Проект "Задачи Древности"
презентация к уроку по алгебре (11 класс) по теме

История возникновения задачи о квадратуре круга

Задача о квадратуре круга заключается в следующем: построить квадрат, площадь которого, была бы равна площади данного круга. Задача о  квадратуре круга - самая старая из всех математических задач. Она возникла на заре человеческой культуры и ее история охватывает период около  четырех тысяч лет. Этой задачей раньше греков занимались вавилоняне и египтяне. Независимо от греков ею занимались китайцы и индийцы. Задача  о квадратуре круга вместе с тем является самой популярной из математических задач. Этой популярности, по-видимому, содействовала жизненная необходимость и чрезвычайная простота формулировки, которая доступна как математику, так и нематематику, но большое распространение эта задача получила в древней Греции. Об этой задаче даже говорит человек, далекий от математики, древнегреческий драматург Аристофан (446 - 385 годы до н.э.). По свидетельству Плутарха, первый из греческих математиков, кто по - серьезному  занимался квадратурой круга, был Анаксагор (500 - 428 годы до н.э.). Будучи посажен в тюрьму за безбожие, он предался размышлениям на математические темы. В результате этих размышлений,  он и "начертал квадратуру круга». Каким  путем пытался он решить задачу о квадратуре круга, это, к сожалению, до нас не дошло.   Квадратурой круга

много занимался другой греческий ученый Гиппий из Элиды (около V века до н.э.). В 420 году до н.э. он открыл, как указывалось выше, трансцендентную кривую — квадратрису, которая служила для решения задач о трисекции угла и квадратуры круга. Первый из древнегреческих ученых, кто применил квадратрису Гиппия для решения задачи о квадратуре круга, был Динострат, живший во второй половине IV века до н.э.

В дальнейшем увидим, что большой вклад в историю задачи о квадратуре круга внесли современники Сократа (469 - 399 годы до н.э.) Антифон и Бризон, а также Гиппократ Хиосский, живший во второй половине V века до н.э. Изыскания древнегреческих ученых, связанные с задачей о квадратуре  круга, завершаются замечательными исследованиями по этому вопросу

величайшего математика древности Архимеда из Сиракуз, жившего в III веке до н.э. Его трактат "Измерение круга" является образцом строгой научной постановки вопроса и его приближенного решения.

Что мы знаем о круге?

В древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно, в каждой своей точке окружность «устроена» одинаковым образом, что позволяет ей как бы двигаться «по себе». На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь.

В русском языке слово "круглый" тоже стало означать высокую степень чего-либо: "круглый отличник", "круглый сирота" и даже "круглый дурак".                                                               

С кругом связана и классическая задача, ставшая символом неразрешимой проблемы.

Циркуль и линейка - это классические инструменты геометров с древнейших времен до наших дней. Ими можно проводить лишь прямые и окружности. Однако сколько интересных задач связано именно с циркулем и линейкой!

Попытка решить задачу

о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки

Древнегреческие ученые стремились задачу о квадратуре круга решить при помощи циркуля и линейки. Показательна в этом отношении работа Гиппократа Хиосского, которому удалось криволинейную фигуру (гиппократовы луночки)  преобразовать в равновеликий ей многоульльник. Однако преобразовать круг в равновеликий ему квадрат Гиппократу так и не удалось. Остановимся несколько подробнее на его рассуждениях.

На отрезке AВ, как на диаметре, построим полукруг АСВ. Далее, из

точки О — середины отрезка. АВ — восставим перпендикуляр ОС. Соединим прямыми точку С с точками А и В. Отрезок СВ будет стороной квадрата, вписанного в круг, и площадь треугольника АСВ будет равняться половине этого квадрата. На отрезке СВ, как на диаметре, опишем еще полукруг СЕВ. Применяя к прямоугольному треугольнику АСВ теорему Пифагора, получим:

АВ2 = АС2 + СВ2 =СВ2.         (1)

На основании того, что площади кругов относятся между собой, как квадраты их диаметров, будем иметь:

пл. крут АСВ: пл.круга СЕВ=АВ2: СВ2  (2)

или, учитывая (1),

пл. круга АСВ: пл, круга СЕВ = 2 :1.     (3)

Откуда пл. круга АСВ = 2 пл. круга СЕВ  (4)

Тогда                                                                                                 

пл. полукруга АСВ = 2 пл. полукруга СЕВ.   (5)

Следовательно,

пл. сектора ОСВ = пл. полукруга СЕВ.    (6)           

Вычитая из левой и правой частей равенства (6) сегмент CDB, получим, что площадь треугольника ОСВ равняется площади луночки CDBE. Наконец, при помощи циркуля и линейки теперь не составляет большого труда построить квадрат, площадь которого будет равна площади треугольника ОСВ, а следовательно, и площади луночки CDBE. Так Гиппократ Хиосский весьма оригинальным приемом нашел квадратуру некоторой, специального вида, луночки.

Это открытие Гиппократа окрылило древних геометров надеждой, что с помощью циркуля и линейки когда-нибудь удастся вычислить и квадратуру круга: "Раз можно найти квадратуру некоторой луночки, образованной дугами кругов, то почему же,—рассуждали они,—нельзя найти квадратуру круга".

Сам Гиппократ, найдя квадратуру указанной выше луночки, пытался найти квадратуру круга.                                                 

Однако в рассуждениях Гиппократа Хиосского допущена одна ошибка, которая  "из невозможного делает возможным" — неразрешимую задачу  о  квадратуре круга разрешимой.

Ошибка в рассуждениях Гиппократа, приводящая к иллюзорному решению задачи о квадратуре круга была замечена еще древними учеными. Об этой ошибке говорят древнегреческий историк математики Евдем Родосский и знаменитый основоположник формальной логики Аристотель. Так, Евдем Родосский заявляет, что хотя рассуждение Гиппократа Хиосского и является остроумным, тем не менее оно является ошибочным. Дело в том, говорит Евдем, что три луночки, которые рассматривал Гиппократ при решении квадратуры кругa, построены не на катетах прямоугольного треугольника, а на сторонах трапеции и, следовательно, к ним он не может применить то свойство о квадрируемости луночки, которое он доказал в начале. В этом же упрекал Гиппократа и Аристотель. Аристотель, как и Евдем считал, что Гиппократ совершил грубую ошибку, полагая возможным квадратуру луночки, построенной на стороне квадрата, необдуманно применить к  квадратуре луночки, построенной на стороне шестиугольника. Другая попытка решить задачу о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки  была предпринята древнегреческим ученым Антифоном. Он в данный круг квадратура которого находилась, вписывал сначала квадрат. Затем дуги, хордами которых являются стороны вписанного в круг квадрата, он делил пополам и точки деления соединял с вершинами квадрата и таким образом получал вписанный в круг правильный восьмиугольник. Далее, дуги, хордами которых являются стороны вписанного в круг правильного восьмиугольника, делил также пополам и точки деления соединял с вершинами указанного восьмиугольника и получал вписанный в круг правильный 16-угольник. Продолжая этот процесс дальше, он получал вписанные в круг правильные 32-угольник, 64-угольник и т.д.  Он считал, что указанным построением, выполняемым только при помощи циркуля и линейки, можно прийти к такому правильному многоугольнику, правда, быть может, с очень большим числом сторон, который полностью исчерпает круг, то есть его площадь будет равна площади данного круга. А так как для любого правильного многоугольника всегда можно построить равновеликий ему квадрат, то и для данного круга, поскольку он исчерпывается правильным многоугольником, можно построить равновеликий ему квадрат.

Еще в Древности ученые подвергли решение Антифона резкой критике. Они совершенно правильно заявляли, что утверждение Антифона, будто правильный многоугольник может совпасть с кругом, противоречит основным началам геометрии. Однако для целей приближенной квадратуры круга рассуждение Антифона вполне приемлемо, так как с помощью этого рассуждения данный круг можно приближенно квадрировать с любой степенью точности.

О доказательстве невозможности решить

задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки

Попытки древнегреческих ученых решить задачу о квадратуре круга путем проведения прямых и окружностей так и не увенчались успехом. Оно и понятно, почему. Дело в том, что задача о квадратуре круга, так же как и задачи об удвоении куба и трисекции угла, оказывается также неразрешимой при помощи циркуля и линейки.

Еще в 1755 году Парижская Академия наук вынесла решение впредь не принимать на рассмотрение работы, касающиеся квадратуры круга, а также и других двух знаменитых задач древности, то есть задач о трисекции угла и удвоении куба. Это охладило пыл "квадратурщиков", и задачей о квадратуре круга люди стали заниматься значительно меньше.

Окончательный удар всем иллюзиям решить задачу о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки был нанесен лишь во второй половине XIX века. Немецкому математику Ф. Линдеману в 1882 году удалось, наконец, вполне строго доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима при помощи циркуля и линейки и все старания что-нибудь сделать в этом направлении указанными средствами являются совершенно напрасными и ненужными.           

Доказательство Линдемана чрезвычайно трудное и далеко выходи  за пределы школьного курса математики.

Вопрос о построении квадрата, равновеликого данному кругу, сводится к построению произведения данного отрезка R на данное число , причем это построение надо провести при помощи только циркуля и линейки, то есть  путем проведения конечного числа окружностей и прямых линий. При помощи циркуля и линейки можно всегда построить произведение данного отрезка R на рациональное число (целое или дробное), но далеко не всегда можно указанными средствами построить произведение данного отрезка на число иррациональное. Произведение данного отрезка R на число иррациональное можно построить в некоторых случаях, если,  например,  иррациональное число равняется  или ; тогда R находится, как сторона квадрата, вписанного в круг радиуса R,  a R —как сторона правильного 12-угольника, вписанного в круг радиуса R, причем, как известно, вписать правильный 12-угольник в круг не составляет трудности, после того как в круг предварительно вписан правильный шестиугольник.

В теории геометрических построений установлено, что данный отрезок R можно умножить при помощи циркуля и линейки на вещественное число лишь только в том случае, если это вещественное число может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, разрешимого в квадратных радикалах. Число, которое не может являться корнем никакого алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, принято называть трансцендентным числом. Следовательно, при помощи циркуля и линейки нельзя построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное. Таким образом, чтобы доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга при помощи циркуля и линейки, необходимо установить невозможность указанными средствами построить произведение данного отрезка R на число трансцендентное. Таким образом, чтобы доказать неразрешимость задачи о квадратуре круга  при помощи циркуля и линейки, необходимо установить невозможность указанными средствами построить произведение данного отрезка R на число , а для этого достаточно показать, что или  есть число трансцендентное.

Заслуга Ф. Линдемана как раз и заключается в том, что он впервые в этой науке вполне строго доказал, что  есть число трансцендентное и тем самым окончательно установил невозможность решения задачи о квадратуре круга с помощью циркуля и линейки. Вот почему Ф. Линдемана называют "победителем числа ", а еще лучше—"победителем задачи о квадратуре круга".

В заключение заметим, что изучение арифметической природы числа р исторически шло в следующем направлении. Сначала в 1761 году немецкий с И. Ламберт первый показал, что число р есть число иррациональное. Позднее французский математик А. Лежандр установил, что квадрат числа есть также число иррациональное. Наконец, в 1882 году немецкий математик  Ф. Линдеман доказал знаменитую теорему, согласно которой, как указывалось выше, число р есть число трансцендентное, то есть оно не может служить корнем какого-нибудь алгебраического уравнения с целыми коэффициентами. Отсюда как следствие, уже вытекала неразрешимость с помощью циркуля и линейки знаменитой задачи о квадратуру круга.

Треугольник Бинга

Если провести под определенным углом к диаметру хорду, равную стороне искомого квадрата, то треугольник Бинга позволяет приближенно решать задачу о квадратуре круга. Треугольник Бинга представляет собой чертежный треугольник с острым углом, равным требуемому углу.

Вычислим его.

AC = 2r cos

Площадь искомого квадрата, следовательно, равна 4r2 cos2 С другой стороны, эта площадь равна площади круга r2, значит,

4r2 cos2 =r2.

Отсюда  

По таблицам находим, что

Имея такой треугольник, можно для каждого данного круга сразу найти сторону равновеликого ему квадрата.

Задача о трисекции угла

История возникновения задачи о трисекции угла

Вторая древнейшая знаменитая геометрическая задача - это задача о трисекции угла. Слово "трисекция" происходит от латинского tri — в сложных словах означает "три" — и sectio—"разрезание", "рассечение". Родиной этой задачи является древняя Греция (примерно V век до н.э.). Возникновение задачи о трисекции угла в отличие от делосской задачи об удвоении куба не связано ни с какими преданиями и легендами. Задача о делении угла на три равные части, по-видимому, возникла из потребностей архитектуры и строительной техники. При составлении рабочих чертежей орнаментов, разного рода украшений многогранных колоннад и т.д., при строительстве, внутренней и внешней отделке храмов, надгробных памятников и других больших и малых сооружений древние инженеры, художники и архитекторы встретились с необходимостью уметь делить окружность на любое конечное число равных частей, а это в некоторых задачах (и довольно часто) приводило их к рассмотрению трисекции некоторых углов. Делить угол пополам древние греки умели довольно легко, а вот разделить угол на три равные части оказалось не всегда возможно.

Сама жизнь и прежде всего практические запросы архитектуры и строительной техники требовали от геометров хорошо разработанной теории и практики построения правильных многоугольников, И нет ничего удивительного, что в древней Греции теория и практика построения правильных многоугольников в геометрической науке очень рано привлекает внимание ученых. Строить правильный многоугольник им удавалось сравнительно просто, когда равные дуги получались путем деления соответствующих центральных углов каждый раз пополам. Но случалось так, что равные дуги надо было получить путем деления центрального угла на три равные части, тогда перед геометрами возникали чрезвычайно большие трудности, которые и приведи ученых к специальному рассмотрению задачи о трисекции угла. Действительно, пользуясь циркулей и линейкой, древние греки, например, легко строили правильный восьмиугольник. Для этой цели окружность делилась пополам, полученные дуги опять делились пополам, а потом равные дуги, центральные углы которых равны 90°, делились еще раз пополам. Затем концы равных восьми дуг соединялись хордами. Правильный восьмиугольник считался построенным. Но картина совершенно менялась, когда приходилось строить, скажем, правильный девятиугольник. В этом случае окружность надо разделить на 9 равных частей. Разделив окружность на три равные части, получали центральные утлы в 120°. Теперь для завершения построения надо произвести трисекцию угла в 120°, а этого при помощи только циркуля и линейки, оказывается, выполнить точно невозможно.  Здесь и в других подобных случаях перед учеными встала одна из трудных геометрических проблем, которая стала называться "знаменитой задачей о трисекции угла".

Попытка решить задачу

о трисекции угла при помощи циркуля и  линейки

Пользуясь циркулем и линейкой, древние греки умели делить произвольный угол на две равные части. Со времен Пифагора они умели делить прямой угол на три равные части.  Это они выполняли так.

Пусть дан прямой угол ABC и требуется разделить его на три равные части, то есть произвести трисекцию этого угла. Для этого и вершины данного угла В, как из центра, проводим окружность (для нужного построения достаточно провести четверть окружности). Точки пересечения окружности со сторонами АВ и ВС соответственно обозначим через М и N. Далее, из точек М и N тем же радиусом делаем  засечки R и Q. Теперь соединим хордами М и R, N и Q. Получаем два равносторонних треугольника: BRM и BQN. Но в равностороннем треугольнике все три угла по 60°.

Следовательно, MBR=QBN = 60°. Тогда MBQ=RBN=QBR= 30°. Итак, данный прямой угол удалось раз делить на три равные части. Что и нужно было сделать.

Рис 516

С такой же легкостью и теми же средствами древние греки стремились разделить на три равные части и всякий другой угол. Но тут их постигло глубокое разочарование. Пользуясь циркулем и линейкой, они смогли выполнить трисекцию углов только для отдельных частных случаев.

В чем дело? А дело заключается в том, что трисекция произвольного утла оказывается неразрешимой при помощи циркуля и линейки, но об этом будет рассказано в следующем параграфе.

О доказательстве неразрешимости

задачи о трисекции произвольного угла

при помощи циркуля и линейки.

Древнегреческие ученые проявили много тонкого остроумия для изобретения разлого рода механизмов, с помощью которых они без особого труда делили произвольный угол на три равные части. Но перед ними всегда стоял вопрос: почему трисекция угла, легко выполнимая при помощи специально изготовленных механизмов, не поддается разрешению при помощи циркуля и линейки? И вообще, разрешима ли эта задача в общем виде при помощи этих классических чертежных инструментов?

Чтобы ответить на поставленный вопрос, проведем некоторые рассуждения. Обозначим данный угол, который требуется разделить на три

равные части, через 3.

Рассмотрим cos3.

 По известным формулам тригонометрии будем иметь:                                                 

cos 3 = cos ( + 2) = cos  • cos 2 - sin  • sin 2 =

= cos  •  (cos2a – sin 2) - sin a • 2sin • cos  =

= cos3 - cos• sin 2 - 2 sin 2• cos  =

= cos3   - 3cos  • (1 - cos2) =

= cos 3 - 3cos + 3 cos3 =

= 4 cos3 - 3cos ,

или

cos 3 = 4cos3 - 3 cos.

Умножая левую и правую части полученного равенства на 2, будем иметь:

2cos3 = 8 cos 3- 6 cos a.

Пусть теперь 2cos 3 = а и 2cos = х, тогда

а=х3-3х,

 или

х3-3х – а=0,            (1)

Чтобы доказать, что задача о трисекции угла не разрешима в общем виде, достаточно указать хотя бы один угол, который нельзя разделить при помощи циркуля и линейки. Путем несложных рассуждений покажем, что таким свойством обладает, например, угол в 60°. Действительно, полагая 3= 60°, получим cos 3 = , и уравнение (1), примет вид:

 х3-3х –1=0,                     (2)

В алгебре доказывается, что рациональными корнями уравнения (2) могли бы быть +1 и -1, но ни то, ни другое указанному уравнению не удовлетворяет. Выходит, что уравнение (2) не имеет рациональных корней, и, следовательно, по «теореме неразрешимости» угол в 60° нельзя разделить на три равные части при помощи циркуля и линейки. Итак, если пользоваться циркулем и линейкой, задача о трисекции угла в общем виде не разрешима.

Укажем теперь некоторые частные случаи, когда задача, о трисекции угла разрешима циркулем и линейкой.

Древним ученым, как указывалось выше, была известна трисекция прямого угла при помощи циркуля и линейки, возможность этой три секции можно подтвердить и теоретически. Действительно, положив 3=90°, получим, что а=0,  и уравнение (1) примет вид: х3-3х=0,           (3)

Уравнение (3) имеет корни 0, , и -. Таким образом, ненулевые корни выражены в квадратных радикалах. Следовательно, угол в 900 можно разделить циркулем и линейкой на три равные части.

Аналогичными рассуждениями можно было бы показать, что тем; же средствами и угол в 45° можно разделить на три равные части.

Необходимо добавить, что трисекция при помощи циркуля и линейки возможна для бесчисленного множества углов, например, для углов вида , где n - целое положительное число (последнее рекомендуется доказать самостоятельно).

Р.Декарт был первым ученым, который высказал предположение, что трисекция произвольного угла не может быть выполнена при помощи циркуля и линейки, если последняя не имеет никаких отметок. Строгое же доказательство неразрешимости задачи о трисекции произвольного угла  впервые было дано в 1837 году П. Ванцелем.

Простейший трисектор

Применяя только циркуль и линейку, не имеющую делений, невозможно разделить произвольный угол на три равные части. Но математик не отрицает возможности выполнения этого деления при помощи других, инструментов, называемых трисекторами. Простейший трисектор изображен на рисунке.

Примыкающая к полукругу полоска АВ равна по длине радиусу полукруга. Край полоски BD составляет прямой угол с прямой АС и касается полукруга в точке В. Длина этой полоски произвольна.

Пусть требуется разделить на три равные части угол KSM. Трисектор помещают так, чтобы вершина угла S находилась на линии BD, одна сторона угла прошла через точку А, а другая сторона коснулась полукруга. Затем проводят прямые SB и SO. Они и разделят угол на три равные части.

Доказательство. Соединим центр полукруга О с точкой касания N, ASB = BSO = OSN,   отсюда   следует   равенство   углов:

ASB = BSO = OSN

Делосская задача об удвоении куба

История возникновения задачи об удвоении куба

(По материалам книги Чистякова ВД "Три знаменитые задачи древности")

Легенда первая. Эта легенда принадлежит Эратосфену (276-194 годы до  н.э.), знаменитому греческому математику, астроному и философу. Кстати заметим, что Эратосфен в своей деятельности не замыкался рамками одних только точных наук и был также Видным поэтом, первоклассным оратором и искусным археологом. Кроме того, принимал активное участие в Олимпийских играх и был даже победителем в пятиборье. Вот что он рассказывал о причинах, побудивших рассматривать задачу об удвоении куба.

Однажды на острове Делосе, что находится в Эгейском море, вспыхнула эпидемия чумы. Жители этого острова обратились к знаменитому дельфийскому оракулу, который служил при храме Аполлона в Дельфах (Дельфы—общегреческий религиозный центр в Фохиде, у подножия горы Парнас), за помощью и советом.

Чтобы прекратить страдания людей, ответил им оракул, надо снискать милость богов, а для этого надо удвоить золотой жертвенник богу Аполлону (богу Солнца), имеющий форму куба.

Жители Делоса поспешили скорей отлить из золота два таких жертвенника, какой был установлен в храме Аполлона, и поставили один сверх другого, думая, что проблема удвоения кубического жертвенника ими решена.                               

Однако чума не прекращалась. Тогда они опять обратились к оракулу с недоумевающим вопросом:

— Почему же не прекращается чума, ведь мы удвоили золотой жертвенник всесильному Аполлону?

На это им оракул с огорчением ответил:

— Нет, вы не решили поставленной задачи! Надо было удвоить жертвенник, не изменяя его кубической формы.

Не в состоянии решить эту задачу так, как требовал оракул, делосцы обратились за помощью к знаменитому математику и философу Платону. Но он уклончиво ответил им:

— Боги, вероятно, недовольны вами за то, что вы мало занимаетесь геометрией.

Однако сам Платон не сумел решить указанной задачи циркулем и линейкой. С того времени эта задача и стала именоваться "делосской" (иногда ее неправильно называют "делийской").

Легенда вторая. Царь Минос повелел воздвигнуть памятник своему сыну Главку. Архитекторы дали памятнику форму куба, ребро которого равнялось 100 локтям. Но Минос нашел этот памятник слишком малым и приказал его удвоить. Чувствуя свое бессилие в решении поставленной задачи, архитекторы обратились за помощью к ученым-геометрам, но и они не могли решить указанной задачи.

Попытка решить задачу

об удвоении куба при помощи циркуля и линейки

Древние греки сравнительно легко решили задачу об удвоении квадрата. Для этого надо было уметь строить при помощи циркуля и линейки корень квадратный из двух. Действительно, если сторона данного квадрата равняется а, а сторона искомого квадрата х, то, согласно условию задачи, будем иметь: х2=2а2

Откуда

Чтобы построить, нужно построить гипотенузу равнобедренного прямоугольного треугольника, у которого каждый катет равен единице. Теперь остается отрезок, равный  увеличить в а раз, тогда и получим сторону искомого квадрата. А проще всего в качестве х взять диагональ данного квадрата, которая, по теореме Пифагора, как раз и будет равняться  

Обобщая задачу об удвоении квадрата, древние греки перешли к рассмотрению задачи об удвоении куба и также стремились решить ее при помощи циркуля и линейки. Оказалось, что решение задачи об удвоении куба сводится к геометрическому построению корня кубического из двух. Действительно, если ребро данного куба положить равным а, а ребро искомого куба  - х, то, согласно условию задачи, будем иметь:

х3=2а3

откуда

Однако все старания построить  циркулем и линейкой не увенчались успехом. И трудно сказать как долго еще продолжались бы эти попытки, если бы, наконец, в первой половине XIX века не было доказано, что при помощи циркуля и линейки, без привлечения других вспомогательных средств,  построить нельзя.

О доказательстве невозможности решить задачу об удвоений куба при помощи циркуля и линейки.

Чтобы иметь хотя бы некоторое представление о разрешимости и неразрешимости задач на построение, ограничимся следующим небольшим замечанием. Прежде всего напомним (это учащиеся знают хорошо), что при помощи циркуля и линейки можно сравнительно легко построить выражения:

Где а, b, с — суть данные или найденные отрезки. Если решение задачи сводится к последовательному выполнению этих операций в конечном числе, то задача оказывается разрешимой при помощи циркуля и линейки. Если же решение некоторой задачи не сводится к последовательному выполнению указанных выше операций в конечном числе, то такую задачу при помощи циркуля и линейки решить невозможно. Задача об удвоении куба и является примером таких неразрешимых задач, которую нельзя решить, прибегая только к циркулю и линейке, то есть путем проведения окружностей и прямых линий.

Современными средствами, выходящими за пределы школьного курса математики, строго доказано, что кубическое уравнение с рациональными коэффициентами, не имеющее рациональных корней, не может быть разрешимо в квадратных радикалах, то есть ни один из корней этого уравнения не может быть построен при помощи циркуля и линейки. В дальнейшем эту теорему будем называть "теоремой неразрешимости". Доказательство этой теоремы можно прочитать, например, в квите Б.И. Аргунова и М.Б. Балка, "Геометрические построения на плоскости" (с.214-217).    

В предыдущем параграфе было показано, что задача об удвоении куба сводится к решению кубического уравнения х3-2а3=0

где а есть ребро данного куба, х—искомое ребро удвоенного куба.

Приняв для простоты длину ребра данного куба за 1, получим уравнение:

х3-2=0

Это уравнение с рациональными коэффициентами, как легко убедиться, не может иметь рациональных корней. Следовательно, по "теореме неразрешимости", задача об удвоении куба не может быть решена при помощи циркуля и линейки.

Первый, из ученых, кто открыто высказал мнение, что точное построение отрезка, равного , посредством циркуля и линейки неосуществимо, был знаменитый французский ученый Р.Декарт. В 1637 году он высказал предположение, что вообще кубический корень из некубического рационального числа есть иррациональность, не приводящаяся к конечному числу действий извлечения квадратного корня.

Строгое доказательство неразрешимости задачи об удвоении куба при помощи циркуля и линейки было дано французским математиком П.Ванцелем в 1837 году.

Знаменитые задачи древности

Бывает так, что задача решается, что называется, «сходу». Бывает, приходится попотеть, подумать над ней. Иногда на обдумывание решения уходят не минуты, часы, а даже дни. Но, тем не менее, задача все – таки сдается – она решена.

Вам несомненно, будет интересно узнать, что существуют такие задачи, на решение которых ушли не то что дни, даже не годы — века! И то решения,  на поиск которых затратились столетия, возможны даже в условиях, которые были даны изначально. В общем, иными есть такие задачи, которые неразрешимы. Неразрешимые задачи возникли в глубокой древности. Сейчас они носят название "знаменитых задач древности на построение". Первые задачи на построение возникли из хозяйственных потребностей человека. Уже древним архитекторам и землемерам приходилось решать простейшие задачи на построение, связанные с их профессией. Самые первые задачи на построение, по-видимому, решались непосредственно на местности и заключались в проведении (провешивании) прямых линий и построении прямого угла с использованием для этого так называемого  "египетского треугольника" со сторонами 3, 4 и 5. К задачам на построение прибегали древние инженеры, когда составляли рабочий чертеж того или иного сооружения и решали вопросы, связанные с отысканием красивых геометрических форм сооружения и наибольшей вместимости.

Решения простейших геометрических задач на построение, которые помогали людям в их хозяйственной жизни, формулировались в виде «практических правил", исходя из наглядных соображений. Именно эти задачи и были основой возникновения наглядной геометрии, нашедшей довольно широкое развитие у древних народов Египта, Вавилона, Индии и др.Однако практические правила первых землемеров, архитекторов и астрономов еще не составляли настоящей геометрии как дедуктивной науки, основанной на теоретических построениях и доказательствах.

Задачи на построение нашли широкое распространение в древней Греции, где впервые создалась геометрическая теория в систематическом изложении.

Уже в древности греческие математики встретились с тремя задачами на построение, которые не поддавались решению. Эти задачи следующие:

1. Задача о квадратуре круга.

Требуется построить квадрат, площадь которого равнялась бы данному кругу.

2. Задача о трисекции угла.

Требуется произвольный угол разделить на три равные части.

3. Задача об удвоении куба.

Требуется построить ребро куба, который по объему был бы в 2 раза больше данного куба.

Эти три задачи и носят название "знаменитых геометрических задач  древности".