Квадратные уравнения
методическая разработка по алгебре (8 класс) по теме

Тема: КВАДРАТНЫЕ У РАВНЕНИЯ

Тип урока:  Урок обобщения и систематизации знаний.  

Образовательные цели урока: Обеспечить закрепление теоремы Виета.

Обратить внимание учащихся на решение квадратных уравнений

ах2+ бх + с =0,  в которых а +б + с = 0; привить навыки устного решения таких уравнений.        

Воспитательные цели урока; Способствовать выработке у школьников желания и потребности обобщения изучаемых фактов: развивать самостоятельность и творчество.

Оборудование к уроку:

1. Тест «Квадратные уравнения».

2. Карточки с заданием для самостоятельной работы.

3. Карточки с индивидуальными заданиями для учащихся.

4. Таблицы: а) Теорема Виета;                

                     б)  Свойства квадратных уравнений

ход урока

I. ОРГАНИЗАЦИОННЫЙ МОМЕНТ

Учащимся сообщаются задачи урока:

1. Контроль знаний с помощью тестирования (тест на заполнение пропусков, чтобы получилось верное определение, формулировка, правило).

2. Решение задач на применение прямой и обратной теоремы Виета.

3. Изучение нового свойства квадратных уравнений.

II. ПОВТОРЕНИЕ ПРОЙДЕННОГО МАТЕРИАЛА

1. Решить  уравнение: (по заранее написанному)

7х2 - 9х + 2 = О.

Решение:

D=(-9)2 -4· 7·2=25; D>о.

      х 1 =       х2=  х1 =1; х 2=

 Ответ: 1; .         

2. Тест «Квадратные уравнения»

Каждый ученик получает листок с вопросами теста, обернутый полиэтиленом, ответы записываются на полиэтилене.

Тест проводится в двух вариантах. На выполнение этого задания дается 5 минут.

Задание теста

   ВАРИАНТ I                     :

. 1.... уравнением называется уравнение ах2+ бх + с =0, где а,б,с – заданные числа,а0, х – переменная.

2. Уравнение х2=а, где а  >0, имеет корни х1 = ….; х2 = … .

3. Уравнение ах 2 = 0, где а  0, называют ...  квадратным уравнением.

4. Уравнение ах2 + Ьх =0, где а 0, Ь0, называют ... квадратным уравнением.

5. Если ах2 + Ьх + с =0  - квадратное уравнение (а 0 ), то Ь называют ... коэффициентом.

6. Корни квадратного уравнения ах2 + Ьх =0, вычисляют во формуле х 1,2 =.

7. Приведенное квадратное уравнение x2 +px+q=0

 совладает с уравнением общего вида, в котором a =…., b=…., c=… .

8. Если x1 и х2 - корни уравнения x2 +px+q=0, то справедливы формулы

      x1 + х2 = ….;  x1 · х2 = … .

ВАРИАНТ II       

      1. Если ах2 + Ьх + с =0  - квадратное уравнение ,  то а называют ... коэффициентом, с - ... членом.

2. Уравнение х2=а, где а  >0где а < 0, не имеет ....

3. Уравнение  вида ах2 +  с =0, где а0, с 0, называют ... квадратным уравнением.

4. Корни квадратного уравнения ах2 + Ьх + с =0  вычисляют по формулам

х1 =;          х2 =;       

5. Квадратное уравнение  ах2 + Ьх + с =0  имеет два различных действительных корня, если b2 - 4аc…0.

6. Квадратное уравнение вида  x2 +px+q=0 называют .....

7. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна ... коэффициенту, взятому с ... знаком, а произведение корней равно ... члену.

8. Если числа  p,q,х1, х2, таковы, что x1 + х2 = - p;  x1 · х2 = … , то х1 и х2 -корни уравнения... .

Учитель собирает тесты на проверку.

3. Задание (устно) на определение вида  уравнения.

Вопрос учащимся:

- Ребята, здесь вы видите уравнения, определенные по какому-то признаку. Как вы думаете, какое из уравнений этой группы является лишним?

а) 1) 2.х2 – х= 0;                    б) 1). х 2 -5х +1 = 0;

     2) х2 - 16 = 0;                         2) 9х2 –6х + 10 = 0;

     3) 4х2 +х-3=0;                        3) х2+ 2х – 2 = 0;

  4) 2х2  = 0.                              4) х2 -3х -1=0;

Ответы:

а) 3) - лишнее, так как это полное квадратное уравнение. 1), 2), 4) - неполные квадратные уравнения.

б) 2) - лишнее, тек как это уравнение общего вида. 1), 3), 4) - приведенные квадратные уравнении.

4. а) Вопрос учащимся:  

- Как можно решить приведенное квадратное уравнение?                   •

(Ответ: по формуле корней квадратного уравнения и по теореме Виета.)

- Сформулировать теорему Виета. (Отвечают учащиеся.) Использование таблицы:

х2 + рх + q =0

x1 + х2 = -p

  x1 · х2 = q.

б) УЧИТЕЛЬ:

- - Как используется теорема Виета при решении квадратного уравнения общего вида

ах2 + Ьх + с =0 ?

(Ответ: заменить это уравнение равносильным ему приведенным квадратным уравнением).

Один  из учеников записывает равносильное уравнение:

Х2 +(а 0 ).

Использование таблицы:  ах2 + Ьх + с =0 ? а 0

                               Х2 +

       x1 + х2 = -

         x1 · х2 = .

УЧИТЕЛЬ:  А сейчас, ребята, послушайте стихотворение о теореме Виета:

                             По праву достойна в стахах быть воспета

                              О свойствах корней теорема    Виета.

                              Что лучше, скажи постоянства такого:

                                         Умножишь ты корни - и дробь уж готова?

                                          В числителе с, в знаменателе а,

                                         А сумма корней тоже дроби равна.

                                         Хоть с минусом дробь, что за беда!

                                         В числителе b, в знаменателе а.

.

III. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ;        ТЕОРЕМЫ ВИЕТА .

(прямой и  обратной)

1. Задание: (по заранее записанному). Дано уравнение: х2 - 6х +5 =0

 Не решая уравнения, найти:

1) сумму корней...

2) произведение корней...

3) квадрат суммы корней...

4) удвоенное произведение...

5)

6) подобрать корни...

Класс выполняет задание в тетрадях.

Учитель записывает ответы, полученные учащимися, на доске.

2.Задание (устно).

а) Найти сумму и произведение корней следующих уравнений:    

                                          x1 + х2                   x1 · х2

                      1) х2-3х- 4=0;                                 ?                            ?          

                       2) х2-9х+1 4=0;                              ?                           ?

                       3) 2 х2- 5 х +18=0;                          ?                           ?

                       2) 3х2  +15х +1=0;                           ?                           ?

б) Для уравнений 1), 2) найти подбором корни.

 Ответ.: I) х 1= 4, х 2 = - 1; 2) х 1= 7, х 2 = 2.

3. Задание:

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни.

(Перед выполнением задания учащиеся формулируют обратную теорему Виета.)

а) Учитель сам решает задание, записанное на доске:

х 1= -3,                     x2 +px+q=0

 х 2 = 1                     x2 +2x+(-3)=0        

                                        р = 2; q= - 3;

x1 + х2  =-3+1=-2       X2 +2х- 3 =0

-р=-2;   р= 2;      

  x1 · х2 =q      

 x1 · х2 =-3; q =-3.

б) Самостоятельная работа в четырех Вариантах(с проверкой в классе).

ВАРИАНТ 1   ВАРИАНТ 2   ВАРИАНТ Ш      ВАРИАНТ IV

  x1 =5,                     x1= -5,          x1 =5,·               x1 ·=-5,

  х2 =6,                   х2 = 6,          х2 =-6,              х2 = -6

Записать на доске полученные уравяевия (к доске приглашаются по одному ученику от каждого варианта, остальные ученики проверяют). Отлеты к вариантам:

1) х2-11х+30=0;                                

 2) х2- х -30 =0;

 3)  х2+ х -30=0;      

4) х2  +11х +30=0;            

 Во время самостоятельной работы два ученика работают у доски по карточкам.

Карточка1.

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни

x1 =7; х2 = -3.

Карточка2.

Составить приведенное квадратное уравнение, если известны его корни

x1 =8; х2 = -4.

Учитель проверяет выполнение работ учащихся у доска по карточкам.

После проверки составленных уравнение сделать вывод о знаке перед свободным членом квадратного уравнения.                            

IV. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ НА ЗАКРЕПЛЕНИЕ СВОЙСТВА

1. М 534 (а, б, д) («Алгебра - 8. под ред. С.А. Теляковского),          '

2. Обратить внимание учащихся на уравнение, которое было решено в начале урока.

7 X2 - 9х + 2 = 0;

7-9+2=0;  x1 =1; х2 = . Сделать вывод о значимости данного свойства.

V. ЗАДАНИЕ НА ДОМ

1. Придумать три уравнения, в которых а + Ь + с = 0.

2. Повторить п. '19. 21, 23-

3. М 546 (а. б).

VI. ИТОГ УРОКА

 Выставление оценок учащемся за работу на уроке.