Конспект урока "Формулы приведения" (урок 1)
план-конспект урока по алгебре (10 класс) на тему

ГБОУ СОШ №183 Центрального района Санкт-Петербурга

Конспект урока

 по алгебре и началам анализа

 для 10 класса

 на тему:

«Формулы приведения»

(Урок первый)

                                                                                                                    Исполнитель:

                                                               Учитель математики

                                                                             Шарко Тамара Валентиновна

Санкт  - Петербург

2015 год

I. Тип урока: Изучение нового материала

II. Цели и задачи урока:

            Обучающие

• Продолжить овладение системой математических знаний и умений, необходимых для продолжения образования;
• повторить свойства тригонометрических функций, свойства вращательного движения;
• продемонстрировать с помощью визуального дидактического материала основные этапы получения (вывода) формул приведения, опираясь на симметрию вращательного движения;
• «открыть» мнемоническое правило для запоминания формул приведения;
• показать возможность применения формул для упрощения тригонометрических выражений;

Развивающие

• Расширять кругозор и познавательный интерес учащихся;
• создать ситуацию, при которой каждый из учащихся приобщился бы к активной познавательной деятельности;

      Воспитательные

• Формировать интерес к изучению математики и смежных дисциплин на материале темы урока;
• Воспитывать культуру математической речи.

III. Примененные технологии урока:

• Информационно-коммуникативные технологии
• Технология гуманитаризации
• Здоровьесберегающие технологии

IV. Оборудование:

• Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11.Учебник для образовательных учреждений базовый уровень/ Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин  и др.- М.: Просвещение,  2014 .
• Персональный компьютер;
• Мультимедийный проектор; экран;
• Стенды,  оформленные по теме урока.

V. Программное обеспечение: MS Office Power Point

VI. План урока:

VII. Ход урока:

1. Организационный момент.

Приветствие, сообщение учащимся темы и цели урока.

2. Повторение и обобщение изученного материала.

Повторение изученного ранее (синус, косинус, тангенс и котангенс углов α и – α; таблицу значений тригонометрических функций; знаки тригонометрических функций; поворот точки вокруг начала координат)

1. Пусть значение α мало и положительно (0˂α˂π/2)

        а) Определите, в какой четверти лежит угол?

1) 3π/2 – α                III

2)  π – α                II

3) 2π – α                IV

4) 2π + α                I

5)  π + α                III

Повторить!

Чтобы определить положение точки на окружности, необходимо знать:
- угол поворота;

- направление движения.

В качестве положительного направления движения выбирают движение против часовой стрелки.

б) Определите знак данного значения функции:

1)  sin (π – α)                        +

2)  cos (3π/2 – α)                -

3)  tg (2π – α)                        -

4)  ctg (2π + α)                +

5)  cos (π + α)                        -

        Информационная схема

Информационная схема 1.

        Устно

 Информационная схема

  2. Вычислите                                                        

а)  cos (-600)                0,5

б)  sin (-450)                - √2/2

в)  ctg ( -π/4)                -1

г) cos 1350                - √2/2

3. Актуализация знаний. Создание проблемной ситуации. Изложение нового материала.

Устное  решение задач на нахождение значений тригонометрических функций. В трех случаях учащиеся могут выполнить поставленную задачу, применяя различные знания и способы решений. В четвертой задаче учащиеся сталкиваются с проблемной ситуацией, которая указывает на необходимость получения новых математических знаний.      

Учитель сообщает о том, что новый факт, который поможет справиться с задачей – это и есть формулы приведения.        

III. Изложение нового материала.

Тема урока: «Формулы приведения»

Определение: Формулами приведения называются соотношения, с помощью которых значения тригонометрических функций аргументов π/2 ±α; π ±α;

3π/2±α; 2π ±α

выражаются через значения sin α, cos α, tg α, ctg α.

Цели урока на уровне ученика:

- наблюдая свойства вращательного движения точки по окружности, «открыть» (получить) формулы приведения;

- «открыть» правило для их запоминания;

- учиться применять формулы приведения для упрощения тригонометрических выражений.

Когда мы находим значения тригонометрических функций с помощью единичной окружности, мы используем уже известные табличные значения.

Обратим внимание, что таблица значений тригонометрических функций составлена для углов от 0° до 90°. Это объясняется тем, что значения тригонометрических функций для остальных углов сводятся к значениям тригонометрических функций для острых углов. А формулы, которые позволяют сделать это, называются формулами приведения.

Формулы приведения

Формулы приведения необходимы для того, чтобы привести вычисления значений тригонометрических функций для любого аргумента к вычислению тригонометрический функций для аргумента [0; π/2]

Формулы приведения основаны на симметрии вращательного движения (см информационная схема «Свойства вращательного движения»)

1.    Докажем, что для любого α

sin (α+2 πk) = sin α,      cos (α+2 πk) = cos α ,  где к принадлежит множеству целых чисел

Информационная схема (свойство 1)

Это свойство выражает периодичность вращательного движения.

Так как точка Pt совпадает на окружности с точкой Pt+2πκ , то их абсциссы и ординаты равны, поэтому равны значения.

sin (t+2 πk) = sin t,

cos (t+2 πk) = cos t

2.  Запишем в координатной форме свойство 3 вращательного движения.

Абсцисса точки  Pt+π         cos (t+π)

Абсцисса точки  Pt         cos t

Так как точки диаметрально противоположны, их абсциссы отличаются только знаком (противоположные числа).

cos (t+π)= - cos t

Ординаты диаметрально противоположных точек тоже являются противоположными числами, поэтому sin (t+π) = - sin t.

3.   Запишем в координатной форме свойство 5 вращательного движения.

Так как точки Pt  и  P-t+π    симметричны относительно оси ординат, то их ординаты равны, то есть     sin (- t+π) = sin (π- t) = sin t, а абсциссы – противоположные числа  cos (- t+π) = cos (π- t) = - cos t

4.   Ранее были получены следующие формулы

sin (π/2 – t) = cos t

cos (π/2 – t) = sin t

Формулы приведения для тангенса и котангенса получаются как следствие полученных формул для синуса и косинуса.

tg (t+2 πk) = tg t ,                ctg (t+2 πk) = ctg t

Формул приведения много, а точнее 32. И все формулы надо знать. К счастью существует простое мнемоническое правило, позволяющее быстро воспроизвести любую формулу приведения. Правда для этого надо хорошо знать основы тригонометрии – единичную окружность и способы работы с ней.

Задание для учащихся: внимательно просмотрите формулы приведения и заметьте сходство и различия в них.

1. Каждая формула связывает между собой либо синус с косинусом, либо тангенс с котангенсом. Причём, первая функция либо меняется на вторую, либо нет.

В левой части формулы аргумент представляет собой сумму или разность одного из «основных координатных углов»: π/2 ; π ; 3π/2; 2π и острого угла α, а в правой части аргумент α.

2. В правой части знак перед функцией либо «плюс», либо «минус».

Мнемоническое правило (мнемоника – искусство запоминания).

Достаточно задать себе два вопроса:

1. Меняется ли функция на кофункцию?
Ответ: Если в формуле присутствуют углы π/2   или  3π/2 -  это углы вертикальной оси, киваем головой по вертикали и сами себе отвечаем: «Да», если же присутствуют углы горизонтальной оси π или 2π, то киваем головой по горизонтали и получаем ответ: «Нет».

2. Какой знак надо поставить в правой части формулы?
Ответ: Знак определяем по левой части. Смотрим, в какую четверть попадает угол, и вспоминаем, какой знак в этой четверти имеет функция, стоящая в левой части.

Для применения формул приведения необходимо помнить правило:

Название функции не меняется, если к аргументу левой части добавляется – π или + π, меняется, если добавляются числа ± π/2   или ± 3π/2.

Знак в правой части определяется знаком левой при 0˂ t ˂π/2.

IV. Тренинг по формулам приведения. Отработка мнемонического правила.

Упростите выражение

1. cos (π/2 – α)        = sin α
2. sin (π + α)        = - sin α
3. ctg (3π/2 – α)        = tg α
4. tg (3π/2 + α)        = - ctg α
5. sin (2π – α)        = - sin α

V. Тест “Формулы приведения»

Упростите выражение для угла α

VI. Найдите ошибку                          

1) sin (3π/2 + α) = - sin α                              1) sin (3π/2 + α) = - cos α                           

2) tg (π + α) = - tgα                                        2) tg (π + α) =  tgα

3) cos (π/3 + α) = sin α                                 3) cos (π/3 + α) = нет формулы приведения, так как к  аргументу левой части добавляется π/3

 VII. Софизм – умышленное ложное умозаключение с замаскированной ошибкой.

Софизм – от греческого σοφιδμα – уловка, выдумка, головоломка.

Софизм   π/4 = 0 ?!          Найдите ошибку.

1 + sin π/4 - cos π/4 = tg π/4

1 + sin π/4 - cos π/4 = (sin π/4): (cos π/4)

 cos π/4 +sin π/4 cos π/4 – cos2 π/4 = sin π/4

cos π/4 (sin π/4 - cos π/4) = sin π/4 - cos π/4

cos π/4 =1

π/4 = 0?!

Так как sin π/4 = cos π/4,  sin π/4 - cos π/4 = 0,   (cos π/4) 0 = 0

Список литературы

• Учебник: Алгебра и начала математического анализа 10-11.Учебник для образовательных учреждений базовый уровень/ Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин  и др.- М.: Просвещение,  2014 .
• М.И. Башмаков Математика 10 класс (базовый уровень) книга для учителя –М.: Издательский центр «Академия», 2008
• Дидактические материалы. 10 класс. Базовый уровень. Автор: Шабунин М.И., Ткачева М.В.
• Резник Н.А. Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла// Математика в школе, 2003.-№8
• Резник Н.А. Визуальные уроки. Комплект дидактических материалов к школьным урокам. – СПб.: Свет, 1996

Список источников иллюстраций

• Математика: алгебра и начала математического анализа, геометрия: учеб. для студ. учреждений сред. проф. образования / М.И.Башмаков. – 3-е изд., стер. – М. : Издательский центр «Академия», 2017 г. – 256 с., с. 93-98.