Решение задач на составление уравнений
методическая разработка по математике (6 класс)

Решение задач на составление уравнений

В школьной математике есть целый кладезь текстовых задач, которые решаются универсальным методом построения уравнения (модели) исходя из условия. Сам факт того, что огромное количество самых разнообразных задач поддаются решению с помощью составления линейного уравнения, говорит нам, что метод решений является действительно универсальным. Обычно условия задач удается перевести на математический язык. Полученное уравнение - это следствие перевода нашего условия с русского языка на язык алгебры. Зачастую фактической стороной повествования задачи является описание реальной ситуации, какого-либо процесса, события. Чтобы получить ответ - уравнение нужно решить, полученный корень уравнения будет являться решением, разумеется необходимо еще проверить, не является ли результат противоречивым относительно условия.

Алгоритм решения текстовых задач с помощью уравнений

Для решения задачи с помощью уравнения делают следующие действия:

• Обозначают некоторое неизвестное буквой и, пользуясь условием, составляют уравнение.
• Решают уравнение.
• Истолковывают результат.

Этапы решения задач: 

1. Прочитать задачу.
2. Составить таблицу по условию задачи.
3. Составить уравнение по данным таблицы.
4. Решить уравнение и найти все неизвестные. Записать ответ

Примеры: 

1. В одном бидоне в 3 раза больше молока, чем в другом. Когда из одного бидона перелили в другой 5 литров, молока в бидонах стало поровну. Сколько литров молока было первоначально в каждом бидоне?

Решение: (составим таблицу, обозначив самую маленькую величину через х)

Объяснение: 

1. Читая: «В одном бидоне в 3 раза больше молока, чем в другом.», мы определяем, что наименьшая величина «было во втором бидоне» - обозначим ее через х, тогда «в 3 раза больше» - 3х – в первом бидоне.
2. Затем из первого бидона переливают во второй, то есть в первом стало 3х-5 (л), а во втором стало х+5 (л).
3. Зная, что «молока в бидонах стало поровну», можем составить уравнение:

3х – 5 = х + 5;

3х – х = 5 + 5; 2х = 10; х = 10 : 2; х = 5 (л) – было во втором бидоне.

Найдѐм первоначальное количество молока в первом бидоне.

Так как в первом бидоне было 3х (л) – по таблице, то 3 ∙ 5 = 15 (л) – было в первом бидоне первоначально.

Задача решена полностью. Запишем ответ.

Ответ: 15 л, 5 л.

2. Одна скважина на 3,4 м глубже другой. Если глубину первой скважины увеличить на 21,6 м, а второй - в 3 раза, то обе скважины будут иметь одинаковую глубину. Найдите глубину каждой скважины.

Решение: (определим, что глубже, значит больше)

Так как глубина стала одинаковой, то

(х + 3,4) + 21,6 = 3х; х + 3,4 + 21,6 = 3х; х – 3х = - 3,4 – 21,6;

-2х = - 25; х = - 25: (-2); х = 12,5 (м) – глубина второй скважины.

12,5 + 3,4 = 15,9 (м) – глубина первой скважины.

Ответ: 15,9 м, 12,5 м.

3. У двух братьев поровну орехов. Если старший брат отдаст младшему 10 орехов, то орехов у него станет в 5 раз меньше, чем у младшего. Сколько орехов у каждого брата?

(Эта задача отличается от двух предыдущих, так как в ней поровну было, и необходимо найти сколько орехов стало у каждого брата. Поэтому составление таблицы будет происходить в «обратном порядке»: от стало к было.)

 Так как мы составляем таблицу в «обратном» порядке, то и в столбце было, мы запишем обратные действия. То есть, мы у младшего брата заберем орехи и вернем их старшему брату.

Зная, что было поровну, составим уравнение:

х + 10 = 5х – 10; решая его, получим: х = 5 (ор.) – стало у старшего брата.

5 ∙ 5 = 25 (ор.) – стало у младшего брата.

Ответ: 5 ор., 25 ор.