методическая разработка занятия в кружке любителей математики
методическая разработка на тему

                                                Занятие в кружке любителей математики.

                           Тема:       Решение «магических» квадратов.

 Актуальность: Участие обучающихся в различных математических соревнованиях (олимпиадах, математических каруселях, математических боях) предполагает умение находить закономерности при решении нестандартных задач.

 Цель: Развитие внимания, логического, пространственного мышления,

             интереса к математике.

 Ход занятия.

 I.Актуализация знаний: устный счёт, составление двух-, трёхзначных                  

    чисел  из данного набора цифр, установление закономерностей и т. д.

 II.Создание проблемной ситуации и её решение.

     Учащимся предлагается (в группах) заполнить «Магический» квадрат размером 3 х 3 клетки  девятью числами (от 5 до 12) так, чтобы сумма чисел в любой строке, любом столбце, а также по любой из двух его диагоналей была равна 24.  В результате появляется следующее решение (рис.1).

         Учащиеся сообщают, что использовали метод подбора и отмечают, что затратили довольно много времени, так как не знают правила, которое возможно и существует, но им не известно.

        Предлагается найти такое правило (закономерность). Для решения возникшей проблемной ситуации учащиеся заполняют ещё 2-3 подобных квадрата, рассматривают взаимное расположение чисел, их суммы и т.д.

(  Предлагается работа в группах).

Результаты наблюдения:

1. Сумма чисел в одной строке всегда в 3 раза меньше суммы  всех чисел квадрата .

2) (Далее найденные закономерности приводятся на пример квадрата (рис.1) В каждой строке есть по одному из трёх  самых больших чисел (10,11,12.) и по одному –из самых маленьких (4,5,6).

3) Числа 10, 12, 4, 6  только два раза используются в тройках чисел (в строчках и  столбцах), а числа 5, 9,7, 11 используются по три раза в тройках чисел (в строчках, столбцах и диагоналях).

6) Предпоследнее число стоит в углу квадрата, а два других (из больших) стоят в начале второй строки и в начале второго столбца.

7) Второе число (из меньших) стоит тоже в углу квадрата, два других меньших заняли место  в столбце и строчке.

Закрепление:

Задание 1. Используя выводы, заполните «магический» квадрат (рис.2) натуральными числами 4, 5, 6, 8, 9, 10, 11. (задание обсуждается в группах).

                                                     Рис.2

     Решение:

1. Сумма всех чисел данного квадрата (от 3 до 11) составляет 63.
2. 63 : 3 = 21 – это сумма чисел в одной строке, в одном столбце, в  каждой диагонали.
3. Расставим самые большие числа (9, 10, 11). Причём, число 10 (предпоследнее) поставим в угол квадрата.  (Рис. 3)

                                                     Рис. 3

4. Заполняем первую строку.    21 – 10 – 3 = 8
5. Заполняем вторую строку.    21 – 7 – 9 = 5 (Рис.4)

                                                     Рис.4

6. Заполняем первый и третий столбцы.  21 – 8 – 9 = 4

                                                                              21 – 10 – 5 = 6 (Рис. 5)

                                           Рис. 5

Задание 2:   Вставь в пустые клетки квадрата (Рис. 6) числа 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 10 так, чтобы квадрат стал «магическим».

                                          Рис. 6

  Решение:  

1)Сумма всех чисел данного квадрата (от 2 до 10) составляет 54.

          2)  54 : 3 = 18  - сумма всех чисел в одной строке, в одном столбце, в

    каждой диагонали.

          3)Расставим самые большие числа (8, 9, 10). Причём, число 9    

             (предпоследнее) поставим в угол квадрата.  А два других в  

             первый и второй столбик (Рис. 7).

                                          Рис. 7

      4) Заполняем вторую строку.    18 – 8 – 6 = 4 (Рис.8)

                                          Рис. 8

       5)Заполняем второй и третий столбцы.  18 – 6 - 10 = 2,  

                                                                              18 – 9 – 4 = 5 (Рис.9)

                                          Рис. 9

   6)Заполняем первую и третью строчки.   18 – 2 – 9 = 7

                                                                                18 – 10 – 5 =3 (Рис. 10)

                                          Рис. 10

III. На  втором занятии по этой теме пришли ещё к одному    

  варианту    решения. Рассмотрим его на примере задачи №2 (см. выше).

           1) Сумма всех чисел данного квадрата (от 2 до 10) составляет 54.            

           2)  54 : 3 = 18  - сумма всех чисел в одной строке, в одном столбце, в

каждой диагонали.

3) Число квадрата, стоящее в угловой клетке «магического» квадрата участвует в трёх наборах  чисел, дающих в сумме число 18,

 а число, стоящее на стороне квадрата, только в двух тройках чисел,  дающих в сумме 18.   Составив варианты троек из предложенных, убедились , что число 2 образует только две тройки чисел, дающие в сумме 18:  (2, 6, 10) и ( 7, 2, 9). Значит, число 2 должно стоять на стороне квадрата (Рис.11)

                                          Рис. 11

2. Затем уже известным способом заполняем клетки по диагонали, в первом и втором столбцах.  

18 – 7 – 6 =5;    18 – 9 – 6 = 3 ;    18 – 7 – 3 = 8;   18 – 9 -5 = 4   (Рис.12)

                                          Рис. 12

IV.Подведение итогов, рефлексия.

V.Таким образом, используя полученный алгоритм, можно довольно быстро решать «магические» квадраты 3х3.  Учащиеся предложили

 на следующих занятиях рассмотреть более сложный квадрат 4х4.