Программа дополнительного образования «Основные понятия дифференциального и интегрального исчисления и история их развития»
методическая разработка по алгебре (10, 11 класс)

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Сиверская гимназия»

ПРОГРАММА

ДОПОЛНИТЕЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ

 И ИСТОРИЯ ИХ РАЗВИТИЯ»

Учитель Бруханская Елена Александровна

 «ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО

И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ И ИСТОРИЯ ИХ РАЗВИТИЯ»

      В настоящее время исследования ученых убедительно показали, что возможности людей, которых обычно называют талантливыми, гениальными – не аномалия, а норма. Задача заключается лишь в том, чтобы раскрепостить мышление человека, повысить коэффициент его полезного действия,  наконец,  использовать те богатейшие возможности, которые дала ему природа, и о существовании  которых многие подчас и не подозревают.

       Интересу к познанию содействует также показ новейших достижений науки. Сейчас, больше чем когда-либо, необходимо расширять рамки программ, знакомить учеников с основными направлениями научных поисков, открытиями.

       Роль математики в современной науке постоянно возрастает. Это связано с тем, что, во-первых, без математического описания целого ряда явлений действительности трудно надеяться на их более глубокое понимание и освоение, а, во-вторых, развитие физики, лингвистики, технических и некоторых других наук предполагает широкое использование математического аппарата.

        Другими словами, современное понимание математики не может быть сформулировано как простое собрание имеющихся интуитивных представлений об этой науке, не может быть взято непосредственно из знакомства с теми или другими математическими теориями, то есть только на основе здравого смысла математика. Оно требует исследования истории математики, необходимо прибегнуть к исследованиям ее структуры, функции, отношения к другим наукам.

    Программа дополнительного образования –  «Основные понятия дифференциального исчисления и история их развития» предназначен для изучения вопросов, не входящих в обязательную программу математики для учащихся 10 – 11 классов математического профиля.  

      Он развивает содержание базового курса математики, что позволяет поддерживать изучение смежных учебных предметов (химии, физики) на профильном уровне или получить дополнительную подготовку для сдачи выпускного экзамена. Кроме того, данный курс способствуют удовлетворению познавательных интересов учащихся.

      Данный курс соответствует познавательным возможностям старшеклассников, предоставляет им возможность учения на уровне повышенных требований и развивает учебную мотивацию.

                                             Цели программы:

      1) Формирование у учащихся устойчивого интереса к математике.

      2) Интеллектуальное развитие учащихся, формирование качеств  

          мышления, характерных для математической деятельности.

      3) Формирование представлений о математике как части

          общечеловеческой культуры. Понимание значимости математики для

          общественного прогресса.

      4) Ориентация на профессии, существенным образом связанные с

          математикой и физикой.

                          Тематическое планирование курса:

1. Исторические сведения о возникновении и развитии основных

понятий (5 часов).

    1.1. ХII век и анализ бесконечно малых.

    1.2. Нахождение наибольших и наименьших, проведение касательных.      

           Проведение касательных с помощью кинематических соображений.

    1.3. Ньютоновы «Начала» и зарождение теории пределов. Вопросы

    обоснования у Ньютона.

    1.4. Первые печатные работы Готфрида Вильгельма Лейбница по

           дифференциальному и интегральному исчислению.

    1.5. Создание школы Лейбница.

2. Предел функции. Непрерывные и разрывные функции (4 часа).

    2.1. Предел функции. Бесконечно большая функция.

    2.2. Бесконечно малые функции. Первый и второй замечательные пределы.

    2.3. Эквивалентные бесконечно малые функции.  

    2.4. Непрерывность функций.

3. Дифференцируемые функции. Дифференциал. Производная.(15 часов).

    3.1. Приращение функции. Дифференцируемость функции в точке.

    3.2. Производная функции. Связь между непрерывностью и

           дифференцируемостью функции.

    3.3. Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций.

    3.4. Дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.

    3.5. Применение производной и дифференциала для решения

           геометрических и физических задач.

    3.6. Применение дифференциального исчисления

           3.6.1. Связь между скоростью изменения функции и ее производной.

           3.6.2. Терема Лагранжа и ее следствия.

           3.6.3. Исследование функций с помощью первой и второй производной:

                 - правила Лопиталя;

                 - возрастание и убывание функций;

                 - признак экстремума, основанный на исследовании первой производной;

                 - признак экстремума, основанный на исследовании второй и высших производных;

                 - направление выпуклости, точки перегиба;

                 - асимптоты;

                 - наибольшее и наименьшее значения функции.

            3.6.4. Прикладные задачи на наибольшее и наименьшее значения функции.

            3.6.5. Применение дифференциального исчисления к доказательству неравенств и  решению уравнений.

      3.7. Дифференциальные уравнения.

      3.8. Кривые на плоскости.

      3.9. Формула Тейлора.

      4. Основные понятия интегрального исчисления функций одной переменной (24 часа).

      4.1.   Первообразная функция и неопределённый интеграл.

      4.2.   Геометрический смысл неопределённого интеграла.

      4.3.   Основные свойства неопределённого интеграла.

      4.4.   Метод непосредственного интегрирования.

      4.5.   Метод замены переменной (способ подстановки).

      4.6.   Интегрирование по частям.

      4.7.   Основные свойства определённого интеграла.

      4.8.   Геометрический смысл определённого интеграла.

      4.9.   Теорема Ньютона–Лейбница.

      4.10. Геометрические и физические приложения определенного интеграла.

                4.10.1. Вычисление площадей плоских фигур.

                4.10.2.Вычисление объема тела.

                4.10.3.Вычисление площади поверхности вращения.

                4.10.4. Механические приложения определенного интеграла.

       4.11. Приближенное вычисление определенного интеграла.

     Курс рассчитан на 48 часов

     В результате изучения данного курса решаются следующие задачи:

     - овладение системой математических знаний, необходимых в современном обществе для изучения других дисциплин, непосредственно связанных с математикой;

     - удовлетворение потребностей и запросов учащихся, проявляющих повышенный интерес, склонности и способности к математике.

     - формирование и развитие средствами математики интеллектуальных качеств личности.

      Данный курс обеспечен методическим материалом на базе книг:

1. Виленкин Н.Я., Куницкая Е.С., Мордкович А.Г. Математический анализ. Дифференциальное исчисление.
2. Виленкин Н.Я. Ивашев-Мусатов О.С., Шварцбурд С.И. Алгебра и математическитй анализ.
3. Виноградов И.М. Дифференциальное исчисление.
4. Письменный Д.Т. Конспект лекций по высшей математике.
5. Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Глава 14. Исторический очерк возникновения основных идей математического анализа.