Варианты ОГЭ и ЕГЭ
материал для подготовки к егэ (гиа)

1. Задачу № 1 правильно решили 21 000 человек, что составляет 70% выпускников города. Сколько всего выпускников в этом городе?

2. 

3. 

4. По отзывам покупателей Иван Иванович оценил надёжность двух интернет-магазинов. Вероятность того, что нужный товар доставят из магазина А, равна 0,8. Вероятность того, что этот товар доставят из магазина Б, равна 0,9. Иван Иванович заказал товар сразу в обоих магазинах. Считая, что интернет-магазины работают независимо друг от друга, найдите вероятность того, что ни один магазин не доставит товар.

5. Решите уравнение 

6.

7. Прямая  является касательной к графику функции  Найдите 

8.

 9. Найдите  если 

10. При движении ракеты её видимая для неподвижного наблюдателя длина, измеряемая в метрах, вычисляется по закону  где  м — длина покоящейся ракеты,  км/с — скорость света, а  — скорость ракеты (в км/с). Какова должна быть скорость ракеты, чтобы её наблюдаемая длина стала равна 57 м? Ответ выразите в км/с.

11. Теплоход, скорость которого в неподвижной воде равна 20 км/ч, проходит по течению реки и после стоянки возвращается в исходный пункт. Скорость течения равна 4 км/ч, стоянка длится 2 часa, а в исходный пункт теплоход возвращается через 42 часа после отплытия из него. Сколько километров проходит теплоход за весь рейс?

12. Найдите наибольшее значение функции  на отрезке 

13. а) Решите уравнение 

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку 

14. Точки A, B и C лежат на окружности основания конуса с вершиной S, причем A и C диаметрально противоположны. Точка M — середина BC.

а) Докажите, что прямая SM образует с плоскостью ABC такой же угол, как и прямая AB с плоскостью SBC.

б) Найдите угол между прямой SA и плоскостью SBC, если AB = 4, BC = 6 и AS = 

15. Решите неравенство 

16. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AK и CM. На них из точек M и K опущены перпендикуляры ME и KH соответственно.

а) Докажите, что прямые EH и AC параллельны.

б) Найдите отношение EH и AC, если 

17. Алексей вышел из дома на прогулку со скоростью v км/ч. После того, как он прошел 6 км, из дома следом за ним выбежала собака Жучка, скорость которой была на 9 км/ч больше скорости Алексея. Когда Жучка догнала хозяина, они повернули назад и вместе возвратились домой со скоростью 4 км/ч. Найдите значение v, при котором время прогулки Алексея окажется наименьшим. Сколько при этом составит время его прогулки?

18. При каждом а решите систему уравнении 

19. В группе поровну юношей и девушек. Юноши отправляли электронные письма девушкам. Каждый юноша отправил или 4 письма, или 21 письмо, причём и тех, и других юношей было не менее двух. Возможно, что какой-то юноша отправил какой-то девушке несколько писем.

а) Могло ли оказаться так, что каждая девушка получила ровно 7 писем?

б) Какое наименьшее количество девушек могло быть в группе, если известно, что все они получили писем поровну?

в) Пусть все девушки получили различное количество писем (возможно, какая-то девушка не получила писем вообще). Каково наибольшее возможное количество девушек в такой группе?

1.  Решение.

Разделим 21 000 на 0,7:          

Значит, всего в этом городе — 30 000 выпускников.

Ответ: 30 000.

2. Решение.

Из графика видно, что двигатель нагревается до температуры  за 8 минут.

Ответ: 8.

3.  Решение.

Площадь трапеции равна произведению полусуммы оснований на высоту. Поэтому     см2.

Ответ: 21.

4.  Решение.

Вероятность того, что первый магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,9 = 0,1. Вероятность того, что второй магазин не доставит нужный товар равна 1 − 0,8 = 0,2. Поскольку эти события независимы, вероятность их произведения (оба магазина не доставят товар) равна произведению вероятностей этих событий: 0,1 · 0,2 = 0,02.

Ответ: 0,02.

5.  Решение.

Возведем обе части уравнения в третью степень:    

Ответ: 71.

6. Решение.

Треугольник CDE подобен треугольнику CAB с коэффициентом 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому                    

Следовательно, 

Ответ: 27.

7. Решение.

Условие касания графика функции  и прямой  задаётся системой требований:

В нашем случае имеем:

Ответ: 7.

8.  Решение.

Объем прямой призмы равен  где  – площадь основания, а  – боковое ребро. Тогда длина ее бокового ребра равна

Ответ: 6.

9.  Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 46.

10.  Решение.

Найдем, при какой скорости длина ракеты станет равна 57 м. Задача сводится к решению уравнения  при заданном значении длины покоящейся ракеты  м и известной величине скорости света  км/с:

 км/с.

Ответ: 240000

11.  Решение.

Пусть весь путь теплохода равен  км. Время в пути составляет 42 часов, из которых 2 часов — стоянка. Тогда имеем:

Следовательно, весь путь составляет  км.

Ответ: 768.

12.  Решение.

Найдем производную заданной функции:

Найдем нули производной на заданном отрезке:

Определим знаки производной функции на заданном отрезке и изобразим на рисунке поведение функции:

В точке  заданная функция имеет максимум, являющийся ее наибольшим значением на заданном отрезке. Найдем это наибольшее значение:

Ответ: 2.

13. Решение.

а) Запишем уравнение в виде      

Значит, или  — уравнение не имеет корней, или , откуда  или  

б) С помощью числовой окружности отберем корни уравнения, принадлежащие отрезку  Получим число 

Ответ: а)  б) 

14. Решение.

а) Проекция точки S на плоскость основания конуса — центр O его основания. Так как OM BC и SM BC, то угол наклона SM к ABC — это угол SMO. Этот же угол является углом между прямой OM и плоскостью SBC. Угол между прямой AB и SBC такой же, так как прямые OM и AB параллельны.

б) Синусом искомого угла является число

где h — расстояние от точки A до плоскости SBC равно  так как O — середина CA. Это расстояние — высота OT прямоугольного треугольника SOM, которая равна 

 и 

поэтому

Следовательно, синус искомого угла равен 

Ответ: б) 

15. Решение.

Найдём ОДЗ.

Далее имеем

С учётом ОДЗ, получим 

Ответ: 

16. Решение.

а) Поскольку  

около четырёхугольников AMKC и MEHK можно описать окружность с диаметрами AC и MK соответственно.

Значит,

то есть прямые AC и EH параллельны.

б) Пусть O — точка пересечения отрезков AK и CM. Тогда

В треугольнике EOH и AOC угол AOC общий, а углы OEH и OAC равны. Значит, треугольники EOH и AOC подобны.

Поскольку

коэффициент подобия равен  Значит, 

Ответ: б) 1 : 4.

17.  Решение.

Скорость сближения Алексея и Жучки (разность скоростей) Δv = 9 км/ч. Первоначальная разность расстояний между хозяином и собакой составляет ΔS = 6 км. Найдем разностное отношение  часа. Это и есть время, которое потребовалось Жучке, чтобы догнать Алексея.

С того времени, как Жучка бежала за хозяином, Алексей прошел расстояние, равное  км. В соответствии с условием задачи Алексей прошел еще 6 км пока Жучка была дома. Значит, в направлении от дома Алексей, будучи на прогулке, прошел  км. Такой же путь Алексей прошел после того, как Жучка догнала его, но в обратном направлении. На преодоление этого пути (со скоростью 4 км/ч) потребовалось  часа. Итак, вся прогулка Алексея продлилась

 часа.

Эта сумма будет наименьшей, когда сумма двух взаимно обратных положительных выражений  и  примет наименьшее значение. И эта наименьшая сумма заведомо известна, она равна 2 (классическое неравенство  — наименьшее значение достигается при a = 1). Следовательно, в нашем случае должно выполняться равенство  то есть v = 6 км/ч. Время всей прогулки Алексея составляет  часа.

Ответ: 6 км/ч,  часа.

18.  Решение.

Первое уравнение преобразуем к виду      ,

Или                        

Оно означает, что , , поскольку при остальных значениях его левая часть больше 0. Подставим эти значения во второе уравнение и получим , откуда 

Таким образом, система имеет решение ,  при , при остальных а решений нет.

Ответ: при , , , при остальных а решении нет.

19. Решение.

Пусть a юношей отправили по 4 письма и b юношей отправили по 21 письму. Тогда количество девушек  количество отправленных писем 

а) Спрашивается, имеет ли уравнение  решение. Запишем его в виде  Ясно, что числа  и  являются одним из решений. То есть если 14 юношей отправили по 4 письма и трое юношей отправили по 21 письму, то всего они отправили 119 писем, которые можно распределить между 17 девушками так, чтобы каждая получила ровно 7 писем.

б) Общее количество писем  должно делиться на количество девушек  без остатка. Заметим, что тогда в силу тождества  число  также должно делиться на  Если  не делится на 17, то b делится на  что противоречит условиям  Значит,  делится на 17. Наименьшее натуральное число, делящееся на 17, — это 17. Пример того, что девушек может быть ровно 17, приведён в предыдущем пункте.

в) Пусть  юношей отправили по 4 письма и  юношей отправили по 21 письму. Тогда суммарно они отправили  писем, а число полученных девушками писем не меньше

Получаем

откуда 

При  имеем  что противоречит условию 

Если  то суммарное количество отправленных писем равно  Эти письма можно распределить между девушками следующим образом: 40 девушек получили от 0 до 39 писем и ещё одна — 47. Таким образом, наибольшее возможное количество девушек — это 41.

Ответ: а) да; б) 17; в) 41.

1. Груз, подвешенный на нити длиной 2 м, отведён в сторону и отпущен. Нижнюю точку траектории он проходит со скоростью 1,4 м/с. Найдите центростремительное ускорение груза в нижней точке траектории. (Ответ дайте в метрах в секунду в квадрате и округлите до целых.)

2. Мяч массой 300 г брошен под углом 60° к горизонту с начальной скоростью м/с. Каков модуль силы тяжести, действующей на мяч в верхней точке траектории? (Ответ дайте в ньютонах.) Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с2.

3. Модуль импульса частицы равен 20 кг⋅м/с, а её кинетическая энергия 40 Дж. Чему равен модуль скорости частицы?

4. Звуковой сигнал, отразившись от препятствия, вернулся обратно к источнику через 5 с после его испускания. Каково расстояние от источника до препятствия, если скорость звука в воздухе 340 м/с? (Ответ дайте в метрах.)

5.

6. Отец посадил на качели младшую дочь и раскачал качели до амплитуды 30°. Затем он остановил качели, посадил на них вместо дочери старшего сына, масса которого больше массы дочери, и снова раскачал качели до той же амплитуды Как при этом изменились следующие физические величины: максимальная потенциальная энергия качающегося ребёнка относительно поверхности земли, скорость качелей при прохождении ими положения равновесия, максимальная сила давления качающегося ребёнка на сиденье качелей?

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличилась;       2) уменьшилась;     3) не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

7. В момент t = 0 шарик бросили вертикально вверх с начальной скоростью v. Сопротивление воздуха пренебрежимо малo. Установите соответствие между графиками и физическими величинами, зависимости которых от времени эти графики могут отражать (t0 — время полёта).

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

8. В результате охлаждения одноатомного идеального газа его давление уменьшилось в 4 раза, а концентрация молекул газа не изменилась. Чему равно отношение конечной средней кинетической энергии теплового движения молекул газа к начальной?

9.

10. Относительная влажность воздуха в комнате равна 40%. Чему равно отношение — концентрации молекул воды в воздухе комнаты к концентрации молекул воды в насыщенном водяном паре при той же температуре?

11. Горячая жидкость медленно охлаждалась в стакане. В таблице приведены результаты измерений ее температуры с течением времени.

Выберите из предложенного перечня два утверждения, которые соответствуют результатам проведенного экспериментального исследования, и укажите их номера.

1) Температура кристаллизации жидкости в данных условиях равна 95 °С.

2) Через 7 мин после начала измерений в стакане находилось вещество только в жидком состоянии.

3) Через 9 мин после начала измерений в стакане находилось вещество как в жидком, так и в твердом состоянии.

4) Через 13 мин после начала измерений в стакане находилось вещество только в твердом состоянии.

5) Через 10 мин после начала измерений жидкость начала конденсироваться.

12. Температура нагревателя идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, равна T1, а температура холодильника равна T2. За цикл двигатель совершает работу, равную А. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

13.

14.

15. Какая энергия запасена в катушке индуктивности, если известно, что при протекании через неё тока силой 0,5 А поток, пронизывающий витки её обмотки, равен 6 Вб? Ответ выразите в Дж.

16.

17.

18. Неизвестная частица движется в ускорителе со скоростью, близкой к скорости света. Кинетическая энергия и энергия покоя этой частицы соответственно равны Eк = 6·10-12 Дж и E0 = 9·10-12 Дж.

Установите соответствие между физическими величинами иx значениями. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

 19. Ядро испустило протон, а затем захватило электрон. Сколько протонов и сколько нейтронов входит в состав ядра, которое образовалось в результате этих реакций?

В ответе запишите число протонов и нейтронов слитно без пробела.

20. Два источника излучают свет с частотами ν1 и ν2. Найдите отношение если отношение импульсов фотонов этих излучений

21. При исследовании зависимости кинетической энергии фотоэлектронов от частоты падающего света фотоэлемент освещался через светофильтры. В первой серии опытов использовался синий светофильтр, а во второй – жёлтый. В каждом опыте измеряли запирающее напряжение.

Как изменяются длина световой волны, напряжение запирания и кинетическая энергия фотоэлектронов?

Для каждой физической величины определите соответствующий характер изменения.

1) увеличилась            2) уменьшилась            3) не изменилась

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

22. Для определения линейной плотности нити (массы единицы длины) отмеряют отрезок длиной L = 5 м (делают это с очень высокой точностью) и взвешивают его на весах. Масса отрезка оказывается равной m = (6,3 ± 0,1) г. Чему равна линейная плотность нити? (Ответ дайте в г/м, значение и погрешность запишите слитно без пробела.)

23.

24. Из списка ниже выберите две стадии звёздной эволюции, которые ожидают наше Солнце в будущем.

1) белый карлик        2) красный гигант       3) красный карлик     4) нейтронная звезда          5) голубой гигант

25. Тело, нагретое до температуры 100 °С, опустили в калориметр, содержащий 200 г воды. Начальная температура калориметра с водой 23 °С. После установления теплового равновесия температура тела и воды стала равна 30 °С. Определите массу тела, если удельная теплоёмкость вещества, из которого сделано тело, равна 187 Дж/(кг∙К). Теплоёмкостью калориметра пренебречь. Ответ приведите в килограммах с точностью до сотых.

26. В закрытом сосуде с жёсткими стенками находится кислород при некоторой температуре и давлении 55,5 кПа. Концентрация молекул кислорода 5,4·1025 1/м3. В этот сосуд добавляют азот при такой же температуре. Концентрация молекул азота в сосуде становится равной 7,2·1025 1/м3. Чему равно парциальное давление азота в этом сосуде? Ответ выразите в кПа и округлите до целого числа.

27. На дифракционную решетку с периодом 0,004 мм падает по нормали плоская монохроматическая волна. При какой максимальной длине волны можно наблюдать 19 дифракционных максимумов? Ответ приведите в нм и округлите до целого числа.

28. В установке по наблюдению фотоэффекта свет от точечного источника S, пройдя через собирающую линзу, падает на фотокатод параллельным пучком. В схему внесли изменение: на место первоначальной линзы поставили собирающую линзу того же диаметра, но с меньшим фокусным расстоянием. Источник света переместили вдоль главной оптической оси линзы так, что на фотокатод свет снова стал падать параллельным пучком. Как изменился при этом (уменьшился или увеличился) фототок насыщения? Объясните, почему изменяется фототок насыщения, и укажите, какие физические закономерности вы использовали для объяснения.

29.

На гладком горизонтальном столе покоится брусок с прикреплённой к нему гладкой изогнутой в вертикальной плоскости тонкой жёсткой трубкой (см. рисунок). Общая масса бруска с трубкой равна M = 1 кг. В верхний конец вертикальной части трубки, находящийся на высоте H = 1 м над бруском, опускают без начальной скорости маленький шарик массой m = 100 г. Другой конец трубки наклонён к горизонту под углом α = 45° и находится на высоте h = 30 см над бруском. Найдите модуль скорости, с которой будет двигаться брусок после того, как шарик вылетит из трубки.

30. В начальный момент времени газ имел давление при t = 100 °С. Затем газ изотермически сжали в k = 4 раз. В результате давление газа увеличилось в 3 раза. Определите относительную влажность в начальный момент времени. Потерями вещества пренебречь.

31. По прямому горизонтальному проводнику длиной 1 м с площадью поперечного сечения подвешенному с помощью двух одинаковых невесомых пружинок жёсткостью 100 Н/м, течёт ток (см. рисунок).

Какой угол составляют оси пружинок с вертикалью после включения вертикального магнитного поля с индукцией если абсолютное удлинение каждой из пружинок при этом составляет ? (Плотность материала проводника )

32. Условимся считать изображение на пленке фотоаппарата резким, если вместо идеального изображения в виде точки на пленке получается изображение пятна диаметром не более некоторого предельного значения. Поэтому, если объектив находится на фокусном расстоянии от пленки, то резкими считаются не только бесконечно удаленные предметы, но и все предметы, находящиеся дальше некоторого расстояния d. Оцените предельный размер пятна, если при фокусном расстоянии объектива 50 мм и диаметре входного отверстия 5 мм резкими оказались все предметы, находившиеся на расстояниях более 5 м от объектива. Сделайте рисунок, поясняющий образование пятна.

1. Решение.

Центростремительное ускорение равно

Ответ: 1.

2. Решение.

Сила тяжести не зависит от скорости движения тела, действует постоянно, и определяется только массой тела и величиной ускорения свободного падения (). Поэтому в момент прохождения верхней точки траектории, как и в любой другой момент, сила тяжести, действующая на мяч, равна

Ответ: 3.

3. Решение.

Импульс тела равен произведению массы этого тела на его скорость

Кинетическая энергия может быть найдена по формуле

Отсюда модуль скорости частицы равен

Ответ: 4.

4. Решение.

За 5 с звуковой сигнал успел дважды пройти расстояние между источником и препятствием, а значит, это расстояние равно

м. 

Ответ: 850.

5. Решение.

Скорость — это производная координаты по времени. Графически, скорость — это тангенс угла наклона графика зависимости координаты от времени. Заметим, что скорость тела на участке 1 уменьшается, то есть проекция ускорения ax на участке 1 отрицательна. На участке 2 скорость бусинки неизменна.

Таким образом, верны утверждения под номерами 1 и 4.

Ответ: 14.

6. Решение.

По-видимому, авторами задачи предполагалось, что данную систему можно рассматривать как математический маятник, тем самым детей необходимо считать материальными точками. В противном случае на вопросы задачи невозможно дать однозначного ответа, ибо ответы будут зависеть, от того, как именно ведут себя дети на качелях (качают ли ногами или нет) и, например, от того, какого они роста (это будет влиять на высоту их центра масс над поверхностью сидения). Поэтому и будем решать задачу, используя данное предположение.

Максимальная потенциальная энергия качающегося ребёнка относительно поверхности земли достигается в момент максимального отклонения из положения равновесия. Поскольку амплитуда осталась прежней, высота подъема над землей не изменилась. Следовательно, максимальная потенциальная энергия () увеличится, так как увеличилась масса «качающегося тела» (А —1).

Для маятника выполняется закон сохранения полной механической энергии. Будем измерять высоту подъема качелей от положения равновесия, тогда кинетическая энергия в положении равновесия равна потенциальной энергии в положении максимального отклонения: Как видно, скорость прохождения качелями положения равновесия не зависит от массы сидящего, а потому данная скорость не изменяется (Б —3).

Качающийся ребенок движется по дуге окружности, у него есть как центростремительное ускорение, так и тангенциальное, но последнее на силу давления ребенка на сиденье качелей никак не влияет. По третьему закону Ньютона, сила давления качающегося ребенка на сиденье качелей равна по величине силе реакции опоры со стороны сиденья: поэтому определим, что произойдет с величиной максимальной силы реакции опоры. Выпишем второй закон Ньютона в проекции на радиальную ось: здесь  — угол отклонения от вертикали. Отсюда сразу видно, что максимальная сила реакции опоры достигается в тот момент, когда качели проходят положения равновесия, при этом: Таким образом, при увеличении массы качающегося, максимальная сила реакции также увеличивается (В —1).

Ответ: 131.

7. Решение.

Пренебрегая силой сопротивления воздуха, заключаем, что на камень действует только сила тяжести, которая сообщает ему постоянное ускорение свободного падения, направленное вниз. Следовательно, проекция ускорения камня постоянна во времени и отрицательна. График А отображает именно такую величину (А — 3). Легко увидеть, что график Б) соответствует координате шарика. Действительно,

Ответ: 31.

8. Решение.

Давление идеального газа пропорционально произведению концентрации молекул газа и средней кинетической энергии теплового движения: При неизменной концентрации уменьшение давления идеального газа в 4 раза приведет уменьшению средней кинетической энергии теплового движения молекул также в 4 раза.

Ответ: 0,25.

9. Решение.

На диаграмме p—V работе, совершаемой газом при переходе из начального состояния в конечное, соответствует площадь под линией, изображающей процесс перехода. Для процесса 1—2—3 эта площадь показана на рисунке штриховкой. Таким образом, при переходе из состояния 1 в состояние 3 газ совершает работу

Ответ: 8.

10. Решение.

Относительная влажность воздуха связана с парциальным давлением пара при некоторой температуре и давлением насыщенных паров при той же температуре соотношением Используя тот факт, что насыщенный пар подчиняется уравнению состояния идеального газа для отношения концентрации молекул воды в воздухе комнаты и концентрации насыщенного водяного пара при той же температуре имеем:

Ответ: 0,4.

11. Решение.

Из таблицы видно, что до 6 мин температура жидкости уменьшалась; с 6 до 10 мин — оставалась постоянной, в это время проходила кристаллизация, в стакане находилась смесь вещества в жидком и твёрдом состояниях; после 10 мин температура уменьшалась, в стакане было твердое вещество.

Верны третье и четвёртое утверждения.

Ответ: 34.

12. Решение.

А) КПД идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно рассчитывается по формуле

Б) КПД также рассчитывается как отношение работы, совершаемой за цикл к теплоте, отдаваемой нагревателем Откуда

Ответ: 23.

13. Решение.

При движении проводника в магнитном поле, на электрические заряды в проводнике действует сила Лоренца:

Под действием силы Лоренца внутри проводника происходит распределение положительных и отрицательных зарядов вдоль всей длины проводника Сила Лоренца является в данном случае сторонней силой, и в проводнике возникает ЭДС индукции, а на концах проводника АВ возникает разность потенциалов:

Отсюда можем получить величину скорости проводника:

Ответ: 0,5.

14. Решение.

При разомкнутом ключе все конденсаторы соединены последовательно, их общая ёмкость находится по формуле:

Отсюда

При параллельном соединении конденсаторов их ёмкости складываются. Для схемы с замкнутым ключом получаем:

Находим отсюда

Ответ: 12.

15. Решение.

При протекании тока через катушку индуктивности в ней возникает магнитный поток, численно равный Отсюда индуктивность катушки равна Тогда энергия, запасённая в катушке:

Ответ: 1,5.

16. Решение.

При переходе из оптически более плотной среды в менее плотную, луч отклоняется от нормали, как показано на рисунке. Пустим луч параллельно главной оптической оси, тогда после преломления он пойдёт в точку фокуса. Запишем закон преломления для двух случаев и сравним угол преломления

Для воздуха:

Для воды:

Синус угла уменьшился, следовательно угол уменьшился. Это значит, что расстояние от пересечения луча с главной оптической осью до линзы увеличилось, а данное расстояние и есть фокусное расстояние линзы.

Оптическая сила а т. к. увеличилось, уменьшилась.

Так как показатель преломления среды также остался меньше показателя преломления материала линзы, то линза как была так и останется собирающей.

Ответ: 45.

17. Решение.

При переходе светового пучка из воздуха в стекло частота электромагнитных колебаний в световой волне не изменяется, поскольку она не зависит от того, в какой среде распространяется волна. Так как стекло является оптически более плотной средой, чем воздух, при переходе в стекло скорость распространения световой волны уменьшается. В свою очередь, длина волны связана с частотой электромагнитных колебаний и скоростью распространения соотношением В виду неизменности частоты и уменьшения скорости отсюда следует, что длина волны уменьшается.

Ответ: 322.

18. Решение.

Полная энергия частицы это сумма кинетической энергии и энергии покоя

Полная энергия частицы связана с ее скоростью как

Отсюда скорость частицы равна

Ответ: 42.

19. Решение.

В результате такой реакции заряд ядра уменьшается на 2, а массовое число уменьшается на 1. У заряд ядра равен 12, а массовое число — 20.

В результате захвата электрона и испускания протона образуется ядро в котором содержится 10 протонов и 9 нейтронов.

Ответ: 109.

20. Решение.

Модуль импульса фотона связан с частотой света соотношением По условию, а значит, отношение частоты света первого пучка к частоте второго равно

Ответ: 2.

21. Решение.

Использование светофильтра позволяет вырезать из спектра определенный участок длин волн. Смена синего светофильтра на желтый приводит к увеличению длины световой волны (так как длина волны синего излучения меньше чем желтого).

Запирающее напряжение — это напряжение, при котором прекращается фототок. Величина запирающего напряжения для определенного фотокатода прямо пропорциональна частоте падающего света. А значит, при увеличении длины волны, частота уменьшается и уменьшается запирающее напряжение.

При фотоэффекте энергия падающего излучения расходуется на работу выхода электрона(которая постоянна для вещества из которого выбиваются электроны) и остаток переходит в кинетическую энергию электрона: Энергия падающего излучения уменьшается при увеличении длины волны, следовательно, кинетическая энергия фотоэлектронов также уменьшается.

Ответ: 122.

22. Решение.

Линейная плотность равна отношению массы отрезка к его длине:

Погрешность вычисленной величины определяется относительными погрешностями входящих в формулу величин. Длина измерена с очень высокой точностью, поэтому её относительная погрешность пренебрежимо мала. Тогда относительные погрешности τ и m равны: следовательно,

Ответ: 1,260,02.

23. Решение.

Чтобы исследовать зависимость сопротивления проводника от его длины необходимо выбрать проводники из одного материала, одного диаметра, но разной длины. Для этой цели подходят проводники 2 и 5.

Ответ: 25.

24. Решение.

Когда Солнце израсходует все запасы водорода, в ядре образуется большое количество гелия. Солнце очень сильно увеличится в размерах и перейдёт в следующую стадию — стадию красного гиганта. После этого пойдут другие ядерные реакции и в конце концов Солнце потеряет большую часть своей энергии. После этого Солнце выбросит в космос большую часть своей атмосферы и превратится в белого карлика.

Ответ: 12.

25. Решение.

Поскольку теплоёмкостью калориметра можно пренебречь, всё тепло, выделяющееся при остывании тела, идёт на нагрев воды. Составим уравнение теплового баланса: Отсюда находим массу тела:

Ответ: 0,45.

26. Решение.

Основное уравнение МКТ связывает макроскопические параметры (давление, объём, температура) термодинамической системы с микроскопическими (масса молекул, средняя скорость их движения)

где — концентрация молекул газа.

Найдём температуру кислорода, которая по условию также равна температуре азота

Парциальное давление азота тогда равно

Ответ: 74.

27. Решение.

Условие дифракционных максимумов имеет вид: Здесь — угол, под которым наблюдается дифракционный максимум. Дифракционная решетка дает симметричную картинку, поэтому, поскольку на экране наблюдается 19 максимумов, самые дальние максимумы имеют номера и

Определим, в каких пределах может меняться длина волны, чтобы наблюдать ровно 19 интерференционных максимумов. Минимально возможная длина волны определяется тем, что лучи, соответствующие 20 и 21 максимумам (с номерами и соответственно) еще не попадают на экран, то есть в предельном случае они должны быть направлены под углом в это отвечает ситуации, когда свет после прохождения решетки идет вдоль нее. Используя эту информацию нетрудно оценить минимальную длину волны:

нм.

Это действительно минимальная длина волны, так как если длину волны уменьшить, то на экране сразу появятся дополнительные максимумы. Определим теперь максимально возможную длину волны. Она определяется тем, что лучи, соответствующие 18 и 19 максимумам (с номерами и соответственно) все еще попадают на экран, то есть угол, под которым они наблюдаются должен быть меньше :

нм.

Таким образом, чтобы наблюдать ровно 19 максимумов длина волны должна удовлетворять условию

Ответ: 444 нм.

28. Решение.

По первому закону Столетова фототок насыщения зависит от интенсивности падающего света, то есть от количества фотонов, падающих на фотокатод в единицу времени. При использовании линзы такого же диаметра, но с меньшим фокусным расстоянием, телесный угол, под которым из источника видно линзу, увеличивается, поскольку источник теперь расположен ближе к ней (для получения параллельного пучка источник нужно разместить в фокусе линзы). Фотоны летят от источника во все стороны равномерно, поэтому результирующий поток фотонов, попадающих на фотокатод в результате замены линзы, увеличивается. А значит, увеличивается и ток насыщения.

29. Решение.

1. Из условия задачи следует, что шарик вылетит из трубки с некоторой скоростью относительно стола, а брусок приобретёт горизонтальную скорость направленную влево (см. рисунок).

2. Поскольку шарик в системе отсчёта, связанной с бруском, вылетает вдоль трубки со скоростью направленной под углом к горизонту, а сама трубка в момент вылета шарика движется влево со скоростью согласно классическому закону сложения скоростей имеем: и по теореме косинусов

3. Поскольку механическая энергия системы сохраняется, то можно записать:

4. Сохраняется также и нулевая горизонтальная проекция импульса системы, так что

5. Решая полученную систему уравнений, находим модуль искомой скорости бруска:

м/с.

Ответ: м/с.

30. Решение.

Поскольку при изотермическом уменьшении объёма в 4 раза, давление увеличилось только в 3 раза, значит, в какой-то момент пары воды стали насыщенными.

В конечном состоянии по условию давление равно Парциальное давление насыщенных паров воды при 100 °С равно значит, парциальное давление остальных составляющих газа равно

В начальном состоянии парциальное давление этих составляющих было а значит, парциальное давление паров воды было

Относительная влажность в начальный момент

Ответ: 70 %.

31. Решение.

Условие механического равновесия проводника приводит к системе уравнений:

Поделим второе равенство на первое:

Масса провода Таким образом,

Ответ:

32. Решение.

Лучи, идущие от предмета на расстоянии d, собираются на расстоянии f, которое больше фокусного расстояния, и поэтому образуют на пленке пятно диаметром Из подобия треугольников получаем соотношение: (1).

Из формулы тонкой линзы находим: (2). Из (1) и (2) получаем окончательно:

Ответ:

1. Найдите значение выражения 

2. На координатной прямой отмечено число a.

Найдите наибольшее из чисел a2, a3, a4.

В ответе укажите номер правильного варианта.

1) a2          2) a3           3) a4

4) не хватает данных для ответа

3. Найдите значение выражения 

1)       2)          3)                4)

4. Найдите корни уравнения  .

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

5. Из 1400 новых карт памяти в среднем 56 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна?

6. На рисунке изображены графики функций вида y = ax2​ + bx + c. Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов a и c.

ГРАФИКИ 

КОЭФФИЦИЕНТЫ 

1)         2)         3) 

7. Дана арифметическая прогрессия (an), разность которой равна −8,5, a1 = −6,8. Найдите a11.

8. Найдите значение выражения  при 

9. Мощность постоянного тока (в ваттах) вычисляется по формуле P = I2R, где I — сила тока (в амперах), R — сопротивление (в омах). Пользуясь этой формулой, найдите сопротивление R (в омах), если мощность составляет 98 Вт, а сила тока равна 7 А.

10. Укажите решение неравенства 

1)      2)          3)          4)

11. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABD равен 71°, угол CAD равен 61°. Найдите угол ABC. Ответ дайте в градусах.

12.

 13.

 14.

15. Какое из следующих утверждений верно?

1. Все прямоугольные треугольники подобны.

2. Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую.

3. Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам.

В ответ запишите номер выбранного утверждения.

16. Решите неравенство 

17. Имеются два сосуда, содержащие 40 кг и 20 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 33% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 47% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?

18. Постройте график функции

и определите, при каких значениях  прямая  будет пересекать построенный график в трёх точках.

19. Точка H является основанием высоты BH, проведённой из вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите BH, если PK = 14.

20. Окружности с центрами в точках I и J пересекаются в точках A и B, причём точки I и J лежат по одну сторону от прямой AB. Докажите, что отрезки AB и IJ перпендикулярны.

1.  Решение.

Последовательно получаем:

Ответ: −50.

2. Решение.

Заметим, что  откуда следует, что  Таким образом, наибольшее из представленных в ответе чисел — число 

Правильный ответ указан под номером: 3.

3. Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 1

4. Решение.

Разложим на множители левую часть уравнения:

Ответ: −70.

5.  Решение.

Вероятность того, что выбранная карта будет неисправной равна  Поэтому вероятность того, что случайно выбранная карта памяти исправна, равна 1 − 0,04 = 0,96.

Ответ: 0,96.

6.  Решение.

Если парабола задана уравнением , то: при  то ветви параболы направлены вверх, а при  — вниз. Значение c соответствует значению функции в точке x = 0. Следовательно, если график пересекает ось ординат выше оси абсцисс, то значение c положительно, если ниже оси абсцисс — отрицательно.

Таким образом, функциям соответствуют следующие графики: А — 3, Б — 1, В — 2.

Ответ: 312.

7. Решение.

Член арифметической прогрессии с номером  можно найти по формуле  Требуется найти 

Ответ: −91,8.

8. Решение.

Упростим выражением

Подставим значения :

Ответ: -3,5

9.  Решение.

Выразим сопротивление из формулы для мощности: 

Подставляя, получаем:

Ответ: 2.

10. Решение.

Последовательно получаем:

Правильный ответ указан под номером: 3.

Ответ: 3

11. 

Решение.

Угол CAD и угол CBD — вписанные углы, опирающиеся на одну дугу, а значит, они равны 61°. Следовательно:

Ответ: 132.

12.  Решение.

Пусть длина большей дуги  равна  Длина дуги прямо пропорциональна её градусной мере, поэтому имеет место отношение:

Ответ: 535.

13.  Решение.

Поскольку  — средняя линия,  Рассмотрим треугольники  и  углы  и  равны как соответственные при параллельных прямых, угол  — общий, следовательно, треугольники подобны с коэффициентом подобия  Площади подобных фигур относятся как квадраты коэффициентов подобия, поэтому 

Ответ: 168.

14.  Решение.

Посчитаем количество клеток внутри закрашенной области: их 19.

Ответ: 19.

15. Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) Все прямоугольные треугольники подобны — неверно, поскольку не соответствует ни одному из признаков подобия.

2) Через заданную точку плоскости можно провести только одну прямую — неверно, через две точки можно провести только одну прямую.

3) Диагонали ромба точкой пересечения делятся пополам — верно.

Ответ: 3.

16.  Решение.

Решим неравенство методом интервалов, для этого, сначала, найдём корни уравнения 

Теперь расставим точки на прямой и определим знаки исходного выражения на каждом получившемся промежутке(см рис.).

Таким образом, ответ 

Ответ: 

Примечание.

Обратите внимание, что при определении знаков выражения используется исходное выражение, а именно, 

17.  Решение.

Пусть концентрация первого раствора — х, концентрация второго раствора — y. Составим систему уравнений согласно условию задачи:

Таким образом, во первом растворе содержится  килограмма кислоты.

Ответ: 2.

18. Решение.

Построим график функции (см. рисунок).

Из графика видно, что прямая  будет иметь с графиком функции ровно три точки пересечения при  принадлежащем множеству: 

Ответ: (0; 5).

19.  Решение.

Угол  — вписанный, он равен 90° и опирается на дугу  следовательно, дуга  равна 180°, значит, хорда  — диаметр окружности и 

Ответ: 14.

20. Решение.

Точка I равноудалена от A и B, поэтому она лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB. То же можно сказать и о J . Значит, IJ — серединный перпендикуляр к AB.

Вариант 1  

1. Какое утверждение верно?

1) Если одна из двух прямых перпендикулярна к третьей прямой, то и другая прямая перпендикулярна к этой прямой.

2) Если две прямые перпендикулярны к третьей прямой, то они параллельны.

3) Если две прямые перпендикулярны к плоскости, то они параллельны.

2. Прямая m перпендикулярна к прямым a и b, лежащим в плоскости, но m не перпендикулярна к плоскости. Тогда прямые a и b…

1) параллельны;

2) пересекаются;

3) скрещиваются.

3. Плоскость  проходит через вершину А ромба ABCD перпендикулярно диагонали АС. Тогда диагональ BD…

1) перпендикулярна плоскости;

2) параллельна плоскости;

3) лежит в плоскости.

4.  Тогда прямые a и b не могут быть…

1) скрещивающимися;

2) перпендикулярными;

3) параллельными.

5.

6. Прямая перпендикулярна плоскости круга, если она перпендикулярна двум…

1) радиусам;    

2) диаметрам;    

3) хордам.

7. Линейным углом двугранного угла нельзя назвать угол, возникающий при пересечении двугранного угла плоскостью, перпендикулярной…

1) ребру двугранного угла;        

2) одной из граней двугранного угла;      

 3) граням двугранного угла.

8. Какое утверждение верное?

1) Не может ребро двугранного угла быть не перпендикулярным плоскости его линейного угла.

2) Не могут две плоскости, перпендикулярные к одной плоскости, быть непараллельными.

3) Не могут две плоскости, перпендикулярные к одной прямой, быть непараллельными.

9. Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

      10.

11. Какое утверждение неверное?

1) Если одна из двух плоскостей проходит через прямую, перпендикулярную к другой плоскости, то такие плоскости перпендикулярны.

2) Если плоскости перпендикулярны, то линия их пересечения перпендикулярна любой прямой, лежащей в одной из данных плоскостей.

3) Плоскость, перпендикулярная линии пересечения двух данных плоскостей, перпендикулярна к каждой из этих плоскостей.

12. Не может плоскость быть не перпендикулярной данной плоскости, если она проходит через прямую…

1) параллельную данной плоскости;

2) перпендикулярную данной плоскости;

3) не перпендикулярную данной плоскости.

13. Количество двугранных углов параллелепипеда равно…

1) 8;                                           2) 12;                                         3) 24.

14.

Уровень B

1.

Ответ:________________

2.   АВ = 5 см, см.   

Тогда длина перпендикуляра BD равна…

Ответ:____________________

Вариант 2  

1. Прямая называется перпендикулярной к плоскости, если она перпендикулярна…

1) к одной прямой, лежащей в плоскости;

2) к двум прямым, лежащим в плоскости;

3) к любой прямой, лежащей в плоскости.

2.   

Тогда прямые a и b не могут быть…

1) перпендикулярными;

2) параллельными;

3) скрещивающимися.

3. Диагональ АС квадрата ABCD перпендикулярна некоторой плоскости  

, проходящей через точку А. Тогда диагональ BD…

1) перпендикулярна плоскости;

2) параллельна плоскости;

3) лежит в плоскости.

4.

5.  Прямые b и с не могут быть…

1) параллельными;

2) перпендикулярными;

3) скрещивающимися.

6. Какое утверждение неверное?

1) Через любую точку пространства проходит прямая, перпендикулярная к данной плоскости, и притом только одна.

2) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно построить только одну плоскость, перпендикулярную данной прямой.

3) Через точку, не лежащую на данной прямой, можно построить только одну прямую, перпендикулярную данной прямой.

7.

8. Какое утверждение верное?

1) Не может ребро двугранного угла быть не перпендикулярным любой прямой, лежащей в плоскости его линейного угла.

2) Не могут быть две плоскости, перпендикулярные третьей, непараллельными.

3) Не могут быть две плоскости, перпендикулярные одной плоскости, непараллельными.

9. Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

10.

11. Какое утверждение верное?

1)

2)

3)

12. Какое утверждение верное?

1) Нельзя через точку пространства провести три плоскости, каждые две из которых взаимно перпендикулярны.

2) Не существует прямой, пересекающей две данные скрещивающиеся прямые и перпендикулярной каждой из них.

3) Не может плоскость быть не перпендикулярной данной плоскости, если она проходит через прямую, перпендикулярную данной плоскости.

13. Количество двугранных углов тетраэдра равно…

1) 4;                                                               2) 6;                                           3) 12.

14. 

1. Найдите значение выражения 

2. Найдите значение выражения .

3. На пост председателя школьного совета претендовали два кандидата. В голосовании приняли участие 99 человек. Голоса между кандидатами распределились в отношении 3:8. Сколько голосов получил победитель?

4. Перевести температуру из шкалы Цельсия в шкалу Фаренгейта позволяет формула  где  — градусы Цельсия,  — градусы Фаренгейта. Какая температура по шкале Цельсия соответствует  по шкале Фаренгейта? Ответ округлите до десятых.

5. Найдите значение выражения 

6. В летнем лагере на каждого участника полагается 30 г сахара в день. В лагере 148 человек. Сколько килограммовых упаковок сахара понадобится на весь лагерь на 5 дней?

7. Найдите корень уравнения 

8.

9. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

 10. В чемпионате по гимнастике участвуют 28 спортсменок: 8 из Франции, 13 из Великобритании, остальные — из Германии. Порядок, в котором выступают гимнастки, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии.

11. 

12. Строительный подрядчик планирует купить 20 тонн облицовочного кирпича у одного из трёх поставщиков. Один кирпич весит 5 кг. Цена кирпича и условия доставки всей покупки приведены в таблице.

Во сколько рублей обойдётся наиболее дешёвый вариант покупки с учётом доставки?

13.

 14. На рисунках изображены графики функций вида  Установите соответствие между графиками функций и угловыми коэффициентами прямых.

ГРАФИКИ 

УГЛОВЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ 

1) −0,2         2)        3) 0,5                        4) 2

15. 

16.

17. На координатной прямой отмечено число 

Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

18. Среди жителей дома № 23 есть те, кто работает, и есть те, кто учится. А также есть те, кто не работает и не учится. Некоторые жители дома № 23, которые учатся, ещё и работают. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Хотя бы один из работающих жителей дома № 23 учится.

2) Все жители дома № 23 работают.

3) Среди жителей дома № 23 нет тех, кто не работает и не учится.

4) Хотя бы один из жителей дома № 23 работает.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

19. Вычеркните в числе 123456 три цифры так, чтобы получившееся трёхзначное число делилось на 27. В ответе укажите получившееся число.

20.

1.  Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 4.

2. Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 27.

3.  Решение.

Найдём количество голосов в одной части:

Найдём количество человек проголосовавших за победителя:

Ответ: 72.

4.  Решение.

Узнаем, какая температура по шкале Цельсия соответствует 116° по шкале Фаренгейта:

Ответ: 46,7.

5.  Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: 1.

6.  Решение.

На 148 человек на 1 день полагается 148  30 = 4440 г сахара, на 5 дней — 4440  5 = 22 200 г. Разделим 22 200 на 1000:

22 200 : 1000 = 22,2.

Значит, на весь лагерь на 5 дней понадобится 23 килограммовых упаковки сахара.

Ответ: 23.

7. Решение.

Поскольку 81 равно 34, имеем:

Ответ: 7.

8.  Решение.

Площадь квадрата равна квадрату его стороны, поэтому площадь участка равна 30 · 30=900 кв.м. Площадь прямоугольника равна произведению его длины на ширину, поэтому площадь дома равна 8 · 5=40 кв.м. Тем самым, площадь участка, незанятого домом равна 900-40=860 кв.м.

Ответ: 860.

9.  Решение.

Длительность прямого авиаперелёта Москва — Гавана — 13 часов. Бронзовый норматив ГТО по бегу на 100 м для мальчиков 16–17 лет — 14,6 секунды. время одного оборота Нептуна вокруг Солнца — 60190 суток. Длительность эпизода мультипликационного сериала — 22 минуты.

Ответ: 3124.

10.  Решение.

В чемпионате принимает участие  спортсменок из Германии. Тогда вероятность того, что спортсменка, выступающая первой, окажется из Германии, равна

Ответ: 0,25.

11. Решение.

Наименьшее значение атмосферного давления во вторник составило 755 мм. рт. ст.

Ответ: 755.

12. Решение.

Необходимо купить 20 000 : 5 = 4000 кирпичей. Рассмотрим все варианты.

При покупке у поставщика A стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 19 · 4 000  руб. и стоимости доставки и равна 76 000 + 3 000 = 79 000 руб.

При покупке у поставщика Б стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 18 · 4 000 = 72 000 руб., доставка в этом случае будет бесплатна. То есть общая стоимость покупки составит 72 000 рублей.

При покупке у поставщика В стоимость заказа складывается из стоимости кирпича 16 · 4 000 = 64 000 руб., доставка в этом случае будет с 50%-ой скидкой. То есть общая стоимость заказа равна 64 000 + 3 250 = 67 250 руб.

Самый дешёвый вариант обойдётся в 67 250 рублей.

Ответ: 67 250.

13. .Решение.

Объем вытесненной жидкости равен объему детали (закон Архимеда). Уровень жидкости поднялся на h = 2 см, сторона основания a = 40 см, значит, вытесненный объем будет равен  Найденный объём является объёмом детали.

Ответ: 3200.

14.  Решение.

Если прямая задана уравнением  то при k > 0 функция возрастает, при k < 0 — убывает. Таким образом, имеем: A — 3, Б — 4, В — 2, Г — 1.

Ответ: 3421.

15.  Решение.

Известно, что в равнобедренной трапеции:. Таким образом,  Следовательно, . Сумма углов в треугольнике равна . Таким образом, 

Ответ: 49.

16.Решение.

Площадь боковой поверхности цилиндра находится по формуле:

Найдём площадь боковой поверхности первого цилиндра:

Найдём площадь боковой поверхности второго цилиндра:

Найдём отношение площади боковой поверхности первого цилиндра ко второму:

Ответ: 9.

17.  Решение.

Оценим числа, если :

А) , следовательно, это отрезок 4       Б) , следовательно, это отрезок 2

В) , следовательно, это отрезок 3       Г) , следовательно, это отрезок 1

Ответ: 4231.

18. Решение.Проанализируем представленные утверждения, исходя из условий задачи:

1) Хотя бы один из работающих жителей дома № 23 учится — верно.

2) Все жители дома № 23 работают — неверно, поскольку есть те, кто не работает и не учится.

3) Среди жителей дома № 23 нет тех, кто не работает и не учится — неверно, поскольку есть те, кто не работает и не учится.

4) Хотя бы один из жителей дома № 23 работает — верно.

Ответ: 14.

19.  Решение.

Если число делится на 27, тогда оно делится на 3 и на 9. Число делится на 9, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 9. Число делится на 3, тогда и только тогда, когда сумма цифр числа делится на 3. Заметим, что, если число делится на 9, то оно делится и на 3 (но необязательно, что делится на 27). Сумма цифр числа 123456 равна 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21. Вычеркнув цифры 2, 4 и 6, получим число, сумма цифр которого равна девяти. 135 делится на 27.

Ответ: 135.

20.Решение.

1. Запишите номера верных равенств.

Номера запишите в порядке возрастания без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

2. Одна из точек, отмеченных на координатной прямой, соответствует числу  Какая это точка?

1) точка A                2) точка B             3) точка C             4) точка D

3. Какому из следующих выражений равна дробь 

В ответе укажите номер правильного варианта.

1)           2)                 3)              4) 

4. Найдите корни уравнения 

Если корней несколько, запишите их в ответ без пробелов в порядке возрастания.

5. В лыжных гонках участвуют 11 спортсменов из России, 6 спортсменов из Норвегии и 3 спортсмена из Швеции. Порядок, в котором спортсмены стартуют, определяется жребием. Найдите вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России.

6. 

7. Арифметическая прогрессия задана условием an = 8,2 − 9,3n. Найдите a6.

8. Найдите значение выражения  при а = 2.

9. Закон Кулона можно записать в виде  где  — сила взаимодействия зарядов (в ньютонах),  и  — величины зарядов (в кулонах),  — коэффициент пропорциональности (в Н·м2/Кл2 ), а  — расстояние между зарядами (в метрах). Пользуясь формулой, найдите величину заряда  (в кулонах), если  Н·м2/Кл2,  Кл,  м, а  Н.

10. Решение какого из данных неравенств изображено на рисунке?

1)                    2)           3)                     4) 

11.

12.

13.

14.

 15. Укажите номера верных утверждений.

1) Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°.

2) Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны.

3) Через любую точку проходит ровно одна прямая.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

1.  Решение.

Вычислим левую часть каждого равенства и сравним с правой частью:

Таким образом, правильный ответ указан под номерами 2 и 3.

Ответ: 23.

2. Решение.

Возведём в квадрат числа  5, 6, 7:

Число 45 лежит между числами 36 и 49 и находится ближе к числу 49, поэтому  соответствует точке D.

Правильный ответ указан под номером 4.

3. Решение.

Используем свойства степени:

Правильный ответ указан под номером: 4.

4. Решение.

Вынесем общий множитель за скобки:

Ответ: 02.

5.  Решение.

Всего спортсменов 11 + 6 + 3 = 20 человек. Поэтому вероятность того, что первым будет стартовать спортсмен не из России равна 

Ответ: 0,45.

6.  Решение.

Определим вид графика каждой из функций:

1)     уравнение прямой c точкой пересечения  с осью ординат 

2)     уравнение гиперболы.

3)     уравнение параболы, ветви которой направлены вверх.

4)     уравнение прямой c точкой пересечения  с осью ординат 

Тем самым найдено соответствие: A — 4, Б — 3, В — 2.

Ответ: 432.

7.  Решение.

Подставим 6 вместо индекса n:

Ответ: -47,6.

8.  Решение.

Упростим выражение:

   (при ). 

Найдём значение полученного выражения при 

Ответ: 1,5.

9.  Решение.

Выразим заряд  из закона Кулона:

Подставляя, получаем:

Ответ: 0,004.

10. Решение.

Решим каждое из неравенств:

1)  — решений нет.

2) 

3)  — верно для всех 

4) 

Правильный ответ указан под номером 2.

11.  Решение.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Таким образом, искомый угол равен 

Ответ: 22.

12.Решение.

Проведём радиус OB. Рассмотрим треугольник AOB: AO = OB, следовательно, углы ∠OAB = ∠ABO = 8°. Рассмотрим треугольник BOC: BO = OC, следовательно, ∠BCO = ∠OBC = ∠ABC − ∠ABO = 61° − 8° = 53°.

Ответ: 53.

13.  Решение.

Проведём высоту и введём обозначения, как показано на рисунке. Пусть сторона  тогда  Из прямоугольного треугольника  найдём высоту 

Найдём площадь трапеции как произведение полусуммы оснований на высоту:

Ответ: 216.

14. Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к данному основанию. Таким образом:

Ответ: 9

15. Решение.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Если угол равен 47°, то смежный с ним равен 153°» — неверно, сумма смежных углов равна 180°.

2) «Если две прямые перпендикулярны третьей прямой, то эти две прямые параллельны» — верно, по признаку параллельности прямых.

3) «Через любую точку проходит ровно одна прямая» — неверно через одну точку проходит бесконечное множество прямых.

Ответ: 2.

Примечание.

Не следует думать, что вопрос «какие утверждения верные?» подразумевает, что в ответе должно быть несколько утверждений. Так же, как задача «решите уравнение» не подразумевает, что решение вообще есть.

1. Найдите значение выражения .

2. Найдите значение выражения 

3. Найдите значение выражения 

4. Найдите значение выражения 

5. Найдите значение выражения .

6. Найдите значение выражения 

7. Налог на доходы составляет 13 % от заработной платы. Заработная плата Ивана Кузьмича равна 9000 рублей. Какую сумму он получит после уплаты налога на доходы? Ответ дайте в рублях.

8. Только 80 % из 2500 выпускников города правильно решили задачу № 1. Сколько выпускников из этого города правильно решили задачу № 1?

9. Рост Билла 5 футов 11 дюймов. Выразите рост Билла в сантиметрах, если 1 фут равен 0,305 м, а 1 дюйм равен 2,54 см. Результат округлите до целого числа сантиметров.

10. Длина биссектрисы  проведенной к стороне треугольника со сторонами  и  вычисляется по формуле . Треугольник имеет стороны  и . Найдите длину биссектрисы, проведённой к стороне длины .

11. Работа постоянного тока (в джоулях) вычисляется по формуле  где U — напряжение (в вольтах), R — сопротивление (в омах), t — время (в секундах). Пользуясь этой формулой, найдите A (в джоулях), если t = 18 c, U = 7 В и R = 14 Ом.

12. Среднее геометрическое трёх чисел  и  вычисляется по формуле  Вычислите среднее геометрическое чисел 5, 25, 27.

13. Найдите , если  и .

14. Найдите значение выражения 

15. Найдите значение выражения 

16. По тарифному плану «Просто как день» компания сотовой связи каждый вечер снимает со счёта абонента 18 руб. Если на счету осталось меньше 18 руб., то на следующее утро номер блокируют до пополнения счёта. Сегодня утром у Лизы на счету было 800 руб. Сколько дней (включая сегодняшний) она сможет пользоваться телефоном, не пополняя счёт?

17. Для ремонта требуется 66 рулонов обоев. Какое наименьшее количество пачек обойного клея нужно купить для такого ремонта, если 1 пачка клея рассчитана на 7 рулонов?

18. Таксист за месяц проехал 6000 км. Цена бензина 36 рублей за литр. Средний расход бензина на 100 км составляет 9 литров. Сколько рублей потратил таксист на бензин за этот месяц?

19. Найдите корень уравнения .

20. Найдите корень уравнения 

21. Найдите корень уравнения .

22.

 23.

24.

25. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

 26. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

27. Установите соответствие между величинами и их возможными значениями: к каждому элементу первого столбца подберите соответствующий элемент из второго столбца.

 28. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов, в 9 из них встречается вопрос по теме «Круглые черви». Найдите вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Круглые черви».

29. Вероятность того, что стекло мобильного телефона разобьётся при падении на твёрдую поверхность, равна 0,93. Найдите вероятность того, что при падении на твёрдую поверхность стекло мобильного телефона не разобьётся

30. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

31. 

32.

33. 

34. 

35.

36. 

37.

 38.

39.

40. На рисунках изображены графики функций вида  Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов  и c.

ФУНКЦИИ 

КОЭФФИЦИЕНТЫ

1)            2)           3)                    4) 

41. На рисунках изображены графики функций вида  Установите соответствие между графиками функций и знаками коэффициентов k и b.

ФУНКЦИИ

КОЭФФИЦИЕНТЫ 

1)             2)        3)     4) 

42. 

 43. В треугольнике АВС: АВ = ВС = 25, АС =14. Найти длину медианы BM.

49. На прямой отмечено число m и точки A, B, C и D.

 50. Каждому из четырёх неравенств в левом столбце соответствует одно из решений в правом столбце. Установите соответствие между неравенствами и их решениями.

 51. Каждому из четырёх чисел в левом столбце соответствует отрезок, которому оно принадлежит. Установите соответствие между числами и отрезками из правого столбца.

52. В фирме N работают 60 человек, из них 50 человек знают английский язык, а 15 человек — французский. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В фирме N

1) если человек знает французский язык, то он знает и английский

2) хотя бы три человека знают оба языка

3) не больше 15 человек знают два иностранных языка

4) нет ни одного человека, знающего и английский, и французский языки

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

53. В зоомагазине в один из аквариумов запустили 30 рыбок. Длина каждой рыбки больше 2 см, но не превышает 8 см. Выберите утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Семь рыбок в этом аквариуме короче 2 см.

2) В этом аквариуме нет рыбки длиной 9 см.

3) Разница в длине любых двух рыбок не больше 6 см.

4) Длина каждой рыбки больше 8 см.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

54. В классе учится 30 человек, из них 20 человек посещают кружок по истории, а 16 человек — кружок по математике. Выберите утверждения, которые следуют из приведённых данных. В этом классе

1) найдутся хотя бы два человека, которые посещают оба кружка

2) если ученик не ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике

3) нет ученика, который не посещает ни кружок по истории, ни кружок по математике

4) не найдётся 17 человек, которые посещают оба кружка

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

55. Цифры четырёхзначного числа, кратного 5, записали в обратном порядке и получили второе четырёхзначное число. Затем из первого числа вычли второе и получили 1458. Приведите ровно один пример такого числа.

56. Найдите четырёхзначное число, большее 3500, но меньшее 4000, которое делится на 24 и сумма цифр которого равна 24. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

57. Вычеркните в числе 23462141 три цифры так, чтобы получившееся число делилось на 12. В ответе укажите какое-нибудь одно такое число.

58.

59. Кузнечик прыгает вдоль координатной прямой в любом направлении на единичный отрезок за прыжок. Сколько существует различных точек на координатной прямой, в которых кузнечик может оказаться, сделав ровно 11 прыжков, начиная прыгать из начала координат?

60. В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 103, во втором — 97, в третьем — 93, а сумма чисел в каждой строке больше 21, но меньше 24. Сколько всего строк в таблице?

1.  Решение.

Выполним действие в знаменателе:

Разделим числитель исходной дроби на найденный знаменатель:

2.  Решение.

Выполним преобразования:

Ответ: -4

3.  Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 8,11.

4.  Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 4.

5.  Решение.

Выполним преобразования:  .

Ответ: 5.

6.  Решение.

Найдем значение выражения:

Ответ: 900.

7.  Решение.

Налог на зарплату Ивана Кузьмича составит  рублей. Значит, после вычета налога на доходы он получит:  рублей.

Ответ: 7830.

8.  Решение.

Правильно решили задачу 2500 · 0,80 = 2000 учеников.

Ответ: 2000.

9. Решение.

Рост Билла составляет 30,5  5 + 11   2,54 = 180,44 см. Округляя, получаем 180 см.

Ответ: 180.

10.  Решение.

Найдём длину биссектрисы, проведённой к стороне длины 7:

Ответ: 6.

11.  Решение.

Подставим данные, согласно формуле:

Ответ: 63

12.  Решение.

Подставим значения в формулу и вычислим:

Ответ: 15.

13.  Решение.

Поскольку , определяем, что . Тогда

Ответ: 0,2.

14.  Решение.

Используем свойства степени и основное логарифмическое тождество:

Ответ: 30.

15.  Решение.

Выполним преобразования:

 =  

Ответ: 4.

16.  Решение.

800/18 = 44,4, но так как 40% от 18 рублей (т. е. 7 рублей 20 копеек) не хватит, чтобы оплатить день общения — делаем вывод, что Лизе этих денег хватит на 44 дня.

17.  Решение.

Разделим 66 на 7, получим 9,43... Следовательно, понадобится 10 пачек клея.

Ответ: 10.

18.  Решение.

Средний расход бензина за месяц составил (6000 : 100)  9 = 540 литров. Умножим 540 на 36:

540  36 = 19 440.

Значит, за месяц таксист потратил 19 440 рублей.

Ответ: 19 440.

19.  Решение.

Перейдем к одному основанию степени:

Ответ: 10.

20.  Решение.

Возведем в квадрат:

Ответ: 1.

21.  Решение.

Раскрывая скобки перенесём выражения с переменной в левую часть, а числа — в правую, получим:  откуда 

Ответ: −2.

22. Решение.

Найдём площадь всей квартиры:

Ответ: 55.

23. Решение.

Спицы делят колесо на двадцать пять равных секторов, а значит, делят полный угол 360° на 25 равных углов по 14,4° каждый.

Примечание.

В действительности, спицы не всегда делят колесо на равновеликие сектора.

Ответ: 14,4.

24.  Решение.

Пусть х — искомая ширина. Согласно теореме Пифагора (квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов), получаем:

Поскольку ширина не может быть отрицательной величиной, получаем, что она равна 80.

Ответ: 80.

25.  Решение.

Площадь футбольного поля — 7000 кв. м. Площадь почтовой марки — 150 кв. мм. Площадь купюры достоинством 100 рублей — 97,5 кв. см. Площадь города Москвы — 2511 кв. км.

Ответ: 4312.

26.  Решение.

Упорядочим по возрастанию объема: пакет ряженки, ящик комода, железнодорожный вагон, вода в Каспийском море. Таким образом, получаем соответствие: А — 3, Б — 2, В — 1, Г — 4.

Ответ: 3214.

27.  Решение.

Длительность лекции в вузе — 90 минут. Время одного оборота барабана стиральной машины при отжиме — 0,1 секунды. Время одного оборота Венеры вокруг Солнца — 224,7 суток. Время в пути поезда Волгоград — Санкт-Петербург — 32 часа.

Ответ: 1342.

28.  Решение.

Вероятность того, что в случайно выбранном на экзамене билете школьнику достанется вопрос по теме «Круглые черви», равна

Ответ: 0,36.

29.  Решение.

Вероятность того, что стекло не разобьётся:

Ответ: 0,07

30. В соревнованиях по толканию ядра участвуют 4 спортсмена из Финляндии, 7 спортсменов из Дании, 9 спортсменов из Швеции и 5 — из Норвегии. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции.

Решение.

Всего в соревнованиях принимает участие 4 + 7 + 9 + 5 = 25 спортсменов. Значит, вероятность того, что спортсмен, который выступает последним, окажется из Швеции, равна

Ответ: 0,36.

31. Решение.

Из графика видно, впервые 5 мм осадков выпало 11 февраля (см. рисунок).

Ответ: 11.

32.Решение.

Из диаграммы видно, что было 5 месяцев с температурой ниже нуля (см. рисунок).

Ответ: 5.

33. Решение.

Из диаграммы видно, что наименьшая среднемесячная температура составляет −14 °C (см. рисунок).

Ответ: −14.

34. Решение.

Посчитаем итоговый балл каждого спортсмена с учетом коэффициента сложности:

1) 

2) 

3) 

Таким образом, спортсмены 1 и 2 имеют балл больше 160

Ответ: 12.

35.  Решение.

Рассмотрим все варианты.

Модель А: 

Модель Б: 

Модель В: 

Модель Г: 

Наивысший рейтинг имеет модель А, он равен 13.

Ответ:13.

36. Решение.

Сумма трёх измерений для первого чемодана равна  см, масса удовлетворяет нормам багажа, следовательно, первый чемодан можно сдать в багаж.

Масса второго чемодана превышает норму багажа.

Сумма трёх измерений для третьего чемодана равна  см, что превышает нормы багажа.

Масса четвертого чемодана превышает норму багажа.

Сумма трёх измерений для пятого чемодана равна  см, масса удовлетворяет нормам багажа, следовательно, пятый чемодан можно сдать в багаж.

Масса шестого чемодана превышает норму багажа.

Ответ: 15.

37.  Решение.

Площадь поверхности заданного многогранника равна сумме площадей большого и маленького параллелепипедов с ребрами 1, 4, 7 и 1, 1, 2, уменьшенной на 4 площади прямоугольника со сторонами 1, 2 — передней грани маленького параллелепипеда, излишне учтенной при вычислении площадей поверхностей параллелепипедов:

Ответ: 80.

38.  Решение.

Объем данного многогранника равен сумме объемов параллелепипедов с ребрами 3 3, 1 и 1, 2, 3:

Ответ: 15.

39.Решение.

Объём воды, налитой в цилиндр, высотой  и радиусом  равен  Следовательно, при увеличении радиуса цилиндра в 2 раза, при неизменном объёме, высота стола воды окажется в  раза меньше, значит, вода во втором цилиндре достигнет уровня 20 см.

Ответ: 20 см.

40.  Решение.

Заметим, что  — квадратичная функция, график которой — парабола. Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх, если a < 0, то ветви параболы направлены вниз. Если c > 0, то парабола пересекает ось Oy выше оси Ox, если c < 0, то парабола пересекает Oy ниже оси Ox.

Значит, А — 2, Б — 4, В — 1, Г — 3.

Ответ: 2413.

41.  Решение.

Если k > 0, то график функции возрастает, если k < 0, то график функции убывает. Если b > 0, то график функции пересекает ось Oy выше оси Ox, если b < 0, то график функции пересекает Oy ниже оси Ox.

Значит, А — 3, Б — 2, В — 4, Г — 1.

Ответ: 3241.

42.  Решение.

А) На протяжении 30−60 с автомобиль не разгонялся и некоторое время ехал с постоянной скоростью.

Б) На протяжении 60−90 с автомобиль остановился, а затем продолжил движение.

В) На протяжении 90−120 с автомобиль набрал максимальную скорость.

Г) На протяжении 120−150 с скорость автомобиля падала.

Таким образом, получаем соответствие: А — 1, Б — 3, В — 4 и Г — 2.

Ответ: 1342.

43.  Решение.

В равнобедренном треугольнике медиана является высотой, применяя теорему Пифагора, находим:

44.  Решение.

Проведём высоту трапеции. Получившийся прямоугольный треугольник является равнобедренным. Катеты этого треугольника равны  Следовательно, меньшая боковая сторона трапеции равна 3.

Ответ: 3.

45.Решение.

Острый угол между перпендикулярами к сторонам угла равен самому углу; тупой угол между ними дополняет его до 180°. Тем самым, искомый угол равен 180° − 68° = 112°.

Ответ: 112.

46.Решение.

Объёмы шаров относятся как кубы отношений их радиусов. Радиус большего шара в 2 раза больше радиуса меньшего, поэтому их объёмы относятся как 23 = 8.

Ответ: 8.

Приведём другое решение.

Найдём отношение объёмов шаров:

47.Решение.

Объём цилиндра находится по формуле: 

Найдём объём первого цилиндра: 

Найдём объём первого цилиндра:

Найдём отношение объёма первого цилиндра ко второму:

Ответ: 4,5.

48.Найдём сторону DD1 по теореме Пифагора:

Площадь поверхности параллелепипеда — сумма площадей всех его граней:

Ответ: 88.

49.  Решение.

Поскольку  единственное выражение, меньшее  —  Следовательно, 

Поскольку   Таким образом, 

Если разделить число 3 на число, лежащее в промежутке [−1; 0], результат будет больше трёх. Следовательно, 

Если  лежит в промежутке [−1; 0], то разность  Следовательно, корень из этой разности будет больше двух, но меньше трёх.

Ответ: 3214.

50.  Решение.

Решим каждое из неравенств:

А) 

Б) 

В) 

Г) 

Ответ: 4123.

51.  Решение.

Определим к какому промежутку относится каждое из чисел:

А) 

Б) 

В) 

Г) 

Ответ: 1324.

52. Решение.

1) Утверждение не следует из приведённых данных.

2) Утверждение следует из приведённых данных. Оба языка знают минимум 5 человек.

3) Поскольку французский язык знают 15 человек, следовательно, не больше 15 человек знают два иностранных языка. Утверждение верно.

4) Утверждение не следует из приведённых данных.

Ответ: 23.

Примечание. Сотрудники фирмы могут знать и другие иностранные языки, но в условии об этом ничего не сказано.

53. Решение.

Рассмотрим представленные утверждения:

1) Семь рыбок в этом аквариуме короче 2 см — неверно, т. к. длина каждой рыбки больше 2 см.

2) В этом аквариуме нет рыбки длиной 9 см — верно, т. к. длина всех рыб не превышает 8 см.

3) Разница в длине любых двух рыбок не больше 6 см. — верно, т. к. максимально возможная разница в длине рыбок меньше 6 см.

4) Длина каждой рыбки больше 8 см — неверно, т. к. длина всех рыб не превышает 8 см.

Ответ: 23.

54. Решение.

1) Всегда найдётся хотя бы шесть человек, которые ходят на оба кружка. Шесть достигается в том случае, если все 10 человек из тех, кто не посещает кружок по истории, посещают кружок по математике.

2) Может быть такое, что 16 из тех, кто посещает кружок по истории, посещают кружок по математике, и тогда 10 человек не посещают ни один кружок.

3) В примере из прошлого пункта аж 10 человек подходят под это условие.

4) Это так, ведь кружок по математике посещают всего 16 человек.

55.  Решение.

Число делится на 5, значит, его последняя цифра или 0, или 5. Но так как при записи в обратном порядке цифры также образуют четырёхзначное число, то эта цифра 5, ибо число не может начинаться с 0. Пусть число имеет вид . Тогда условие можно записать так:

Второе слагаемое в левой части делится на 10. Значит, за разряд единиц в сумме отвечает только первое слагаемое. То есть  Откуда  Подставив полученное значение в уравнение, получим, что  Перебрав все пары b и с, которые являются решением этого равенства, выпишем все числа, являющиеся ответом: 7065, 7175, 7285, 7395.

56.  Решение.

Представим искомое число в виде abcd. Если число делится на 24, то оно также делится на 3 и на 8. Так как сумма цифр искомого числа равна 24, то оно автоматически будет делиться на 3. Число делится на 8 тогда и только тогда, когда три его последние цифры образуют число, которое делится на 8. Так как число 3500 < abcd < 4000, то a = 3, а сумма b + c + d = 21, и d должно быть обязательно четным. Рассмотрим все случаи.

Допустим, что d = 0, тогда b + с = 21, что невозможно в силу 

Допустим, что d = 2, тогда b + с = 19, что невозможно в силу 

Допустим, что d = 4, тогда b + с = 17, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 8 и 9. Среди чисел 894, 984 только число 984 кратно 8, следовательно, искомое число abcd — 3984.

Допустим, что d = 6, тогда b + с = 15, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 6 и 9, 7 и 8. Среди чисел 696, 966, 786 и 876 только число 696 кратно 8, следовательно, искомое число abcd — 3696.

Допустим, что d = 8, тогда b + с = 13, откуда следует, что возможны следующие комбинации b и c: 4 и 9, 5 и 8, 6 и 7. Среди чисел 498, 948, 588, 858, 678, 768 только число 768 кратно 8, следовательно, искомое число abcd — 3768.

Ответ: 3696 или 3984 или 3768.

57.  Решение.

Если число делится на 12, тогда оно делится на 3 и на 4. Число делится на 3 тогда и только тогда, когда сумма его цифр делится на 3. Число делится на 4 тогда и только тогда, когда число, образованное двумя последними его цифрами делится на 4. Сумма цифр числа 23462141 равна 2 + 3 + 4 + 6 + 2 + 1 + 4 + 1 = 23. Чтобы число делилось на 4 обязательно нужно вычеркнуть две последние единицы. Теперь вычеркнем одну цифру так, чтобы сумма цифр получившегося числа делилась на 3. Таким образом, получаем числа 23424 и 24624.

Ответ: 23424 или 24624.

58.  Решение.

Введём обозначения, как показано на рисунке. Периметр верхнего левого прямоугольника равна 24, поэтому  аналогично,  При помощи полученной системы уравнений выразим значение 

Из третьего уравнения получаем:  следовательно, искомый периметр равен 12.

Ответ: 12.

59.  Решение.

Заметим, что кузнечик может оказаться только в точках с нечётными координатами, поскольку число прыжков, которое он делает, — нечётно. Максимально кузнечик может оказаться в точках, модуль которых не превышает одиннадцати. Таким образом, кузнечик может оказаться в точках: −11, −9, −7, −5, −3, −1, 1, 3, 5, 7, 9 и 11; всего 12 точек.

Ответ: 12.

60. Решение.

Сумма всех чисел в таблице равна 103 + 97 + 93 = 293. Сумма чисел в каждой строке может быть равна 22 или 23. В таблице не может быть больше, чем  строк. И не может быть меньше  строк. Следовательно, в таблице ровно 13 строк.

Ответ: 13.

1.

2. На гладкой горизонтальной поверхности находится пружина, прикреплённая одним концом к вертикальной стене. Если к свободному концу пружины приложить некоторую горизонтально направленную силу, то в равновесном состоянии её длина будет равна 7 см. При увеличении модуля силы на 1,2 Н длина пружины увеличивается на 2 см. Какова жёсткость этой пружины?

3. Под действием силы тяги в 1 000 H автомобиль движется с постоянной скоростью Какова мощность двигателя? (Ответ дайте в кВт.)

4.

5.

6. Груз массой подвешенный к длинной нерастяжимой нити длиной совершает колебания с периодом Угол максимального отклонения равен Что произойдет с периодом колебаний, максимальной кинетической энергией и частотой колебаний нитяного маятника, если при неизменном максимальном угле отклонения груза уменьшить длину нити?

К каждому элементу первого столбца подберите элемент из второго и внесите в строку ответов выбранные цифры под соответствующими буквами. Цифры могут повторяться.

7. Тело совершает свободные гармонические колебания. Координата тела изменяется по закону где все величины приведены в СИ. Установите соответствие между физическими величинами и их значениями. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию из второго столбца.

8. В результате некоторого процесса концентрация молекул идеального газа уменьшилась в 2 раза, а давление возросло в 4 раза. Во сколько раз изменилась средняя кинетическая энергия поступательного теплового движения молекул идеального газа, если число молекул было неизменным?

9. В некотором циклическом процессе работа, совершаемая за цикл, в 17/8 раз меньше модуля количества теплоты, отданного газом за цикл холодильнику. Чему равен КПД такого теплового двигателя? Ответ выразите в процентах.

10.

11. В сосуде неизменного объема при комнатной температуре находилась смесь водорода и гелия, по 1 моль каждого. Половину содержимого сосуда выпустили, а затем добавили в сосуд 1 моль водорода. Считая газы идеальными, а их температуру постоянной, выберите из предложенного перечня два утверждения, которые соответствуют результатам проведенных экспериментальных исследований, и укажите их номера.

1) Парциальное давление водорода уменьшилось.

2) Давление смеси газов в сосуде не изменилось.

3) Концентрация гелия увеличилась.

4) В начале опыта концентрации газов были одинаковые.

5) В начале опыта массы газов были одинаковые.

12. Температура нагревателя идеального теплового двигателя, работающего по циклу Карно, равна T1, а температура холодильника равна T2. За цикл двигатель совершает работу, равную А. Установите соответствие между физическими величинами и формулами, по которым их можно рассчитать. К каждой позиции первого столбца подберите соответствующую позицию второго и запишите в таблицу выбранные цифры под соответствующими буквами.

 13. Два длинных прямых провода, по которым протекают постоянные электрические токи, расположены параллельно друг другу. В таблице приведена зависимость модуля силы F магнитного взаимодействия этих проводов от расстояния r между ними.

Чему будет равен модуль силы магнитного взаимодействия между этими проводами, если расстояние между ними сделать равным 6 м, не меняя силы текущих в проводах токов? (Ответ дать в мкН.)

14.

15.

16. В идеальном колебательном контуре происходят свободные электромагнитные колебания. В таблице показано, как изменялся заряд конденсатора в колебательном контуре с течением времени.

Выберите два верных утверждения о процессе, происходящем в контуре:

1) Период колебаний равен 8·10−6 c.

2) В момент t = 4·10−6 c энергия конденсатора минимальна.

3) В момент t = 2·10−6 c сила тока в контуре максимальна.

4) В момент t = 6·10−6 c сила тока в контуре равна 0.

5) Частота колебаний равна 25 кГц.

17.

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

18. Ракета длиной l летит относительно Земли со скоростью v, близкой к скорости света. Если скорость ракеты увеличить, то как изменятся следующие три величины: длина ракеты в системе отсчета Земли, полная энергия ракеты, энергия покоя ракеты.

Для каждой величины определите соответствующий характер изменения:

1) увеличится                          2) уменьшится            3) не изменится

Запишите в таблицу выбранные цифры для каждой физической величины. Цифры в ответе могут повторяться.

19. Ядро испустило протон, а затем захватило электрон. Сколько протонов и сколько нейтронов входит в состав ядра, которое образовалось в результате этих реакций?

В ответе запишите число протонов и нейтронов слитно без пробела.

20. Фотон с энергией 7 эВ выбивает электрон из металлической пластинки с работой выхода 2 эВ (катода). Пластинка находится в сосуде, из которого откачан воздух. Электрон разгоняется однородным электрическим полем напряженностью До какой скорости электрон разгонится в этом поле, пролетев путь вдоль линии поля? Ответ дайте в 106 м/с, округлив до десятых. (Заряд электрона — 1,6·10−19 Кл, масса электрона  — 9,1·10−31 кг. Релятивистские эффекты не учитывать.)

21. Как изменяется заряд и массовое число радиоактивного ядра в результате его -распаде? Установите соответствие между физическими величинами и характером их изменения.

22.

23. Исследовалась зависимость напряжения на участке цепи от сопротивления этого участка. Результаты измерений представлены в таблице. Погрешности измерений величин U и R равнялись соответственно 0,4 В и 0,5 Ом. Чему примерно равна сила тока на этом участке цепи? (Ответ укажите в амперах с точностью до 0,5 А.)

24. Используя таблицу, содержащую сведения о ярких звездах, выполните задание.

Выберите два утверждения, которые соответствуют характеристикам звезд.

1) Звезды Денеб и Садр относятся к одному созвездию, значит, находятся на одинаковом расстоянии от Солнца.

2) Звезда Ригель является сверхгигантом.

3) Температура на поверхности Солнца в 2 раза ниже, чем на поверхности Альдебарана.

4) Звезда Ригель относится к красным звездам спектрального класса М.

5) Звезды Садр и Ригель относятся к различным спектральным классам.

25. Плотность бамбука равна Какой наибольший груз может перевозить по озеру бамбуковый плот площадью и толщиной 0,5 м? Ответ приведите в килограммах.

26.

27.