Управление образования муниципального образования

«Холмский городской округ»

Муниципальное общеобразовательное учреждение средняя общеобразовательная школа № 9

г. Холмска

проблемно-реферативная работа

  Различные методы решения задач как способ активизации мыслительной деятельности учащихся на уроках математики

Рязанцева Людмила Ивановна    

учитель математики

2013 г

Оглавление

Введение        3

Глава 1. Задачи школьного курса  математики        6

1.1.Математическая  задача и  её структура        6

1.2.Роль задач в обучении математики        7

Глава2. Решения задач как способ активизации   познавательной деятельности учащихся        12

2.1. Различные способы решения задач        12

2.2. Урок одной задачи        14

2.3. Несколько способов решения одной задачи        16

Заключение        17

Список литературы        20

Приложение        21

Введение

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость.

А умело применять великое искусство!

Математика, как и другие науки, изучает действительный мир и, в своих понятиях и законах, отражает закономерности этого мира. Специфика математики как особой науки состоит в том, что она специально выделяет количественные отношения и пространственные формы, которые присущи всем без исключения предметам и явлениям действительности, и делает их объектами своего исследования.

Между математической наукой и математикой учебным предметом существует глубокое внутреннее единство, которое в целом определяется логикой самой науки. Однако это не исключает, а предполагает различие между ними. Наиболее существенное различие между ними заключается, во-первых, в том, что если цель науки – открытие новых закономерностей, то учебная дисциплина преследует педагогические цели обучения и воспитания.

Во-вторых, математическая наука способна развиваться неограниченно, в то время как для предмета обучения должны быть указаны пределы его предложения в том, или ином курсе. И, наконец, если структура науки определяется внутренней логикой ее предмета, то при построении математики как учебного предмета теории и разделы выстраиваются вряд, удобный для лучшего усвоения курса.

Важнейшая задача школы – давать подрастающему поколению глубокие и прочные знания основ наук, вырабатывать навыки и умения, применять их на практике. Одной из основных и главных задач школы является формирование у детей прочных знаний по математике.

Обучение математике должно обеспечить надежную основу, как в отношении знаний и умений учащихся, так и в отношении их развития для дальнейшего изучения математики в 5-11-х классах.

  За последние годы произошло значительное обновление содержания математики, как в начальной школе, так и в 5-11-х классах. Современное содержание математического образования направлено, главным образом, на интеллектуальное развитие школьников, формирование культуры и самостоятельности их мышления. Существенное усиление алгебраической и геометрической пропедевтики, включение системы содержательно-логических заданий, вопросов направлены на развитие познавательных процессов у детей.

Известно, что на развитие познавательной активности и творческого мышления решающее значение оказывают уроки решения задач, ознакомление с различными методами, существующими в математических исследованиях, и закрепление их в практической деятельности.Умение решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического мышления учащихся и его уровня.

Задачи в  обучении математике  являются и целью, и средством обучения и математического развитияучащихся. При планировании уроков следует иметь в виду, что теоретический материал осознаётся и усваивается преимущественно в процессе решения задач. Организуя решение задач, целесообразно шире использовать дифференцированный подход к учащимся: уровень трудности задач, предлагаемых слабым учащимся, должен определяться требованиями программы; учащимся, уже достигшим этого уровня, целесообразно давать более сложные задачи.  

Следует всемерно способствовать удовлетворению потребностей и запросов учащихся, проявляющих интерес, склонности и способности к математике. Развитие интереса к математике является важнейшей целью учителя.

Образовательные и воспитательные задачи обучения математике должны решаться комплексно с учетом возрастных особенностей учащихся, специфики математики как науки и учебного предмета, определяющей её роль и место в общей системе школьного обучения и воспитания. Учителю предоставляется право самостоятельного выбора методических путей и приёмов решения этих задач.

Огромная значимость нахождения школьниками различных способов решения задач по математике не раз отмечалась на страницах методической литературы. Однако  на уроках, как правило, рассматривается лишь один из способов решения задачи, причем не всегда наиболее рациональный. Учитель надо  планировать  работу так, чтобы была возможность проводить «урок одной задачи», нельзя упускать такую возможность при повторении пройденного материала.

Для математического развития учащихся, для развития их творческого мышления гораздо полезнее одну задачу решить несколькими способами, чем несколько однотипных задач одним способом.

Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель  способствует  эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению целей:

первая - помочь ученику решить именно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой;

вторая - так развить способности ученика, чтобы он мог в будущем решить любую задачу школьного курса самостоятельно.

При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение.

Исходя из проведенной проблематики и актуальности:

 Цель  моей работы:

 Показать влияние решения задач различными способами   на уроках математики на развитие мыслительной деятельности, познавательной активности школьников, логического мышления.

  Задачи, которые  я решала в процессе достижения цели:

Изучить теоретические основы: роль задач на развитие личности.

Познакомиться и изучить новые способы решения известных  задач.

Создать подборку таких  задач  для себя, использовать в работе и поделиться этими материалами с коллегами школы и района.

Объектом исследования является процесс обучения математике школьников.

Предметом исследования – решение задач различными способами, подборка  задач из разделов математика, алгебра, геометрия, направленных на развитие познавательной активности  учащихся.

Работая над  темой, я использовала методической и научной литератур:Колягин Ю.М. и др. Частные методики. М., Просвещение;  Пойа Д. «Как решить задачу» Пособие для учителей,

ТурецкийЕ. Н. «Как научиться решать задачу».

Большой интерес вызвала книга. ГотманаЭ. Ги СкопецаЗ. А. «Задача одна – решения разные».

В  приложении моей работы  большая подборка  задач с различными способами решения из разделов математика, алгебра, геометрия, которые успешно  использую  в  своей работе, есть новые способы, которые изучу и буду  использовать в работе и поделюсь с коллегами.

Глава 1. Задачи школьного курса  математики

1.1.Математическая  задача и  её структура

Что понимать под  задачей? Задача –проблемная ситуация с явно заданной целью. Которую необходимо достичь, в более узком смысле задачей также называют саму цель, данную в рамках проблемной ситуации. То есть, то, что требуется  сделать.

Ещё более узкое определение  называет задачей ситуацию с известным начальным состоянием, причём алгоритм достижения конечного состояния от начального известен (в отличии от проблемы, где алгоритм достижения конечного состояния системы не известен).

 Учителю необходимо  формировать у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познание реальной действительности и т.д.

В учебной практике «задача» принимает более узкий смысл и определяет упражнение, требующее нахождение решения по известным данным с помощью определенных действий (умозаключения, вычислений, перемещение элементов и т.п.) при соблюдении определённых правил совершения этих действий.

 Умения решать математические задачи является наиболее яркой характеристикой состояния математического образования.

Как правило, традиционные школьные математические задачи таковы, что требуют для своего решения определенных знаний, умений или навыков по узкому вопросу программного материала. Поэтому роль и значение их исчерпывается в течение того непродолжительного вопроса программы.

Решить задачу – значит преобразовать данную проблемную ситуацию или установить, что такое преобразование в данных условиях (или в данной среде) невозможно.

Решение задач – это работа несколько необычная, а именно умственная. А чтобы научиться какой-либо работе, нужно предварительно хорошо изучить тот материал, над которым придется работать, те  инструменты, с помощью которых выполняется эта работа.

Значит для того, чтобы научиться решать задачи, надо разобраться в том, что собой они представляют, как они устроены, из каких частей они состоят.

Процесс решения учебной задачи можно разделить на 4 основные этапы: осмысление условия задачи (анализ условия), поиск и составление плана решения, осуществление плана решения, изучение (исследование) найденного решения.

Действительно, если  приглянуться к любой задаче, то видно, что она представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче надо установить её структуру.

                                                    Задача

Условия                                          Требования (вопрос)

               Что известно                                   Что надо найти

1.2.Роль задач в обучении математики

Наряду  с изучением теории в школьном математическом образовании имеет место решение задач и упражнений. Решение задач имеет целью не только показать учащимся приложение изученной теории на практике, но и глубже осознать изученную теорию, способствует развитию логического мышления.

Задачи в обучении математике занимают важное место: это и цель, и средство обучения. Умение решать задачи – показатель обученности и развития учащихся.

Основным становится формирование у школьника умения ориентироваться в новых задачных ситуациях, накапливать информацию, полезную для решения других задач или изучения новых разделов математики, обучение учащихся разнообразным математическим методам познание реальной действительности и т.д.

Именно этот аспект обучения математике отражён в следующем перечне целей обучения через задачи:

1. заинтересовать или мотивировать;
2. приводить и практиковать “технику решения задач”;
3. формировать понятие математической модели.

 Правильная постановка задач и упражнений в обучении математике во многом определяет современную методику преподавания, так как решение задач служит различным конкретным целям обучения. Так, например, задачи могут использоваться при введении в изучение новой темы, для самостоятельного установления школьниками какого-либо математического факта, подлежащего изучению или иллюстрации этого факта, с целью глубокого усвоения теоретического материала или выработке необходимых умений и навыков, для контроля знаний и самоконтроля, возбуждения и развития интереса к математике и, наконец, приобщения учащихся к деятельности математического характера– поисковой и творческой, развития у школьников логического математического мышления.

Известно, что на развитие познавательной активности и творческого мышления решающее значение оказывают уроки решения задач, ознакомление с различными методами, существующими в математических исследованиях, и закрепление их в практической деятельности. Так, при изложении нового материала   необходимо  разбираем "ключевые задачи" по теме, способы их решения и учить распознавать такие задачи, делать   схемы их решения: ими можно пользоваться и на уроках и на контрольных работах.

При решении задач учащиеся имеют возможность в большей мере проявить самостоятельность, инициативу, чем при изучении теоретического материала. В связи с этим естественно и в методике преподавания математики большое место занимает методика обучению решению текстовых (алгебраических) задач.

При обучении математике задачи имеют образовательное, развивающее, воспитательное значение. Они развивают логическое и алгоритмическое мышление учащихся, вырабатывают практические навыки применения математики, формируют диалектико-материалистическое мировоззрение, являются основным средством развития пространственного воображения, а также эвристического и творческого начал.

При обучении теоретическим знаниям задачи способствуют мотивации введения понятий, выявлению их существенных свойств, усвоению математической символики и терминологии, раскрывают взаимосвязи одного понятия с другими.

В процессе изучения теоремы задачи выполняют следующие функции: способствуют мотивации ее введения; выявляют закономерности, отраженные в теореме; помогают усвоению содержания теоремы; обеспечивают восприятие идеи доказательства, раскрывают приемы доказательства; обучают применению теоремы; раскрывают взаимосвязи изучаемой теоремы с другими теоремами.

Воспитательноевоздействие оказывает общий подход к решению задач: система задач, место, методы и формы ее решения, стиль общения учителя и учащихся, учащихся между собой при решении задач. Решение задач позволяет учащимся воспитывать в себе настойчивость, трудолюбие, активность, самостоятельность, формирует познавательный интерес, помогает вырабатывать и отстаивать свою точку зрения, воспитывать достоинство личности.

Развивающиефункции задач заключаются в том, что в деятельности решения задач вырабатываются умения применять теоретические знания на практике, выделять общие способы решения, переносить их на новые задачи, развиваются логическое и творческое мышление, внимание, память, воображение.

С изменением роли и места задач в обучении обновляются и видоизменяются и сами задачи. Раньше они формулировались с помощью слов «найти», «построить», «вычислить», «доказать», в современной школе чаще используются слова «обосновать», «выбрать из различных способов решения наиболее рациональный», «исследовать», «спрогнозировать различные способы решения» и т д.

Решение задач является наиболее эффективной формой развития математической деятельности.

Д. Пойа считает, что в повышении эффективности обучения решению задач играет большую роль подбор задач, предлагаемых в определенной последовательности – это должно обеспечить большую самостоятельность учащихся при решении задач на основе использования в первую очередь аналогий и сравнений с ранее известными, решенными задачами. Однако только подбор задач не может обеспечить овладение учащимися основными методами и приемами, такими как синтез, анализ, индукция и дедукция и т.д. Сам поиск аналогий с ранее решенной задачей требует не только вспоминания сходного, но и применения аналитико-синтетического метода для установления подбора задач не меньшую, а значительно большую роль имеет методика работы учителя с учеником при решении каждой задачи.

Именно методика работы учителя при  решении задачи вскрывает с одной стороны анализ условия решаемой задачи и с другой стороны в сочетании с синтезом обеспечивает эффективность поиска  решения задач.

  А в итоге одни овладевают общим умением решения задач, а многие, встретившись с задачей, незнакомого, малознакомого вида не знают, как к ней подступиться. Причин конечно много.

Для того, чтобы научиться решать задачи, надо много работать. Но эта работа не сводится лишь к решению большого числа задач, а овладение теми приемами и методами, которые позволят ученику решить ту или иную задачу.

 Английский кибернетик Д.М.Маккей установил четыре основные черты, отличающие «интеллект от простой способности вычислять»:

1. способность успешно перерабатывать и объединять информацию в зависимости;
2. способность совершать пробные действия, поиск и переходы, не вытекающие из наличной информации (т.е. совершать  «скачок через разрыв, существующих данных»);
3. способность управлять поисковым и исследовательским процессом, руководствуясь «чувством близости решения»;

4.  способность рассматривать ограниченный, но достаточно большой ряд  положений и заключений, совместных с данным положением.

 Для выработки правильного понимания школьниками поставленной задачи можно рекомендовать соблюдение следующих требований:

1. начинайте изучение условия задачи с аккуратно выполненных схем. Помните, что правильное графическое представление условия задачи означают по существу четкое, ясное и конкретное представление о всей задачной ситуации в целом;
2. представьте ясно и детально все основное, связанное с данной задачей. Обстоятельно выясните, что дано, что надо найти; выделите при этом главное в тексте условия задачи и сконцентрируйте на нем своё внимание. Выделите на чертеже данные и искомые величины различными яркими цветами;
3. проверьте тщательно каждое выдвигаемое в процессе решения задачи положение контрольными вопросами вида: что это означает, какие имеются основание для данного утверждения, какую пользу можно извлечь из данного факта?
4. проверьте, однозначно ли сформулирована задача. Нет ли в условии задачи избыточных или недостающих данных?

  Первое из этих требований,  особенно важно при решении геометрических задач, где наглядный и четкий чертеж позволяет иной раз с первого же взгляда обнаружить возможные пути решения.

Немаловажную роль в успешном решении задач играет целенаправленность поиска решения, т.е. сознательное ограничение числа проб и ошибок, характерных для начальной его стадии.

Иногда учащийся не в состоянии самостоятельно проанализировать задачу и решить ее без помощи учителя. Однако в этом случае не следует сообщать ему готовое решение, а тем более заставлять школьника заучить данный в готовом виде способ действия.

При создании оптимальных условий, которые бы активизировали мыслительную деятельность учащихся при решении задач, весьма часто применяется особый дидактический прием, называемый системой подсказок. Система подсказок, состоящая из вспомогательных задач, вопросов и т.д., не подменяя мышление школьника, придает ему нужное направление, т.е. делает поиск решения целенаправленным.

Действительно, даже при решении несложной задачи учащиеся много времени тратят на рассуждения о том, за что взяться, с чего начать. Чтобы помочь учащимся найти путь к решению задач, учитель должен уметь поставить себя на место решающего задачу, попытаться увидеть и понять источник его возможных затруднений, направить его усилия в наиболее естественное русло. Умелая помощь ученику, оставляющая ему разумную долю самостоятельной работы, позволит учащемуся развить математические способности, накопить опыт, который в дальнейшем поможет находить путь к решению новых задач. Лучшее, что может сделать учитель для учащегося, состоит в том, чтобы путем неназойливой помощи подсказать ему блестящую идею. Хорошие идеи имеют своим источником прошлый опыт и ранее приобретенные знания, часто оказывается уместным начать работу с вопроса: «Известна ли вам какая-нибудь родственная задача?» (Пойа Д.). Таким образом, хорошим средством обучения решению задач, средством для нахождения плана решения являются вспомогательные задачи. Умение подбирать вспомогательные задачи свидетельствует о том, что учащийся уже владеет определенным запасом различных приемов решения задач. Если этот запас не велик, то учитель, видя затруднения учащегося, должен сам предложить вспомогательные задачи. Умело поставленные вспомогательные вопросы, вспомогательная задача или система вспомогательных задач помогут понять идею решения.

Можно ли ускорить умственное развитие учащихся, и если да, то каким образом это сделать?

  С точки зрения психолого-педагогических возможностей развития, которыми обладают учащиеся, с позиций совершенствования обучения и научения на этот  даётся утвердительный ответ. Интеллектуальное развитие детей можно ускорить по трём направлениям: понятийный строй мышления, речевой интеллект и внутренний план действий.

Глава2. Решения задач как способ активизации   познавательной деятельности учащихся

2.1. Различные способы решения задач

Лучше решить одну задачу несколькими

способами, чем несколько задач – одним.

Д.Пойа

Прежде всего, необходимо отметить, что решение задач разными способами – чрезвычайно увлекательное занятие для учащихся различных возрастных групп. Интерес, любопытство, творчество, желание добиться успеха – это привлекательные стороны, которые позволяют учащимся любить и   выбирать этот вид деятельности на уроках математики.

Создание учебных проблемных ситуаций на уроке математики – оправдавшей себя на практике дидактический прием, посредством которого учитель держит в постоянном напряжении одну из внутренних пружин процесса обучения – детская любознательность.

Любопытство. С него все и началось».
П. Джеймс, Дж. Мартин. "Все возможные миры"

Проблемность при обучении математики возникает совершенно естественно, не требуя никаких специальных упражнений, искусственно подбираемых ситуаций. В сущности, не только каждая текстовая задача, но и добрая половина других упражнений, представленных в учебниках математики и дидактических материалах, и есть своего рода проблемы, над решением которых ученик должен задуматься, если не превращать их выполнения в чисто тренировочную работу, связанную с решением по готовому, данному учителем образцу.

  Решения задачи разными способами с позиции учителя:

-поиск различных способов решения задачи  - один из эффективных путейреализации дидактических принципов  сознательности  и активности  усвоения учебного материала. При решении одной и той же задачиразличными способами нередко известное учащимся упражнение переносится в качественно новые условия, повторяются в новых связях и сочетаниях;

-для решения задачи различными способами учащимся приходится использовать различные теоретические факты, методы и приёмы, анализировать применимость к данной в  задаче ситуации. Что способствует гибкости мышления;

-  в процессе поиска различных способов решения одной  задачи преобладает творческое мышление, что способствует развитию не только интеллекта, но и ряда нравственных качеств, во многом определяет мировоззрение школьника;

-   поиск различных способов решения одной  задачи направлен и на эстетическое  воспитание учащихся. Именно здесь они учатся самостоятельно находить более простые и красивые решения задач, начинают видеть взаимосвязь всех частей математики, а значит,  и красоту математики;  

- этот вид деятельности способствует интенсивному развитию логического мышления, его глубины и гибкости, создает условия для улучшения речи учащихся (точности произношения и употребления слов, яркости и динамичности), готовит базу для решения задач разными способами в основной школе по разным предметам;

- способствует осуществлению личностно-ориентированного подхода, адаптации школьников, гуманизации обучения – важнейших проблем современной школы.

Решение задач разными способами осуществляет право ученика на выбор решения, даже если оно не является традиционным, у него появляется дополнительная возможность справиться с делом. Когда есть выбор при решении задачи, варианты ее оформления – это делает ученика свободным, спокойным, появляется возможность его успеха, возникает устойчивость важной для жизни мысли: "Всегда можно найти выход из сложной ситуации".

 Все эти мысли и есть часть плана формирования социально адаптированной личности в условиях современной школы.

Заинтересованность учителя в данном виде деятельности плюс игра, поиск, азарт, воображение учащихся убеждают, что необходимо постоянно решать задачи разными способами.

Необходимо отметить, что решение задач разными способами соответствует дидактическим принципам, положенным в основу системы Занкова (обучение на высоком уровне трудности, осознание школьниками процесса учения, развитие всех учащихся – как слабых, так и сильных), а также и свойствам методической системы (многогранность, разрешение коллизий, вариантность).

Сравнение различных решений одной задачи очень поучительно. Опыт работы в школе показывает, что решение одной и той же задачи различными методами естественно вписывается в процесс проведения урока по решению задач. Систематическое использование этого приема дает значительный эффект как при обучении решению задач по геометрии, так и при обучении курсу математики в целом.

Обучение математике необходимо не только затем, что бы учащиеся овладели определенной суммой знаний, главное, чтобы эти знания они могли эффективно использовать для решения разнообразных задач, возникающих в практической деятельности.

Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида (III в до н.э.) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре.

Большинство геометрических  задач допускает решение несколькими способами. Систематическое применение этого дидактического принципа усиливает мотивацию учения и побуждает учащихся искать наиболее простые решения из всех существующих.

Задача. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС (∟С=900 ) проведены  медиана  ВД и отрезок СМ∟ВД (точка М€АВ). Найдите отношение АМ ∕ВМ.

Задача имеет 25 способов  решения.  (журнал Математика в школе №6, 2009 стр.  39-47) и решать можно с 8-11 классикам.

2.2. Урок одной задачи

Урок одной задачи – это поиск разных способов решения этой задачи. На уроке одной задачи у ученика появляется возможность найти способ решения, то есть способ, который ему понятен, в котором он может максимально выразиться. На уроке одной задачи ученик услышит разные рассуждения, мнения, увидит различные приемы решения. Кроме того, у  учителя уменьшается возможность навязать свой способ рассуждения, значит, уменьшается потребность учить по шаблону «делай как я», а у ученика, наоборот, появляется возможность действовать как он этого хочет. Таким образом, учитель формирует личность, способную думать, отстаивать свое мнение, находить выход из создавшейся ситуации, а в перспективе – разбираться в жизни, в людях.

Уроки одной задачи не оставляют равнодушными ни одного ученика. Возрастает мотивация обучения математике, улучшаются результаты самостоятельных и контрольных работ. Решение задачи разными способами помогает восполнить пробелы в ранее изученных темах, побуждает учащихся к поиску различных приемов решения задачи. Для одних уроки одной задачи – это самооценка для спасения в трудном мире математики, которая все же помогает найти свой, понятный путь решения задачи, для других открывается ми красоты и изящества любимого предмета, для третьих – путь к пониманию в общении с одноклассниками и учителем.

Выделение "ключевых задач" позволяет уделить время на решение более интересных задач и на проведение уроков решения "одной задачи" различными методами.

Урок одной задачи формирует навык исследовательской работы, будит мысль учащихся, развивает сообразительность, повышает интерес учащихся к работе. Его лучше проводить, когда учениками усвоены необходимые понятия и разобран ряд частных приёмов решения. На этом уроке ученики – активные участники– активные участники поиска решений.  

Профильная и уровневая дифференциация обучения учащихся предполагает разнообразие методических приемов и изучение теоретического материала курса математики, использование различных подходов к решению математических задач. Все большее значение приобретают методы, способствующие сознательному усвоению математических знаний, позволяющие вовлекать учащихся в творческую деятельность.

Одним из показателей творческого мышления и неформального усвоения учебного материала является умение использовать геометрические средства представления информации. Особенно важно владение этим умением при решении алгебраических (текстовых) задач, так как оно позволяет соединить воображение с логикой.

Геометрический метод решения задач появился во времена Евклида (III в до н.э.) и использовался не только в геометрии, но и в алгебре. Особенность его применения в алгебре состояла тогда в том, что он предполагал решение задач только с помощью построений.

Никакие аналитические выкладки не использовались. Развивалась, таким образом, геометрическая алгебра. Под геометрическим методом решения алгебраических задач будем понимать метод решения, заключающийся в использовании геометрических представлений.

Интересными задачами-проблемами являются задачи, ведущие к открытию новой теории.

( применение дидактического приема - системой подсказок)

Задача 1. Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3см. и 4см. Найти длину медианы, проведенной к гипотенузе.

  Сравнивая два способа решения, видно, что по сложности они равноценны, но второй способ более интересен, так как он необычен: надо уметь пользоваться свойствами описанной окружности.

 3адача 2.Доказать, что медиана, проведенная из вершины прямого угла треугольника, равна половине гипотенузы.

Тем самым было установлено свойство медианы прямоугольного треугольника, проведенной из вершины прямого угла на гипотенузу.

Этим определяется учебная полезность задачи, где  соблюдены  принципы дидактики:   наглядности,  индивидуального подхода к учащимся, принцип доступности, научности в обучении (– расширения теоретической базы).

В процессе решения этих задач учащиеся   у учащихся развивалась способность и потребность к актуализации    знай и опыта и умению применить их в новой ситуации, использовать для связи элементов треугольника описанную окружность, это  способствовало развитию у них умения нешаблонно, с интересом подойти к решению задач, систематизировала известные знания  т.е. содействовала всестороннему развитию их математического мышления.

2.3. Несколько способов решения одной задачи

Для развития логической деятельности учащихся,  представляется целесообразным показать, что та или иная задача может быть решена несколькими способами; при этом один вариант решения обычный, а другой специфичный, основанный на той или иной особенности данного условия – он изящнее, но требует сообразительности.

«При отыскании различных способов решения задач у школьников формируется познавательный интерес, развиваются творческие способности, вырабатываются исследовательские навыки. После нахождения очередного метода решения задачи учащийся, как правило, получает большое моральное удовлетворение. Учителю,   важно поощрять поиск различных способов решения задач, а не стремиться навязывать свое решение. Общие методы решения задач должны стать прочным достоянием учащихся, но наряду с этим необходимо воспитывать у них умение использовать индивидуальные особенности каждой задачи, позволяющие решить ее проще. Именно отход от шаблона, конкретный анализ условий задачи являются залогом успешного ее решения».

В качестве примера рассмотрим решение задачи несколькими способами.( решения  в приложении)

Задача:Чтобы доставить письмо за 2 ч. 40 мин. из  А в В, расстояние между которыми 70,5 км, почтальон ехал сначала на велосипеде со скоростью 12,75 км/ч, а затем на мотоцикле со скоростью 67,5 км/ч. Сколько времени ехал почтальон на велосипеде и с ко лько на мотоцикле?

Способ 1- арифметический,  способ 2- графический, способ 3 -вычислительный, способ 4-алгебраический с помощью таблицы, способ -5 базовый алгебраический.

Заключение

Решение текстовых задач – это огромная тема в математике. На протяжении всей основной школы учащиеся решают математические задачи. Но не все учащиеся овладевают теми или иными методами или приемами работы над задачей. Урок был и остается основной формой организации учебно-воспитательного процесса и сущность его составляет организация учителем разнообразной работы   используя  все возможные формы организации познавательной деятельности, использую воспитательные и образовательные  функции задач.

 Для развития логической деятельности, повышения интереса к математике представляется целесообразным показать, что та или иная задача может быть решена несколькими различными способами.

Решение задач различными способами имеет важное методическое значение и представляет  большие возможности для совершенствования  процесса обучения математике.

Способов решения задачи гораздо больше, чем я смогла представить в этой работе. Какие-то способы  я удачно применяю  в работе, и они мне нравятся, какие-то не очень.

При решении данной задачи я показала пять способа решения одной задачи.

1. Арифметический – данный способ я считаю не рациональным, так как очень часто сложно объяснить, сделать пояснение к действиям.Однако, именно решение задач арифметическим способом способствует развитию оригинальности мышления, изобретательности.
2. Графический способ – является интересным, познавательным, но требует расширенного кругозора по математике.
3. Вычислительный способ является с уклоном геометрических знаний, также учащиеся повторяют систему координат, понятие площади. То есть движение можно рассматривать как площадь прямоугольника. Учащиеся проводят аналогию формулы движения и нахождения площади прямоугольника.
4. Алгебраический способ ( составление уравнения) -
5.  Алгебраический способ ( составление систем  уравнения) -

– это традиционный, рассматриваемый во всех школьных учебниках, и является базовым уровнем. То есть ученик обязан решить задачу с помощью уравнения или системы уравнений.      

  Здесь  возможна большая  вариативность и  ученики могут составить четыре уравнения и четыре системы уравнений, с помощью которых ответить на вопрос задачи. Также ученики могут выбрать для себя более подходящий вариант решения, составляется модель уравнения.

Я считаю, здесь идет постоянное осмысливание, сравнение различных решений одной задачи очень поучительно задачи.

Предлагая ученикам задачи, решаемые с помощью  уравнений и системы уравнений, необходимо постоянно иметь в виду, что основная задача этой работы - не формирование навыка решения как самих уравнений, так и системы, а осознание общего пути преобразования предлагаемых условий от сложного к более простому.

 Обсуждение найденного решения, поиск других способов решения, закрепление в памяти тех приемов, которые были использованы, выявление условий возможности применения этих приемов, обобщение данной задачи - все это дает возможность школьникам учиться на задаче. Именно через задачи учащиеся могут узнать и глубоко усвоить новые математические факты, овладеть новыми математическими методами, накопить определенный опыт, сформировать умения самостоятельно, и творчески применять полученные знания.    

Надо помнить, что решение задач является не самоцелью, а средством обучения.

Предлагая ученикам задачи, решаемые с помощью системы уравнений, необходимо постоянно иметь в виду, что основная задача этой работы - не формирование навыка решения как самих уравнений, так и системы, а осознание общего пути преобразования предлагаемых условий от сложного к более простому.

Какого уровня сложности уравнения будут разбираться в каждом конкретном классе, зависит не столько от материала учебника, который дает только усредненную ориентировку, сколько от особенностей класса. Учитель сам определяет уровень трудности, который необходим его детям.

Рассматривая решение задач несколькими способами, учитель на уроке и во внеклассной работе должен ориентировать учащихся на поиски красивых, изящных решений. Тем самым учитель будет способствовать эстетическому воспитанию учащихся и повышению их математической культуры. Решая с учащимися ту или иную задачу, учитель должен стремиться к достижению целей:

- помочь ученику решить именно данную задачу, научить его решать задачи, аналогичные рассматриваемой;

 - так развить способности ученика, чтобы он мог в будущем решить любую задачу школьного курса самостоятельно.

Возможность решения задач разными способами предоставляет ученику право выбора, что делает самого ученика более свободным, спокойным, появляется возможность его успеха, формулируется установка на нахождение выхода из любой сложной ситуации.

Урок одной задачи помогает каждому ученику проявить  свои способности, понимания себя и других.

  Предложена целенаправленная подборка развивающих задач на применение элементарных и сложных логических операций, связанных с поиском закономерностей, связей, отношений, причин, следствий. Выполнение предложенных заданий является еще одним переходным шагом к развитию логического  мышления, познавательной активности,  как основных характеристик творческих способностей.

Советую учителям накапливать такие решения и делать их сравнение при повторении материала, рекомендую  для практического использования в учебной работе интересную книгу Э. Г. Готмана и З. А. Скопеца «Задача одна – решения разные».

Приобретать знания – храбрость,

Приумножать их – мудрость.

А умело применять великое искусство!

Мне  кажется, удалось в какой-то мере показать, что различные способы  решения  задачи развивают и обогащают личность.

Список литературы

1. “Математика” httr://mat. 1september.ru
2. httr://www.ru.wikipedia.org
3. Болотов.В.А. Научи учителя. Электронный ресурс М., 2009
4. Газета «первое сентября» № 11,  2005
5. Журнал «Математика в школе»  №
6. Колягин   Ю.М. и др. Частные методики. М., “Просвещение”, 1978
7. КолягинЮ.М.,  Оганесян В.А. – «Учись решать задачи»
8. Крутецкий. В. А Психология математических способностей школьников.   М., 1977.
9. ЛященкоЕ.И., РадченкоВ.П., ФофиловаЕ.Ф., «Обучение решению задач»  метод. Рекомендации.
10. Пойа Д. Как решить задачу: Пособие для учителей. М., 1961.
11. Пойа Д. Математическое открытие. М., 1976.
12. Ресурсы Интернет:
13. ФридманЛ.М.,  ТурицкийА.В:  «Как научиться решать задачи» М., 1999.
14. Шаталов В.Ф. Педагогическая  проза:  из опыта  работы  школ  г. Донецка.

.

Приложение

Задача: Чтобы доставить письмо за 2 ч. 40 мин из  А в В, расстояние между которыми 70,5 км, почтальон ехал сначала на велосипеде со скоростью 12,75 км/ч, а затем на мотоцикле со скоростью 67,5 км/ч. Сколько времени ехал почтальон на велосипеде и сколько на мотоцикле?

Способ 1 (арифметический)

                                  70,5 км

A        Vв=12,75 км/ч          Vм=67,5 км/ч                      В

        tв-?                                     tм-?

                                         2 ч 40 мин

Дополнительная работа: вводим обозначения

Vв=12,75 км/ч= 12 км/ч

Vм=67,5 км/ч= 67 км/ч

S=70,5 км = 70 км

t0=2 ч 40 мин=2 ч        tв =?    tм=?

1. Sв=Vв*t0= 12 * 2 = 34 (км) –проехал бы почтальон, если бы все 2ч      40 мин ехал на велосипеде
2. Sм= S0-Sв=70 - 34 = 36 (км) – расстояние, которое осталось бы проехать на мотоцикле
3. Vм – Vв = 6712 = 54 (км/ч) – разность скоростей
4. tм = Sм : Vр = 36  : 54 =  (ч) – ехал на мотоцикле
5. tв= 2 - = 2 (ч) – ехал на велосипеде

Ответ: tв=2 ч; tм= ч.

Способ 2 (графический).

Дополнительная работа: зададим формулы движения почтальона

Sв=12,75 * tв

Sм= 67,5 *tм + в

(у=ах+в), так как график проходит через точку (2; 70,5) следовательно

70,5= 67,5 * 2+ в

70,5= 67 *2

в = -109,5

Sм=67,5 * tм-109,5

Находим точку пересечения графиков. Точка пересечения графиков находится решением системы уравнений: t=2, S= 25,5 – точка Е

Ответ: tв=2 ч; tм=2  - 2 = ч.

Способ 3 (вычислительный)

Ot – ось времени, OV – ось скорости

Путь, пройденный почтальоном, можно представить в виде суммы площадей прямоугольников S1 и S2 или площадью прямоугольника со стороной 67,5 и без площади прямоугольника S3, то есть.

S = V * t        аналогия, то есть путь можно рассмотреть как

S = a * b        площадь прямоугольника

Имеем: S1 +S2 = S=70.5 (км) – по условию

S = 67.5 * 2 – S3; S3 =(67.5 – 12.75)*t

67 * 2 – (67.5-12.75) * t = 70.5

180-54.75*t=70.5

-54.75*t=70.5-180

-54.75*t=-109.5

t=-109.5: (-54,75)

t=2

t - время затраченное почтальоном на движение на велосипеде

tм =2  - 2 = ч. – время, затраченное на движение на мотоцикле.

Способ 4  (алгебраический) с помощью таблицы

1. 12 * х + 67( 2 - х) = 70,5

И т.д.

Способ 5 (алгебраический)

Алгебраический способ решения задачи  - это прежде всего условие задачи переводят на язык математики. Основа такого перевода, его первый шаг – введение буквы для обозначения какой-либо неизвестной величины. В результате перевода обычно получается равенство, содержащее букву. Это равенство называют уравнением. Следовательно алгебраический способ –это способ решения задач с помощью уравнений

Данной способ решения зада   в школьном курсе математики и является базовым уровнем и более востребованным.

2. Работа над задачей: выделение условия и требования (вопрос задачи)
3. Что является объектом задачи? (Движение почтальона на велосипеде и мотоцикле)
4. Следовательно,  данная задача относится к типу задач на движение
5. Основная формула движения S=V*t; S,V, t.
6. Использование анализа и синтеза при решении задачи:
7. разбиение основной задачи на подзадачи.
8. какой вопрос задачи.
9. Найти время движения почтальона на велосипеде и на мотоцикле.

t= 2 ч (общее)

        х        х        

        tв                      +        tм

                х             х

Vв                        Sв       +       Sм                      Vм

       12 км/ч           70,5 км                            67 км/ч

Из данного графа видно, что нам неизвестно и какие условия необходимы для решения задачи.

1. Sв + Sм =70,5   - модель уравнения
2. tв + tм =2  - модель уравнения

1. 12 * х + 67 ( 2 - х) = 70,5

12 (2 - х) +67*х = 70,5

Данный способ дает сразу четыре уравнения. Поэтому здесь можно проявить творчество, самостоятельность.

Можно предложить ученикам по группам, по вариантам решить данные уравнения или задать дифференцированное домашнее задание.

Построение графа к поиску решения дает наглядное представление, повторение формул движения.

Граф – это схема поиска решения задачи, руководствуясь которой ученик постоянно анализирует задачу.

1. Чтобы ответить на вопрос я должен знать расстояние движения на велосипеде, расстояние движения на мотоцикле.
2. Если я буду знать расстояние, то могу ответить на вопрос задачи

Задача. Два автомобиля выехали одновременно навстречу друг другу из двух городов, расстояние между которыми 600 км, и через 4 ч встретились. Определи скорость каждого автомобиля, если один ехал быстрее другого на 12 км/ч.

Арифметические способы

I способ:

1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

II способ:

1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 – 12 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
4) 150 – 69 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

III способ:

1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

IV способ:

1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 + 12 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
4) 150 – 81 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

V способ:

1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552 : 2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
4) 276 + 48 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
5) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
6) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

VI способ:

1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648 : 2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
4) 324 – 48 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
5) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
6) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

VII способ:

1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552 : 4 = 138 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными.
4) 138 : 2 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

VIII способ:

1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648 : 4 = 162 (км/ч) – была бы скорость сближения, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
4) 162 : 2 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

IX способ:

1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 – 48 = 552 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости второго автомобиля.
3) 552 : 2 = 276 (км) – проехал второй автомобиль.
4) 276 : 4 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.
5) 69 + 12 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.

X способ:

1) 12 x 4 = 48 (км) – на столько больше путь первого автомобиля.
2) 600 + 48 = 648 (км) – проехали бы два автомобиля, если бы скорости были равными скорости первого автомобиля.
3) 648 : 2 = 324 (км) – проехал первый автомобиль.
4) 324 : 4 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 81 – 12 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

XI способ:

1) 600 : 4 = 150 (км/ч) – скорость сближения.
2) 150 : 2 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными).
3) 12 : 2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость.
4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

XII способ:

1) 4 + 4 = 8 (км/ч) – были в пути два автомобиля.
2) 600 : 8 = 75 (км/ч) – средняя скорость автомобилей (была бы скорость каждого автомобиля, если бы скорости были равными).
3) 12 : 2 = 6 (км/ч) – на столько больше скорость первого автомобиля, чем средняя скорость; на столько меньше скорость второго автомобиля, чем средняя скорость.
4) 75 + 6 = 81 (км/ч) – скорость первого автомобиля.
5) 75 – 6 = 69 (км/ч) – скорость второго автомобиля.

Алгебраические способы

I способ:

Пусть х (км/ч) – скорость второго автомобиля.
Тогда скорость первого автомобиля равна (х + 12) (км/ч).
Скорость сближения автомобилей – (х +х + 12) (км/ч).
Общий путь автомобилей до встречи – (х + х + 12) x 4 (км).
По условию задачи этот путь равен 600 км.
Получаем уравнение: (х + х + 12) x 4 = 600.

II способ:

Пусть скорость второго автомобиля у (км/ч).
Тогда скорость первого автомобиля (у + 12) (км/ч).
Путь второго автомобиля до встречи равен у x 4 (км), а первого – (у + 12) x 4 (км).
Путь, пройденный двумя автомобилями вместе, – у x 4 + (у + 12) x 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение: у x 4 + (у + 12) x 4 = 600.

III способ:

Пусть скорость первого автомобиля к (км/ч.)
Тогда скорость второго автомобиля равна (к – 12) (км/ч).
Скорость сближения автомобилей – (к + к – 12) (км/ч).
Путь двух автомобилей до встречи равен (к + к – 12) x 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение – (к + к – 12) x 4 = 600.

IV способ:

Пусть скорость первого автомобиля в – (км/ч).
Тогда скорость второго автомобиля (в – 12) (км/ч).
Путь второго автомобиля до встречи равен в x 4 (км), а первого – (в – 12) x 4 (км).
Путь, пройденный двумя автомобилями вместе: в x 4 + (в – 12) x 4 (км).
По условию задачи он равен 600 км.
Получаем уравнение: в x 4 + (в – 12) x 4 = 600.
Ответ: 81 км/ч – скорость первого автомобиля, 69 км/ч – скорость второго автомобиля

Задача:«Хозяйка развела кур и кроликов. Всего у них 35 голов и 94 ноги. Сколько у хозяйки кур и сколько кроликов?»

Арифметический способ решения:

1) 35⋅2=70 (ног) - если бы все были куры.

2) 94-70=24 (ноги) - у кроликов.

3) 4-2=2 (ноги) - на столько ног больше у кролика, чем у курицы.

4) 24:2=12 (кр.)

5) 35-12=23 (кур.)

Ответ: 12 кроликов, 23 курицы.

Алгебраический способ решения:

Пусть у хозяйки х кур, а у – кроликов. Суммарно их 35, то есть х+у=35 – первое уравнение.

Так как у кур по 2 ноги, то 2х – всего ног у кур. У кроликов по 4 ноги, то 4у – всего ног у кроликов. В сумме составляют 94 ноги. Тогда получим второе уравнение – 2х+4у= 94.

В итоге получается система уравнений:    

12  (кроликов).

35-12=23 (курицы).

Ответ: 23 курицы, 12 кроликов.

Задача. «В саду было 4248 яблонь и груш. На каждые 7 яблонь приходилось 5 груш. Сколько в саду было яблонь и сколько груш?»

Арифметический способ решения:

1) 7+5=12 (д.)

2) 4248:12=354 (раза) - возьмём по12 в 4248.

3) 7⋅354=2478 (яб.)

4) 5⋅354=1770 (гр.)

Ответ: 2478 яблонь, 1770 груш.

Алгебраический способ решения:

Пусть х - яблони в саду, у - груши. Суммарно составляют по условию задачи 4248 деревьев, то есть х+у=4248 – первое уравнение.

По условию на 7 яблонь приходится 5 груш, то 7х - всего яблонь будет в саду, 5у – всего груш. Получим второе уравнение: 7х=5у.

В итоге получим   систему уравнений:

х+у=4248

     7х=5у.    

2478 (груш).

4248-2478=1770 (яб.)

Ответ: 1770 яблонь, 2478 груш.

Задача:«Из двух городов вышли одновременно навстречу друг другу два поезда и встретились через 18 ч. Определи скорость каждого поезда, если расстояние между городами 1620 км и скорость одного поезда на 10 км/ч больше скорости другого.»

Арифметический способ решения:

1) 10⋅18=180 (км) - проедет первый поезд больше второго до встречи.

2) 1620-180=1440 (км) - проехали бы оба поезда до встречи за 18 часов с одинаковой скоростью.

3) 1440:18=80 (км/ч) - сближение поездов за 1 час с одинаковой скоростью.

4) 80:2=40 (км/ч) - скорость первого поезда.

5) 40+10=50 (км/ч) - скорость второго поезда.

Ответ: 40 км/ч, 50 км/ч.

Алгебраический способ решения:

Пусть х км/ч – скорость одного поезда, у км/ч – скорость другого поезда. 18х км – проехал первый поезд до встречи, 18у км/ч – проехал второй поезд до встречи. До встречи оба поезда вместе прошли 1620 км. Получаем первое уравнение:

Скорость первого поезда больше скорости второго поезда на 10 км, то есть разность между скоростями поездов составляет 10 км.х-у=10 – второе уравнение.

В итоге получаем систему уравнений:

  х-у=104;  

18х+18у=1620.

50 км/ч – скорость первого поезда.

40 км/ч – скорость второго поезда.

Ответ: 50 км/ч, 40 км/ч.

Задача: «Для похода 46 школьников приготовили шестиместные и четырёхместные лодки. Сколько было тех и других лодок, если все ребята разместились в 10 лодках, и свободных мест не осталось?»

Арифметический способ решения:

1) 4∙10=40 (чел.) – поместилось бы в лодки, если бы они все были четырехместными.

2) 46-40=6 (чел.) – не поместились бы в лодки, если бы они все были четырехместными.

3) 6:2=3 (л.) - шестиместные.

4) 10-3=7 (л.) - четырёхместных.

Ответ: 3 лодки, 7 лодок.

Алгебраический способ решения:

Пусть х лодок - шестиместных, у лодок – четырёхместных. Четырёхместные и шестиместные лодки по условию задачи суммарно составляют 10, то есть х+у=10 – первое уравнение.

6х – места, занятые в шестиместных лодках, 4у – места занятые в четырёхместных лодках. Всего мест занято в двух видах лодок – 46. Получаем второе уравнение: 6х+4у=46.

В итого получим систему уравнений:

х+у=10;

 6х+4у=46.

3 лодки – шестиместные.

7 лодок – четырёхместных.

Ответ: 3 лодки, 7 лодок

Четыре способа решения одной задачи

Задача: Два одинаковых огурца и один помидор вместе весят 800г, а  два таких же помидора и один огурец весят вместе 700г.  Определите  массу одного огурца и одного помидора.

1 способ решения( с помощью уравнения) :

Пусть х г весит один огурец, тогда (800- 2х)г весит один помидор. По условию задачи два огурца и помидор весят 700г.

Составим и решим уравнение:

                            Х + 2( 800 - 2Х) = 700

2 способ решения( с помощью систем уравнений)

2х + у =800,

Х + 2у =700.

3 способ решения (арифметический)

1)800- 700= 100 (г) - на столько тяжелее один огурец, чем один помидор

2)700 - 100= 600г -весят 3 помидора

3) 600 :3 =200 г -  масса одного помидора

40 200 + 100 = 300г – масса одного огурца

4 способ решения

1. 800  + 700 = 1500Г –масса 3 огурцов и 3 помидоров
2. 1500 : 3 = 500г  весят один огурец и один помидор
3. 800 – 500= 300г  веси один огурец
4. 700 – 500 = 200г веси один помидор

Рассмотрим уравнение =  и способы  его решения

1 способ:  Возведение обоих частей в квадрат.

        = и осуществление проверки корней.  

= х - 8

х - 2 =

 - 17х + 66=0

х=11,

х=6.

Проверка: …

  Ответ: 11.

2 способ:

= х-8

Уравнение равносильно системе:    

х - 2 = ,

х - 8≥0,

- 17х+66=0,

х≥8,

х=11,

х=6,                                

х≥8.

Ответ: 11.

   Задача. Решите уравнение :sinx -  cosx=1

   В  газете «Первое  сентября» № 6, 1995г рассматривается 8 способов его решения.

Задача. В равнобедренном прямоугольном треугольнике АВС (∟С=90∙ ) проведены  медиана  ВД и отрезок СМ∟ВД (точка М€АВ). Найдите отношение АМ ∕ВМ.

Задача имеет 25 способов  решения.  (журнал Математика в школе №6, 2009 стр  39-47).

Задача . Дан прямоугольный треугольник со сторонами 3см. и 4см. Найти длину медианы, проведенной к гипотенузе.

Два способа решения:

1 – й способ. АВ  = =5 см

 Достроим прямоугольный треугольник до прямоугольника. А в прямоугольнике диагонали равны и в точке пересечения делятся пополам:  СМ  = 2,5 см.

2– й способ. АВ  =5 см –АВС  египетских треугольник. Точка М является центром описанной окружности, тогда  СМ = 1/2|АВ = 2,5, так как СМ – радиус этой окружности, а АВ – ее диаметр.

Задачи на концентрацию

 В толковом словаре концентрация (лат conc+centrum)-центр, сосредоточение.

В химии – относительное содержание данной составной части (компонента) в смеси, растворе, сплаве.

Задача.  Имеется кусок сплава меди с оловом общей массой 12кг, содержащий 45% меди. Сколько чистого олова надо добавить к этому куску сплава, чтобы получившийся новый сплав содержал 40% меди?

Решение :

1способ:

По условию задач составляем уравнение:

                             0,4(12 +х) =5,4.

                                  х =1,5;    1,5кг олова

                                                    Ответ :      1,5 кг

2 способ:

 12 ·0,45 =5,4(кг) – чистой меди в сплаве

Пусть

 х кг  олова добавили

(12 +х) кг – масса нового сплава

5,4/ 12 +х = 0.4,

      х = 1,5 ,     1,5 кг – олова

               Ответ :    1,5 кг

Рассмотрим одну из задач по геометрии, которую решали на уроке 4 способами