Главные вкладки

    Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе
    олимпиадные задания по алгебре (10 класс) по теме

    Попова Нина Васильевна

    Данные задания дают вожможность выявить неординарно мыслящих школьников, которые достаточно хорошо усвоили не только разделы математики.но и смежные дисцплины.

    Скачать:

    ВложениеРазмер
    Файл zadaniya_s_resheniyami_10_klass.docx31.03 КБ

    Предварительный просмотр:

    Задания с решениями для проведения школьного этапа олимпиады по математике в 10-ом классе

    1. Решите уравнение

    В ответе укажите целый корень. (2б)

    Решение:

     

    Ответ:1.

    1. Решите систему уравнений

       (2б)

    Решение:

    Пусть , xy=b, тогда

     

    Имеем

    Ответ: (3;1), (1;3).

    1. При каких значениях параметра  корни уравнения  имеют одинаковые знаки. (3б)

    Решение:

    График уравнения  представляет собой «уголок», стороны которого образуют углы 45 с осью абсцисс, а вершина находиться на оси х в точке с координатами (5; 0)

    График уравнения  представляет собой семейство прямых, параллельных оси х. Эти прямые должны пересекать «уголок» в точках, абсциссы которых имеют одинаковые знаки. Условие для параметра а определяется из системы неравенств

    .

    Следовательно, корни уравнения  имеют одинаковые знаки, если .

    Ответ:.

    1. Задача.

    Числители трех дробей пропорциональны числам 1, 2, 5, а знаменатели соответственно числам 1,3,7. Среднее арифметическое этих дробей равно  . Найдите эти дроби. (3б)

    Решение:

    1. Числители дробей: х, 2х, 5х (по условию задачи)
    2. Знаменатели дробей: y, 3y, 7y (по условию задачи)
    3. Дроби:
    4. Из условия задачи следует:

     

      - первая дробь

      - вторая дробь

      - третья дробь

    Ответ:

    1. Задача.

    В сосуде было 12 литров соляной кислоты. Часть кислоты отлили и долили сосуд водой, затем снова отлили столько же и опять долили водой. Сколько жидкости отливали каждый раз, если в сосуде оказался 25% -ный раствор соляной кислоты? (4б)

    Решение:

    Пусть первый раз отлили л 100%-ной соляной кислоты, тогда в растворе её осталось (12-х) литров. Второй раз было отлито л жидкости, в которой содержалось  л кислоты. В результате осталось л кислоты, что составляло л. Поэтому , откуда . Второй корень не подходит, так как в сосуд, вмещающий 12 литров нельзя влить 18 литров.

    Ответ: 6 литров.

    1. Задача.

    Докажите, что геометрическое место середин отрезков с концами на двух скрещивающихся прямых есть плоскость, параллельная этим прямым. (4б)

    Решение:

    Пусть  и b – данные скрещивающиеся прямые. Проведем через них пару параллельных плоскостей  и . Все рассматриваемые середины отрезков принадлежат плоскости , проведенной через одну из точек параллельно плоскостям  и .

    1. Задача.

    В выпуклом четырехугольнике  углы при вершинах  и  прямые, величина угла при вершине  равна ,  , длина диагонали . Найти площадь этого четырехугольника. (5б)

    Решение:

    Обозначим угол  через . Так как сумма внутренних углов любого четырехугольника равна , а три угла четырехугольника   известны по условию задачи, то . Рассмотрим треугольник . Введем обозначение CD=x, тогда по теореме косинусов получим уравнение

    .

    Единственный положительный корень этого уравнения есть .

    Выполним дополнительное построение: опустим из вершины С перпендикуляр  на AD.

    Из прямоугольного треугольника  находим, что . По теореме Пифагора находим . Из прямоугольного треугольника BAD и очевидного равенства  следует, что . .

    Так как по условию задачи углы А и B прямые, то AD||BC и четырехугольник ABCD – трапеция.

    .

    Ответ:


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Задания для школьного этапа олимпиады по математике (8 класс)

    Вниманию желающих предлагаются задания для школьного этапа по математике.Задания соответствуют современным требованиям к обучению математике.Вместе с заданиями  имеются и решения.Все вместе облег...

    Задания школьного этапа олимпиады по математике для 5-6 классов 2013г.

    Добиться хороших результатов в олимпиадах можно только путем прорешивания как можно большего количества задач.Вариант олимпиады по математике 5 - 6 классы коррекционной школы VI вида....

    Материал к проведению школьного этапа олимпиады по математике, 5-11 классы.

    Материал к проведению школьного этапа олимпиады по математике,  5-11 классы....

    Контрольно-измерительные материалы для проведения школьного этапа олимпиады по биологии в 6 классе

    Контрольно-измерительные материалы для проведения школьного этапа олимпиады по биологии в 6 классе...

    Задания для проведения школьного этапа олимпиады по ОБЖ

    Задания для проведения школьного этапа олимпиады по ОБЖ...

    Задания школьного этапа олимпиады по математике (8 класс)

    Задания школьного этапа олимпиады по математике (8 класс)...

    Задания для проведения школьного этапа олимпиады по технологии 5-6 класс

    Задания и ключи для проведения школьного этапа олимпиады по технологии 5-6 класс (технический труд)...