конспекты занятий
план-конспект занятия по алгебре (10 класс)

                                     Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                 Занятие 1 (2 часа)

                           «Целые и рациональные числа. Действительные числа»

                                                     2015 год

                                                  ЗАНЯТИЕ 1

                 ТЕМА: «Целые и рациональные числа. Действительные числа».

Число – это абстракция, которая используется для количественной  характеристики объектов. Нет нигде окружающей нас обстановке числа «5», но есть предметы, число которых равно пяти…..

Число это важнейшее математическое понятие.

Для решения задач и доказательства теорем, необходимо понимать, какие  бывают виды  чисел.

Основные виды чисел: натуральные, целые числа, рациональные числа, действительные числа.

Натуральные числа - это числа, получаемые при счете предметов. Множество натуральных чисел обозначается латинской буквой ={1,2,3,4…}.

Целые числа - это числа из множества {…-3,-2,-1,0,1,2,3…. }.Это множество состоит из трех частей – натуральные числа, целые отрицательные числа (противоположные натуральным числам) и 0 (нуль).  Целые числа обозначаются латинской буквой Z.

Z = {…-3,-2,-1, 0,1, 2, 3,…}.

Рациональные числа – это числа вида , целое число, натуральное число. Для обозначения рациональных чисел используется латинская буква .

Все натуральные и целые числа являются рациональными числами.

2;     5;      ;      ;     ;      2,5;     ;      ;      23,146565…;    -  -    рациональные числа.

Вопросы по теме:

1. Какие арифметические действия выполнимы на множестве натуральных чисел? (+ и *)
2. Какие арифметические действия выполнимы на целых  чисел? (+,*,-)
3. Какие арифметические действия выполнимы на множестве рациональных чисел?( все 4).

Пример 1. Записать число в виде  бесконечной десятичной дроби.

Решение

Используем алгоритм деления уголком:

                      -27  | 11

                        22 |2,4545…

                         -50

                           44

                            -60

                             55

                              -50

                                44

                                 -60

                                   55

Видим остатки повторяются, поэтому в частном повторяется одна и та же группа цифр: 45, ее называют периодом, а бесконечную десятичную дробь 2,4545… называют бесконечной десятичной периодической дробью, которую записывают так: 2,(45).

Следовательно .

2,(45)-читают: «Две целых и 45 в периоде»

Примеры рациональных чисел:

1)

 Рациональное число  можно записать в виде  бесконечной десятичной периодической дроби 0,16666…, период которой равен 6. Эту периодическую дробь коротко можно записать так: 0,1(6),  читается: «Ноль целых, одна десятая и шесть в периоде»;

2) 2,5=2,50000…=2,5(0)

Конечную  десятичную  дробь 2,5 можно записать в виде бесконечной десятичной периодической дроби с нулем в периоде 2,50000…. Эту периодическую дробь коротко можно записать  так: 2,5(0), читается: «Две целых, пять десятых и ноль в периоде»;

3)  (читается: «Ноль целых и 216 в периоде»);

4)  (читается: «Ноль целых и три в периоде»);

5)  23,146565…=2,14(65) (читается: «23 целых, 14 сотых и 65 в периоде»);

 6) - - рациональное число,  конечная десятичная отрицательная дробь;

Каждое рациональное число может быть представлено в виде бесконечной десятичной периодической дроби, справедливо и обратное.

Пример 2. Представить бесконечную десятичную периодическую дробь 0,2(18) в виде обыкновенной.

Решение.

Пусть , так как в записи этого числа до периода содержится только один десятичный знак, то умножим обе части равенства на 10, получим

1018…(1)

Период этой дроби состоит из двух цифр, поэтому, умножая обе части равенства (1) на 10, находим

10001818…(2)

Вычитая из равенства (2)  равенство (1), получаем

990,   (делим числитель и знаменатель на 18).

Пример 3. Обратить периодическую дробь  1,31(12) в обыкновенную.

0,2(18)=0,2181818…=

1,31(12) = 1,31121212…=1.

Определение. Чтобы обратить периодическую дробь в обыкновенную, надо из числа, стоящего до второго периода, вычесть число стоящее до первого периода, и записать эту разность в числитель, а в знаменателе написать цифру  9 столько раз, сколько цифр в периоде, и после девяток дописать столько нулей, сколько цифр стоит между запятой и первым периодом.

Иррациональные числа.

Бесконечная десятичная непериодическая дробь называется иррациональным числом. Например:

1) =1,4142135…;

2)-=-1,7320508…;

3),1415…;

4)-0,101001000100001… отрицательная дробь, в которой после первой цифры1 стоит 1 нуль; после 2-ой цифры 1 стоят 2-а нуля,….

Множество иррациональных чисел обозначается латинской буквой  J. Иррациональные числа могут быть как положительными, так и отрицательными.

Действительные числа.

Множество всех рациональных и всех иррациональных чисел называется множеством действительных чисел (вещественных чисел).

Действительные числа обозначаются латинской буквой R.

Действительное число может быть положительным, отрицательным или равным нулю.

Как выполняются действия над конечными десятичными дробями, мы знаем.

Арифметические операции над действительными числами, т.е. бесконечными десятичными дробями, обычно заменяются операциями над их приближениями.

Все основные законы и правила действий над рациональными числами сохраняются и для действительных чисел (переместительный, сочетательный, распределительный законы, правило сравнения и т.д.)

Геометрически действительные числа изображаются точками числовой прямой. Между точками и действительными числами установлено взаимнооднозначное соответствие

Пример 4. Вычислить приближенное значение c точностью

а) до единицы,

б) одной десятой,

в)  одной сотой.

Решение.

С помощью микрокалькулятора находим =1,4142135…;=1,7320508… .

Поэтому с точностью до единицы

,1,

с точностью до одной десятой

,14,1,

с точностью до одной сотой

,146,15,

Числа 3;  3,1;  3,15 – последовательные приближения значения суммы (первые два с недостатком, третье с избытком).

Пример 5. Найти произведение  с точностью до 0,1

Решение

1,41*1,73=2,43932,4

Приближенное значение произведения с недостатком.

Практическая работа.

Выполнить упражнения №1(2,4),   2(2,4), 3(2),  4(2), 5(2)

Упражнение 1 (2,4). Записать в виде десятичной дроби

2)         4)-   6)

Упражнение 2 (2,4). Выполнить действия и результат записать в виде десятичной дроби.

2).

Упражнение 3 (2). Записать в виде обыкновенной дроби бесконечную десятичную дробь.

2)1,(55) =1.

Упражнение 4 (2).  Вычислить.

Упражнение 5 (2). Вычислить.

0,364::0,125+===

Домашнее задание: выполнить упражнения №1(1,3),   2(1,3), 3(3),  4(1).

                                     Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                 Занятие 2 (2 часа)

                                     Приближенные вычисления.

                         Абсолютная и относительная погрешности

                                                     2015 год

                                            ЗАНЯТИЕ 2

        Приближенные вычисления. Абсолютная и относительная погрешности.

I.Лекция

Пусть - точное значение некоторой  величины;

3,2 - приближенное значение числа с недостатком;

 - приближенное значение числа с избытком.

Определение. Модуль разности точного и приближенного значений величины называется абсолютной погрешностью приближения, обозначается (дельта).

=0,083 – абсолютная погрешность приближения с недостатком;

- абсолютная погрешность приближения с избытком.

Сравним абсолютные погрешности приближений<, получим, что

 лучшим из двух приближенных значений числа является его приближение с избытком, так как  оно меньше отличается от .

Абсолютная погрешность приближенного значения показывает, на сколько выбранное приближенное значение отличается от точного значения.

На координатной прямой  расстояние между точками с координатами и меньше, чем расстояние между точками с координатами и .

                            3,2                         3,283        3,3

Пусть - точное значение некоторой величины; - приближенное значение величины.

Если абсолютная погрешность приближения не превосходит , т.е. выполняется условие

,то число называют приближенным значением числа с точностью до , т.е.

                                                      -;

                                                          -число заключено в этих пределах,

Кратко записывают так:.

Пример 1. Найти границы, в которых заключено число , если =

Решение.

12,7-приближенное значение числа с точностью до 0,5, т.е. отличается от 12,7 не более чем на 0,5, значит

12,7-0,5;

12,2 - число заключено в этих границах.

Пример 2. Известно, что 2,6.  Взяв за приближенное значение числа среднее арифметическое границ, определить, с какой точностью получено это приближение.

Решение.

1. Найдем полусумму границ: (2,9+2,6):2=5,5:2=2,75
2. Абсолютная погрешность приближенного значения не превосходит полуразности чисел 2,9 и 2,6.

          Так как (2,9-2,6):2=0,15, то

                             Относительная погрешность

Пусть измерены в сантиметрах толщинакниги и длинакнижной полки:

  (1)          (2).

Каждое из измерений произведено с точностью до 0,5. Однако ясно, что абсолютная погрешность в 0,5 см по отношению к 6см слишком велика, а по отношению к 200см менее существенна, т.е. качество второго измерения выше, чем качество первого.

Показателем качества измерения или вычисления служит относительная погрешность приближения, обозначается (эпсилон).

Пусть - точное значение некоторой величины; - приближенное значение , тогда относительная погрешность приближения равна:

Определение. Отношение абсолютной погрешности приближения к модулю приближенного значения величины, называется относительной погрешностью приближения.

Пример 3. При округлении числа 0,2517 до сотых было получено приближение  0,25. Найти относительную погрешность округления.

Решение.

- точное значение;

- приближенное значение.

.

Относительную погрешность принято выражать в процентах. В нашем примере относительная погрешность округления равна 0,68%. Чем меньше относительная погрешность, тем точнее приближенный результат.

II.   Проверка домашнего задания:  №1 (1,3),   2(1,3), 3(3),  4(1)

3. Практическая работа

1. Записать периодическую дробь в виде обыкновенной 0,(36)=

3.  Вычислить: (=2,26

4.  Известно, что 3,5Х3,9. Взяв за приближенное значение  числа Х среднее  

      арифметическое границ, определить с какой точностью получено это приближение.

5. При округлении числа  0,4613 до сотых было получено приближение 0,46. Найти  

      относительную погрешность округления.

6. Найти границы, в которых заключено число Y , если Y=52,80,4

                                    Домашнее задание

1. Записать периодическую дробь в виде обыкновенной 1,(72)=1

  2.   Вычислить: -14  =0

  3.  Известно, что 1,5Х1,9. Взяв за приближенное значение  числа Х среднее  

      арифметическое границ, определить с какой точностью получено это приближение.

 4. При округлении числа  0,7612 до сотых было получено приближение 0,76. Найти  

      относительную погрешность округления.

5. Найти границы, в которых заключено число Y , если Y=35,80,6

                                               Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                 Занятие 3 (2 часа)

                    Практические приемы приближенных вычислений

                                                     2015 год

                                                  Занятие 3

                        Практические приемы приближенных вычислений

I.Лекция

Определение. Цифра какого-либо разряда в записи приближенного значения числа называется верной, если абсолютная погрешность приближения не превосходит единицы этого разряда.

Рассмотрим пример

Цифра разряда десятых в записи числа является первой справа верной цифрой, так как граница абсолютной погрешности не превосходит единицы этого разряда (0,05>0,001   0,05>0,01  но 0,05<0,1)  

Верными цифрами  являются также все цифры, расположенные левее 73,642.

За приближенное значение числа  берут 73,6, полученное в результате округления до десятых, т, е.до первой (справа) верной цифры.

Приближенное значение принято записывать так, чтобы все цифры в записи числа были верными.

Абсолютная погрешность этого приближения не превосходит 0,1, значит =73,60,1

Пример 1.Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:

1)    (все верные, 0,0004<0,001);

2) 5,742       

3) 8,327

4) 0,302

Пример 2. В записи приближенного значения числа  все цифры верные, найти абсолютную погрешность и записать число :

1);      

2) ;

3) .

Решение

1. В записи числавсе цифры верные, поэтому   абсолютная погрешность не превосходит 0,1, т.е.

;

2. . В записи числавсе цифры верные, поэтому   абсолютная погрешность не превосходит 1, т.е.

;

3. . В записи числавсе цифры верные, поэтому   абсолютная погрешность не превосходит  т.е. =.

                       Сложение и вычитание приближенных значений чисел

Пример 3.  Найти сумму чисел где , , , причем в записи приближенных значений слагаемых все цифры верные.

Алгоритм сложения.

1. Выделим слагаемое с наименьшим числом десятичных знаков. Таким слагаемыми является число .

2. Округлим остальные слагаемые, сохраняя в них на один десятичный знак больше, чем в выделенном слагаемом:        .

3.Выполним сложение приближенных значений чисел

                                  3,14+2,72+7,4= 13,26

4. Результат округлим, оставляя в нем столько десятичных знаков, сколько их было в выделенном слагаемом:    

  Аналогично поступают, когда выполняется действие вычитание.

II. Проверка домашнего задания                         

Устная работа и по рядам:

а) сформулировать определение абсолютной погрешности, записать на доске формулу;

в) сформулировать определение относительной погрешности, записать на доске формулу

1. Записать периодическую дробь в виде обыкновенной 1,(72)=1

  2.   Вычислить: -14  =0

  3.  Известно, что 1,5Х1,9. Взяв за приближенное значение  числа Х среднее  

      арифметическое границ, определить с какой точностью получено это приближение.

 4. При округлении числа  0,7612 до сотых было получено приближение 0,76. Найти  

      относительную погрешность округления.

5. Найти границы, в которых заключено число Y , если Y=35,80,6

                .

III.      Практическая работа

Выполнение упражнений:  6,  8(1,2),  9(1), 10(1), 12 (1) (стр. 10)

6. Самостоятельная работа по вариантам.

5. Домашнее задание.

1. Найти сумму чисел , , в записи чисел все цифры верные.
2. Найти разность чисел , , в записи чисел все цифры верные.
3. В записи приближенных значений чисел все цифры верные. Укажите границу абсолютной погрешности:

                                  a); в) .

            4. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:

а) ;

в) .

5.

                                              Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                 Занятие 4 (2 часа)

                           «Умножение и деление приближенных значений чисел»

                                                     2015 год

                                               Занятие 4

                        Умножение и деление приближенных значений чисел

Определение. Значащими цифрами называют все верные цифры в записи числа, кроме  нулей, стоящих перед первой отличной от нуля цифрой.

Примеры: определить значащие цифры.

1);  2);  3); 4) ; 5); 6).

В записи каждого из чисел все цифры верные.

Решение.

1)В записи приближенного значения все цифры являются значащими;

2) В записи приближенного значения значащими являются только три цифры    3,4,2;

3) В записи приближенного значения  значащими являются цифры 5,0,7,0;

4) В записи приближенного значения  значащими являются цифры 2,8,7;

5) В записи приближенного значения  значащими являются цифры 3,5,1,0,4;

6) В записи приближенного значения  значащими являются цифры 2,8,1,0;

                          Алгоритм умножения (деления)

Пример1.

 Найти произведение чисел и , где и .

В записи приближенных значений чисел все цифры верные.

1. Выделим множитель с наименьшим числом значащих цифр. Таким множителем является число 0,73 (две значащие цифры).
2. Округлим множитель 0,4267 так, чтобы в нем осталось на одну значащую цифру больше, чем в множителе с наименьшим числом значащих цифр: 0,42670,427.
3. Перемножим полученные числа:
4. Округлим результат так, чтобы в нем было столько значащих цифр, сколько значащих цифр содержится в множителе с наименьшим числом значащих цифр:.

Таким образом.

Аналогично поступают когда выполняется действие деление.

Пример 2. Найти произведение чисел и , где и .

В записи приближенных значений чисел все цифры верные

        .

                                  Домашнее задание

1. Найти произведение чисел и , где и .

В записи приближенных значений чисел все цифры верные

2. Найти произведение чисел и , гдеи .

В записи приближенных значений чисел все цифры верные.

         3. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:

1) ;

2) ;      

3);

4).

5. В записи приближенных значений чисел все цифры верные. Укажите границу абсолютной погрешности:

a);

в) .

6. Найти сумму чисел , , в записи чисел все цифры верные.

6. Найти разность чисели , в записи чисел все цифры верные.

     .

                                       Дополнительно

                      1.Вычислить:

                                    : (=

         2. Выполнить упражнения  Ш.А.Алимов, стр. 10, № 9 (2,4,6),12 (1)

                                                          Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                 Занятие 5 (2 часа)

               Бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия

                                                     2015 год

                                            Занятие 5

               Бесконечно-убывающая геометрическая прогрессия

                                                                       
Например:                                                                                  знаменатель равен  q=

                                                                                                     знаменатель равен  q=

С возрастанием номера члены прогрессии становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю. Поэтому каждая из прогрессий (1) и (2) называется бесконечно-убывающей.

Определение. Геометрическая прогрессия называется бесконечно убывающей, если модуль ее знаменателя меньше единицы, т.е.<1   или   -1<<1.

Сумма S бесконечно убывающей геометрической прогрессии вычисляется по формуле

Задача 1.

Задача 2.        

Задача 3.

 Домашнее задание  Ш. А. Алимов, стр.15-16, №№14-20(2)































                         

                     Проверка домашнего задания. 

                                  Домашнее задание

1. Найти произведение чисел и , где и .

В записи приближенных значений чисел все цифры верные

2. Найти произведение чисел и , гдеи .

В записи приближенных значений чисел все цифры верные.

         3. Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа:

1) ;

2) ;      

3);

4).

1. В записи приближенных значений чисел все цифры верные. Укажите границу абсолютной погрешности:

a);

в) .

6. Найти сумму чисел , , в записи чисел все цифры верные.

2. Найти разность чисели , в записи чисел все цифры верные.

     .

                                       Самостоятельная работа

                                            Билет №

1) Вычислить:


2). Найти произведение чисел U и V (в записи приближенных значений все цифры верные)

U0,3175 и V0,62

3).Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа Х:

а) у = 6111

б) у = 1379 10

в) у = 2,725  0,0001

                           Билет №

1) Вычислить:

2) Найти произведение чисел U и V (в записи приближенных значений все цифры верные)

U0,4365 и V0,72

3).Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа Х:

а) у = 4112

б) у = 139 10

в) у = 2,7256  0,0001

                                   Билет №

1) Вычислить:

2) Найти произведение чисел U и V (в записи приближенных значений все цифры верные)

U1,3165 и V0,32

3).Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа Х:

а) у = 111

б) у = 137 10

в) у = 2,75  0,001

                                  Билет №

1) Вычислить: (=5

2). Найти произведение чисел U и V (в записи приближенных значений все цифры верные)

U0,3165 и V0,52

3).Укажите верные цифры в записи приближенного значения числа Х:

а) у = 16101

б) у = 1376 10

в) у = 2,625  0,01

                                                          Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                         Занятие 6

                                                          Комплексные числа

                                                     2015 год

                                  Занятие 6

                                                          Комплексные числа

1. Лекция

Не всякое квадратное уравнение имеет корни среди действительных чисел, например, уравнение или  не имеет корней, так как нет такого действительного числа, квадрат которого был бы равен -1.

Поэтому и были введены, так называемые мнимые числа. Введем новое число  мнимую единицу, квадрат его равен -1, т.е.

или .

Множество действительных и мнимых чисел составляют множество комплексных чисел.

В множестве комплексных чисел можно по обычным правилам выполнять арифметические действия.

Определение. Числа вида , где и два действительных числа, называют комплексными числами.

Число - называют действительной частью комплексного числа,

- мнимой частью комплексного числа, - коэффициент при мнимой части.

Пример

1) ();         2)   ().

                                      Равные комплексные числа

Определение. Равенство двух комплексных чисел =возможно тогда и только тогда, когда   и  , т.е. если равны в отдельности их действительные и мнимые части.

Если , то комплексное число обращается в чисто мнимое число ;

Если , то комплексное число  становится действительным числом .

Например:

1);

2) .

Введение комплексных чисел делает возможным решение квадратных уравнений с отрицательным дискриминантом.

Например: решить уравнение  - это уравнение имеет два комплексных корня:

;      и .

                    Геометрическое представление комплексных чисел

Комплексное число  принято изображать точкой  на координатной плоскости; абсцисса этой точки равна действительной части , ордината равна , т.е. коэффициенту при мнимой части.

Например:

1. комплексное число  можно изобразить точкой на координатной плоскости, абсцисса которой равна 3, ордината равна 4;
2. комплексное число  можно изобразить точкой на координатной плоскости, абсцисса которой равна -3, ордината равна 2.

Установлено взаимнооднозначное соответствие между точками координатной плоскости  и множеством комплексных чисел.

                                  Сложение комплексных чисел

Пусть даны два комплексных числа:   и   сложение комплексных чисел осуществляется по правилу:  .

Отдельно складываются действительные и мнимые части комплексного числа.

                                  Вычитание комплексных чисел

Для комплексного числа  существует противоположное ему число   -().

При вычитании двух комплексных чисел отдельно вычитают их действительные и мнимые части.

Пусть даны два комплексных числа:  и , тогда разность .

Примеры.

1)  = =;

2)   (;

3)   (.

                        Умножение комплексных чисел

Два комплексных числа перемножаются по обычному правилу умножения многочленов; в полученном результате заменяют   и отделяют действительную часть от мнимой части.

Пример

1) ;

2)  .

                                 Деление комплексных чисел

Определение. Числа вида и , отличающиеся лишь знаком при мнимой части, называются комплексно-сопряженными.

Свойство. Сумма и произведение двух комплексно-сопряженных чисел, есть всегда действительное число.

 Деление комплексных чисел  при         осуществляется с помощью умножения делимого и делителя на число комплексно- сопряженное делителю.

Пример

Выполнить деление  =====.

Пример. Выполнить деление чисел (самостоятельно)

.

Домашнее задание:

I. Лекция (выучить).

II. Выполнить действия:

1);

2);

3) (;

4) ;

5);

6)

                                                                                                      Учебные пособия для занятий по математике:

      Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

      Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                  Занятие 7

                  Арифметический корень натуральной степени

                                                     2015 год

                                       Занятие 7

                  Арифметический корень натуральной степени

I.Лекция.

Задача 1. Решить уравнение , запишем уравнение в виде   или (.

Так как , то , откуда . Итак, уравнение  имеет два действительных корня. Их называют корнями четвертой степени из числа 81, а положительный корень (число 3) называют арифметическим корнем четвертой степени из числа 81 и обозначают

Уравнение , где натуральное число, - неотрицательное число, имеет единственный неотрицательный корень, который называют арифметическим корнем - степени.

Определение. Арифметическим корнем натуральной степени 2 из неотрицательного числа называется неотрицательное число, - я степень которого равна

Арифметический корень -й степени из числа обозначается так:. Число называют подкоренным выражением.

Арифметический корень второй степени называют квадратным корнем, а корень третьей степени - кубическим корнем, об арифметическом корне - ой степени, кратко говорят: «Корень - ой степени».

Доказать, что .

Докажем на основании определения:

1) 4; 2) .

Из определения арифметического корня следует, что если,то   и    .

Например:  ;    .

Действие, посредством которого отыскивается корень - ой степени, называется извлечением корня - ой степени. Это действие является обратным действию возведения в - ю степень.

Задача 2. Решить уравнение

Решение. Запишем уравнение в виде , или (;

(, т.к. , то , т.е.- арифметический корень третьей степени из 8, т.е..

Задача 3. Решить уравнение .

Решение . Запишем уравнение в виде , или (;

(, т.к. , то , т.е.- корень кубический

 из числа -8 и обозначают так или .

Уравнение , при 0,  и нечетном натуральном, имеет только один отрицательный корень.

Задача 4 .

Решение

II.  Практическая работа:

Ш.А. Алимов №№ 28(1,3), 29(1,3),30(3,5), 31(1,3), 32(1,3).

III. Домашнее задание:

1. Ш.А. Алимов, п.4+ лекция (выучить);
2. №№28-32(4).

              Учебные пособия для занятий по математике:

    Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

    Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                               Занятие 8

         Свойства арифметического корня n-степени

                                    2015 год

                       Занятие 8

Свойства арифметического корня n-степени

I.Лекция

Арифметический корень n-ой степени обладает следующими свойствами: если ,>0, а
- натуральные числа, причем, то





     
            5.   , отметим что в свойстве 1 число может также быть равным 0;

                                                     в свойстве 3 число может быть любым целым, если .

Отметим еще одно свойство арифметического корня четной степени.

При любом  справедливо равенство

           , где - натуральное число.

Рассмотрим примеры применения свойств арифметического  корня

Задача 1










Задача 2

                         II.  Практическая работа:

                     Ш.А.Алимов №№ 33(3), 34-45(4).

III.Домашнее задание: п.4+Лекция (выучить); №№ Ш.А.Алимов №№ 33-45(2).

                  Учебные пособия для занятий по математике:

    Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

    Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                         Занятие 9

        Преобразование рациональных, иррациональных выражений

                                              2015 год

                                                   Занятие 9

        Преобразование рациональных, иррациональных выражений

1. Проверка домашнего задания:

1) Устный опрос свойств арифметического корня n- ой степени (на доске, записать и сформулировать все 6 свойств)

Арифметический корень n-ой степени обладает следующими свойствами: если ,>0, а
- натуральные числа, причем, то




            5.   , отметим что в свойстве 1 число может также быть равным 0;

                                                     в свойстве 3 число может быть любым целым, если .

Отметим еще одно свойство арифметического корня четной степени.

  При любом  справедливо равенство  , где - натуральное число.

2)Письменная проверка домашнего задания с объяснением №№33-45(2) (на отметку).

2. Практическая работа

Ш.А.Алимов; выполнение №№ 46(1,3); 47(4); 48(1); 49(4), 50(1); 51(4); 52-54(1).

III. Домашняя работа:

Ш.А.Алимов; выполнение №№ 46-54(2)

                  Учебные пособия для занятий по математике:

    Авторы: Ш.А. Алимов, Ю.М.Колягин и др. «Алгебра и начала анализа 10-11, 2011г.»;

    Авторы: Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов и др.   «Геометрия 10-11, 2011 г.».

                                                         Занятие 10

        Преобразование рациональных, иррациональных выражений

                                              2015 год

                                                   Занятие 10

        Преобразование рациональных, иррациональных выражений

1. Проверка домашнего задания:

1) Устный опрос свойств арифметического корня n- ой степени (на доске, записать и сформулировать все 6 свойств)

Арифметический корень n-ой степени обладает следующими свойствами: если ,>0, а
- натуральные числа, причем, то




            5.   , отметим что в свойстве 1 число может также быть равным 0;

                                                     в свойстве 3 число может быть любым целым, если .

Отметим еще одно свойство арифметического корня четной степени.

  При любом  справедливо равенство  , где - натуральное число.

2)Письменная проверка домашнего задания с объяснением №№ 46-50(2) в группе ОПУ;

   46-52(2) в группе САД.

2. Практическая работа

Ш.А.Алимов; выполнение

                            №№51(2), 52(2),53(1),54(1),61(4),86(1), 102(1), 111(2),112(2);

III. Самостоятельная работа по вариантам.











IV. Домашняя работа:

Ш.А.Алимов; выполнение №№ 51(1), 54(3), 86(2), 111(3)