угловой коэффициент касательной
презентация урока для интерактивной доски по алгебре (10 класс) на тему

Слайд 1

11 класс Учитель : Гагиева А.О. МКОУ СОШ с. Новый Батако Тема: Касательная к графику функции

Слайд 2

Касательная – это прямая, проходящая через точку кривой и совпадающая с ней в этой точке с точностью до первого порядка (рис .). Другое определение : это предельное положение секущей при Δ x →0. Пояснение : Возьмем прямую, пересекающую кривую в двух точках: А и b (см.рисунок). Это секущая. Будем поворачивать ее по часовой стрелке до тех пор, пока она не обретет только одну общую точку с кривой. Так мы получим касательную.

Слайд 3

Строгое определение касательной: Касательная к графику функции f , дифференцируемой в точке x о , - это прямая, проходящая через точку ( x о ; f ( x о )) и имеющая угловой коэффициент f ′( x о ). Угловой коэффициент имеет прямая вида y = kx + b . Коэффициент k и является угловым коэффициентом этой прямой. Угловой коэффициент равен тангенсу острого угла, образуемого этой прямой с осью абсцисс: k = tg α

Слайд 4

Здесь угол α – это угол между прямой y = kx + b и положительным (то есть против часовой стрелки) направлением оси абсцисс. Он называется углом наклона прямой (рис.1 и 2).

Слайд 5

Если угол наклона прямой y = kx + b острый, то угловой коэффициент является положительным числом. График возрастает (рис.1). Если угол наклона прямой y = kx + b тупой, то угловой коэффициент является отрицательным числом. График убывает (рис.2). Если прямая параллельна оси абсцисс, то угол наклона прямой равен нулю. В этом случае угловой коэффициент прямой тоже равен нулю (так как тангенс нуля есть ноль). Уравнение прямой будет иметь вид y = b (рис.3). Если угол наклона прямой равен 90º (π/2 ), то есть она перпендикулярна оси абсцисс, то прямая задается равенством x = c , где c – некоторое действительное число (рис.4).

Слайд 6

Уравнение касательной к графику функции y = f ( x ) в точке x о : y = f ( x о ) + f ′( x о ) ( x – x о ) Алгоритм нахождения уравнения касательной к графику функции y = f ( x ): 1. Вычислить f ( x о ). 2. Вычислить производные f ′( x ) и f ′( x о ). 3. Внести найденные числа x о , f ( x о ), f ′( x о ) в уравнение касательной и решить его.

Слайд 7

Пример : Найдем уравнение касательной к графику функции f ( x ) = x 3 – 2 x 2 + 1 в точке с абсциссой 2. Решение . Следуем алгоритму. 1) Точка касания x о равна 2. Вычислим f ( x о ): f ( x о ) = f (2) = 2 3 – 2 ∙ 2 2 + 1 = 8 – 8 + 1 = 1 2) Находим f ′( x ). Для этого применяем формулы дифференцирования, изложенные в предыдущем разделе. Согласно этим формулам, х 2 = 2 х , а х 3 = 3 х 2 . Значит: f ′( x ) = 3 х 2 – 2 ∙ 2 х = 3 х 2 – 4 х . Теперь, используя полученное значение f ′( x ), вычислим f ′( x о ): f ′( x о ) = f ′(2) = 3 ∙ 2 2 – 4 ∙ 2 = 12 – 8 = 4 . 3) Итак, у нас есть все необходимые данные: x о = 2, f ( x о ) = 1, f ′( x о ) = 4. Подставляем эти числа в уравнение касательной и находим окончательное решение: у = f ( x о ) + f ′( x о ) ( x – x о ) = 1 + 4 ∙ ( х – 2) = 1 + 4х – 8 = –7 + 4х = 4х – 7. Ответ : у = 4х – 7.