиус, боковая поверхность, образующие, развертка боковой поверхности, какими формулами выражаются объем и площадь боковой поверхности цилиндра; объяснять, какое тело называется конусом, что такое его ось, высота, основание, боковая поверхность, образующие, развертка боковой  поверхности, какими формулами выражаются объем и площадь боковой поверхности конуса; объяснять, какая поверхность называется сферой и какое тело называется шаром, что такое радиус и диаметр сферы (шара), какими формулами выражаются объем шара и площадь сферы; изображать и распознавать на рисунках призму, параллелепипед, пирамиду, цилиндр, конус и шар.

8

Об аксиомах планиметрии, 5 часа

Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии, пятом постулате Евклида и его истории

Понимать:

• аксиоматическое построение геометрии;
• основные аксиомы евклидовой геометрии, геометрии Лобачевского.

9

Повторение 4 часов

Решение задач за курс геометрии 9 класс