Разработка урока математики «Подготовка к ЕГЭ. Задачи С6»
план-конспект урока по алгебре (11 класс) по теме

Муниципальное образовательное бюджетное учреждение

Средняя общеобразовательная школа села Амзя ГО г. Нефтекамск РБ

Разработка урока математики

«Подготовка к ЕГЭ. Задачи С6»

Учитель: Новосёлова Лидия Евгеньевна

Цели:  отработка навыков решения задач ЕГЭ (С6);

            воспитание творческого подхода к решению задач типа С6.

Ход урока:

1. Актуализация знаний:

               - вспомнить понятия натурального и целого, рационального и

                 иррационального числа;

               - определение модуля числа;

               - понятие «взаимно-простые  числа».

      2.  Решение задач.    

Задача 1.

    Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом некоторый бесконечный набор цифр, то получится десятичная запись такого иррационального числа с, что (2с - 3)² = 3а² – 12с + 46. Найдите все возможные значения числа с.

  Решение.

       По условию задачи с = а + в, где 0< в <1.

  Так как в = с – а, то 0 < с – а < 1, а <  с < а + 1.

  Выразим с через а из условия (2с - 3)² = 3а² - 12с + 46.

4с² - 12с + 9 = 3а² - 12с + 46,

4с² = 3а² + 37,  │с│ = √(3а² + 37) /2, с > 0, с = √(3а² + 37) /2.

Имеем

               а<√(3а² + 37)/2<а+1, а ϵ Ν.

√(3а² + 37) > 2а,                           3а² + 37 > 4а²,                                а² < 37,

√(3а² + 37) < 2а + 2;                     4а² +8а +4 >3а² + 37;                    а² + 8а – 33 > 0;

│а │<√ 37,                          │а│<√37,                                    3 < а < √37.

(а - 3)(а + 11) > 0;                а > 3 или а < - 11,

Учитывая, что а – натуральное число, получаем а = 4; 5; 6.

При а =4, с = √(3·4² + 37)/2 = √85/2;

 а = 5, с = √(3·5² + 37)/2 = √112/2 = 2√7;

а =6, с = √(3·6² + 37)/2 = √145/2.

Ответ: √85/2; 2 √7; √145/2 .

Задача 2.

    Найти все пары взаимно-простых чисел а и в(а < в), таких, что если к нулю приписать

 справа через запятую десятичную запись числа в, то получится десятичная запись числа

  (в – 2а)/а.

Решение.

в/10ⁿ = (в – 2а)/а;

в/10ⁿ = в/а – 2  (*).

  Так как в десятичной записи всего n цифр, то целая часть в/10ⁿ = 0,

тогда целая часть в/а = 2.

  По определению целого числа  в= 2а + с (**), где с < а.

  По условию а и в – взаимно – простые числа, тогда НОД (а,в) = 1, тогда и НОД (а,с) = 1.

 Применим (**) к (*), получаем:

                                                        (2а + с)/10ⁿ = с/а;

                                                        (2а + с)а = 10ⁿ · с.

 Так как НОД(а,с) = 1, то чтобы выполнялось полученное равенство, необходимо, чтобы

 (2а + с) делится на с, тогда, так как с делится на с, 2а делится на с. Но так как а и с взаимно – простые , то а должно делится на с и 2 делится на с, тогда возникают два случая:

1. с = 1:      (2а + 1)а = 10ⁿ;

                      2а² + а = 10ⁿ;

      n = 1:  2а² + а = 10;

                  а = 2 или а = - 2,5;

        а = 2, тогда  в = 2а +1 = 5.

2)   с =2:         (2а + 2)а = 2·10ⁿ;

                         (а + 1)а = 10ⁿ . Получили слева – произведение двух последовательных чисел, тогда этот случай нам не подходит.

Ответ: одна пара – (2;5).

3. Итог :

Задача на дом.

   Если к десятичной записи натурального числа а приписать справа запятую, а потом

   некоторый бесконечный набор цифр, то получится десятичная запись такого

   иррационального числа с, что 2с² + с = 20а + 10. Найдите все возможные значения

    числа с.