Тригонометрические функции
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Слайд 1

ГОУ Гимназия № 498 Невского района. Презентация по теме «Тригонометрические функции» (алгебра, 10 класс ) Учитель О.В.Плуталова Санкт-Петербург 2011 год

Слайд 2

Содержание 1. Основные свойства функции. 2. Функция y = sin x . 2.1. Свойства и график. 2.2. График функции y = sin ( x ± b ). 2.3. График функции y = sin x ± b . 3. Функция y = cos x . 3.1. Свойства и график. 3.2. График функции y = cos ( x ± b ). 3 .3. График функции y = cos x ± b . 4. Функция y = tg x : свойства и график 5. Функция y = ctg x : свойства и график.

Слайд 3

Основные свойства функции. 1 . Область определения. 2. Область значений. 3. Периодичность. 4. Четность, нечетность. 5. Нули. 6. Промежутки монотонности. 7. Промежутки знакопостоянства . 8. Наибольшее и наименьшее значения.

Слайд 4

Функция y = sin x График функции Свойства функции : D( у ) = R . E( у ) = [- 1 ; 1] Функция периодическая; Т = 2 π Функция нечетная 5. sin x = 0 при х = π n, n  Z . Функция возрастает на [- π / 2 + 2 π n; π / 2 + 2 π n] , n  Z , убывает на [ π / 2 + 2 π n; 3 π / 2 + 2 π n] , n  Z . 7. sin x > 0 при 2 π n < x < π + 2 π n, n  Z ; sin x < 0 при π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n, n  Z . 8. Наибольшее значение функции у = 1; наименьшее значение функции у = -1.

Слайд 5

y x 1 -1 π /2 - π /2 π 3 π /2 2 π - π -3 π /2 -2 π 0 y = sin (x + π/ 2) y = cos x y = sin x График функции y = sin ( x ±b ) y = sin (x - π/ 2 )

Слайд 6

y x 1 -1 π /2 - π /2 π 3 π /2 2 π - π -3 π /2 -2 π 0 y = sin x +1 y = sin x График функции y = sin x ±b y = sin x - 1

Слайд 7

Функция y = cos x График функции Свойства функции : D( у ) = R . E( у ) = [- 1 ; 1] Функция периодическая ; Т = 2 π Функция четная. 5. cos x = 0 при х = π / 2 + π n, n  Z , n  Z . 6 . Функция возрастает на [ π + 2 π n; 2 π + 2 π n] , n  Z , убывает на [ 2 π n; π + 2 π n] , n  Z . 7. cos x > 0 при - π / 2 + 2 π n < x < π / 2 + 2 π n, n  Z ; cos x < 0 при π / 2 + 2 π n < x < 3 π / 2 + 2 π n, n  Z 8. Наибольшее значение функции у = 1; наименьшее значение функции у = -1.

Слайд 8

y x 1 -1 π /2 - π /2 π 3 π /2 2 π - π -3 π /2 -2 π 0 y = cos (x - π/ 2) ( y = sin x ) y = cos x График функции y = cos (x ± b) y = cos (x + π/ 2)

Слайд 9

y x 1 -1 π /2 - π /2 π 3 π /2 2 π - π -3 π /2 -2 π 0 y = cos x + 1 y = cos x График функции y = cos x ±b y = cos x - 1

Слайд 10

Функция y = tg x График функции Свойства функции : D(y) = (- π / 2 + π n ; π / 2 + π n ) ; n  Z . E( у ) = R . Функция периодическая; T = π . Функция нечетная. 5. tg x = 0 при х = π n, n  Z . Функция возрастает на (- π / 2 + π n; π / 2 + π n ), n  Z tg x > 0 при π n < x < π / 2 + π n, n  Z ; tg x < 0 при - π / 2 + π n < x < π n, n  Z . Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений. Прямые π / 2 + π n , n  Z , являются асимптотами графика функции.

Слайд 11

Функция y = ctg x График функции Свойства функции: D( у ) = ( π n ; π + π n ) , n  Z . E( у ) = R Функция периодическая; Т = π . 4. Функция нечетная. ctg x = 0 при х = π / 2 + π n, n  Z . Функция убывает на ( π n; π + π n ), n  Z . ctg x > 0 при π n < x < π / 2 + π n, n  Z ; ctg x < 0 при π / 2 + π n < x < π + π n, n  Z . Функция не достигает наибольшего и наименьшего значений. Прямые π n, n  Z , являются асимптотами графика функции.

Слайд 12

Автор Плуталова Ольга Вячеславовна, учитель математики гимназии № 498.

Слайд 13

Исследование тригонометрических функций на четность y = sin x . Функция нечетная. 1) (-x)  D(y). 2) y(-x) = sin (-x) = - sin x = - y(x). y = cos x . Функция четная. 1) (-x)  D(y). 2) y(-x) = cos (-x) = cos x = y(x). y= tg x. Функция нечетная. 1) (-x)  D(y). 2) y(-x) = tg (-x) = - tg x = - y(x). y= ctg x . Функция нечетная. 1) (-x)  D(y). 2) y(-x) = ctg (-x) = - ctg x = - y(x).

Слайд 14

Периодичность тригонометрических функций. y = sin x . Период Т = 2 π . ( y = cos x. Т = 2 π ) Доказательство . 1) (x ± 2 π )  D(y). 2) y(x + 2 π ) = sin (x + 2 π ) = sin x = y (x) . 3) y(x - 2 π ) = sin (x - 2 π ) = sin x = y (x) . 4) y(x ± 2 π ) = y (x). Следовательно, Т = 2 π . (Для функции y = cos x доказательство аналогично)

Слайд 15

Периодичность тригонометрических функций. y = tg x . Период Т = π . ( y = с tg x . Т = π ). Доказательство . 1) (x ± π )  D(y). 2) y(x + π ) = tg (x + π ) = tg x = y (x) 3) y(x - π ) = tg (x - π ) = tg x = y (x). 4) y(x ± π ) = y (x). Следовательно, Т = π . (Для функции y = ctg x доказательство аналогично)

Слайд 16

Монотонность тригонометрических функций. y = cos. Функция возрастает на [ π + 2 π n; 2 π + 2 π n] , n  Z , убывает на [ 2 π n; π + 2 π n] , n  Z . Доказательство. 1) При повороте точки (1; 0) вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от 0 до π π (1; 0 ) 0 абсцисса точки, т.е cos x , -1 1 уменьшается от 1 до -1. Поэтому если 0 ≤ Х 1 < Х 2 ≤ π то cos Х 1 > cos Х 2 . Это означает, что функция y = cos x убывает на [ 0 ; π ] . 2) Функция y = cos x возрастает на [ - π ; 0 ] , т.к. она убывает на [ 0 ; π ] и является четной. 3) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2 π , то она возрастает на [ π + 2 π n; 2 π + 2 π n] , n  Z , убывает на [ 2 π n; π + 2 π n] , n  Z .

Слайд 17

Монотонность тригонометрических функций. y = sin x. Функция возрастает на [- π / 2 + 2 π n; π / 2 + 2 π n] , n  Z , убывает на [ π / 2 + 2 π n; 3 π / 2 + 2 π n] , n  Z . Доказательство. 1) При повороте 1 π / 2 точки вокруг начала координат против часовой стрелки на угол от - π / 2 до π / 2 ордината точки, т.е sin x , увеличивается от -1 до 1. Поэтому если - π / 2 ≤ Х 1 < Х 2 ≤ π / 2 , то sin Х 1 < sin Х 2 . -1 - π / 2 Это означает, что функция y = sin x возрастает на [- π / 2 ; π / 2 ] . 2) Т.к. функция периодическая с периодом Т = 2 π , то она возрастает на [- π / 2 + 2 π n; π / 2 + 2 π n] , n  Z . Убывание функции на [ π / 2 + 2 π n; 3 π / 2 + 2 π n] , n  Z , доказывается аналогично.

Слайд 18

Определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций. y = tg x tg x > 0 при π n < x < π / 2 + π n, n  Z ; — + tg x < 0 при - π / 2 + π n < x < π n, n  Z . + — y = ctg x ctg x > 0 при π n < x < π / 2 + π n, n  Z ; ctg x < 0 при π / 2 + π n < x < π + π n, n  Z .

Слайд 19

Определение промежутков знакопостоянства тригонометрических функций. y = sin x . + + sin x > 0 при 2 π n < x < π + 2 π n, n  Z ; sin x < 0 при π + 2 π n < x < 2 π + 2 π n, n  Z . _ _ y = cos x. cos x > 0 при - π / 2 + 2 π n < x < π / 2 + 2 π n, n  Z ; _ + cos x < 0 при π / 2 + 2 π n < x < 3 π / 2 + 2 π n, n  Z. − +