Рациональные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему

Рациональные уравнения.

   Основными рациональными уравнениями с одной переменной являются линейные и квадратные уравнения. Все остальные квадратные уравнения приводятся с помощью различных  преобразований к этим основным уравнениям.

1. Если уравнение дробное, то сначала приводят его к целому виду, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. При этом мы получим лишь следствие исходного уравнения.
2. Если уравнение целое, то используют два способа преобразований: а) замену переменных (введение новых переменных); б) разложение левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. Покажу на примерах использование этих преобразований.

   Пример 1.  Решить уравнение:  =  + .

   Решение. Данное уравнение дробное. Чтобы привести его к целому виду, умножим обе части на общий знаменатель всех дробей:

   (т.к. .

Будем помнить, что получили лишь следствие исходного уравнения:

После раскрытия скобок и приведения членов в каждой части уравнения получим: . Перенесем все члены в левую сторону и сделаем приведение подобных членов, получим: . Разложим левую часть уровнения на множители:    получили совокупность 2-х линейных уравнений: и , отсюда  и   . т.к в процессе решения использовали преобразования, приводящие к следствиям уравнения, то необходима проверка. Подстановка в исходное уравнение показывает  – посторонний корень (т.к. . Ответ: .

Пример 2. Решить уравнение: .

Очевидно, что приведение левой части к стандартному виду многочлена лишь усложнит уравнение. Поэтому:

1 способ. Разложим левую часть на множители, которая напоминает квадрат суммы выражений   и , но тогда третье слагаемое должно быть не , а  .

Поступим так:  ,

                                  ,

                                  ,

                                  (

                                      или    

                                                                  и     

Пусть ,

тогда

 или  .  

Возвращаемся к замене:

 или            

Для закрепления предлагаю учащимся сообщить, какие преобразования нужно последовательно произвести в процессе решения уравнений: 

  а)               б)

   Изучение квадратных уравнений занимает самое большое и главное место в курсе математики. Итак, алгебраическое уравнение вида   где , называется квадратным. ОДЗ переменной x – все множества комплексных чисел. Коэффициенты a, b, c будем считать действительными числами. Исходное уравнение равносильно уравнению  , выделяя полный квадрат получим.

1,2    где «различитель»

Знак  определяет наличие или отсутствие действительных корней квадратного уравнения.

Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня: если , то уравнение имеет два совпадающих корня действительных; Если , то уравнение не имеет действительных корней.

   Если уравнение имеет  четный коэффициент, то и для решения этого уравнения существует формула.

Уравнение , корни 1,2=

Уравнение , приведенное квадратное уравнение,

Корни  1,2=

Часто при решении применяют теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому со знаком , а произведение корней равно свободному члену т.е.

Справедлива и обратная теорема Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения .

Любое уравнение можно сделать приведенным, поделив обе его части на коэффициент при квадрате.

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней теорема Виета

Что лучше, скажи, постоянства такого:

Умножишь ты корни – и дробь уж готова?

В числителе , в знаменателе .

А сумма корней тоже дроби равна.

Хоть с минусом дробь, что за беда!

В числителе , в знаменателе .  

Часто используется ещё одна теорема: если 1, и x2 – корни квадратного трехчлена , то для любого значения  справедлива формула:

Теорема Виета и обратная теорема Виета позволяют решать широкий круг задач: находить в несложных случаях корни квадратного уравнения; составлять квадратное уравнение по его корням, выполнять проверку и т.п.

Пример 1. Найти корни уравнения:

Сума коэффициентов = 0,                1998-907+1091=0

Значит , воспользовавшись т. Виета найдем .

 ,  т.к.

Пример2. Решая уравнение , нашли, что оно имеет корни  и . Выясним, правильно ли решено уравнение.

Воспользуемся обратной теоремой Виета

Значит:                    

Вывод:

Корни уравнения найдены правильно.

Пример 3. Догадайтесь, чему равны корни уравнения:

А) +12=0

Б)

В)

Г)

Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его  и т. Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения получить о нем широкую информацию, выяснить имеет ли квадратное уравнение корни и сколько. Для уравнения, имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки корней различные: может ли уравнение иметь целые корни, иметь рациональные корни и т.п.

Пример. Не решая уравнения:  имеет ли оно корни, и каковы их знаки.

Решение

     т.к.

Значит, уравнение имеет два различных корня .

Т.к. , то знаки корней различные.

  положительный корень уравнения имеет больший модуль, чем отрицательный.