Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе
олимпиадные задания по алгебре (10 класс) по теме
Данные задания дают вожможность выявить неординарно мыслящих школьников, которые достаточно хорошо усвоили не только разделы математики.но и смежные дисцплины.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 31.03 КБ |
Предварительный просмотр:
Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе
- Решите уравнение
В ответе укажите целый корень. (2б)
Решение:
Ответ:1.
- Решите систему уравнений
(2б)
Решение:
Пусть , xy=b, тогда
Имеем
Ответ: (3;1), (1;3).
- При каких значениях параметра
корни уравнения
имеют одинаковые знаки. (3б)
Решение:
График уравнения представляет собой «уголок», стороны которого образуют углы 45◦ с осью абсцисс, а вершина находиться на оси х в точке с координатами (5; 0)
График уравнения представляет собой семейство прямых, параллельных оси х. Эти прямые должны пересекать «уголок» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки. Условие для параметра а определяется из системы неравенств
.
Следовательно, корни уравнения имеют одинаковые знаки, если
.
Ответ:.
- Задача.
Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое этих дробей равно . Найдите эти дроби. (3б)
Решение:
- Числители дробей: х, 2х, 5х (по условию задачи)
- Знаменатели дробей: y, 3y, 7y (по условию задачи)
- Дроби:
- Из условия задачи следует:
- первая дробь
- вторая дробь
- третья дробь
Ответ:
- Задача.
В сосуде было 12 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% -ный раствор соляной кислоты? (4б)
Решение:
Пусть первый раз отлили л 100%-ной соляной кислоты, тогда в растворе её осталось (12-х) литров. Второй раз было отлито
л жидкости, в которой содержалось
л кислоты. В результате осталось
л кислоты, что составляло
л. Поэтому
, откуда
. Второй корень не подходит, так как в сосуд, вмещающий 12 литров нельзя влить 18 литров.
Ответ: 6 литров.
- Задача.
Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым. (4б)
Решение:
Пусть и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них пару параллельных плоскостей
и
. Все рассматриваемые середины отрезков принадлежат плоскости
, проведенной через одну из точек параллельно плоскостям
и
.
- Задача.
В выпуклом четырехугольнике углы при вершинах
и
прямые, величина угла при вершине
равна
,
, длина диагонали
. Найти площадь этого четырехугольника. (5б)
Решение:
Обозначим угол через
. Так как сумма внутренних углов любого четырехугольника равна
, а три угла четырехугольника
известны по условию задачи, то
. Рассмотрим треугольник
. Введем обозначение CD=x, тогда по теореме косинусов получим уравнение
.
Единственный положительный корень этого уравнения есть .
Выполним дополнительное построение: опустим из вершины С перпендикуляр на AD.
Из прямоугольного треугольника находим, что
. По теореме Пифагора находим
. Из прямоугольного треугольника BAD и очевидного равенства
следует, что
.
.
Так как по условию задачи углы А и B прямые, то AD||BC и четырехугольник ABCD – трапеция.
.
Ответ:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2012/12/02/picture-154785-1354458321.jpg)
Задания для школьного этапа олимпиады по математике (8 класс)
Вниманию желающих предлагаются задания для школьного этапа по математике.Задания соответствуют современным требованиям к обучению математике.Вместе с заданиями имеются и решения.Все вместе облег...
![](/sites/default/files/pictures/2013/01/14/picture-166166-1358112455.jpg)
Задания школьного этапа олимпиады по математике для 5-6 классов 2013г.
Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.Вариант олимпиады по математике 5 - 6 классы коррекционной школы VI вида....
![](/sites/default/files/pictures/2011/10/16/picture-24796.jpg)
Материал к проведению школьного этапа олимпиады по математике, 5-11 классы.
Материал к проведению школьного этапа олимпиады по математике, 5-11 классы....
![](/sites/default/files/pictures/2014/01/11/picture-379773-1389421475.jpg)
Задания для проведения школьного этапа олимпиады по ОБЖ
Задания для проведения школьного этапа олимпиады по ОБЖ...
![](/sites/default/files/pictures/2018/02/06/picture-1008271-1517925321.jpg)
Задания для проведения школьного этапа олимпиады по технологии 5-6 класс
Задания и ключи для проведения школьного этапа олимпиады по технологии 5-6 класс (технический труд)...
![](/sites/default/files/pictures/2014/01/06/picture-336210-1388952776.jpg)
Задания для проведения школьного этапа олимпиады по английскому языку для 4 классов.
Олимпиадные задания по иностранному языку способствуют расширению лингвистического и страноведческого кругозора обучающихся. От участников олимпиады требуется показать не только высокий уровень овладе...
![](/sites/default/files/pictures/2021/12/26/picture-1158270-1640535822.jpg)
Олимпиадные задания по математике для проведения школьного этапа олимпиады школьников (6 класс)
Олимпиадные задания по математике предназначены для проведения школьного этапа олимпиады школьников 6-х классов. Данная разработка содержит олимпиадные задания, ответы к заданиям,...