Изучение темы "Проценты"
учебно-методическое пособие по алгебре (7 класс) на тему

Понятие «проценты» в школьной программе

С понятием «проценты» учащиеся знакомятся в 5 классе. Процент определяется как одна сотая часть числа. На основе этого определения решается три вида задач: нахождение процентов от числа, нахождение числа по его процентам, нахождение процентного отношения двух чисел.

Для подготовки учащихся к решению таких задач и формирования понятия «проценты» необходимо решить задачи:

1. Найти 1% от чисел: 300; 45; 120; 2380; 7.
2. Найти число, если 1% от него равен: 5; 1,2; 17; 4,9; 0,15.
3. Мужчины составляют 75% всех работников завода. Сколько процентов всех работников составляют женщины?
4. Девочка потратила 70% имеющихся у нее денег на книги и 30% - на тетради.

     Все ли деньги потратила девочка?

5. 25% учащихся класса соревновались в прыжках в высоту, еще 70% - в прыжках в длину. Все ли учащиеся класса участвовали в соревнованиях?
6. Желая блеснуть знанием процентов, мальчик сказал, что 60% книги он прочитал на прошлой неделе, а оставшиеся 50% - на этой. Знает ли мальчик проценты?
7. В делегации иностранных гостей 50% говорили на французском языке и 60% - на английском. Как вы это объясните?
8. Определите без вычислений, что больше:

12% от 34 или 13% от34;

12% от 49 или 12% от 50.

9) Маме зарплату повысили на 15%, а папе – на 10%. Верно ли, что мама получила прибавку больше, чем папа?

При решении задач на изменение величины в процентах среди традиционных задач можно предложить следующие:

1. Увеличьте число 200 на 10%. Полученное число уменьшите на 10%. Получится ли снова 200? Почему?
2. Цену на товар повысили на 10%, а затем новую цену понизили на 10%. Осталась ли цена прежней в результате этих двух изменений? Дешевле или дороже стал стоить товар?
3. В двух киосках продавали шоколадки по одинаковой цене – 20 руб. В первом киоске цену снизили на 10%, а во втором – на 20%. После чего в первом киоске снизили цену еще на 10%. Осталась ли цена одинаковой? В каком киоске шоколадка дешевле? Почему?

В 6 классе при решении задач на проценты вводится правило решения основных типов задач. На данном этапе важным умением является умение переводить проценты в дробь и наоборот. Учащимся можно предложить следующие задачи:

1. Выразите проценты в виде обыкновенной и десятичной дроби: 1%, 23%, 5%, 80%, 120%, 12,5%.
2. Верно ли, что:

50% это ½ часть числа;

25% это ¼ часть;

30% это 3/10 числа?

3. Какую часть числа составляют 75%, 20%, 10%, 40%?
4. Что больше 30% от 40 или 40% от 30?

После изучения темы «Пропорция» необходимо дать еще один способ решения задач на проценты с помощью пропорции (так как этим способом учащиеся решают задачи на уроках химии) и провести классификацию всех способов решения задач на проценты.

При  решении задач с помощью уравнений в 7 классе можно рассмотреть задачи на проценты, решаемые уравнением:

1. Зарплату увеличили на 80%. Верно ли, что она увеличилась в 1,8 раза?
2. Если цена увеличилась в 2 раза, то на сколько процентов она увеличилась?
3. Цена увеличилась на 200%. Во сколько раз она увеличилась?
4. В первый день туристы прошли 25% всего пути, а во второй еще 40% от остатка, после чего осталось пройти 18 км. Какой протяженности был маршрут?
5. Сложили три числа. Первое составило 25% суммы, а второе – 40%. Найти третье число, если оно на 45 меньше второго.
6. 3/5 класса пошли в кино, 15% класса – на выставку, а остальные 8 человек готовились к школьному вечеру. Сколько человек было в классе?
7. Мальчик похудел за весну на 20%, потом поправился за лето на 30%, за осень похудел на 20% и за зиму прибавил в весе 10%. Уменьшился или увеличился его вес за год?

При подготовке к выпускным и вступительным экзаменам в 9 и 11 классах необходимо повторить решение задач на проценты и рассмотреть решение более сложных задач. Среди них особое внимание нужно уделить задачам «на процентную концентрацию».

1. Сколько граммов воды надо добавить к 100 г 30%-ной соляной кислоты, чтобы получить 10%-ную кислоту?
2. Сколько килограммов воды надо выпарить из 100кг массы, содержащей 90% воды, чтобы получить массу, содержащую 80% воды?
3. Смешали 30%-ный раствор соляной кислоты с 10%-ным раствором кислоты и получили 600 г 15%-ного раствора. Сколько граммов каждого раствора было взято?
4. Арбуз весил 20 кг, в нем содержалось 99% воды. Когда он немного усох, содержание воды снизилось до 98%. Сколько теперь весит арбуз?
5. Яблоки, содержащие 70% воды, при сушке потеряли 60% своей массы.  Сколько процентов воды содержат сушеные яблоки?
6. Из молока жирностью 5% получают творог жирностью 15,5%, при этом остается сыворотка жирностью 0,5%. Сколько творога получится из 1 т молока?
7. 3 литра 30%-ного раствора спирта смешали с 5 л 20%-ного раствора. Найти          процентное  содержание спирта в новом растворе.

Способ решения таких задач можно продемонстрировать на примере решения 3) и 6) задач.

Масса вещества в обоих растворах вместе равна массе вещества в смеси, значит верно равенство 0,3х+0,1(600-х)=0,15*600, из которого получаем, что х=150.

Ответ: первого раствора взяли 150 г, а второго- 450 г.

Количество жира в молоке равно суммарному количеству жира в твороге и сыворотке. 0,155х+0,005*(1000-х)=50; х=300

Ответ: получится 300 кг творога.

Следует рассмотреть еще один тип задач – задачи «банковского» содержания.

1. В банк положен вклад из расчета 3% годовых. Какой доход (в процентах) принесет вклад через 4 года?
2. Рост кристалла в год составляет по отношению к его массе 4%. Найти массу кристалла через 4 года. Если его первоначальная масса была 10 г.
3. Банк начисляет 3% от суммы вклада. Найти наименьшее число лет, за которое вклад вырастет более чем на 10%.
4. В банк положен вклад из расчета 10% годовых. Через два года со счета была снята сумма, составляющая 21% от суммы первоначального вклада. Через какое наименьшее число лет после этого сумма вклада окажется больше первоначальной в 1,4 раза?
5. После двух одинаковых повышений цены товар стал стоить 1190,72 р. На сколько процентов повышалась цена каждый раз, если первоначально она была равной 800 р?
6. Цена на некоторый товар была повышена на 44%. После этого в результате двух последовательных одинаковых снижений цена на товар оказалась на 19% меньше первоначальной. На сколько процентов было осуществлено понижение каждый раз?

Для решения задач такого типа необходимо ввести формулу. Это можно сделать на примере решения задачи 1).

Вклад-х руб.

Повышение за 1 год- 3%

Доход через 4 года - ?%

Решение

Вклад через 1 год- х+0,03х

Через 2 года – (х+0,03х)+0,03(х+0,03х)=(х+0,03х)*1,03=1,03х*1,03=1,032х

Через 3 года – 1,032х+0,03*1,032х=1,032х*1,03=1,033х

Через 4 года -  1,034х

1,034х-х=1,1255х-х=0,1255х-доход через 4 года в рублях.

0,1255х:х*100=12,55% - доход за 4 года

Если ввести буквенные обозначения, то получим формулу для нахождения величины вклада через n лет при α% годовых х(1+0,01α)n. Если происходит несколько последовательных одинаковых снижений, то формула выглядит так

Х(1-0,01α)n.

Эту формулу можно применить при решении остальных задач. Например 6).

Первоначальная цена – х р.

Цена после повышения – 1,44х р.

Цена после двух снижений-1,44х(1-0,01α)2 р.

По условию задачи 1,44х(1-0,01α)2 + 0,19х=х

                                    Х(1,44(1-0,01α)2+0,19)=х

В результате решения получим α=25

Ответ: цена снижалась на 25%.

                                  Литература.

Материал к занятиям был подобран по материалам газеты “Математика” приложение к “Первое сентября”