"Геометрия вокруг нас"
творческая работа учащихся (8 класс) на тему

Муниципальное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №9»

ГЕОМЕТРИЯ  ВОКРУГ  НАС

Работу выполнил:

Губарь Александр

Учащийся 9а класса

Руководитель:

Романенко

 Ирина Николаевна

учитель математики

ст. Батуринская – 2012

Содержание

1.   Введение………………………………………………...3
2.   Основная часть

1. I подход к решению задачи…………………………...4
2. II подход к решению задачи……………………….....5
3. III подход к решению задачи…………………………6
4. IV подход к решению задачи…………………………7
5. V подход к решению задачи………………………….8
6. VI подход к решению задачи…………………………9
7. VII подход к решению задачи……………………….10
8. VIII подход к решению задачи………………………11

3.       Заключение…………………………………………...12

1. Введение

         С целью подготовки к итоговому тестированию по геометрии или к экзамену по предмету, возникла идея написания проекта «Геометрия вокруг нас».

Цель:

показать многообразие подходов при решении одной геометрической задачи

Задачи:

1. Подобрать и решить геометрическую задачу несколькими способами, применив основной материал курса 8 класса.
2. Провести анализ подходов при решении одной геометрической задачи.

         Актуальность моего проекта: на примере одной задачи можно повторить весь основной курс геометрии 8 класса, рассмотреть такой подход при решении, как дополнительное построение при  решении геометрических задач, что крайне редко используется на уроках геометрии.

         Новизна состоит в том, что по своей сути данный проект является модернизацией урока обобщения знаний за год обучения.

        Числовые данные в задаче подобраны так, чтобы они не влекли за собой громоздких математических выкладок.

         Итак, в своем проекте я предлагаю рассмотреть одну задачу, применив восемь различных подходов. На самом деле решений было гораздо больше, но все они частично сводились к уже рассмотренным.

2. Основная часть

Задача. Найти площадь многоугольника на рисунке, если АВ = 60 м,    ВС = 100 м, СД = 80 м, АД = 200 м, КВ = 240м, КС = 260м.

2.1. I подход к решению задачи

Решение. 1. Найдём площадь треугольника КВС. Так как 260²  = 240² + 100² то по теореме обратной теореме Пифагора треугольник КВС прямоугольный, значит площадь его равна S АВСД =,

       2.  Так как  S АВСД =, то задача сводится к нахождению высоты H.

Проведем отрезки ВМ и СN так, что ВМ┴АД и СN┴АД, тогда ВСNМ – прямоугольник. Поэтому ВМ = СN и ВС = МN.

Но в таком случае АМ + NД =100.

Пусть АМ = х (м), тогда NД = 100 – х (м).

По теореме Пифагора из ▲АВМ и ▲СNД: Н² = 60² - х²  и Н² =80² - (100 – х) ².

Составим равенство 60² - х²  = 80² - (100 – х) ²,      

                                   3600 - х²   = 6400 – 10000 + 200х - х² ,

                                   200х = 7200,  

                                    х = 36 (м ).

Находим высоту Н: Н² = 3600 – 36² = 3600 – 1296 = 2304,   Н = (м).

Тогда S АВСД =(м²)

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

Вопрос:  можно ли провести только одну высоту для вычисления площади трапеции?

2.2. II подход к решению задачи

Решение.

        1. Площадь ВКС вычисляется аналогично 1 способу.

        2. Пусть ВМ ┴АД  и ВN‌‌║СД, тогда ВСДN – параллелограмм.

Значит ВN = СД = 80 (м), NД = ВС = 100 (м), АN= 200-100=100(м)

Пусть АМ = х (м), тогда NМ = (100 –х) м.

Выразим высоту ВМ из треугольников АВМ и ВNМ по теореме Пифагора:

Н² = 60² - х²  и Н² =80² - (100 – х) ².

Составим равенство 60² - х²  = 80² - (100 – х) ²,      

                                    3600 - х²   = 6400 – 10000 + 200х - х² ,  

                                    200х = 7200,

                                    х = 36 (м ).   Значит   Н = 48

Значит площадь трапеции   S АВСД =(м²)

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

         На основании теоремы, обратной теореме Пифагора, я пришёл к выводу, что треугольник АВК – прямоугольный ( 100² = 60² + 80²). Так появилось новое решение.

2.3. III подход к решению задачи

Решение.

        1. Площадь ВКС вычисляется аналогично 1 способу.

         2.Пусть ВМ ┴АД  и ВN║СД, тогда NВСД – параллелограмм и

ВN = СД = 80 (м), NД = ВС = 100 (м).

         Рассмотрим треугольник АВN: АВ = 60 м, ВN= 80 м, АN = 100 м. Так как 100² = 60² + 80², то треугольник АВN – прямоугольный. Применим к нему одно из следствий теоремы Пифагора, в котором говорится о том, что  катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для   гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключённого между катетом и высотой, проведённой из вершины прямого угла. Для нашего случая: 60² = х ∙100, откуда х = 36 (м). Применим терему Пифагора к треугольнику АВN, вычислим Н:

Н² = 3600 – 36² = 3600 – 1296 = 2304,   Н = (м).

Тогда S АВСД =(м²)

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

         Рассмотрев три подхода к решению одной задачи, в которых важную роль играют алгебраические выкладки, мне захотелось в дальнейшем не применять алгебраические методы, а предоставить чисто геометрическое доказательство.

2.4. IV подход к  решению задачи

Решение.

        1.Площадь ВКС вычисляется аналогично 1 способу

2.Проводим ВN║СД, тогда ВСДN – параллелограмм, откуда ВС = NД = 100 м, поэтому АN = АД – NД = 100 м. Тогда треугольник АВN – прямоугольный (угол АВN = 90° по теореме, обратной теореме Пифагора, так как 100² = 60² + 80²).

Площадь треугольника АВN вычисляется как полупроизведение его катетов, т.е.

В то же время, , откуда h =

Тогда S АВСД =(м²)

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

5. V подход к  решению задачи

         Теперь попробую решить эту задачу, используя тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике. Для этого мне понадобились лишь фрагменты чертежа, которыми сопровождались первые четыре решения.

Решение.

       1. Площадь ВКС вычисляется аналогично 1 способу

     2.    По теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник АВN – прямоугольный.

Тогда Sinα = . Но треугольник АВN – тоже прямоугольный (по построению ВM ┴АN).

Тогда   ВM=АВ∙ Sinα = 60∙. Аналогичные выкладки можно проделать и для угла .

Дальнейшее решение очевидно.   Ответ: 19200 м²

         Затем я задал себе новый вопрос: «А можно ли обойтись без теоремы, обратной теореме Пифагора?» Теорема Пифагора каждый раз использовалась для нахождения того элемента вспомогательного треугольника, который был необходим для вычисления его площади. Теперь я попробую вычислить площадь вспомогательного треугольника, не используя его высоту и основание.

2.6. VI подход к решению задачи

Решение.

    1 .Площадь ВКС вычисляется аналогично 1 способу

     2.    В треугольнике АВN известны три стороны, поэтому для нахождения площади можно применить формулу Герона. Для этого сначала подсчитаем полупериметр треугольника АВN. По определению

Теперь найдем площадь треугольника АВN:                                                        S = .

Но площадь этого треугольника можно вычислить и по формуле S = , отсюда h = .

Тогда площадь трапеции .

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

         После того как рассмотрены методы, которые основываются на свойстве сторон параллелограмма, на понятии площади и на теореме Пифагора, я ставлю себе цель: «извлечь» решение задачи из темы «Подобие фигур». Для такого «извлечения» достраиваю трапецию до треугольника, продолжив отрезки АВ и ДС до пересечения в точке М.

2.7. VII подход к решению задачи

Решение.

          1 .Площадь ВNС вычисляется аналогично 1 способу.

       2.  Проведем ВN║СД и установим, что ВС=NД, тогда АN=100. По теореме, обратной теореме Пифагора, устанавливаю, что угол АВN=90°, но тогда и угол при вершине М равен 90° по теореме об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей.

         Треугольники АВN и АМД – подобны (по двум равным углам: угол А – общий, угол В равен углу М), коэффициент подобия k = 2, так как k=. Отсюда АМ=АВ∙ k = 120 м, ДМ = ВN∙ k = 160 м. Но тогда ВМ = 60м,            МС = 80 м, так как В – середина отрезка АМ, С – середина МД. Поскольку треугольники АМД и ВМС прямоугольные,

,

.

Теперь легко найти площадь трапеции:

.

         В этом решении была использована лишь часть того, что можно было извлечь из подобия треугольников (т.е. лишь зависимость между сторонами подобных треугольников). Но можно изменить последний фрагмент решения и воспользоваться тем фактом, что отношение площадей подобных треугольников равно k², т.е. .                       Тогда .

Последняя строка этого решения могла бы выглядеть иначе:

.

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

Но, увидев, что , эту задачу решил еще одним способом.

2.8. VIII подход к решению задачи

Решение.

   1. Площадь ВNС вычисляется аналогично 1 способу.

   2. Проведем ВК║СД и соединим точки С и К. Треугольники АВК и СКВ равны по двум сторонам и углу между ними: <АКВ=<КВС как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых ВС и АД, и секущей ВК. ВК – общая, АК= ВС=100м.  Аналогично доказывается равенство треугольников СКВ и КСД. Получили три равных треугольника АВК, ВКС и КСД.

Тогда .

3. Сложим площадь треугольника и трапеции, получим 19200 м²

Ответ: 19200 м²

Заключение

         После анализа всех подходов к решению задачи, я для себя отметил, что лучшими из них оказались первое и последнее. Первое решение выигрывает потому, что кажется наиболее естественным, а последнее выглядит наиболее простым и оригинальным благодаря дополнительным построениям, в результате которых трапеция была разбита на три равных треугольника. Но в идейном смысле самым богатым оказалось предпоследнее, седьмое, решение. Здесь и дополнительное построение, неожиданное – достраивание трапеции до треугольника, - и два разных подхода к применению свойств подобных треугольников, и подсказка относительно равенства площадей треугольников, которые рассматривались в последнем решении.

Для решения данной задачи надо было знать:

1. определение трапеции и формулу нахождения ее площади;
2. свойства прямоугольника и параллелограмма;
3. теорему Пифагора;
4. пропорциональность отрезков в прямоугольном треугольнике;
5. теорему, обратную теореме Пифагора;
6. площадь прямоугольного треугольника;
7. площадь треугольника через основание и высоту;
8. формулу Герона для вычисления площади треугольника;
9. подобие треугольников;
10. теорему об отношении площадей подобных треугольников;
11. тригонометрические зависимости в прямоугольном треугольнике

         А это, согласитесь, и есть весь основной курс 8 класса по геометрии, который вот так легко вспомнить при решении одной задачи.

                  Данный проект можно использовать на уроках геометрии, как во время изучения той или иной темы или обобщения курса восьмого класса, так и в 9 классе для повторения изученного материала, для подготовки учащихся к итоговому тесту по геометрии или к экзамену.