Исследовательская работа
статья по теме

Исследовательская работа

Ведущая педагогическая идея

Ведущей педагогической идея данного педагогического опыта заключается в том, что развитие интеллектуальных качеств личности школьников, таких как, способность к "видению" проблемы, обобщению, к оценочным действиям, к широкому переносу, самостоятельность, гибкость, критичность, диалектичность мышления и т. д. достигается с помощью включения учащихся в активную исследовательскую деятельность.

Автором работы решаются следующие задачи:

• Выявление наиболее одарённых учащихся в области математики и развитие их творческих способностей.
• Совершенствование умений и навыков самостоятельной работы учащихся.
• Активное включение учащихся в процесс самообразования и саморазвития.
• Организация научно-исследовательской деятельности учащихся для повышения уровня знаний в области математики и профориентации.
• Знакомство учащихся с методами и приёмами научного познания.

Теоретическая база опыта

В основу данного опыта положена концепция развивающего обучения. Её идеи и принципы формировались под влиянием психологов Л.С. Выгоцкого и Н.А. Менчинской.

Теоретические положения получили развитие в работах педагогов В.В. Давыдова, Д.Б. Эльконина, П.Я. Гальперина, Л.В. Занкова и других.

Сущность развивающего обучения заключается в создании условий, при которых в процессе обучения ученик становится его субъектом (Г.В. Ренкина, Е.В. Заика). При такой организации учебного процесса учащийся должен ощущать потребность и способность к самоизменению, он должен приобрести мотив к саморазвитию. Субъективность ученика означает, что он знает свои действия: как, с помощью каких средств и для чего он выполняет задания, что при этом изменится в нём самом и нужно ли ему это.

Ряд учёных (Л.С. Выгоцкий, В.В. Давыдов, П.Я. Гальперина, Н.Ф. Талызина, А.П.Кушнир и др.) сформулировали принципы, следуя которым обучение можно сделать развивающим. Наиболее важными из них, относящиеся, в том числе к исследовательской деятельности, являются следующие принципы:

• Учебный процесс должен вызывать личную заинтересованность ученика в усвоении материала и данного вида деятельности.
• При разработке содержания занятий нужно проектировать учебный процесс так, чтобы ученик решал задачи и проблемы, опираясь на зону своего актуального развития, а выполнение работы привело бы его в зону ближайшего развития. То есть для решения поставленных задач должны требоваться размышления, коллективные обсуждения, выдвижение гипотез и их проверка, обращение к литературе, наблюдения, исследования, консультации.
• Для эффективного развития учеников важно предусмотреть для каждого из них "ситуацию успеха", т. е. предлагать такие задачи и учебные действия, с которым ребёнок обязательно справится.
• Предлагаемый учебный материал должен обладать высоким уровнем трудности.
• Ученик должен понимать процесс учения.

На стимулирование интереса учащихся к различным наукам, выявление талантливых детей и поддержку их на государственном уровне направлена федеральная программа "Одарённые дети" и президентская программа "Дети России". На основе этих программ преподавателями кафедр общей физики, высшей математики и кафедры вычислительных систем и автоматизации научных исследований МФТИ была разработана программа "Развитие учебно-исследовательской деятельности учащихся" Авторы программы надеются, что исследовательская работа в рамках предложенной программы, адоптированной для данного учебного заведения, поможет учителям общеобразовательных школ в их работе с одарёнными детьми.

Новизна опыта

Новизна опыта состоит в самом подходе к организации исследовательской деятельности учащихся в курсе математике. А также в специфике составления конкретных математических задач исследовательского характера.

Технология опыта

Исследования в гимназии проходят в рамках ученических научных обществ или индивидуально под руководством учителей предметников. Можно выделить следующие основные этапы организации работы с учащимися:

I этап: Знакомство с основами исследовательской деятельности:
- понятийным аппаратом (направление и актуальность, тема и проблема, предмет и объект, гипотеза, цель, задачи; новизна и значимость, теоретическая основа и база исследования);
- методами исследования (теоретические методы: анализ и синтез, сравнение, обобщение, классификация, моделирование, аналогия, абстрагирование и т. д. эмпирические методы: наблюдение, эксперимент, беседа);
- требованиями, предъявляемыми к оформлению работы.

II этап: Выбор и определение темы исследования. 
На занятиях научного общества этого этапа учитель предлагает учащимся список тем, в которых можно провести исследования. Темы подбираются в зависимости от состава участников научного общества, при этом учитывается субъективная и объективная значимость работы; интерес и доступность изучаемого вопроса; возрастные особенности учащихся, уровень математической подготовки и профиль класса, в котором они обучаются.

Рассмотрению каждой темы посвящается одно занятие, которые также носят исследовательский характер (см. приложение 1). Здесь совместно с учащимися выделяются основные понятия, составляется план изучения темы, решаются "ключевые" задачи, выделяются проблемы и первоначальные цели исследования, даётся обзор литературы. В итоге учащиеся должны самостоятельно выбрать тему исследования.

Далее работа проходит в индивидуальном порядке.

III этап: Обзор литературы по выбранной теме. 
На этом этапе учащиеся составляют список литературы по исследуемому вопросу; изучают теорию и историю проблемы по литературным источникам; осмысляют собранный материал.

IV этап: Исследование.
Здесь учащиеся выделяют задачи исследования и выдвигают гипотезы для её решения; проверяют гипотезы, проводя теоретические или экспериментальные исследования; обрабатывают полученные результаты. Работая над темой, они советуются с руководителем работы, рассказывают ему о своих трудностях и успехах. Учитель при этом корректирует и контролирует ход выполнения работы.

Vэтап: Текстовое оформление работы.

VI этап: Выступление учащихся с результатами исследования или защита работы на заседании научного общества, конференциях различного уровня. 
Несколько слов скажем о структуре исследовательской работы. Работа состоит из введения, основной части, исследовательской части, заключения и списка используемой литературы.

В ведении отражается актуальность темы, ставятся основные цели работы, перечисляются основные этапы работы и методы её выполнения. В основной части даётся обзор литературы по изучаемой проблеме. Начать можно с описания истории исследуемого вопроса.

Основная часть работы разбивается на параграфы, которые начинаются с цели и заканчиваются выводом. В каждом параграфе систематизируется и обобщается материал по отдельно рассматриваемому вопросу: строятся сравнительные и обобщающие таблицы; схемы, графики, диаграммы; даётся собственная классификация математических объектов и т. д. В выводе может быть отражена своя точка зрения на рассматриваемый вопрос, сравнение используемых методов решения задачи, промежуточные результаты работы т.д. Таким образом, уже основная часть работы носит творческий и исследовательский характер.

Исследовательская часть начинается с целей и задач. Далее решаются задачи, приводится описание результатов теоретических или экспериментальных исследований. Заканчивается исследовательская часть выводом.

Заключение содержит основные выводы, к которым пришёл учащийся в ходе выполнения всей работы. Здесь можно также представить отношение ученика к своей работе.

Сложнее всего сформулировать задачи исследования. Ведь учащиеся ещё не обладают достаточным уровнем знаний, не владеют приёмами научно-исследовательской деятельности для самостоятельной постановки, а тем более для решения проблем, возникающих в настоящее время перед современной наукой. Чтобы работа для учащихся носила исследовательский характер, а не являлась обзором литературы по изучаемому вопросу (порой сводящемуся к переписыванию готовых фактов), необходимо сформулировать задачи так, чтобы их исследование школьник мог провести самостоятельно, а изученная литература служила лишь источником нужной, для решения поставленной задачи, информации. Важно отметить, что руководитель работы показывает лишь общие подходы к постановке задач исследования. Здесь возможно несколько путей:

1. Изучение и исследование математических задач. 
Можно предложить учащимся:

1) Придумать (или подобрать) и решить математическую задачу по рассматриваемой теме несколькими способами; проанализировать решения и сделать вывод о рациональности того или иного способа (например, в теме "Векторы" учащийся рассмотрел следующую задачу: "Доказать, что отрезки, соединяющие середину каждой стороны основания четырёхугольной пирамиды с точкой пересечения медиан противоположной боковой грани, пересекаются в одной точке. В каком отношении они делятся этой точкой? Решить задачу аналитическим, векторным, координатным методами. Сделать вывод о рациональности способа решения").

2) Составить и решить задачу с меняющимся содержанием условия или с не сформулированным вопросом; проанализировать, как изменится решение, при изменении части условия или вопроса.

3) Сформулировать задачу в общем виде, при решении которой нужно выделить и решить серию более мелких задач (например, в теме "Шар и его свойства" была предложена следующая задача: "Выяснить при каких условиях 5 шаровых поверхностей взаимно касаются друг друга внешним и внутренним образом. Вывести формулу, позволяющую найти радиус одной из сфер, если известны радиусы остальных". Сначала, можно решить задачу при условии, что известные радиусы сфер равны (), а затем при условии, что равны радиусы только трёх сфер и так далее. В конечном итоге необходимо решить задачу, когда радиусы всех сфер разные.

В теме "Построение сечений многогранников" исследовалась задача: "Выяснить, какие многоугольники получатся в результате сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, одна из которых совпадает с вершиной, другая является серединой бокового ребра, а третья принадлежит боковому ребру. (Первые две точки и боковое ребро фиксированы.) Найти площади полученных сечений, при заданных параметрах призмы, в зависимости от положения третьей точки на боковом ребре".
При решении задачи последовательно искались ответы на следующие вопросы:
а) Какие многоугольники могут получиться при сечении данной призмы плоскостью при заданных условиях?
б) На каком расстоянии от одного из концов бокового ребра должна находится "плавающая" точка так, чтобы в сечении получился пятиугольник (шестиугольник)?
в) Чему равна площадь сечения данной призмы плоскостью в каждом случае, если сторона основания равна а, боковое ребро равно b, а расстояние от "плавающей" точки до конца ребра равно x?).

4) Рассмотреть вопрос применения исследуемой темы при изучении смежных предметов. Подобрать и решить соответствующие задачи.

2. Предложить практическое применение темы исследования. Например, в теме "Математическое моделирование в экологии" была разработана методика отслеживания экосистемы в соответствии с ростом и убылью животных. На основе анализа полученной модели выдвинуты гипотезы о причинах резкого спада численности животных в лесах Владимирской области в определённый период времени и найдено подтверждение этим гипотезам в различных литературных изданиях. Сделан прогноз о будущей динамике роста численности популяций животных в этой местности, на основе которого предложен комплекс мер для регулирования численности этой популяции.

А в теме "Теория графов" учащийся усовершенствовал схему автобусных маршрутов г. Владимира).

3. Самостоятельно составить программу, выводящую на экран компьютера изображение исследуемого объекта (например, в теме "Фракталы" была составлена программа, выводящая на экран компьютера салфетку Серпинского порядка n.)

4. Предложить возможность использования темы исследования при изучении отдельных глав математики. Изготовить методические пособия.

5. На основе изученных свойств некоторых математических объектов, сделать поделки, нарисовать картины и т. д. (например, в теме "Золотое сечение" было предложено нарисовать картину, сфотографировать природу, вылепить из пластилина или глины фигуру, выполнить макет здания, удовлетворяющего правилу золотого сечения). и т. п.

Предполагается, что учащийся выберет тему, изучит соответствующую литературу, сформулирует постановку задачи, проведёт теоретические или экспериментальные исследования, а затем напишет исследовательскую работу.

Приложения

Приложение 1. 

На одном из занятий научного общества разбиралась тема исследования: "Симметрия живой и неживой природы". Накануне состоялся урок по теме: "Виды движения". Урок был составлен на основе мастерской построения знаний А. А. Окунева, которая была опубликована в его учебном пособии "Углублённое изучение геометрии в 9 классе". Приведём несколько другие варианты заданий этой мастерской.

Тема: Виды движений.

Теперь приведём задания, которые разбирались на занятиях научного общества:

Тема: Симметрия живой и неживой природы.

Приложение 2.

Тематика исследовательских работ учащихся. Введение. Учебно-исследовательские темы, предложенные учащимся за последние 5 лет, охватывали многие разделы математики. Это теория чисел, алгебра, математический анализ, планиметрия, стереометрия, векторная алгебра. Рассматривались как вопросы, имеющие богатую историю, так и вопросы, которые получили развитие в последние десятилетия. В каждой теме можно выделить проблемы, провести теоретические и экспериментальные исследования. Тема исследования для каждого учащегося подбиралась индивидуально. При этом учитывалась субъективная и объективная значимость работы; интерес и доступность изучаемого вопроса; возрастные особенности учащегося и профиль класса, в котором обучается гимназист.

Предложенная на рассмотрение тематика исследовательских работ, начинается с некоторого введения, в котором рассматриваются некоторые аспекты актуальности темы, ценность работы для учащихся. Далее даётся примерное содержание основной части работы. Для изучения темы и оформления работы не обязательно рассматривать все пункты, а лишь те которые необходимы для решения поставленных задач исследования. Содержание работы учащиеся составляли самостоятельно, с некоторой корректировкой руководителя работы.

Каждая тема начинается с вводной части, имеет содержание основной части, задачи исследования и заканчивается списком используемой литературы по этой теме.

Тема: "Фракталы".

Тема: "Векторы"

Тема: "Математическое моделирование в экологии".

Тема: "Построение сечений многогранников".

Тема: "Задачи на построение".

Тема: "Сфера и шар".

Тема: "Число е и функция экспоненциального роста".

Тема: "Золотое сечение".

Тема: "Симметрия живой и неживой природы".

Тема: "Теория графов".

Тема: "Аналитические и графические приёмы решения заданий с параметрами".

Приложение 3.

Сценарий праздника "Сказка о земляках-математиках"

Результативность

Одним из показателей результативности работы в данном направлении могут служить показатели роста числа учащихся, подготовивших исследовательские работы под руководством автора представленного опыта, что говорит об увеличении интереса к исследовательской деятельности в области математики.

Другим показателем результативности можно считать успешное выступление учащихся, занимавшихся в математической секции научного общества гимназии, на школьных и городских конференциях, городских и областных математических олимпиадах.
1. Пыленкова Евгения – победитель второй городской конференции школьников (тема исследовательского проекта: "Построение сечений многогранников"), неоднократный призёр городских и областных математических олимпиад.
2. Котова Екатерина – победитель второй городской конференции школьников ( тема исследовательского проекта: "Математическое моделирование в экологии").
3. Янюшина Мария – второй призёр городской конференции школьников (тема исследовательского проекта: "Построение сечений геометрических тел").
4. Курзанова Ольга – неоднократный призёр городских, участница областных математических олимпиад.
5. Садков Сергей, ученик 6 класса, награждён поощрительным призом на 3 городской конференции школьников за защиту исследовательской работы по теме: "Теория графов", один из призёров международной математической игры "Кенгуру" (его результат вошёл в 20 - ку лучших в России).
6. Айзин Александр – неоднократный победитель районных, призёр городских и областных математических олимпиад, призёр заочной всероссийской олимпиады.
7. Фомичёва Елена – неоднократный победитель районных, призёр городских и областных математических олимпиад.
8. Донсков Алексей – призёр городской математической олимпиады.

Как положительный результат работы можно оценить выбор практически всеми учащимися, занимавшимися исследовательской деятельностью профессии, связанной с изучением математики. Многие из них продолжают заниматься исследованиями в высших учебных заведениях.
1. Пыленкова Евгения – студентка МФТИ, ФАКИ, специальность – прикладная математика.
2. Фомичёва Елена – студентка МГУ, экономический факультет.
3. Кучеров Антон – студент МГТУ им. Баумана, факультет информатики и систем управления.
4. Комкова Лидия – студентка МЭСИ, специальность – математические методы в экономике.
5. Манькова Вероника – ГУУ, факультет инноватики и логистики.
6. Котова Екатерина, Янюшина Мария, Айзин Александр, Донсков Алексей, Лопухова Ольга – студенты ВлГУ, факультет информатики и прикладной математики.
7. Курзанова Ольга, Бородина Татьяна, Удачина Екатерина, Геранина Екатерина, Островская Диана – студенты ВлГУ, экономический факультет.
8. Егорова Анна – студентка ВГПУ, физико-математический факультет. и т. д.

Адресная направленность опыта

Данный опыт может быть использован как учителями математики, так и преподавателями естественнонаучных дисциплин.

Актуальность и перспективность опыта

России, как и любой другой стране, нужны умные, творчески мыслящие люди. Помочь нашей стране преодолеть экономический кризис и поддержать рост экономики, могут только высококвалифицированные специалисты, хорошо разбирающиеся во всех областях экономики. Без новых открытий, идей в естественно-математических науках, составляющих основу современного образования, этого добиться практически невозможно. Работа с талантливыми детьми позволит сохранить интеллектуальную элиту государства, а, следовательно, и существование самого государства. В связи с этим одной из главных задач школы является активизация поиска одарённых детей, развития интеллектуальных способностей всех учащихся, а особенно тех, которые проявляют интерес к исследовательской деятельности. Таким образом, данный опыт способствует выполнению социального заказа общества, реализацией задач, стоящих перед школой.

Автор опыта решает проблему развития творческого мышления учащихся с помощью включения их в активную исследовательскую деятельность, осуществляемую на занятиях секции НОУ.

Организация работы с одарёнными детьми в рамках НОУ - это одно из новых направлений работы школы. Чем наполнить содержание занятий секций НОУ? Какие темы исследования можно предложить школьникам? Как научить учащихся самостоятельно провести наблюдения, сформулировать проблему исследования, выдвинуть гипотезу, спланировать эксперимент, объяснить наблюдаемые факты? Какие математические задачи исследовательского характера можно предложить учащимся для рассмотрения? Эти и другие вопросы возникают у учителей, которые организуют исследовательскую работу с учащимися. Свои ответы на некоторые из этих вопросов даёт автор данного опыта. В связи с тем, что нет единых для всех методик работы в данном направлении, строго регламентирующих деятельность педагога, каждый учитель вправе выбрать методику, близкую себе и работать по ней. Поэтому данный опыт приобретает для учителей объективную и субъективную значимость.

Тема: Виды движений.

Работа идёт в группах по 4 человека или парах.

1. Учащимся предлагается рассмотреть различные рисунки, где одна фигура получается из другой с помощью некоторого преобразования; распределить их по группам и ответить на следующие вопросы:
- По какому признаку вы объединили рисунки в каждую из групп?
- Как бы вы назвали эти группы?
Учащиеся сначала фиксируют ответы на вопросы в тетради, а затем делятся своими мыслями с классом. Обсуждаются все ответы. Выделяются самые удачные, на взгляд учащихся, разбиения рисунков на группы.

2. Учитель читает определение из учебника: " Если на плоскости фигура F' равна фигуре F, то существует некоторое движение, которое переводит F в F'. Оказывается, что на плоскости существуют только 4 вида движений:
- симметрия относительно прямой (осевая симметрия);
- параллельный перенос на вектор, равный данному;
- поворот вокруг некоторой точки на угол, равный данному (частный случай - центральная симметрия);
- скользящая симметрия.
Одним из этих движений и переводится F в F'."
Текст читается ещё раз, ученики фиксируют главные мысли. Учитель просит учащихся ответить на следующие вопросы:
- Есть ли среди выбранных вами групп движения те, которые сформированы по видам движения?
- Какие преобразования фигур получены, на ваш взгляд, с помощью осевой симметрии (параллельного переноса, поворота, скользящей симметрией)?
- Совпадает ли названия групп, данные вами и автором учебника?

3. Каждому ученику предлагается выбрать какой-нибудь вид движения. И нарисовать в тетради любые 2 равные фигуры, которые можно перевести друг в друга при помощи выбранного движения. Формируются новые группы учеников по 3-5 человек по виду выбранного движения. Отдельно выделяется группа, предстоящей изучить центральную симметрию. Хорошо если по каждому виду движений будет работать чётное число групп, для дальнейшего обмена информации между ними.

4. Учитель просит ещё раз прочитать текст утверждения и сформулировать в группах серию вопросов, проблем, которые необходимо решить по этой теме.

Возможные вопросы:
- Почему на плоскости существуют всего 4 вида движения?
- Что называется осевой симметрией, параллельным переносом, поворотом вокруг точки, скользящей симметрией?
- Как доказать, что осевая симметрия, параллельный перенос, поворот вокруг точки, скользящая симметрия являются движением?
- Могут ли, равные фигуры F и F' переводится друг в друга несколькими видами движений?
- Можно ли сказать, что из всех преобразований плоскости только 4 являются движением?
Все вопросы учитель записывает на доске. Учитель предлагает свои вопросы, которые учащимся не удалось выделить и обещает, что в ходе уроков на все вопросы будут найдены ответы.

5. Группам предлагается наметить план, по которому они будут описывать выбранный вид движения.

После обсуждения учащиеся озвучивают свои планы, которые учитель фиксирует на доске. Группы корректируют свои планы. Учитель предлагает свой план исследования движения:
1) Определение.
2) Способ задания.
3) Доказательство, что данное преобразование есть движение.
4) Свойства.
5) Применение для решения задач. Выбирается наиболее удачный план. Начинаем исследование темы по плану.

6. Учащиеся выбирают рисунки, где изображено преобразования, соответствующие выбранному ими виду движения. Учитель просит проанализировать, сравнить рисунки и ответить на вопросы:
- Какие существенные и несущественные признаки объектов вам удалось выделить?
- Как можно проранжировать, выделенные вами признаки?
- По каким существенным признакам данные объекты сходны? Перечислите их.
- Какие из этих признаков можно взять за основу определения?
- Какие определения вам удалось сформулировать? Какое из них вы считаете наиболее удачным? Почему? и т. д.
Слушаем каждую из групп. Обсуждаем предложенные определения. Вместе их корректируем. Читаем определения, предложенные авторами учебника. Сравниваем.

7. Группам предлагается, используя разные определения, доказать различными способами, что выбранное ими преобразование является движением. На работу даётся 15 минут. Затем каждая группа получает кусок доски, на котором выполняет чертежи, записывает основные математические выкладки.

8. Защита группой результатов своих исследований. Выделение правильного и рационального способа доказательства. Читаем доказательства, предложенного авторами учебника. Сравниваем.

9. Свойства видов движения рассматриваем аналогично.

10. Группам предлагается решить задачи.

Группа: "Осевая симметрия". 
Две деревни А и В находятся по одну сторону от прямого шоссе а. В какой точке С на шоссе а надо устроить остановку автобуса, чтобы сумма расстояний АС + СВ была кротчайшей?

Группа: "Параллельный перенос". 
Где следует построить мост через реку, разделяющие пункты А и В, чтобы путь АР + РН + НВ был кратчайшим? Берега реки считаются параллельными прямыми а и b, а мост РН строится перпендикулярно берегам реки.

Группа: "Поворот".
В остроугольном треугольнике найдите такую точку, чтобы сумма её расстояний до вершин треугольника была наименьшей. Группа: "Центральная симметрия". Построить отрезок, концы которого лежат на данных фигурах F и F', а середина находится в данной точке О.

11. Группы рассказывают своё решение. Корректируем их.

12. Подводим итоги урока. Выясняем удачные и неудачные моменты урока. Выделяем вопросы, поставленные в начале урока, на которые нашли ответы. Намечаем вопросы, на которые ещё предстоит ответить. 13. Учитель знакомит учащихся со списком литературы, где учащиеся смогут познакомиться с этой темой более подробно. Теперь приведём задания, которые разбирались на занятиях научного общества.

Тема: Симметрия живой и неживой природы.

1. Учащимся предлагается назвать, известные им геометрические фигуры, обладающие "внутренней" симметрией, определить соответствующий вид движения.

2. Учитель просит учащихся рассмотреть теперь модели геометрических тел (многогранники, конусы, цилиндры, шары), выделить в них элементы симметрии и сформулировать вопросы, которые у них возникли при выполнении этого задания.

Возможные вопросы:
- Сколько видов движения существуют в пространстве?
- Как они называются, и какие они имеют определения?
- Как доказать, что выделенные виды преобразования пространства действительно являются движениями?
- Какие элементы симметрии на плоскости встречаются в пространстве.

3. По отработанному на уроке плану учащиеся вместе с учителем вводят понятие зеркальной симметрии; делают вывод о том, что в пространстве в отличие от плоскости появляется ещё только один вид движения. Доказать, что зеркальная симметрия является движением, что в пространстве существует только 5 видов движения, выделить и доказать их свойства, предоставляется ученику, выбравшему для исследования эту тему, самостоятельно.

4. Учитель демонстрирует наглядный материал: репродукции картин известных художников, макеты архитектурных сооружений, в основе которых лежит принцип симметрии; рисунки бордюров, обои; фотографии насекомых, птиц, животных; модель кристаллической решётки и т. д. Ученики сначала объединяют их в группы по одному из существенных признаков, а затем выясняют, как тема исследования связана с рассмотренными объектами.

5. Учитель просит учащихся предложить возможные цели и задачи исследования. Ответы выслушиваются, но не обсуждаются и не комментируются.

6. Учитель напоминает список литературы и даёт характеристику некоторых источников.

Тема: "Фракталы".

В последнее время появилось ещё одно, совершенно новое направление в математике - фрактальная геометрия. Большой вклад в развитие этого направления внесли такие учёные как Мандельброт, Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф, Рихтер и другие. Особенно хочется отметить нашего земляка, доктора физико-математических наук, профессора ВГПУ Жикова Василия Васильевича.

Общепринятого определения множеств, называемых фракталами пока нет. А те определения, которые есть, достаточно сложны. Получить представления о фракталах, можно рассматривая конкретные примеры.

Фракталы - это множества дробной размерности, нечто промежуточное между точками и линиями, линиями и поверхностями, поверхностями и телами. Их можно представить как самоподобные геометрические фигуры, малые части которых после увеличения выглядят также или почти так же, как вся фигура.

Фракталы поразили математиков своей загадочностью, необычностью и самозавершённостью. На первых порах они рассматривались как "патологические" объекты, однако, совершенно неожиданно, выяснилось, что многие реальные объекты в физике, биологии и других естественных науках имеют фрактальную структуру. Фрактальны слитки металла и горные породы; расположение ветвей, узоры листьев, капиллярная система растений; кровеносная, нервная, лимфатическая системы в организмах животных и человека; речные бассейны, поверхность облаков, линии морских побережий, горный рельеф. Это придало новый импульс вопросам изучения фракталов и расширения сферы их применения. Уже сейчас апробируется в медицине фрактальный способ лечения.

В программировании уже довольно хорошо утвердился метод фрактального сжатия изображений и информации. Выставка фракталов, построенных с помощью компьютера, потрясла мир, а книга организаторов выставки "Красота фракталов" раскупается как художественный альбом.

Изучение свойств фракталов потребует от юных исследователей углубленных знаний по нескольким разделам математики, порой выходящих за рамки школьной программы. Это теория пределов и множеств, комплексные числа, некоторые разделы геометрии. Работа над данной темой кажется мне красивой, интересной и увлекательной. Особенно полезным это исследование будет для тех ребят, которые собираются посвятить свою жизнь науке.

Примерное содержание основной части работы:
1. История возникновения понятия фрактала.
2. Некоторые сведения о множествах и размерностях (Канторово множество, фрактальная размерность, размерность Хаусдорфа-Безиковича).
3. Множество комплексных чисел.
4. Классификация фракталов.
5. Фракталы и хаос. Салфетка Серпинского.

Задачи исследования:
1. Составить программу, выводящую на экран компьютера салфетку Серпинского порядка n. Рассмотреть зависимость её изображения от числа итераций.
2. Составить программу, выводящую на экран компьютера результаты игры "Хаос".
3. Придумать и построить геометрический фрактал; составить программу, выводящую его на экран компьютера.

Литература.
1. Гарднер М. От мозаик Пенроуза к надёжным шифрам. - М.: Мир, 1993 г.
2. Долбилин Н. Игра "Хаос и фракталы". Журнал " Квант" №4, 1997 г.
3. Жиков В. В. О множествах Жюлиа. Энциклопедия "Современное естествознание", том 3 "Математика. Механика". - М.: Издательский дом Магистр-Пресс, 2000 г.
4. Жиков В. В. Фракталы. Соросовский образовательный журнал № 12, 1993 г.
5. Свиридов В. Красота, очарование, странность. Журнал " Домашний компьютер" № 3, 2001 г.
6. Сорокина Ю. Стык науки и искусства. Журнал " Домашний компьютер" № 8, 2001 г.
7. Пайтген Х. О., Рихтер П. Х. Красота фракталов. - М.: Мир, 1993 г.
8. Ричард М. Фракталы и хаос. Постмаркет. Москва, 2000 г.
9. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991 г.
10. Турбин А.Ф., Працевитый Н.В. Фрактальные множества, функции, распределения. Киев: Наук. Дума, 1992 г.

Тема: "Векторы".

Интерес к векторам и векторному исчислению обусловлен, прежде всего, потребностями механики и физики. Многие важные физические понятия не могут быть описаны с помощью лишь одной численной величины. Векторная алгебра органически объединяет геометрию с алгеброй и математическим анализом, что в своё время привело к прогрессу в развитии математики и её приложений к естественным наукам.

Многие геометрические теоремы, задачи легче, оригинальнее доказываются векторным методом, а некоторые удаётся решить только с введением векторов. Не случайно, на вступительных экзаменах в высшие учебные заведения, предлагают абитуриентам задачи данного вида. К сожалению, в школьном курсе геометрии теме: "Векторы" уделяется мало внимания. Поэтому, эта исследовательская работа приобретает для учащихся объективную и субъективную значимость.

Примерное содержание основной части работы:
1. Понятие вектора. Классификация свободных векторов.
2. Действия с векторами.
3. Линейная комбинация векторов. Разложение вектора по двум не коллинеарным векторам. Разложение вектора по трём некомпланарным векторам.
4. Метод координат. Координаты точки и координаты вектора. Прямоугольная, аффинная, полярная системы координат. Базис.
5. Скалярное произведение векторов.
6. Центроид системы точек. Условия принадлежности трёх точек одной прямой. Условия принадлежности четырёх точек одной плоскости.
7. Вычисление расстояний и углов.
8. Выделение типов задач по методу их решения. Примеры решения задач.

Задачи исследования: 
1. Доказать теорему Чевы (Пусть точки лежат на сторонах ВС, АС, АВ треугольника АВС. Тогда отрезки пересекаются в одной точке в том случае, если = 1) аналитическим и векторным способом. Сделать вывод о рациональности способа доказательства теоремы.
2. Доказать, что сумма квадратов всех сторон параллелограмма равна сумме квадратов его диагоналей аналитическим, векторным, координатным методами. Сделать вывод о рациональности способа доказательства.
3. Доказать утверждение: Середины оснований трапеции, точка пересечения её диагоналей и точка пересечения боковых сторон лежат на одной прямой. Сформулировать и доказать обратное утверждение. На основе данных утверждений сформулировать и решить задачи на построение с помощью одной линейки (Задача 1: Даны два параллельных отрезка. Постройте середины данных отрезков. Задача 2: Даны две параллельные прямые и точка лежащая между ними. Через данную точку проведите прямую, параллельную этим прямым).
4. В трапеции ABCD отношение длин оснований AD : BC = 3 : 1. Точка О - точка пересечения диагоналей трапеции, точка Е - точка пересечения продолжений боковых сторон, а точка М - середина стороны CD. Представьте вектор AD в виде линейной комбинации векторов ОЕ и ОМ, используя разложение вектора по базису.
5. Доказать, что отрезки, соединяющие середину каждой стороны основания четырёхугольной пирамиды с точкой пересечения медиан противоположной боковой грани, пересекаются в одной точке. В каком отношении они делятся этой точкой? Решить задачу аналитическим, векторным, координатным методами. Сделать вывод о рациональности способа решения.

Литература. 1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б и др. Учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1991 г.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б и др. Учебник для 10 -11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1993 г.
3. Баврин И.И. Курс высшей математики. Учебное пособие для студентов педагогических институтов по специальности "Физика". - М.: Просвещение, 1992 г.
4. Бакельман И. Я. Аналитическая геометрия и линейная алгебра. Учебное пособие для студентов педагогических институтов по специальности "Физика". - М.: Просвещение, 1976 г.
5. Беккер Б.М. Некрасов В.Б. Применение векторов для решения задач. Учебное пособие. - С.- Петербург: НПО "Мир и семья - 95", 1997 г.
6. Зив Б.Г. Задачи к урокам геометрии 7-11классы. - С.- Петербург: НПО "Мир и семья - 95", 1996 г.
7. Киселёв А. П., Рыбкин Н. А. Геометрия. Дополнительный материал для 8-9 классов. - М.: Просвещение, 1969 г.
8. Смогоржевский А. С. Метод координат. - М.: Наука, 1968 г.

Тема: "Математическое моделирование в экологии".

Наряду с экспериментом одним из основных методов исследования становится математическое моделирование. Это развивающееся направление, которое применяется во всех видах научной деятельности. В математическую модель можно заложить биологические представления, гипотезы о кинетических свойствах процессов (скоростях роста, размножения, гибели, интенсивностях взаимодействия). Анализ полученной модели позволяет изучить качественно и количественно пространственно-временную структуру, вскрыть причинно-следственные связи.

В последнее время мировое сообщество столкнулось с целым рядом природных катастроф, вызванных их деятельностью, и обеспокоены тенденцией нарастания неустойчивости природы. Поэтому экология приобретает особое значение как наука, помогающая найти пути выхода из создавшегося кризиса. Чтобы предусмотреть результат различных взаимодействий человека на окружающую среду можно использовать, в том числе, методы математического моделирования и прогнозирования.

Изучение простейших экологических моделей потребует от учащихся знаний, выходящих за курс школьной математики. Почти все имитационные модели сводятся к решению или анализу уравнений или систем дифференциальных уравнений.

На любой работе, в любой профессии необходимы конкретные профессиональные экологические знания. Экологическое образование начинается на школьной скамье и должно продолжаться всю сознательную жизнь человека. Ребята, которые возьмутся за изучение этой темы, уже сейчас, смогут предложить конкретные действия по улучшению экологической ситуации в отдельной местности. Таким образом, эта работа окажется полезной не только для них, но и для всего человечества.

Примерное содержание основной части работы:
1. Моделирование как метод экологических исследований.
2. Классификация методов моделирования.
3. Математическое моделирование. Возможности его применения для решения проблем экологии.
4. Аналитические и имитационные модели. Модель В. Вальтера " Хищник-жертва".
5. Дифференциальные уравнения. Решение дифференциальных уравнений с разделяющими переменными.

Задачи исследования:
1. Составить простейшую математическую модель кислотности почвы на пришкольном участке.
2. Подобрать и решить задачи, которые представляют собой простейшие имитационные модели:
1) В питательную среду вносят популяцию из 1000 бактерий. Численность популяции возрастает по закону р(t) = , где t - время, выраженное в часах. Найти максимальный размер популяции.
2) Рассмотреть имитационные модели, описывающие экспоненциальный рост численности популяций при ограниченных ресурсах.
3) Численность лабораторной популяции простейших растёт экспоненциально. В некоторый момент эта численность равна 50 особям, а через час достигла 150 особей. Найдите удельную скорость роста этой популяции.
4) Удельная скорость роста численности серой крысы равна 5 особей на особь в год, а для рисового долгоносика - 40 особей на особь в год. Постройте графики экспоненциального роста для этих видов. Сравните полученный результат.
3. Используя теорию Вальтера, составить модель "Хищник-жертва" по данным о динамики численности роста животных в лесах Владимирской области. Сравнить её с идеальной моделью.
4. Разработать и описать методику отслеживания экосистемы в соответствии с ростом и убылью животных.
5. На основе анализа полученной модели выдвинуть гипотезы о причинах резкого спада численности животных в лесах Владимирской области в определённый период времени. Найти подтверждение или опровержение этим гипотезам в различных литературных изданиях.
6. Сделать прогноз о будущей динамике роста численности популяций животных в этой местности, на основе которого предложить комплекс мер для регулирования численности этой популяции.

Литература.
1. Бухалов А. В., Богданова Л. З. Методы экологических исследований. Практическое пособие для учащихся. - Рига, 1993 г.
2. Виленкин Н. Я. и др. Алгебра и математический анализ для 11 класса. Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. - М.: Просвещение, 1996 г.
3. Матвеев Н. М. Дифференциальные уравнения. Учебное пособие для студентов пед. институтов по физ.-мат. Специальности. - М.: Просвещение, 1988 г.
4. Моисеев Н. И. Экология человечества глазами математика. - М.: Молодая гвардия, 1988 г.
5. Полянский Н. И. Общая биология Учебник для 10-11 классов школ с углублённым изучением биологии. - М.: Просвещение, 1993 г.
6. Рувинский А. О. Общая биология Учебник для 10-11 классов школ с углублённым изучением биологии. - М.: Просвещение, 1993 г.
7. Стадницкий Г. В., Радионова А. И. Экология Учебное пособие для химико-технологических вузов. - М.: Высшая школа, 1988 г.
8. Чернова Н. М. Основы экологии. Учебник для 9 классов общеобразовательных учреждений. - М.: Просвещение, 1998 г.

Тема: "Построение сечений многогранников".

Раздел стереометрии, изучающий сечения геометрических тел позволяет "заглянуть внутрь" предметов, познакомиться с их свойствами; значительно облегчает выполнение ряда заданий. Решение задач на построение сечений многогранников способствует развитию у человека пространственного представления и пространственного мышления.

Метод сечений, широко известный своей универсальностью, применяется в некоторых разделах черчения, физики, теоретической механики, сопротивления материалов, гидравлике и других естественных науках и технических дисциплинах.

Построение сечений используют в строительном деле, машиностроении. В качестве диагностики заболеваний в медицине широко применяют метод компьютерной томографии, основанный на получении при помощи рентгеновских аппарата снимков - сечений человеческого тела. Этим же методом пользуются историки и археологи для исследования некоторых объектов. Например, чтобы не испортить саркофаг и при этом посмотреть его содержимое. Для этого при помощи томографа делают множество снимков - поперечных сечений саркофагов, суммируя которые получают необходимую информацию.

Широко применяют сечения и в ювелирном деле. Чтобы придать камню нужную форму, мастер подвергает бесформенный драгоценный камень рассечению различными плоскостями. Эти плоскости выбираются не спонтанно, а таким образом, чтобы луч, падающий на камень, создавал его сияние, многократно отразившись от его граней. Изменяя угол наклона "секущих плоскостей" и их положения мастер добивается неповторимой игры света и радужных перелива на гранях камня.

Таким образом, интерес к задачам на построение сечений обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов решения, но и их практической ценностью.

Примерное содержание основной части работы: 
1. Методы построения сечений многогранников:
- метод следов;
- метод соответствия (внутреннего проектирования);
- комбинированный метод.
2. Решение задач на построение сечений многогранников. Сравнительный анализ различных методов построений.
3. Решение метрических задач на нахождение площадей сечений многогранников.

Задачи исследования.
1. Выяснить, какие многоугольники получатся в результате сечения правильной шестиугольной призмы плоскостью, проходящей через три точки, одна из которых совпадает с вершиной, другая является серединой бокового ребра, а третья принадлежит боковому ребру. (Первые две точки и боковое ребро фиксированы.)
2. Найти площади полученных сечений, при заданных параметрах призмы, в зависимости от положения третьей точки на боковом ребре.
3. Рассмотреть зависимость формы и площади сечения правильной шестиугольной призмы от выбора трёх точек на серединах рёбер призмы.

Литература.
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б и др. Учебник для 10-11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1993 г.
2. Литвиненко В. М. Задачи на развитие пространственных представлений. Книга для учителя. - М.: Просвещение, 1991 г.
3. Пидоу Д. Геометрия и искусство: перевод с английского Данилова Ю. А. - М.: Мир, 1979 г.
4. Селивёрстов М. М. Черчение. Учебник для техникумов. - М.: Высшая школа, 1979 г.

Тема: "Задачи на построение".

Наиболее интересными и одновременно сложными в курсе геометрии являются задачи на построение. Разработкой методов их решения занимались ещё со времен Древней Греции. Ещё в 4 веке до н. э. математики школы Пифагора решили задачу о построении правильного пятиугольника. В течение многих веков математики проявляли живой интерес к задачам на построение.

Интерес к ним обусловлен не только их красотой и оригинальностью методов их решения, но и большой практической ценностью. Проектирование строительства, архитектура, конструирование различной техники основаны на геометрических построениях. Совершенствование конструкций сопровождается усложнением их геометрических построений, общим расширением применяемого в производстве математического аппарата, включением в него различных методов.

Задача на построение ставится как требование из заданных элементов, в соответствии с какими-то условиями, с помощью определённых инструментов построить названную геометрическую фигуру, удовлетворяющую указанным свойствам. Два основных инструмента геометрических построений - циркуль и линейка. Возникают вопросы: Какие существуют методы решения задач на построение с помощью циркуля и линейки? На сколько существенно сузится круг разрешаемых задач, если можно при построении использовать только один циркуль или только одну линейку? Какие условия должны быть заданы, чтобы все построения, выполнимые с помощью циркуля и линейки, были выполнимы только с помощью одного циркуля или только одной линейки? Ответам на один из этих вопросов или на все сразу может быть посвящено учебное исследование.

Примерное содержание основной части работы:
1. Основные методы решения задач на построение с помощью циркуля и линейки - метод геометрического места точек - метод геометрических преобразований - алгебраический метод.
2. Выделение типов задач по методу их решения. Примеры решения задач.
3. Неразрешимые задачи на построение. Приближённые способы их решения.
4. Построения с помощью одного циркуля. Доказательство теоремы Мора-Маскерони. Примеры решения задач.
5. Построения с помощью одной линейки. Результаты исследований Якоба Штейнера. Примеры решения задач.

Задачи исследования:
1. Подобрать и решить задачу, разрешимую с помощью циркуля и линейки, одного циркуля, одной линейки.
2. Указать преимущества и недостатки решения задачи различными средствами.

Литература. 
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б и др. Учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1991 г.
2. Александров И. И. Методы решения геометрических задач на построение. Учпедгиз, Москва, 1960 г.
3. Киселёв А. П. Элементарная геометрия. Книга для учителей. - М.: Просвещение. АО "Учеб.-лит.", 1996 г. 4. Костовский А. Н. Геометрические построения одним циркулем. Популярные лекции по математике, вып. 29. - М.: Физматгиз, 1959 г.
5. Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика? Гл. 4. - М.: Просвещение, 1967 г.
6. Михеев Ю. Одной линейкой. Журнал "Квант" №10, 1980 г.
7. Смогоржевский А. С. Линейка в геометрических построениях. Популярные лекции по математике, вып. 25. - М.: Гостехиздат, 1957 г.
8. Фукс Д. Построение одним циркулем. Журнал "Квант" № 6, 1987 г.
9. Фридман Л. Н., Турецкий Е. Н. Как научиться решать задачи. Пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1987 г.

Тема: "Сфера и шар".

Многие реальные объекты в физике, астрономии, биологии и других естественных науках имеют форму шара. Поэтому вопросам изучения свойств шара отводилось в различные исторические эпохи и отводится в наше время значительная роль.

Одними из самых сложных в курсе стереометрии считаются задачи, в содержание которых включена сфера или шар. Особенно трудными являются задачи на вписанные и описанные шары. При решении задач учащиеся должны уметь применять теоремы и формулы сразу по нескольким разделам математики: планиметрии, стереометрии, алгебры, тригонометрии, математического анализа. Поэтому, эти задачи предлагают абитуриентам на вступительных экзаменах в престижные вузы.

Предлагается написать исследовательскую работу по теме: "Шар и его свойства", которая будет состоять в систематизации теоретического материала, подборе, составлении, решении задач.

Примерное содержание основной части работы: 
1. Основные свойства сферы и шара.
2. Различные подходы к выводу формул площади сферы и объёма шара.
3. Вписанные и описанные шары. Сводка основных формул.
4. Решение комбинированных задач на вписанные и описанные шары.

Задачи исследования. 
1. Составить и решить задачу с меняющимся содержанием условия. Проанализировать, как изменится решение задачи при изменении части условия.
2. Составить и решить задачу с несформулированным вопросом. Проанализировать, как изменится решение задачи при изменении вопроса.
3. Выяснить при каких условиях 5 шаровых поверхностей взаимно касаются друг друга внешним и внутренним образом. Вывести формулу, позволяющую найти радиус одной из сфер, если известны радиусы остальных.

Литература.
1. Антонов Н. П., Выгодский М. Я., Никитин В.В., Санкин А. Н. "Сборник задач по элементарной математике". - М.: Наука, 1995 г.
2. Бескин Н. М. "Изображение пространственных фигур". - М.: Наука, 1998 г.
3. Дорофеев Г. В., Потапов М. К., Розов И. К. "Пособие по математике для поступающих в ВУЗы". - М.: Наука, 1990 г.
4. Потапов М., Олейник С., Нестеренко Ю. "Готовимся к экзамену по Математике" - М.: "Просвещение", 1990 г.
5. Сканави М. И. " Сборник задач для поступающих в ВтУЗы. - Киев. "Каннон", 2000 г.
6. Островский Е. А. "Задачи по математике на вступительных экзаменах в ВУЗах" - М.: "Просвещение", 1990 г.

Тема: "Золотое сечение".

Золотым сечением называют деление отрезка, при котором длина всего отрезка так относится к длине его большей части, как длина его большей части к меньшей. Отношение длин частей в этом случае приблизительно равно 0,618.

Многие объекты живой природы имеют отношение длин некоторых своих элементов близкое к этому соотношению. Например, между каждыми двумя парами листьев на общем стебле некоторых растений третья пара расположена на месте золотого сечения. Знаменитый зодчий Ле Корбюзье нашёл это отношение во многих пропорциях человеческой фигуры и часто применял при проектировании зданий. Вообще, применение золотого сечения в искусстве имеет многовековую историю. Геометрические мотивы нередко присутствуют в произведениях великих художников, скульпторов, архитекторов. Многие из них при этом действовали интуитивно, а некоторые применяли геометрические законы. Неслучайно, термин "золотое сечение" ввёл выдающийся художник конца 15 века, автор знаменитой "Джаконды" Леонардо до Винчи. Искусствоведы исследовали композиции, выявляли их основу, приводили к упрощённой геометрической схеме. С результатами этих исследований обязательно знакомят начинающих художников, скульпторов, архитекторов в профессиональных учебных заведениях.

Психологическими экспериментами неоднократно подтверждалось предпочтение, которое оказывается пропорциям, порождаемым золотым сечением. Существуют разные объяснения такого предпочтения, среди них есть и основанные на теории информации.

Исследовательская работа по этой теме будет интересна, прежде всего, для тех учащихся, которые интересуются искусством, обучаются в художественном классе или школе. Она может быть предложена как учащимся среднего звена, так и старшего. Ребятам предоставляется возможность почувствовать себя искусствоведом, самостоятельно исследовать шедевры мастеров. Можно изучить произведения искусства своих земляков. Используя "божественную пропорцию", учащиеся смогут нарисовать картины, сфотографировать природу, которые будут наиболее привлекательными. А старшеклассникам предлагается изучить вопрос о взаимосвязи теории информации и золотого сечения.

Примерное содержание основной части работы:
1. Исторические сведения.
2. Алгебраический и геометрический подходы к определению понятия золотого сечения. "Золотые" геометрические фигуры.
3. Числа Фиббоначи и золотое сечение.
4. Золотое сечение в живописи.
5. Золотое сечение в скульптуре.
6. Золотое сечение в архитектуре.
7*. Энтропия как одно из основных понятий теории информации.
9*. Золотое сечение и информация.

Задачи исследования. 
1. Провести геометрическое исследование следующих репродукций картин знаменитых художников:
а) Леонардо до Винчи "Джаконда".
б) Шишкин И. И. "Корабельная роща".
в) Рафаэль и Маркантионио Раймонди "Избиение младенца".
г) Клод Лоррен "Вид морского порта" и др.
2. Провести геометрическое исследование по фотографиям или рисункам следующих скульптур:
а) Статуя Апполона Бельведерского.
б) Фидий "Зевс Олимпийский".
в) Венера Милосская.
г) Статуи, находящиеся на территории Владимирской области (например, памятник М. В. Фрунзе) и др.
3. Провести геометрическое исследование по фотографиям или рисункам следующих строений архитекторов:
а) Парферон (древнегреческая архитектура).
б) Пантеон (древнегреческая архитектура).
в) Казаков М. Здание первой клинической больницы им. Пирогова в г. Москве.
г) Баженов В. Дом Пашкова (г. Москва).
д) Церкви и соборы, находящиеся на территории Владимирской области и др.
4. Используя правило золотого сечения, нарисовать картину.
5. Сфотографировать природу так, чтобы её фотография была сделана по правилу золотого сечения.
6. Используя правило золотого сечения, вылепить из пластилина или глины фигуру.
7. Придумать и выполнить макет здания, удовлетворяющего правилу золотого сечения.
8*. Провести следующий психологический эксперимент: попросить испытуемых выбрать среди прямоугольников равной площади наиболее привлекательный. Выделить прямоугольник, получивший наибольшее число голосов. Сравнить его с прямоугольником золотого сечения.
9*. Предположим, что оценивая прямоугольник, наблюдатель мысленно выделяет в нем квадрат, стороны которого равны меньшей стороны прямоугольника, а потом решает, насколько прямоугольник отличается от выделенного квадрата. Анализ быстро завершается в двух случаях:
1) прямоугольник - почти квадрат;
2) прямоугольник на столько вытянут, что его нечего и сравнивать с квадратом. Самая длительная работа ждёт глаз в каком-то промежуточном случае. Возможно, тот самый "неопределённый" прямоугольник и будет самым привлекательным для зрителя. Приняв описанный механизм оценки прямоугольника, найти самый "неопределённый" прямоугольник и сравнить его с прямоугольником золотого сечения.

Литература.
1. Болтянский В., Савин А. Информация и математика. Журнал "Квант" №6, 1995 г.
2. Гельфман Э. Г. и др. Действительные числа. Иррациональные выражения. Учебное пособие по математике для 8 класса. - Томск: издательство Томского университета, 1997 г.
3. Петров В. М., Прянишников Н. Е. Формулы прекрасных пропорций. - в сборнике "Число и мысль", вып. 2. - М.: Знание, 1979 г.
4. Пидоу Д. Геометрия и искусство. - М.: Мир, 1979 г.
5. Прохоров А. И. Золотая спираль. Журнал "Квант" № 9, 1984 г.
6. Яглом А. М., Яглом И. М. Вероятность и информация. - М.: Физмалит, 1973 г.
7. Из опыта проведения внеклассной работы по математике в средней школе. Сборник статей под ред. П. Старатилова. - М.: Учпедгиз, 1955 г.

Тема: "Симметрия живой и неживой природы".

Понятие симметрии встречается уже у истоков человеческого знания. Его широко используют многие направления современной науки. Принцип симметрии играет важную роль в математике и физике, химии и биологии, технике и архитектуре, живописи и скульптуре, и даже в поэзии и музыке. Отметим, например, симметрию свойственную клиновому листу и бабочке, автомобилю и самолёту, атомной структуре молекул и кристаллов, зданий и бордюров, орнаментов и моделей одежды, ритмическому построению стихотворения и музыки. Таким образом, симметричность творений природы оказывает существенное влияние на творчество человека.

Эта работа может быть интересна для рассмотрения ученикам, интересующимися физико-математическими или естественными науками, гуманитарными или художественными. Каждый из них может выделить и исследовать тот вопрос, который для него будет являться наиболее полезным, доступным и интересным. Например, учащиеся, увлекающиеся предметами физико-математического и естественнонаучного направления, могут рассмотреть вопрос о наличии, причинах и следствии симметрии кристаллов, растений и животных. Гуманитарии и художники попытаются выделить элементы симметрии в стихотворениях, музыкальных произведениях, архитектурных сооружениях, бордюрах, орнаментах; а также придумать собственные произведения, основанные на принципах симметрии.

Примерное содержание основной части работы:
1. Различные подходы к определению понятия движения.
2. Виды движений:
- параллельный перенос;
- поворот;
- осевая симметрия;
- скользящая симметрия;
- зеркальная симметрия.
3. Композиция движений.
4. Решение задач.
5. Симметрия в физике и химии:
- симметрия кристаллов;
- симметрия и относительность движения;
- симметрия физических законов.
6. Симметрия в биологии.
- симметрия в мире растений;
- симметрия в мире насекомых;
- симметрия в мире рыб;
- симметрия в мире птиц;
- симметрия в мире животных.
7. Симметрия в искусстве.
- симметрия в изобразительном искусстве;
- симметрия в архитектуре;
- симметрия в литературе;
- симметрия в музыке.

Задачи исследования.
1. Изготовить методические пособия для изучения данной тем в курсе геометрии 9, 11 классов. Это могут быть рисунки, где один объект переводится в другой с помощью одного из видов движения или объектов обладающих внутренней симметрией.
2. Подобрать и проанализировать на предмет наличия симметрии фотографии или рисунки предметов живой и неживой природы (растений, насекомых, рыб, птиц, животных, архитектурных сооружений, бордюров, орнаментов, моделей одежды и т. д.).
3. Составить рекомендации использования на уроках физики, химии, биологии, литературы, музыки, изобразительного искусства собранного материала. Придумать демонстрационные опыты по данной теме и описать методику их проведения.
4. Придумать, нарисовать и проанализировать на предмет наличия того или иного вида симметрии модели одежды, эскизы бордюров, орнаментов, обоев и т. д. Сочинить стихотворение, музыкальное произведение с симметричным ритмическим построением.

Литература.
1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б и др. Учебник для 7-9 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1991 г.
2. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б и др. Учебник для 10 - 11 классов средней школы. - М.: Просвещение, 1993 г.
3. Атанасян Л. С. и д. р. Геометрия. Дополнительные главы к школьному учебнику 9 класса: Учебное пособие для учащихся школ и классов с углублённым изучением математики. - М.: Просвещение, 1997 г.
4. Берже М., Берри Ж., Пансю П., Сен-Реймон К. Задачи по геометрии с комментариями и решениями. Перевод с французского. - М.: Мир, 1978 г.
5. Зенкевич Е. Г. Эстетика урока математики: Пособие для учителей. - М.: Просвещение, 1981 г.
6. Тарасов Л. Этот удивительно симметричный мир: пособие для учащихся. - М.: Просвещение, 1982 г.
7. Эйдельс Л. М. занимательные проекции. От пещерного рисунка до кинопанорамы: Книга для внеклассного чтения учащихся 8-10 классов. - М.: Просвещение, 1982 г.

Тема: "Аналитические и графические приёмы решения заданий с параметрами".

Задачи с параметрами представляют собой задания, решения которых предполагает широкий набор эвристистических приёмов общего характера, необходимых для интеллектуального развития личности, применимых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

Существуют несколько вариантов вопросов условий параметрических заданий: решить уравнение, неравенство или систему уравнений, определить число решений уравнений, указать только отрицательные корни уравнения, найти все значения параметра при каждом из которых уравнение, неравенство или система уравнений не имеет решений и т.п. Задачи могут различаться по виду функций, входящих в уравнение и неравенство, и ещё при этом содержать модуль. В силу такого многообразия условий и видов заданий невозможно дать универсальных указаний по решению конкретных примеров. Почти все задания можно решить сразу несколькими способами. Поэтому, исследовательская работа по этой теме будет состоять в систематизации и выделении основных типов и методов решения заданий с параметрами. Можно предложить решение одного задания различными способами и выделить из них самый короткий и оригинальный.

В настоящее время на итоговой аттестации в школах и вступительных экзаменах в вузы предлагаются задания с параметрами, решение которых вызывают у учащихся большие затруднения. Проблемы, возникающие у абитуриентов при решении зада с параметрами, вызваны не только относительной сложностью задач, но и тем, что в школьной программе задачам с параметрами уделяется мало внимания. Поэтому, рассмотрение этой темы будет особенно ценно для тех учащихся, которые собираются продолжить своё обучение в вузах.

Примерное содержание основной части работы:
1. Знакомство с параметром. Решение простейших уравнений, неравенств и их систем.
2. Аналитические приёмы решений основных типов задач.
а) Решение уравнений, неравенств и их систем;
б) Нахождение количества решений уравнений, неравенств и их систем;
в) Решение уравнений, неравенств и их систем с наложением ограничений на их решения;
г) Параметр как равноправная переменная;
д) Определение свойств функций:
- область определения функции;
- область значений функции;
- чётность, периодичность, обратимость.
- монотонность;
- экстремумы функции;
- наибольшее и наименьшее значения функции.
3. Графические приёмы решений основных типов задач.
а) Решение уравнений, неравенств и их систем;
б) Нахождение количества решений уравнений, неравенств и их систем;
в) Решение уравнений, неравенств и их систем с наложением ограничений на их решения;
г) Использование преобразование графиков функций:
- параллельный перенос;
- растяжение вдоль прямой;
- поворот.
4. Применение производной.

Задачи исследования.
1. Выделить основные группы решения задач с параметрами, основанные на различных методах решений. (В качестве примера, приведём разбиение задач на группы, рассмотренные в учебном пособии И.Г. Тинякова "Задачи с параметрами":
1). Задачи с параметрами, в которых требуется найти решение как функцию параметра.
2). Задачи с параметрами, решение которых основано на использовании свойств линейной и квадратичной функции.
3). Задачи с параметрами, решение которых основано на симметрии исходных данных.
4). Задачи с параметрами, решение которых основано на оценках исходных данных.
5). Задачи с параметрами, которые решаются через дискриминант и теорему Виета.
6). Задачи с параметрами, решение которых основано на построении графиков функций.
7). Задачи с параметрами, решение которых использует комбинацию приведённых методов.)
2. Придумать (или подобрать) и решить задания с параметрами различными способами.
3. Выбрать наиболее рациональный способ решения. Аргументировать свой выбор.

Литература. 
1. Голубев В.И., Гольдман А.М., Дорофеев Г. В. О параметрах - с самого начала. - М.: Репетитор, 1991 г.
2. Горнштейн П. И, Полнский В. Б., Якир М. С. Задачи с параметрами. - М.: Илекса, Харьков: Гимназия, 1998 г.
3. Родионов Е. М. Решение задач с параметрами: пособие для поступающих в вузы. - М.: МП "Русь - 90", 1995 г.
4. Тиняков И. Г. Задачи с параметрами. МГУ - М., 2001г.
5. Черкасов О. Ю., Якушев А. Г. Математика на вступительных экзаменах ("Скорая помощь абитуриентам"). - М., 1995 г.
6. Справочник для поступающих в МГУ в 1972-2001 годах. МГУ, М., 1972-2001.