таблица по новым стандартам
учебно-методический материал по алгебре (5, 6, 7, 8, 9, 10, 11 класс) на тему

Темы курса математики

Содержание из государственного  стандарта

5

класс

6 класс

7

класс

8

класс

9

класс

АРИФМЕТИКА.

Натуральные числа

Десятичная система счисления.

Римская нумерация.

Арифметические действия над натуральными числами.

Степень с натуральным показателем.

Делимость натуральных чисел.

 Признаки делимости на 2, 3, 5, 9, 10.

Простые и составные числа.

 Разложение натурального числа на простые множители.

 Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное.

Деление с остатком.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Дроби

Обыкновенная дробь.

 Основное свойство дроби.

Сравнение дробей.

Арифметические действия с обыкновенными дробями.

Нахождение части от целого и целого по его части.

Десятичная дробь.

 Сравнение десятичных дробей.

Арифметические действия с десятичными дробями.

 Представление десятичной дроби в виде обыкновенной дроби и обыкновенной в виде десятичной.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Рациональные числа

Целые числа: положительные, отрицательные и нуль.

 Модуль (абсолютная величина) числа.

 Сравнение рациональных чисел.

Арифметические действия с рациональными числами.

Степень с целым показателем.

Числовые выражения, порядок действий в них, использование скобок.

Законы арифметических действий: переместительный, сочетательный, распределительный.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Действительные числа

Квадратный корень из числа.

 Корень третьей степени.

Понятие о корне n-ой степени из числа.

Нахождение приближенного значения корня с помощью калькулятора.

Запись корней с помощью степени с дробным показателем.

Понятие об иррациональном числе.

Иррациональность числа.

 Десятичные приближения иррациональных чисел.

Действительные числа как бесконечные десятичные дроби.

 Сравнение действительных чисел, арифметические действия над ними.

Этапы развития представления о числе.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Текстовые задачи

Решение текстовых задач арифметическим способом.

+

+

+

+

+

Измерения, приближения, оценки

Единицы измерения длины, площади, объема, массы, времени, скорости.

Размеры объектов окружающего мира (от элементарных частиц до Вселенной), длительность процессов в окружающем мире.

Представление зависимости между величинами в виде формул.

Проценты.

Нахождение процента от величины, величины по ее проценту.

Отношение, выражение отношения в процентах.

Пропорция.

Пропорциональная и обратно пропорциональная зависимости.

Округление чисел.

Прикидка и оценка результатов вычислений.

 Выделение множителя – степени десяти в записи числа.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

АЛГЕБРА.

Алгебраические выражения

Буквенные выражения (выражения с переменными).

Числовое значение буквенного выражения.

Допустимые значения переменных, входящих в алгебраические выражения.

Подстановка выражений вместо переменных.

Равенство буквенных выражений.

Тождество, доказательство тождеств.

Преобразования выражений.

Свойства степеней с целым показателем.

Многочлены.

 Сложение, вычитание, умножение многочленов.

 Формулы сокращенного умножения: квадрат суммы и квадрат разности, куб суммы и куб разности.

Формула разности квадратов, формула суммы кубов и разности кубов.

Разложение многочлена на множители.

 Квадратный трехчлен.

Выделение полного квадрата в квадратном трехчлене.

Теорема Виета.

Разложение квадратного трехчлена на линейные множители.

Многочлены с одной переменной.

Степень многочлена.

 Корень многочлена.

Алгебраическая дробь.

Сокращение дробей.

Действия с алгебраическими дробями.

Рациональные выражения и их преобразования.

 Свойства квадратных корней и их применение в вычислениях.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Уравнения и неравенства

Уравнение с одной переменной.

 Корень уравнения.

Линейное уравнение.

Квадратное уравнение: формула корней квадратного уравнения.

Решение рациональных уравнений.

Примеры решения уравнений высших степеней; методы замены переменной, разложения на множители.

Уравнение с двумя переменными; решение уравнения с двумя переменными.

Система уравнений; решение системы.

Система двух линейных уравнений с двумя переменными; решение подстановкой и алгебраическим сложением.

Уравнение с несколькими переменными.

 Примеры решения нелинейных систем.

Примеры решения уравнений в целых числах.

Неравенство с одной переменной.

Решение неравенства.

 Линейные неравенства с одной переменной и их системы.

Квадратные неравенства.

Примеры решения дробно-линейных неравенств.

Числовые неравенства и их свойства.

Доказательство числовых и алгебраических неравенств.

Переход от словесной формулировки соотношений между величинами к алгебраической.

Решение текстовых задач алгебраическим способом.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Числовые последовательности

Понятие последовательности.

 Арифметическая и геометрическая прогрессии.

Формулы общего члена арифметической и геометрической прогрессий, суммы первых нескольких членов арифметической и геометрической прогрессий.

Сложные проценты.

+

+

+

+

Числовые функции

Понятие функции.

Область определения функции.

Способы задания функции.

График функции, возрастание и убывание функции, наибольшее и наименьшее значения функции, нули функции, промежутки знакопостоянства.

Чтение графиков функций.

Функции, описывающие прямую и обратную пропорциональную зависимости, их графики.

Линейная функция, ее график, геометрический смысл коэффициентов.

 Гипербола.

Квадратичная функция, ее график, парабола.

 Координаты вершины параболы, ось симметрии.

Степенные функции с натуральным показателем, их графики.

 Графики функций: корень квадратный, корень кубический, модуль. Использование графиков функций для решения уравнений и систем.

Примеры графических зависимостей, отражающих реальные процессы: колебание, показательный рост.

Числовые функции, описывающие эти процессы.

Параллельный перенос графиков вдоль осей координат и симметрия относительно осей.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Координаты

Изображение чисел очками координатной прямой.

 Геометрический смысл модуля числа.

Числовые промежутки: интервал, отрезок, луч.

 Формула расстояния между точками координатной прямой.

Декартовы координаты на плоскости; координаты точки.

Координаты середины отрезка.

Формула расстояния между двумя точками плоскости.

Уравнение прямой, угловой коэффициент прямой, условие параллельности прямых.

Уравнение окружности с центром в начале координат и в любой заданной точке.

Графическая интерпретация уравнений с двумя переменными и их систем, неравенств с двумя переменными и их систем.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

ГЕОМЕТРИЯ.

Начальные понятия и теоремы геометрии

Возникновение геометрии из практики.

Геометрические фигуры и тела.

Равенство в геометрии.

Точка, прямая и плоскость.

Понятие о геометрическом месте точек.

Расстояние.

 Отрезок, луч.

Ломаная.

Угол.

Прямой угол.

Острые и тупые углы.

Вертикальные и смежные углы.

Биссектриса угла и ее свойства.

Параллельные и пересекающиеся прямые.

Перпендикулярность прямых.

Теоремы о параллельности и перпендикулярности прямых.

Свойство серединного перпендикуляра к отрезку.

Перпендикуляр и наклонная к прямой.

Многоугольники.

Окружность и круг.

Наглядные представления о пространственных телах: кубе, параллелепипеде, призме, пирамиде, шаре, сфере, конусе, цилиндре. Примеры сечений.

Примеры разверток.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Треугольник

Прямоугольные, остроугольные и тупоугольные треугольники. Высота, медиана, биссектриса, средняя линия треугольника. Равнобедренные и равносторонние треугольники; свойства и признаки равнобедренного треугольника.

Признаки равенства треугольников.

 Неравенство треугольника.

Сумма углов треугольника.

Внешние углы треугольника.

 Зависимость между величинам сторон и углов треугольника.

Теорема Фалеса.

Подобие треугольников; коэффициент подобия.

Признаки подобия треугольников.

Теорема Пифагора.

Признаки равенства прямоугольных треугольников.

Синус, косинус, тангенс, котангенс острого угла прямоугольного треугольника и углов от 0° до 180°; приведение к острому углу. Решение прямоугольных треугольников.

 Основное тригонометрическое тождество.

Формулы, связывающие синус, косинус, тангенс, котангенс одного и того же угла.

 Теорема косинусов и теорема синусов; примеры их применения для вычисления элементов треугольника.

Замечательные точки треугольника: точки пересечения серединных перпендикуляров, биссектрис, медиан.

Окружность Эйлера.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Четырехугольник

Параллелограмм, его свойства и признаки.

 Прямоугольник, квадрат, ромб, их свойства и признаки.

Трапеция, средняя линия трапеции; равнобедренная трапеция.

+

+

+

Многоугольники

Выпуклые многоугольники.

Сумма углов выпуклого многоугольника.

Вписанные и описанные многоугольники.

Правильные многоугольники.

+

+

+

+

+

Окружность и круг

Центр, радиус, диаметр.

Дуга, хорда.

Сектор, сегмент.

 Центральный, вписанный угол; величина вписанного угла.

 Взаимное расположение прямой и окружности, двух окружностей. Касательная и секущая к окружности; равенство касательных, проведенных из одной точки.

Метрические соотношения в окружности: свойства секущих, касательных, хорд.

Окружность, вписанная в треугольник, и окружность, описанная около треугольника.

Вписанные и описанные четырехугольники.

Вписанные и описанные окружности правильного многоугольника.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Измерение геометрических величин

Длина отрезка.

 Длина ломаной, периметр многоугольника.

Расстояние от точки до прямой.

Расстояние между параллельными прямыми.

Длина окружности, число ; длина дуги.

Величина угла.

 Градусная мера угла, соответствие между величиной угла и длиной дуги окружности.

Понятие о площади плоских фигур.

Равносоставленные и равновеликие фигуры.

Площадь прямоугольника.

Площадь параллелограмма, треугольника и трапеции (основные формулы).

Формулы, выражающие площадь треугольника: через две стороны и угол между ними, через периметр и радиус вписанной окружности, формула Герона.

Площадь четырехугольника.

Площадь круга и площадь сектора.

Связь между площадями подобных фигур.

Объем тела.

Формулы объема прямоугольного параллелепипеда, куба, шара, цилиндра и конуса.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Векторы

Вектор.

Длина (модуль) вектора.

Координаты вектора.

Равенство векторов.

Операции над векторами: умножение на число, сложение, разложение, скалярное произведение.

Угол между векторами.

+

+

+

+

+

+

Геометрические преобразования

Примеры движений фигур.

Симметрия фигур.

Осевая симметрия и параллельный перенос.

Поворот и центральная симметрия.

Понятие о гомотетии.

 Подобие фигур

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Построения с помощью циркуля и линейки

Основные задачи на построение: деление отрезка пополам, построение треугольника по трем сторонам, построение перпендикуляра к прямой, построение биссектрисы, деление отрезка на n равных частей.

Правильные многогранники.

+

+

ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ, КОМБИНАТОРИКИ,

СТАТИСТИКИ И ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ.

Доказательство

Определения, доказательства, аксиомы и теоремы; следствия. Необходимые и достаточные условия.

Контрпример.

Доказательство от противного.

Прямая и обратная теоремы.

Понятие об аксиоматике и аксиоматическом построении геометрии. Пятый постулат Эвклида и его история.

+

+

+

+

+

+

+

Множества и комбинаторика

Множество.

 Элемент множества, подмножество.

Объединение и пересечение множеств.

Диаграммы Эйлера.

Примеры решения комбинаторных задач: перебор вариантов, правило умножения.

+

+

+

+

+

+

+

+

+

+

Статистические данные

Представление данных в виде таблиц, диаграмм, графиков.

 Средние результатов измерений.

Понятие о статистическом выводе на основе выборки.

Понятие и примеры случайных событий.

+

+

+

+

+

+

+

+

Вероятность

Частота события, вероятность.

Равновозможные события и подсчет их вероятности.

Представление о геометрической вероятности.

+

+

+