Тригонометрические уравнения
методическая разработка по алгебре (10 класс) по теме

Карточка: «Условная классификация тригонометрических уравнений, методы их решения.

1. Уравнения, сводящиеся к квадратным. .  В этих уравнениях все функции выражаются через выбранную тригонометрическую функцию одного аргумента.

Метод решения: введение новой переменной .

2. Уравнения, решаемые разложением на множители.

При разложении на множители используются те же приёмы, что и в алгебре:

а) вынесение общего множителя;

б) способ группировки;

в) использование формул сокращённого умножения.

Способ решения: все члены уравнения перенести в левую часть, преобразовать по мере возможности с применением тригонометрических тождеств, формул приведения, формул сложения тригонометрических функций и т.д.

3. Однородные тригонометрические уравнения 1-ой и 2-ой степени.

    -1-ой степени,   -2-ой   степени.

Метод решения: Если , то решением этих уравнений не могут быть решения уравнений , поэтому , разделив обе части  уравнения либо на , либо на , получим равносильные уравнения:

.

4. Уравнения, сводящиеся к однородным.

       Метод решения: Используя основное тригонометрическое тождество,представляем  , упрощаем и приводим к однородному.

5. Уравнение .

Способы решения:

а) сведение к однородному уравнению:

             б) универсальная тригонометрическая подстановка:

            в) введение вспомогательного угла: разделим обе части на . Так как , то существует такой угол, что  и . Получим уравнение .

      6. Уравнения, решаемые понижением степени.

        Метод решения:  упрощение некоторых тригонометрических уравнений может быть достигнуто с   понижения их степени . Если показатели степеней синусов и косинусов, входящих в уравнение , чётные, то понижение степени производится по формулам половинного аргумента      .

1. Уравнения вида:

           Метод решения: делаем замену   или  

2. Уравнения , содержащие выражения:

      Метод решения: выделение полного квадрата.

3. Уравнения, решаемые исследованием области изменения левой и правой части уравнения.

Метод решения: используем ограниченность функций   и  и переход к системе.