План-конспект урока по теме"Квадрат суммы нескольких слагаемых", 8 класс
план-конспект урока по алгебре (8 класс) на тему

Тема:  Квадрат суммы нескольких слагаемых.

(Урок проведен 08.02.2017г.  в рамках семинара «Обучение математике в соответствии с ФГОС»  учителем  математики  Малышкиной Н.В. для слушателей курсов МРИО)

Основные цели урока:

-создать условия для закрепления знаний  в процессе решения заданий на использование  формул сокращенного умножения

(а±b)² =a² ±2ab+b²,  (a-b)(a+b) =a² -b²;

-создать условия для выведения формулы  для нахождения  алгебраической суммы нескольких слагаемых: (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2+  2ab +  2ac + 2bc ,

 (a - b - c)2 = a2 + b2 + c2 -2ab -  2ac + +2bc  и  решения задач с помощью выведенной формулы, и ранее изученных формул;

 -учить осмысливать ошибки и  устранять их;

-развивать логическое мышление учащихся, учить понимать смысл поставленной задачи, участвовать в диалоге  и выстраивать аргументацию.

Оборудование, демонстрационный материал:

1)задания для  актуализации знаний;

2)индивидуальные задания;

3)формулы сокращенного умножения;

4)образец для выполнения задания в парах;

5)самостоятельная работа;

6)эталон для самопроверки самостоятельной работы;

7)раздаточный материал;

8) компьютер, экран, проектор, презентация по теме «Квадрат суммы нескольких слагаемых».

Ход урока

1.Самоопределение к учебной деятельности

Цель этапа:

1) включить учащихся в учебную деятельность;

2)определить содержательные рамки урока;

3) продолжить работу с формулами сокращенного умножения.

Организация учебного процесса на этапе 1:

Добрый день, ребята! Я рада видеть Вас в хорошем настроении.

Какую тему мы  изучали на прошлом уроки? (Ответ :  мы изучали  тему « Квадратный трехчлен»).

Урок начинают «солисты», которые защищают решение домашней работы. Решение оформляют на доске до урока. При назначении солистов учитывается сложность задач. Класс следит за  грамотностью изложения решения домашнего задания.

Проверяются   следующие номера из домашнего задания:

№837, №805(б, г), №857(б) из учебника Ю.М. Макарычева,Н.Г. Миндюк и др. Алгебра-7.

  Давайте повторим  формулы сокращенного умножения  и начнем с формулы квадрата суммы двух чисел.

    Учащиеся проговаривают словесную формулировку  тождества

 (а+b)² =а² +2аb+b², затем (а-b)² =а² -2аb+b², (а-b)·(а+b) =а² -b.

На доску выносится запись

(а+b)² =а² +2аb+b²,

(а-b)² =а² -2аb+b², 

(а-b)(а+b) =а² -b2.

 Сегодня на уроке  мы рассмотрим задания, которые потребуют от вас  математических знаний, накопленных на предыдущих  уроках. Мы с вами уже умеем умножать многочлен на многочлен,  и знаем, что это очень трудоёмкая и долгая операция, требующая большого внимания. Однако в некоторых  случаях умножение одного многочлена на другой приводит к компактному, легко запоминающемуся результату. В этих случаях предпочтительнее не умножать каждый раз один многочлен на другой, а пользоваться готовым результатом. Как вы думаете, что я имею в виду, когда говорю о готовом результате? (Ответ: формулы сокращенного умножения). Чем мы будем заниматься на уроке? (Продолжить работу по использованию формул сокращенного умножения). А для этого нужно хорошо помнить и уметь применять на практике формулы сокращенного умножения. Сегодня мы   познакомимся  еще с одной  очень важной формулой сокращенного умножения. Но, сначала поработаем устно.

2.Актуализация опорных знаний и фиксация затруднений деятельности.

Цель этапа:

актуализировать знания, связанные с  использованием изученных формул сокращенного умножения.

Организация учебного процесса на этапе2.

1. Выполните возведение в квадрат:

а) (0,3а3)2  ;  б) (-2x2у)²;  в) ( 5а3в5с)2 ; г) (- о,5а10 b4)²; д) (-3x+2)2; е)(-у-9)2.

2.Выполните умножение:

а)2x⋅3x7;

б) 0,5у5(-4у3);

в)3a(2a2-5a);

г)-2x4(0,5x-3x2).

3.Представьте в виде  многочлена:

а) (2х² -1,1)(2х2 + 1,1)        

б) (25 +у3)(25 - у3);

в) (2х² +1)2;

г) (3х² -1)2.

4.Определите лишний элемент в строке:

3. Письменный опрос

Цель: проверить способность к выполнению заданий, связанных с изученными формулами сокращенного умножения.

Организация учебного процесса на этапе 3.

Предлагается выполнить  самостоятельную работу

Вариант 1.

1.Представьте в виде многочлена:

а) (-2а-7в)2; б)(-3а2+4в3)2;

2.Упростить выражение (3а-2в)2-3а(3а-4в).

 и найдите его значение при  в=0,5.

3.Найдите значение выражения (а-3)2+(6-а)2+2(а-3)(6-а).

Вариант2.

1.Представьте в виде многочлена:

а) (-3а-5в)2; б)(-6а2+2в3)2;

2.Упростить выражение (2а-3в)2-3в(3в-4а).

 и найдите его значение при  а=-0,5.

3.Найдите значение выражения (а-2)2+(5+а)2-2(а-2)(5+а).

4. Подведение к теме урока.

Цель этапа: столкнуть с невозможность выполнить этого  задание за кратчайший промежуток времени; организовать коммуникативное взаимодействие, в ходе которого выявляется  и фиксируется  отличительное свойство  задания, вызвавшего затруднение в учебной деятельности; согласовать цель и тему урока; выяснить каким образом можно  вывести формулу для нахождения  квадрата суммы нескольких слагаемых.

Организация учебного процесса на этапе 4.

1.Учитель предлагает учащимся выполнить задание за кратчайший промежуток времени.

Задание 1. Представьте в виде многочлена:

  а)(2х+5у+10z)2

   б) б)(3x-2y-7z)2

2.Выявление причин затруднения  и постановки цели деятельности

    Почему это задание вызвало у вас затруднение? Чем отличается это задание от предыдущих?  Какую цель мы поставим перед собой? ( Научиться возводить в квадрат несколько слагаемых). Чтобы научиться находить квадрат суммы нескольких слагаемых, что мы должны сделать? (Вывести формулу сокращенного умножения).

Сформулируйте  тему урока (Квадрат суммы нескольких слагаемых)

Молодцы! Вы правильно определили и  цель, и тему урока.

Запишите тему в тетради.

  Тема урока « Квадрат суммы нескольких слагаемых» записывается учащимися в тетрадь.

5.Построение проекта выхода из затруднения. 

Цель этапа:

1) вывести формулу для нахождения  квадрата суммы нескольких слагаемых;

1)организовать коммуникативное взаимодействие  для построения нового способа действия, устраняющего причину выявленного затруднения;

2)зафиксировать новый способ действия с помощью формулы.

  Организация учебного процесса на этапе 4.

К доске вызываются 4 учащихся, остальные работают по группам (предлагаются

разные  способы вывода формулы).

1-ый способ:

Рассмотрим квадрат  суммы трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде:

(a + b + c)2=((a + b) + c)2

Если рассматривать (a + b) как одно слагаемое, то мы можем применить формулу квадрата суммы для двух слагаемых:

((a + b) + c))2 = (a + b)2 + 2(a + b)c + c2 = a2 + 2ab + b2 + 2ac + 2bc + c2

2-ой способ:

     Рассмотрим квадрат  суммы трех слагаемых:

(a + b + c)2

Представим его в таком виде: (a + b + c)2 =(a + b + c) (a + b + c),т.е. в виде произведения  многочленов.

Применим правило умножения  многочленов.

(a + b + c)2 =(a + b + c) (a + b + c) = a2 + ab +ac+ + ab + b2+ + bc+ +ac+ bc+ c2= a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc.

Итак, в результате преобразования мы получили:

(a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + 2bc

Квадрат суммы трёх выражений равен сумме квадратов этих выражений, сложенной со всеми удвоенными произведениями выражений, взятых по два.

Организация учебного процесса на этапе 5.

Учитель обобщает сказанное  для случая 4 слагаемых и более (использует презентацию)

  Если бы слагаемых было 4, то в результате преобразования выглядели так:

(a + b + c + d)2 = ((a + b) + (c + d))2 = (a + b)2 + 2(a+b)(c+d) + (c + d)2 = a2 +  

+ 2ab+ b2 + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + c2 + 2cd + d2

В результате была бы получена следующая формула:

(a + b + c + d)2 = a2 + b2 + c2 + d2 + 2ab + 2ac + 2ad + 2bc + 2bd + 2cd.

Вообще независимо от того, сколько слагаемых в квадрате суммы, при раскрытии скобок получается сумма квадратов всех слагаемых плюс удвоенные пары произведений этих слагаемых.

 Квадрат суммы  нескольких выражений равен сумме квадратов этих выражений, сложенной со всеми удвоенными произведениями выражений, взятых по два.

6.Первичное закрепление материала во внешней речи

Цель этапа:

зафиксировать  изученное учебное содержание  во внешней речи.

Организация учебного процесса на этапе 6:

1.Используя полученные формулы  найти квадрат суммы трехчлена

 №1. (2x+5y+10z)2  =(2x)2 +(5y)2 +(10z)2+2⋅2x⋅5y+2⋅2x⋅10z +

+2⋅ 5y⋅10z=4x2+25y2+100z2+20xy +40xz+100yz.

    Формулу квадрата суммы трёх слагаемых можно применить и для отрицательных слагаемых.

№2. (3x-2y-7z)2  = (3x+(-2y)+(-7z))2 = (3x)2 +(-2y)2 +(-7z)2+2⋅3x⋅(-2y)+

+2⋅3x⋅(-7z )+2⋅ (-2y)⋅(-7z)=9x2+4y2+49z2-12xy-42xz+28yz.

2.Решение упражнений из учебника:

 №848(а, в), №850(а, в), №854(а), №855(а).

7.  Рефлексия деятельности на уроке

Цель этапа:

1) зафиксировать новое содержание, изученное на уроке;

2)оценить собственную деятельность на уроке;

3)поблагодарить одноклассников, которые помогли  получить результат урока;

4)зафиксировать неразрешенные затруднения  как направления  будущей учебной деятельности;

5)обсудить и записать домашнее задание.

Организация учебного процесса на этапе 6:

Домашнее задание.         

Выяснить чему равен  квадрат трехчлена:

а) (a + b - c)2; б) (a - b -c)2; в) (-a - b - c)2 .

№848(б, г), №850(б, г), №854(б).

   Учащимся сообщается, что на стенде вывешены творческие задания  по теме «Формулы сокращенного умножения», с которыми они могут познакомиться и при желании их выполнить.

Творческие задания

1. Найдите наименьшее (или наибольшее) значение выражения. При каком значении переменных оно достигается?

а) x2-4х+7;

б) 3-4y- y2.

2. Докажите неравенство:

а) x2+4x≥-4;

б) y2+9≥6y.

3. Выполните действия:

а) 97·103;

б) 98·100·102;

в) (2+1)(22+1)(24+1)(28+1).

4. Сравните числа:

а) 43·47 и 452;

б) 81·87 и 842.

5. Разложите на множители выражение:

а) x2+6x+8;

б) 8-2x-x2.

Рефлексия деятельности на уроке:

1.Что нового вы узнали сегодня на уроке?

2.Для чего необходимо знать изученные нами сегодня формулы?

3.Как вы думаете, почему данные формулы называются формулами сокращённого умножения?

4.Какие трудности встретили?

5.Что нам помогло справиться с затруднениями?

6. Мы достигли  поставленной цели?

7. Проанализируйте свою работу на уроке.

Учитель фиксирует неразрешенные  затруднения как направление будущей учебной деятельности.