Рациональные уравнения.
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс) на тему
Основными рациональными уравнениями с одной переменной являются линейные и квадратные уравнения. Все остальные квадратные уравнения приводятся с помощью различных преобразований к этим основным уравнениям.
Скачать:
Вложение | Размер |
---|---|
![]() | 27.99 КБ |
Предварительный просмотр:
Рациональные уравнения.
Основными рациональными уравнениями с одной переменной являются линейные и квадратные уравнения. Все остальные квадратные уравнения приводятся с помощью различных преобразований к этим основным уравнениям.
- Если уравнение дробное, то сначала приводят его к целому виду, умножив обе части уравнения на общий знаменатель всех дробей. При этом мы получим лишь следствие исходного уравнения.
- Если уравнение целое, то используют два способа преобразований: а) замену переменных (введение новых переменных); б) разложение левой части уравнения на множители, когда правая часть равна нулю. Покажу на примерах использование этих преобразований.
Пример 1. Решить уравнение: =
+
.
Решение. Данное уравнение дробное. Чтобы привести его к целому виду, умножим обе части на общий знаменатель всех дробей:
(т.к.
.
Будем помнить, что получили лишь следствие исходного уравнения:
После раскрытия скобок и приведения членов в каждой части уравнения получим: . Перенесем все члены в левую сторону и сделаем приведение подобных членов, получим:
. Разложим левую часть уровнения на множители:
получили совокупность 2-х линейных уравнений:
и
, отсюда
и
. т.к в процессе решения использовали преобразования, приводящие к следствиям уравнения, то необходима проверка. Подстановка в исходное уравнение показывает
– посторонний корень (т.к.
. Ответ:
.
Пример 2. Решить уравнение: .
Очевидно, что приведение левой части к стандартному виду многочлена лишь усложнит уравнение. Поэтому:
1 способ. Разложим левую часть на множители, которая напоминает квадрат суммы выражений и
, но тогда третье слагаемое должно быть не
, а
.
Поступим так: ,
,
,
(
или
и
Пусть ,
тогда
или
.
Возвращаемся к замене:
или
Для закрепления предлагаю учащимся сообщить, какие преобразования нужно последовательно произвести в процессе решения уравнений:
а) б)
Изучение квадратных уравнений занимает самое большое и главное место в курсе математики. Итак, алгебраическое уравнение вида где
, называется квадратным. ОДЗ переменной x – все множества комплексных чисел. Коэффициенты a, b, c будем считать действительными числами. Исходное уравнение равносильно уравнению
, выделяя полный квадрат получим.
1,2
где
«различитель»
Знак определяет наличие или отсутствие действительных корней квадратного уравнения.
Если , то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня: если
, то уравнение имеет два совпадающих корня действительных; Если
, то уравнение не имеет действительных корней.
Если уравнение имеет четный коэффициент, то и для решения этого уравнения существует формула.
Уравнение , корни
1,2=
Уравнение , приведенное квадратное уравнение,
Корни 1,2=
Часто при решении применяют теорему Виета: сумма корней приведенного квадратного уравнения равна коэффициенту при х, взятому со знаком , а произведение корней равно свободному члену т.е.
Справедлива и обратная теорема Виета: если числа m и n таковы, что их сумма равна – p, а произведение равно q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения .
Любое уравнение можно сделать приведенным, поделив обе его части на коэффициент при квадрате.
По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета
Что лучше, скажи, постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова?
В числителе , в знаменателе
.
А сумма корней тоже дроби равна.
Хоть с минусом дробь, что за беда!
В числителе , в знаменателе
.
Часто используется ещё одна теорема: если 1, и x2 – корни квадратного трехчлена
, то для любого значения
справедлива формула:
Теорема Виета и обратная теорема Виета позволяют решать широкий круг задач: находить в несложных случаях корни квадратного уравнения; составлять квадратное уравнение по его корням, выполнять проверку и т.п.
Пример 1. Найти корни уравнения:
Сума коэффициентов = 0, 1998-907+1091=0
Значит , воспользовавшись т. Виета найдем
.
, т.к.
Пример2. Решая уравнение , нашли, что оно имеет корни
и
. Выясним, правильно ли решено уравнение.
Воспользуемся обратной теоремой Виета
Значит:
Вывод:
Корни уравнения найдены правильно.
Пример 3. Догадайтесь, чему равны корни уравнения:
А) +12=0
Б)
В)
Г)
Сведения о зависимости числа корней квадратного уравнения от его и т. Виета позволяют, не вычисляя корней квадратного уравнения получить о нем широкую информацию, выяснить имеет ли квадратное уравнение корни и сколько. Для уравнения, имеющего корни, определить их знаки, сравнить корни по модулю, если знаки корней различные: может ли уравнение иметь целые корни, иметь рациональные корни и т.п.
Пример. Не решая уравнения: имеет ли оно корни, и каковы их знаки.
Решение
т.к.
Значит, уравнение имеет два различных корня .
Т.к. , то знаки корней различные.
положительный корень уравнения имеет больший модуль, чем отрицательный.
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
![](/sites/default/files/pictures/2011/11/21/picture-35363.jpg)
Урок алгебры 8 класс "Решение дробно-рациональных уравнений"
Приводится конспект урока по алгебре в 8 классе по теме "Решение дробно-рациональных уравнений"...
Решение дробных рациональных уравнений
Презентация содержит демонстрационный материал к обяснению нового материала по теме "Решение дробных рациональных уравнений". Учебник Макарычева Ю.Н. и др. "Алгебра 8"...
Решение дробно - рациональных уравнений с модулем.
Данная презентация разработана для подготовки учащихся 10 классса к КДР, может быть полезна для подготовки учащихся 11 класса к ЕГЭ....
![](/sites/default/files/pictures/2012/01/31/picture-53850.jpg)
Способы решения систем рациональных уравнениий
В данном документе представлены способы решения рациональных уравнений. Подобран теоретический, практический метериал. Материал оформлен в форме буклетов....
Урок алгебры в 8-м классе "Решение дробно-рациональных уравнений"
Урок закрепления изученного материала проводится в форме игры "Лабиринт". Задания в лабиринте дифференцированы по уровням сложности, что позволяет учащимся выбрать наиболее походящий для себя режим ра...
![](/sites/default/files/pictures/2013/11/27/picture-328328-1385526413.jpg)
Итоговый контроль по темам № 1, 2, 3, 4: «Рациональные уравнения. Иррациональные уравнения. Квадратное уравнение и приложения теоремы Виета. Исследование квадратного трехчлена»
Уважаемые коллеги!Актуальной задачей на сегодняшний день является качественная подготовка учащихся к государственной итоговой аттестации (ГИА) и единому государственному экзамену (ЕГЭ) по математике, ...
![](/sites/default/files/pictures/2017/11/25/picture-978134-1511621824.jpg)
8 класс.ТРЕНАЖЕР: Решение задач с дробно рациональными уравнениями, которые сводятся к квадратным уравнениям.
Алгебра. 8 класс. Решение задач с дробно рациональными уравнениями, которые сводятся к квадратным уравнениям....