Урок обобщения и систематизации по теме "Прогрессии"
методическая разработка (алгебра, 9 класс) по теме

Урок обобщения и систематизации по теме «Прогрессии»

Цели урока:

1) повторить все, что мы знаем о прогрессиях: определения, свойства, формулы, виды прогрессий;

2) проверить умеем ли мы решать задачи с помощью этих знаний;

3) получить представление об исторических фактах, свидетельствующих о знании и практическом применении прогрессий в древности и в наше время.

Ход урока

1. Организационный момент. 

Класс разбит на 2 команды. Раздаются рабочие карточки командирам групп.

2. Проверка домашнего задания.  

Домашнее задание проверяется в парах, а потом сверяют с решением учителя (раздаются листы с решениями на каждую команду)

Далее учитель объявляет тему урока (слайд 1 презентации).

Учитель. Сформулируйте цели урока.

1. повторить все, что мы знаем о прогрессиях: определения, свойства, виды прогрессий, формулы;
2. проверить умеем ли мы решать задачи с помощью этих знаний;
3. получить представление об исторических фактах, свидетельствующих о знании и практическом применении прогрессий в древности и в наше время (слайд 2).

Историческая справка (слайд 3). Презентация (Болотина).

Сами по себе прогрессии известны так давно, что, конечно, нельзя говорить о том, кто их открыл. Ведь уже натуральный ряд есть арифметическая прогрессия с первым членом, равным 1, и разностью, тоже равной 1. О том, как давно была известна геометрическая прогрессия, свидетельствует знаменитое предание о создании шахмат. Рассказывают, что индийский принц Сирам рассмеялся, услышав, какую награду попросил у него изобретатель шахмат: за первую клетку шахматной доски – 1 зерно, за вторую – 2, за третью – 4, за четвертую 8 и так до 64 поля. Здесь явная геометрическая прогрессия с первым членом, равным 1, и знаменателем, равным 2.

Давайте посмотрим сколько зерен попросил изобретатель у принца Сирама.

Учитель. Какая первая тема, которую мы изучали в этом разделе?

Ожидаемый ответ ученика. Это последовательности.

Повторяем кратность на «2», «3», «5». - Формулы четных и нечетных чисел.

Учитель. Давайте рассмотрим последовательности (слайд 4).

Запишите n-й член каждой из последовательностей. (Ответ закрыт шторкой)

Учитель. Сравните ответы и оцените себя.

Какие свойства последовательностей вы знаете (слайд 5) ?

Учитель. Какая последовательность называется ограниченной?

Ответ. Последовательность называется ограниченной, если она ограничена и сверху и снизу.

Пример. 1; ; ; …; ; …

Сверху – 1(единицей), снизу 0. .

Учитель. Как задаются последовательности? (Назовите способы).

Ответ: 1) словестный (перечислением ее первых членов)

           2) аналитический (формулой n-го члена)

            3) рекурентный (указывается правило, позволяющее вычислить n-ый член, если известны предыдущие члены).  

Работа в группах

Перестрелка по теории об арифметической и геометрической прогрессиях (определения и характеристические свойства).

Вопрос 1. Дайте определение арифметической прогрессии.

Ответ. Числовая последовательность а1, а2, а3,…, аn… называется арифметической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство an+1 = an + d, где d – некоторое число (называется разностью арифметической прогрессии)

Вопрос 2. Давайте определение геометрической прогрессии.

Ответ. Числовая последовательность b1, b2, b3, …, bn, …  называется геометрической прогрессией, если для всех натуральных n выполняется равенство bn+1 = bn∙q, где bn ≠ 0 и q≠ 0.

Вопрос 3. Сформулируйте первое характеристическое свойство арифметической прогрессии.

Ответ. Каждый член арифметической прогрессии (кроме первого и последнего (в случае конечной арифметической прогрессии)) равен среднему арифметическому двух соседних с ним членов – предыдущего и последующего .

Вопрос 4. Сформулируйте первое характеристическое свойство геометрической прогрессии.

Ответ. Если все члены геометрической прогрессии положительны, то , т.е каждый член прогрессии, начиная со второго равен среднему геометрическому двух соседних с ним членов (этим объясняется название геометрической прогрессии).

Вопрос 5. Сформулируйте второе характеристическое свойство конечной геометрической прогрессии.

Ответ. Произведение первого и последнего членов конечной геометрической прогрессии равно произведению любых двух его членов, равноудаленных от концов данной геометрической  прогрессией b1∙ bn = b2 ∙ bn-1 = … = bk ∙ bn-k+1

Вопрос 6. Сформулируйте второе характеристическое свойство конечной арифметической прогрессии.

Ответ. Сумма первого и последнего членов конечной арифметической прогрессии равна сумме двух ее членов равноудаленных от концов данной арифметической прогрессии, т.е  а1+аn = а2+аn-1 = а3+аn-2 =…= аk+аn-k+1.

Учитель. (слайд 6) Какие из предложенных формул относятся к арифметической прогрессии, а какие к геометрической прогрессии.

bn+1 = bn ∙ q, bn ≠ 0 и q≠ 0;    an+1 = an + d;    , bn ≠ 0;   d = an+1 - an ;  

an = a1+(n-1) d;    bn = b1∙qn-1 , bn ≠ 0 и q≠ 0; ;  , bn > 0;   , q≠ 1;   ;   , q≠ 1;   ;   Sn=b1∙n, q=1;   а1+аn = а2+аn-1 = а3+аn-2 =…= аk+аn-k+1;  

b1∙bn = b2∙bn-1 = b3∙bn-2 =…= bk∙bn-k+1

Ответ.

Задачи (слайд 7)

Задача 1. Если для конечной геометрической прогрессии b1, b2, b3, b4, b5, b6, b7, b8, b9, b10 выполняется равенство b1·  b10 = 72, то чему будет равна b2 ·  b9; b3 ·  b8?

Задача 2. Если для конечной арифметической прогрессии

а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, а8, а9, а10 выполняется равенство а1 + а10 = 41, то чему будет равна сумма а3 + а8 ?

Задача 3. Найдите сумму всех членов конечной арифметической прогрессии а1, а2, а3, а4, а5, а6, а7, зная, что  а3 + а5 = 7.

Решение

Ответ: S7 = 24,5.

3. Применение прогрессий в жизни.

Творческие задачи.

1. Задача от будущего медика (слайд 8)

Курс воздушных ванн начинают с 15 минут в первый день и увеличивают время этой процедуры в каждый следующий день на 10 минут. Сколько дней следует принимать воздушные ванны в указанном режиме, чтобы достичь их максимальной продолжительности 1 ч. 45 мин.

Решение:

Дано: а1=15;    d=10;    an=105,     1 ч. 45 мин.=105 мин.

Найти: n.

an = a1+(n-1)∙d;

105 = 15+(n-1) ∙10;

105 = 15+10n – 10;

10n = 105 – 5;

10n = 100;

n = 100:10

n = 10.

Ответ. Необходимо 10 процедур.

2. Задача от эколога (слайд 9)

В искусственный водоем внесли 10 кг. одноклеточных водорослей. Определите через сколько дней масса этих водорослей превысит 1 тонну, если количество водорослей в водоеме удваивается каждые 3 дня.

Дано: b1 =10,     q=2;    Sn=1000,    1т=1000 кг.

Найти: n.

Решение:

;

;

;

10(2n-1)≥1000;

2n-1≥100;

2n >101; 26=64, 27=128, значит

27>101;

n=7;

3∙7=21 (день).

Ответ. Через 21 день масса водорослей превысит 1тонну.

2 способ решения (слайд 10)

Каждый член геометрической прогрессии (последовательности), начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на число 2. (знаменатель геометрической прогрессии)

3. Задача ГИА . Тем. тесты 2013 г. Лысенко (слайд 11).

На первой неделе нового учебного года ученик решая 11 задач, а на каждой следующей неделе он решал на 3 задачи больше, чем на предыдущей. Сколько задач решит ученик на n-ой неделе учебного года?

Решение

Дано: а1=11, d=3.

Найти: an.

an = a1+(n-1) d;

an = 11+(n-1)3;

an = 11+3n-3;

an = 8+3n.

Ответ. an = 8+3n.

4. Итоги урока (подводим итоги вместе с учениками, слайд 12-13).

1. повторили все, что изучали о прогрессиях: определения, свойства, виды прогрессий, формулы;
2. применяли знания о прогрессиях при решении задач практической направленности;
3. получили представление об исторических фактах, свидетельствующих о знании и практическом применении прогрессий в древности.

5. Оценки (самооценка, оценка группы и учителя).
6. Домашнее задание.

Задача 1. Найдите связь между прогрессиями (слайд 14).

На связь между прогрессиями первым обратил внимание великий Архимед. В печати же эти мысли отчетливо прозвучали лишь в 1544 г., когда вышла книга немецкого математика Михаила Штифеля «Общая арифметика». Штифель составил такую таблицу.

В верхней строчке написана арифметическая прогрессия с разностью 1. В нижней геометрической со знаменателем 2.

Пример 1. Надо умножить  на 128. Обращаем внимание, что в таблице на написано -1, а над 128 написано 7. Сложим эти числа и получим 6, а под шестеркой читаем 64. Это и есть искомое произведение.

Задача 2. Составить тест по теме "Прогрессии" ( слайд 15).

Тест должен содержать 5 заданий на различные формулы.

Учащимся, которым это задание покажется сложным, решите задания части 1 "Закрытый сегмент" ГИА 3000 задач  № 1306, № 1313, № 1292, № 1318.

Задача 3. Геометрическая задача (слайд 15). 

Длина сторон прямоугольного треугольника три последовательных члена возрастающей арифметической прогрессии. Найдите разность  этой прогрессии, если периметр треугольника равен 120.

Решение:

Т.к. прогрессия возрастающая, то d>0.  По условию задачи больший катет обозначим через а, тогда меньший катет  - а - d, а гипотенуза  - а + d.

P = a + a - d + a + d.

      Т.к. треугольник прямоугольный, то воспользуемся теоремой Пифагора: в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов

(a - d)2 + a2 = (a + d)2.

      Т.к. эти условия должны выполняться одновременно, то решим систему

160d=1600;

d =10.

Ответ. d =10.

Последовательности

ограниченные

монотонные

бесконечные

сверху

снизу

конечные

Прогрессии

Виды

геометрическая

арифметическая

Свойства

ограниченная

монотонная

сверху

снизу

конечные

бесконечные

а+d

а

a- d

ПРИЛОЖЕНИЕ 11

РАБОЧАЯ КАРТОЧКА