Проблемные задачи
методическая разработка по алгебре (6 класс) на тему

Роль проблемных заданий в обучении математике

Мокрушина О. Г.

   Основная задача общеобразовательной школы состоит не только в том, чтобы дать учащимся глубокие знания, но и в том, чтобы научить их самостоятельно решать возникающие вокруг задачи, творчески мыслить. «Повторять слова учителя – не значит быть его продолжателем», - говорил Д. И. Писарев

      Увеличение умственной нагрузки на уроках математики заставляет задуматься над тем, как поддержать интерес учащихся к изучаемому материалу, их активность на протяжении всего урока.    Возникновение интереса к математике у значительного числа учащихся зависит в большей степени от методики её преподавания, от того, насколько умело будет построена работа. Надо позаботиться о том, чтобы на уроках каждый ученик работал активно, и использовал это как отправную точку для возникновения и развития любознательности, глубокого познавательного интереса.        

      Пассивное изучение математики, как серьёзный недостаток можно исправить с помощью проблемного обучения. Важно отметить: без проблемной составляющей урока личностно ориентированного образования не бывает. Проблема – это всегда препятствие. Преодоление препятствий – движение, неизменный спутник развития.

     Проблемное обучение позволяет ставить ученика в позицию исследователя, учит его анализировать ситуацию, обосновывать её, пробуждать у него интерес к ещё нерешенным задачам.

     «Просто «думать» не умеет никто. Думать можно только над конкретным вопросом. Умение решать задачи в большей степени сводится к обучению тому, над чем надо думать в ходе решения.

 Проблемная ситуация есть психологическая реакция ученика на появление противоречия, то есть она характеризует определённое психологическое состояние субъекта, возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия и усвоения новых заданий.

     Психологами доказано, что мышление возникает в проблемной ситуации и направлено на её разрешение.

     Проблемная ситуация характеризует определённое психологическое состояние учащегося, возникающее в процессе выполнения задания, для которого нет готовых средств и которое требует усвоения новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения задания.

     Проблемная ситуация может вызвать состояние эмоционального подъёма активности школьника, интереса к обучению, адекватной оценки учениками своих интеллектуальных возможностей.

Создание проблемной ситуации:

• Организация или актуализация определённого опыта, предшествующего проблемной ситуации.
• Организация сбора фактов о каком-либо объекте или явлении.
• Предъявление значимого или интересного задания (практического, исследовательского проекта, эксперимента, познавательной или предметной задачи) для решения которой у учащихся нет знаний или опыта.
• Предъявление парадоксальной информации.
• Моделирование конфликтной ситуации.
• Создание условий для эмоционального переживания, удивления перед парадоксальностью факта, стимулирование потребности объяснить, разрешить противоречие.

     Психологи утверждают, что существуют следующие правила создания проблемной ситуации:

1. Для создания проблемной ситуации перед учащимися должно быть поставлено такое практическое или теоретическое задание, при выполнении, которого учащийся должен открыть подлежащие усвоению новые знания или действия. При этом следует соблюдать такие условия:

• Задание основывается на тех знаниях и умениях, которыми владеет учащийся. Они должны быть достаточными для понимания условий задания, достигаемой конечной цели и путей его выполнения. Задание должно включать один неизвестный элемент (отношение, способ или условия действия), потребность в котором должна вызываться у учащегося в процессе выполнения задания.
• Неизвестное, которое нужно открыть для выполнения поставленного задания, составляет подлежащую усвоению общую закономерность, общий способ действия или некоторые общие условия выполнения действия.
• Выполнение проблемного задания должно вызвать у учащегося потребность в усваиваемом знании.

2. Предлагаемое ученику проблемное задание должно соответствовать его интеллектуальным возможностям. Чем большими интеллектуальными возможностями обладает учащийся, тем большей степени новизны и тем большей степени обобщённости могут быть те подлежащие усвоению знания и способы действия, необходимость в которых возникает при выполнении проблемного задания.
3. Проблемное задание должно предшествовать объяснению подлежащего усвоению учебного материала. Однако при отсутствии у учащегося достаточных сведений об изучаемом явлении  или некоторых элементарных способов действия первым этапом в обучении будет этап сообщения учащимся таких сведений или обучение их таким действиям, которые необходимы для создания проблемной ситуации.
4. В качестве проблемных заданий могут служить: учебные задачи, вопросы, практические задания и т. п. Проблемное задание само по себе не является проблемной ситуацией. Оно может вызывать у учащихся проблемную ситуацию только при строгом соблюдении определённых условий.  
5. Одна и та же проблемная ситуация может быть вызвана различными типами заданий. Так, проблемная ситуация может быть вызвана с помощью теоретического проблемного задания, требующего объяснить или предсказать определённые события, процессы или действия.
6. Возникшую проблемную ситуацию должен формулировать учитель путём указания ученику на причины невыполнения, им поставленного практического учебного задания или невозможностью объяснить им те или иные продемонстрированные факты. Такое фиксирование  проблемной ситуации учителем подчеркивает учебный характер предлагаемого ученику проблемного задания и определяет область поиска требуемого неизвестного. Оно завершает этап создания проблемной ситуации и является необходимым переходным звеном к объяснению учебного материала, требуемого созданной проблемной ситуацией.

Проблемная ситуация означает, что в ходе деятельности человек натолкнулся на что-то непонятное, неизвестное. Возникшая проблемная ситуация затем переходит в осознаваемую человеком задачу.

     Проблемная ситуация это довольно смутное, ещё не очень ясное и малоосознаваемое впечатление, как бы сигнализирующее, что что-то не так, что-то не то. Процесс мышления начинается с анализа этой проблемной ситуации. В результате возникает, формируется задача (проблема).

Проблемная ситуация может создаваться на всех этапах процесса обучения: при объяснении, закреплении, контроле. Учитель создает проблемную ситуацию, направляет учащихся на ее решение, организует поиск решения. Таким образом, ребенок становится в позицию своего обучения и как результат у него образуются новые знания, он овладевает новыми способами действия.

   Задачи для 1-го этапа урока ( у учащихся еще нет готового алгоритма действий. Для выполнения задания они применяют имеющийся опыт, опираются на интуицию и известные знания). На выполнение каждого задания – не более 5-7 мин.

1. (10-Область допустимых значений)

Согласны ли вы с предложенным решением выпускника 11 класса:

Ответ:  {2; 5}

Обоснуйте свой выбор.

2. (6-Задачи на совместную работу)

Первый мастер шьет шубу за 5 дней, а второй – за 3 дня. Верно ли, что вдвоем оба мастера сошьют шубу за 4 дня. Почему?

  3. (8-Область допустимых значений)

      Ученик  составил таблицу значений функции .

Затем построил точки по найденным их координатам, соединил их отрезками прямых, получил график. Найдите ошибки. Что нужно сделать, чтобы устранить ошибки?

4. (8-Свойства площадей фигур)

Окна в вагонах метро имеют форму, изображенную на рисунке. Закругления верхних углов рамы и стекла обычно в виде дуги окружности. Окно приоткрыли, сдвинув стекло на 10 см. высота подвижной части окна равна 25 см. Чему равна площадь открытой части окна?

5. (8,9,10-Площадь)

Какой гвоздь крепче держится в деревянной стене(труднее вытащить из стены) – круглый, квадратный или треугольный, если забивать их на одну глубину и площади их поперечных сечений равны?

6 .(7-Равнобедренный треугольник)

Один из углов равнобедренного треугольника содержит 38°. Какой это треугольник: остроугольный или тупоугольный?

7.  (7-Степень с натуральным показателем)

Что больше:  а3  или  а2  ?

8 .( 6 – Положительные и отрицательные числа0

Что больше: а или 2а?  

9. (7-Делимость)

Натуральные числа от 1 начинают выписывать подряд. Какая цифра стоит на 2014-м месте?

10.(6 – Простые и составные числа)

Постройте всевозможные варианты прямоугольников с площадью, равной 1,2,3, 4,5, 6, 7, 8,9,10.Проанализируйте результаты, проведите классификацию предложенных чисел, укажите критерий.

11. (7-Неравенство треугольника)

Постройте треугольники со сторонами 10,2,4 ; 5,11,8; 6,4,2.Всегда ли  можно построить треугольник с тремя заданными сторонами? Какому условию должны удовлетворять эти числа?

12. (9-Функция)

 Два туриста, стоя на краю каньона, бросают камни весом 300 г и 500 г вниз. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите, чей камень окажется на дне быстрее. Глубина каньона равна 1500м.

13. (6-Признаки делимости)

 Ковбой Джо зашел в бар и попросил у бармена бутылку виски за 3 доллара, рубку за 6 долларов, 3 пачки табаку и 9 коробок непромокаемых спичек, цену которых он не знал. Бармен потребовал 11 долларов 80 центов(в одном долларе 100 центов), на что Джо вытащил револьвер . Бармен сосчитал снова и исправил ошибку. Как Джо догадался,  что бармен пытался его обсчитать?

14. (9-Тождественные преобразования)

 Найди ошибку:

5-5=3-3

5(1-1)=3(1-1)

5=3.

15.(9-Тождественные преобразования)

 Два ученика решили уравнение 5х=15 различными способами.

 Решение первого ученика:

5х=15,

х=3∙2 ,

 ,

,

х=0 или х=6.   Ответ: х=0,х=6.

Решение второго ученика:

5х=15,

х=3 ,

Возведем обе части уравнения в квадрат: 2х3=72х,

2х(х-6) (х+6)=0.     Ответ:  х=0, х=6, х=-6.

Которое решение выполнено правильно? Объясните допущенные ошибки.

Задачи для 2-го этапа урока (учащиеся уже владеют алгоритмом действий и применяют его в нестандартной («неучебниковой» ) ситуации). На выполнение задания не более 15 мин.

1. (7- Задачи на построение)

Два поселка А и В расположены по разные стороны и на разных расстояниях от берегов реки. Где следует устроить переходный мост через речку, чтобы он одинаково отстоял от обоих поселков? (Берега реки считайте параллельными прямыми).

2. (7- Задачи на построение)

На одном и том же берегу реки, на разных расстояниях от нее, расположены два села А и В. Где следует построить мост через реку, чтобы он отстоял от этих сел на одном и том же расстоянии?

3. (7- Задачи на построение)

Дан угол в 54°. Как с помощью циркуля и линейки разделить его на три равных угла?

4. (7- Задачи на построение)

Дан угол в 36°. Как с помощью циркуля и линейки построить угол в 99°?

5. (8-Теорема Пифагора)

На противоположных берегах реки напротив друг друга растут две пальмы. Высота одной из них 10 м , другой – 15 м, расстояние между основаниями пальм 25 м. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно птицы заметили рыбу, выплывшую на поверхность реки между пальмами. Птицы бросились к рыбе и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от основания более высокой пальмы выплыла рыба?

6. (6-Решение задач с помощью уравнений)

Школьники Вадик и Саша увидели весы и взвесили на них свои портфели. Весы показали 3 кг и 2 кг. Когда они поставили на весы оба портфеля, то весы показали 6 кг.

-- Как же так? – воскликнул Саша.—Два плюс три не равняется шести?

-- Разве ты не видишь?—ответил Вадик.—У весов сдвинута стрелка.

Так сколько же весили портфели на самом деле?

7. (8-Подобие треугольников)

Определить высоту дерева, если длина его тени 10,2 м, а длина тени человека, рост которого 1,7 м, равна 2,5 м.

8. (6-Площадь круга)

Найдите площади следующих фигур, считая сторону одной клетки равной 1 см..

9. (9-Площадь круга)

Две водопроводные трубы одного и того же диметра нужно заменить одной трубой с той же пропускной способностью. Каким должен быть диаметр этой трубы по сравнению с диаметром каждой из заменяемых труб?

10. (9-Вписанные многоугольники)

За длину окружности вавилоняне принимали периметр вписанного в эту окружность правильного шестиугольника. Найти приближение для числа π, которым пользовались вавилоняне.

Задачи для выполнения дома (даются с целью активизации познавательной деятельности, развития творческого мышления, подготовки к рассмотрению нового материала). На выполнение - до 7 дней.

1.  (9- Геометрическая прогрессия)

Когда создатель шахмат, древнеиндийский мудрец и математик Сисса бен Дахир, показал своё изобретение Правителю страны, тому так понравилась игра, что он позволил изобретателю право самому выбрать награду. Мудрец попросил у Повелителя за первую клетку шахматной доски заплатить ему одно зерно пшеницы (по другой версии — риса), за второе — два, за третье — четыре и т. д., удваивая количество зёрен на каждой следующей клетке. Правитель, не разбиравшийся в математике, быстро согласился, даже несколько обидевшись на столь невысокую оценку изобретения, и приказал казначею подсчитать и выдать изобретателю нужное количество зерна. Однако, когда неделю спустя казначей всё ещё не смог подсчитать, сколько нужно зёрен, правитель спросил, в чём причина такой задержки. Казначей показал ему расчёты и сказал, что расплатиться невозможно, поскольку количество зерна превышает весь урожай пшеницы, собранный за всю историю человечества. Сколько всего зерен должен был отдать Повелитель мудрецу?

2. (5- Действия с десятичными дробями)

Представьте письменный отчет по теме «Мой садовый участок» .

Представить схему расположения следующих объектов на участке:

1. дачный домик площадью не более 40 кв.м;

  2. 5 грядок общей площадью не более 400 кв. м;

3. 4 фруктовых дерева (на 1 дерево необходима площадь не менее 4 кв. м);

4. 5 ягодных кустарников.

Указать размеры домика, грядок. Вычислить площадь пола домика и боковую площадь. Определить стоимость  требуемой краски для окрашивания домика снаружи, если  1кг краски стоит 80,3 руб. и на 4 кв. м расходуется 1 кг краски. Вычислить площадь грядок, площадь свободной территории, если площадь всего участка составляет 8 ар.

Расположить на участке бассейн, указать размеры, вычислить его площадь и объем.

Проложить кирпичные дорожки между грядками. Найти их общую площадь и требуемую сумму для покупки кирпича, если 1 кв. м кирпича стоит 272,4руб.

Найти периметр забора.

Найти требуемую сумму для закупки семян, если на 1кв. м почвы требуется 15 г семян, а 1 г семян стоит 14,8 руб.

3. (6- Математика вокруг нас)

Требуется поджарить 3 ломтика хлеба. На сковороде умещаются лишь два ломтика. На поджаривание ломтика с одной стороны требуется 1 мин. За какое кратчайшее время можно поджарить с двух сторон все три ломтика? (Время на перевертывание и перекладывание ломтиков можно в расчет не принимать).

4. (6- Математика вокруг нас)

Исследователю-путешественнику необходимо совершить шестидневный переход через бесплодную пустыню .Сам путешественник и сопровождающий его носильщик могут взять с собой каждый лишь четырехдневный запас пищи и воды для одного человека. Какое наименьшее число носильщиков потребуется для этого перехода?

5. (6- Математика вокруг нас)

Предполагается использовать 200000 р. на путевки в лагеря. Путевки имеются на 15, 27 и 45 дней, стоимость их соответственно 2100,4000 и 6000 руб. Сколько и каких путевок нужно купить, чтобы число дней отдыха было наибольшим?

6.  (5,6,7,8-делимость)

Найдите значение выражения, если одинаковые буквы означают одинаковые цифры:

Библиография

1. Кульневич С. В., Лакоценина Т. П. Современный урок. Часть ІІІ: Проблемные уроки. – Ростов-н/Д: Учитель, 2005.
2. Клименченко Д.В. Задачи по математике для любознательных.—М.,:Просвещение,1992.
3. Нагибин Ф.Ф.,Канин Е.С. Математическая шкатулка. — М.,:Просвещение,1984.
4. Занимательно о физике и математике. — М.,:Наука,1988.

Роль проблемных заданий в обучении математике

Подборку выполнила учитель математики

МАОУ « СОШ № 102 с углубленным изучением

 отдельных предметов»

Мокрушина О. Г.

Проблемная ситуация есть психологическая реакция ученика на появление противоречия, то есть она характеризует определённое психологическое состояние субъекта, возникающее в процессе выполнения такого задания, которое требует открытия и усвоения новых заданий.

     Психологами доказано, что мышление возникает в проблемной ситуации и направлено на её разрешение.

     Проблемная ситуация характеризует определённое психологическое состояние учащегося, возникающее в процессе выполнения задания, для которого нет готовых средств и которое требует усвоения новых знаний о предмете, способах или условиях выполнения задания.

     Проблемная ситуация может вызвать состояние эмоционального подъёма активности школьника, интереса к обучению, адекватной оценки учениками своих интеллектуальных возможностей.

Создание проблемной ситуации:

• Организация или актуализация определённого опыта, предшествующего проблемной ситуации.
• Организация сбора фактов о каком-либо объекте или явлении.
• Предъявление значимого или интересного задания (практического, исследовательского проекта, эксперимента, познавательной или предметной задачи) для решения которой у учащихся нет знаний или опыта.
• Предъявление парадоксальной информации.
• Моделирование конфликтной ситуации.
• Создание условий для эмоционального переживания, удивления перед парадоксальностью факта, стимулирование потребности объяснить, разрешить противоречие.

     Психологи утверждают, что существуют следующие правила создания проблемной ситуации:

1. Для создания проблемной ситуации перед учащимися должно быть поставлено такое практическое или теоретическое задание, при выполнении, которого учащийся должен открыть подлежащие усвоению новые знания или действия. При этом следует соблюдать такие условия:

• Задание основывается на тех знаниях и умениях, которыми владеет учащийся. Они должны быть достаточными для понимания условий задания, достигаемой конечной цели и путей его выполнения. Задание должно включать один неизвестный элемент (отношение, способ или условия действия), потребность в котором должна вызываться у учащегося в процессе выполнения задания.
• Неизвестное, которое нужно открыть для выполнения поставленного задания, составляет подлежащую усвоению общую закономерность, общий способ действия или некоторые общие условия выполнения действия.
• Выполнение проблемного задания должно вызвать у учащегося потребность в усваиваемом знании.

2. Предлагаемое ученику проблемное задание должно соответствовать его интеллектуальным возможностям. Чем большими интеллектуальными возможностями обладает учащийся, тем большей степени новизны и тем большей степени обобщённости могут быть те подлежащие усвоению знания и способы действия, необходимость в которых возникает при выполнении проблемного задания.
3. Проблемное задание должно предшествовать объяснению подлежащего усвоению учебного материала. Однако при отсутствии у учащегося достаточных сведений об изучаемом явлении  или некоторых элементарных способов действия первым этапом в обучении будет этап сообщения учащимся таких сведений или обучение их таким действиям, которые необходимы для создания проблемной ситуации.
4. В качестве проблемных заданий могут служить: учебные задачи, вопросы, практические задания и т. п. Проблемное задание само по себе не является проблемной ситуацией. Оно может вызывать у учащихся проблемную ситуацию только при строгом соблюдении определённых условий.  
5. Одна и та же проблемная ситуация может быть вызвана различными типами заданий. Так, проблемная ситуация может быть вызвана с помощью теоретического проблемного задания, требующего объяснить или предсказать определённые события, процессы или действия.
6. Возникшую проблемную ситуацию должен формулировать учитель путём указания ученику на причины невыполнения, им поставленного практического учебного задания или невозможностью объяснить им те или иные продемонстрированные факты. Такое фиксирование  проблемной ситуации учителем подчеркивает учебный характер предлагаемого ученику проблемного задания и определяет область поиска требуемого неизвестного. Оно завершает этап создания проблемной ситуации и является необходимым переходным звеном к объяснению учебного материала, требуемого созданной проблемной ситуацией.

Проблемная ситуация означает, что в ходе деятельности человек натолкнулся на что-то непонятное, неизвестное. Возникшая проблемная ситуация затем переходит в осознаваемую человеком задачу.

     Проблемная ситуация это довольно смутное, ещё не очень ясное и малоосознаваемое впечатление, как бы сигнализирующее, что что-то не так, что-то не то. Процесс мышления начинается с анализа этой проблемной ситуации. В результате возникает, формируется задача (проблема).

Проблемная ситуация может создаваться на всех этапах процесса обучения: при объяснении, закреплении, контроле. Учитель создает проблемную ситуацию, направляет учащихся на ее решение, организует поиск решения. Таким образом, ребенок становится в позицию своего обучения и как результат у него образуются новые знания, он овладевает новыми способами действия.

   Задачи для 1-го этапа урока ( у учащихся еще нет готового алгоритма действий. Для выполнения задания они применяют имеющийся опыт, опираются на интуицию и известные знания). На выполнение каждого задания – не более 5-7 мин.

1. (7- Задачи на построение)

Две деревни находятся на противоположных берегах реки l - в точках А и B. В какой из точек – А1, С или В1 на берегу реки нужно поставить водонапорную башню, чтобы общая длина труб от деревень до башни была наименьшей?

2. (7- Задачи на построение)

Две деревни находятся на одном берегу реки l - в точках А и D, а третья деревня находится на другом берегу в точке В, причем деревни D и В находятся на одинаковом расстоянии от реки. Где на берегу нужно поставить водонапорную башню, чтобы общая длина труб от деревень А и B до башни С была бы равна общей длине труб от деревень А и D до башни С?

3. (7- Задачи на построение)

Две деревни А и D находятся на одном берегу реки l. Где на берегу нужно поставить водонапорную башню С , чтобы общая длина труб от деревень до башни была наименьшей?

4. (7- Задачи на построение)

Пожарная машина, находящаяся в точке D, должна как можно быстрее добраться до горящего дома А, заехав на реку за водой. Какой путь для нее будет кратчайшим?

5. (8- Вписанная и описанная окружности)

Хозяева трех домов решили построить колодец, одинаково удаленный от всех домов. Укажи место колодца.

6. (8-Центральный и вписанный углы)

Найди центр изображенного круга . Указание. Построй три точки, лежащие на окружности.

7. (6,8-Площадь)

Определи, какую часть площади всей фигуры составляет площадь заштрихованной фигуры .

Задачи для 2-го этапа урока (учащиеся уже владеют алгоритмом действий и применяют его в нестандартной («неучебниковой» ) ситуации). На выполнение задания не более 15 мин.

8. (6,8-Площадь)

Найди неизвестные размеры площадей, используя рисунок.

9. (8-Площадь)

Разбей трапецию, изображенную на рисунке, на четыре равные части.

10. (6,8-Площадь)

 Перекрои квадрат в прямоугольник, у которого одна из сторон в 2 раза больше другой.

11. (6,8-Площадь)

 Разрежь два квадрата со сторонами 3 ед. и 4 ед. так, чтобы из получившихся частей можно было сложить один квадрат.

12. (6,8-Площадь)

Найди площади фигур, изображенных на рисунке.

13. (6,8-Площадь)

Используя рисунки , найди площади указанных квадратов.

14.  (5, 6-Понятие объема)

Используя вид спереди и вид сверху, определи, какому из геометрических тел, изображенных на рисунке, принадлежат данные проекции.

Для остальных тел составь проекции сам.

Задачи для выполнения дома (даются с целью активизации познавательной деятельности, развития творческого мышления, подготовки к рассмотрению нового материала). На выполнение - до 7 дней.

15. (7, 8 - Треугольник, четырехугольник).

Медиана и высота, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на три равные части. Определите величины углов треугольника.

16. (7, 8 - Треугольник, четырехугольник).

Высота, биссектриса и медиана, проведенные из одной вершины треугольника, разделили его угол на четыре равные части. Определите величины углов данного треугольника.

Литература:

1. Л.М. Лоповок «1000 проблемных задач по математике».- М.: Просвещение, 1995
2. Е.С. Смирнова «Самостоятельные и контрольные работы по математике».- М.:УП «Перспектива», 2006.