СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
учебно-методический материал (10 класс) по теме

СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ

 Хочу поделиться своими наработками в изучении учащимися темы «Системы счисления». Мною предлагается учебно-методический комплекс по данной теме. В процессе подготовки и разработки  комплекса на первом этапе была разработана карта , в которой отражены основные понятия и определения предлагаемой темы. На следующем этапе дано алгоритмическое описание всех видов действий. Разработана итоговая трехуровневая контрольная работа с учетом требований подготовки к ЕГЭ. Составлен комплект из 6 срезовых  работ, дифференцированных по 3 уровням сложности. Создана система уроков , ориентированная на достижение прогнозируемых результатов.

     Основные обобщенные прогнозируемые результаты изучения темы:

1. Учащиеся должны знать основные понятия и определения темы.
2. Учащиеся должны уметь переводить числа из одной системы счисления в другую.
3. Учащиеся должны уметь производить арифметические действия над числами в двоичной системе счисления Учащиеся должны уметь производить арифметические действия над числами в двоичной системе счисления.

АЛГОРИТМЫ

     Алгоритм перевода из десятичной системы счисления в  любую другую.

Десятичное число в свернутом виде представлено следующим образом:

А10= аn an-1 an-2….a1 a0, a-1…. am-1 am

В развернутом виде данное число представлено в виде:

А10= аn* 10n+an-1*10n-1+ an-2*10n-2…+a1*101 +a0 +a-1*10-1…. +a-m*10-m

     Алгоритм перевода целого десятичного числа в другую систему счисления основан на том, что любое десятичное число можно представить   в виде ряда с другим основанием q:

 А10= bn* q n+bn-1* q n-1+ bn-2* q n-2…+b1* q 1 +b0

    1)   при  первом делении А10   на основание q получим bn* q n-1+bn-1* q n-2+ bn-2* q n-3…+b1   и остаток b0 ;

    2)   при  втором делении А10   на основание q получим bn* q n-2+bn-1* q n-3+ bn-2* q n-4…+b2   и остаток b1  .

      При  каждом следующем делении А10   на основание q получим последовательно остатки деления b2 , b3 ….. bn-2, bn-1, bn.  .

    Таким образом получим последовательность цифр в числе А10 по основанию q и число в свернутом виде :

                         А10 = bn  bn-1  bn-2 …… b3  b2 b1 b0

   .

Алгоритм перевода десятичной дроби в другую систему счисления основан на том, что десятичную дробь можно представить   в виде ряда с основанием q:

 А10= b-1* q -1+ b-2* q -2…+b-m* q -m 

    1) при  первом умножении А10   на основание q получим = b-1+ b-2* q -1…+b-m* q –m+1

  Таким образом ,  b-1  является значением первого дробного разряда числа с основанием q

    2) при  втором умножении А10   на основание q получим = b-2…+b-m* q –m+2

  Таким образом ,  b-2  является значением второго дробного разряда числа с основанием q

      При  каждом следующем умножении А10   на основание q получим последовательно остатки умножении b-3…. b-m.  .

    Таким образом получим последовательность цифр в числе А10 по основанию q 

     и число в свернутом виде :

                    А10 = b-1  b-2 …… b-m

     Алгоритм перевода двоичного числа в восьмеричную и шестнадцатиричную системы счисления основан на следующем:

      для записи двоичного  используются цифры 0 и 1 , любой разряд двоичного числа содержит один бит информации(21=2);

      для записи восьмеричного числа используются цифры от 0 до 7 , любой разряд двоичного числа содержит три бита информации(23=8);

      для записи шестнадцатеричного числа используются цифры от 0 до 9 и латинские буквы от A до F , любой разряд двоичного числа содержит четыре бита информации(24=16).

      Таким образом, для перевода в восьмеричную систему счисления целое двоичное число надо разбить на триады справа налево (при нехватке слева дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 1:

Для перевода в восьмеричную систему счисления дробное двоичное число надо разбить на триады слева направо (при нехватке справа дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 1:

                                                                     Таблица 1

      Для перевода в шестнадцатеричную систему счисления целое двоичное число надо разбить на тетрады справа налево (при нехватке слева дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 2:

Для перевода в шестнадцатеричную систему счисления дробное двоичное число надо разбить на тетрады слева направо (при нехватке справа дополняем нулями) и преобразовать в восьмеричное согласно таблице 2:

                                                                     Таблица 2

      Для перевода из восьмеричной системы счисления в двоичную надо цифры восьмеричного числа надо преобразовать в триады двоичных чисел согласно таблице 1.

       Для перевода из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную надо цифры шестнадцатеричного числа надо преобразовать в тетрады двоичных чисел согласно таблице 2.

Двоичная арифметика

       В двоичной арифметике справедливы все законы позиционных систем счисления:

               -справедливы ассоциативный, коммутативный и дистрибутивный законы;

              -справедливы правила сложения, вычитания, умножения и деления столбиком.

        Правила выполнения арифметических операций опираются на таблицы сложения, вычитания и умножения:

Таблица сложения             Таблица вычитания                    Таблица умножения

      В таблице вычитания дополнительная 1 означает заем из старшего разряда.

      При делении столбиком в качестве промежуточных операций выполняются действия умножения и вычитания на основании приведенных таблиц.

Итоговая работа

Урок № 1

Тема: Системы счисления. Непозиционные системы счисления.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1   определение понятий: цифра, число, система счисления, непозиционная система счисления

2   запись числа в  непозиционных системах счисления

Урок № 2

Тема : Позиционные системы счисления.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1   примеры чисел различных позиционных систем счисления.

2   определения основных систем счисления.

3   запись числа в развернутой форме.

Урок № 3

Тема: Перевод чисел из любой системы счисления в десятичную.

Прогнозируемые результаты урока.

1  знать: развернутую форму записи числа.

2  уметь: переводить числа из любой системы счисления в десятичную

Урок № 4

Тема: Перевод чисел из десятичной в любую другую систему счисления.

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1   целочисленное деление в системах счисления;

2   алгоритм перевода числа из десятичной в любую другую систему счисления.

Урок № 5

Тема: Системы счисления, используемые в ЭВМ (с основанием 2ⁿ).

Прогнозируемые результаты урока.

Знать:

1   алгоритм перевода числа из двоичной в систему счисления с основанием 2ⁿ и обратно. 2   использование понятия триады и тетрады .

Урок № 6

Тема: Двоичная арифметика.

Прогнозируемые результаты урока.

 Знать:

1   причины использования двоичной системы счисления  в вычислительной технике;

2   алгоритм выполнения арифметических действий в двоичной системе счисления.

Оценка результативности изучения темы

Итоговые результаты можно оценить используя  следующую таблицу: