Оглавление

Введение        2

Цели  и результаты обучения.        3

Логико-математический анализ темы:        0

Основные типы задач        0

Поурочное планирование темы (по учебнику под редакцией Макарычева)        2

Уроки        4

Урок 1 «Квадратный трехчлен и его корни»        4

Урок №2 «Разложение квадратного трехчлена на множители»        6

Урок 3 «Разложение квадратного трехчлена на множители»        8

Урок №4 «Подготовка к контрольной работе по теме «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители»».        10

Урок №5 Контрольная работа по теме: «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители».        12

Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена        13

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ОГЭ        15

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «Базовый»        16

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «профильный»        17

Этапы работы с теоремой о разложении квадратного трехчлена на множители:        20

Формулировка понятия «квадратный трехчлен»        23

Формулировка понятия «корень квадратного трехчлена»        23

Учебно-методический комплекс        25

Список Литературы:        26

Введение

Тема «квадратный трехчлен» занимает в курсе алгебры одно из центральных мест. В «Примерной программе основного общего образования по математике» в блок «Алгебра» включены следующие вопросы: «Многочлены, …, разложение многочленов на множители…»  квадратный трехчлен, выделение полного квадрата в квадратном трехчлене, теорема Виета, разложение квадратного трехчлена на множители, степень многочлена, корень многочлена, уравнение с одной переменной, корни уравнения, …, квадратные уравнения, квадратные неравенства… функции, понятие функции, способы задания функции, О.О.Ф, О.З.Ф, свойства функции, построение графиков функции (в том числе и квадратная функция), решение уравнений и неравенств графически, …»

В блоке «Алгебра» можно выделить 3 основных содержательно-методических линии:

• тождественные преобразования
• уравнения и неравенства
• функции, их свойства и графики

Как мы видим из «Примерной программы основного общего образования по математике» тема «Квадратный трехчлен нашла свое отражение во всех трех аспектах. Она используется при вычислениях, сокращениях дробей (то есть тождественных преобразований), при решении квадратных уравнений и неравенств, при исследовании и построении графика квадратичной функции.

Задания, где применяется данная тема включены в материалы ОГЭ (№15 в 1 части, №21 и №24 во второй части) Также данная тема может быть применена и при решении заданий из ЕГЭ (№13 и №15 во второй части ЕГЭ «Профильного»)

В учебнике алгебры под реакцией Ю. Н. Макарычев тема «Квадратный трехчлен» рассматривается подробно в 9-м классе. В учебнике под редакцией Ю. М. Колягина ей выделено меньше времени и в 8-м классе (при изучении темы «Теорема Виета»)

Однако, следует отметить, что учащиеся знакомятся с квадратным трехчленом еще в 7 классе при изучении тем «Многочлены» и «Разложение многочленов на множители». Например, в учебнике (под ред  Ю. Н. Макарычева) вводится понятие «степень многочлена» (в том числе и вторая) Поэтому и определение квадратного трехчлена у Макарычева дано, как многочлен второй степени. У Ю. М. Колягина оно определяется, как алгебраическое выражение вида ax2+bx+c, где x-переменная, a,b,c – числа, причем а≠0

В учебнике под редакцией Ю. М. Колягина в 7 классе учащиеся уже знакомятся с один из способов разложения квадратного трехчлена на множители (через формулы сокращенного умножения и вынесение общего множителя за скобки)

Например:

Или (№349)

Важно, что и в старшей школе (10-11 классы) данная тема находит свое применение при решении показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств.

Например

1. Решить уравнение

Решение: Пусть  =>  

 Нет корней

Ответ x=2

2. Решить уравнение:    

Решение: ОДЗ:

Пусть t=lgx, тогда

t-2 = 0
t=2    => lgx=2=> x=100

Ответ x=100

Цели  и результаты обучения.

Цели:
Исходя из вышеизложенного я бы выделила следующие цели обучения данной теме:

1. Развитие аналитико-логического мышления
2. Установление взаимосвязи между квадратным трехчленом и квадратичной функцией.
3. Развитие умения рационально подходить к решению поставленной задачи.
4. Упрощение восприятия и усвоения материала в старшей школе.
5. Успешная подготовка к сдаче ОГЭ и ЕГЭ

Результаты:

В результате обучения учащиеся должны понимать, что такое многочлен, его корни, как определить степень многочлена, знать формулу разложения квадратного трехчлена на множители , где x1, x2 – корни многочлена и уметь применять эту формулу при решении различных типов задач.

Логико-математический анализ темы:

Основные типы задач

Основные типы задач, где применяется тема «Квадратный трехчлен и его корни, разложение квадратного трехчлена на множители»

1. Нахождение значений выражений.

Пример: Найти значение выражения:

Решение:

=128

2. Разложение выражения на множители:

Пример: Разложить на множители:

Решение: =0 => :

3. Сокращение дробей:

Пример: сократить дробь:

Решение:

4. Решение квадратных уравнений:

Пример а)

Решение:     =>    

Пример б)

Решение:

5. Решение квадратных неравенств

Пример:

Решение:

Ответ: x  (-∞;3 (3;+ ∞)

6. Нахождение наибольшего/наименьшего значения выражения/функции

Пример:

Решение: =(x+3)2+2, тогда

:  т.к. (x+3)20, то

Дробь принимает наибольшее значение при наименьшем значении знаменателя, то есть

Ответ: 4

Поурочное планирование темы (по учебнику под редакцией Макарычева)

Уроки

Урок 1 «Квадратный трехчлен и его корни»

1. Организационный этап.

Облако слов, составленное из слов – понятий которые учащиеся уже знают и нового понятия, выделенного одним цветом. Задача учащихся понять тему урока.

2. Постановка цели и задач урока.

Цели: Ввести определение квадратного трехчлена, его корней; установить зависимость количества корней квадратного трехчлена от дискриминанта; научить выделять квадрат двучлена из квадратного трехчлена.

Задачи: научить использовать навыки самоанализа, самопроверки, научить находить и исправлять свои ошибки, научить извлекать необходимую информацию, научить вступать в диалог и аргументировать свое мнение

3.  Актуализация знаний.

Повторение темы многочлен

Вопросы:

Что такое одночлен?

Что такое многочлен?

Что такое степень одночлена?

Распределите по столбцам:

Вспомнить как решаются квадратные уравнения.

• №74 (неч) Решить уравнение: (Решает 1 учащийся на доске, учитель помогает вопросами, остальные ученики решают в тетради)

4. Первичное усвоение новых знаний.

Давайте сформулируем понятие квадратного трехчлена.

Как вы думаете, если речь идет о трехчлене, сколько должно быть слагаемых в многочлене?

Что означает понятие «Квадратный»?

Попробуете сформулировать определение квадратного трехчлена

(возможные варианты: трехчлен, где все одночлены 2 степени, трехчлен, где есть одночлен 2 степени)

Дать определение квадратного трехчлена:

Определение. Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2+bx+c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a≠0

5. Первичная проверка понимания

Задать вопросы: Почему  a≠0?
На доске выписать примеры различных многочленов и попросить учащихся найти среди ник квадратный трехчлен.

Ответ

Вопросы: Почему именно эти?

6. Усвоение новых знаний.

1. Ввести понятие корней квадратного трехчлена.

Задать устные вопросы: Что такое уравнение? Что называется корнями уравнения?

Корнями квадратного трехчлена  ax2+bx+c называются корни уравнения ax2+bx+c=0

Рассмотрим пример 1 (п3 пар2, стр 20): Найти корни квадратного трехчлена 3x2-2x-5

7. Первичное закрепление

2. Решить № 59 (а, в, д) №60 (а, в) – (59 а – решает учитель, остальное учащиеся под руководством учителя)
3. Выяснить количество корней квадратного трехчлена в зависимости от дискриминанта квадратного трехчлена на примере решение №61(а, в) №62 (а, в)
4. Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

Рассмотреть пример 2 (п3 пар2, стр 21)

Решить № 64, 65 (a, в)

8. Информация о домашнем задании, инструктаж по его выполнению.

1. Домашнее задание:

№59 (б, г, е); № 60 (б, г,); №61 (б, г,); №62(б, г,); №65(б, г,)

+ дополнительно (по желанию) №63 (сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна 0, а его свободный член в 4 раза больше старшего коэффициента. Найти корни этого трехчлена ax2+bx+c, где    

9. Рефлексия (подведение итогов занятия)

Подведение итогов занятия, выставление оценок, объявление галочек за урок (система 5 галочек оценка 5), вопросы по уроку. На специальной доске ставят галочки в одну из ячейки таблицы.

Урок №2 «Разложение квадратного трехчлена на множители»

Цели: Продолжить применение ранее изученного материала при решении задач. Вывести формулу разложения квадратного трехчлена на множители; научить применять эту формулу на практике.

Ход урока

1. Продолжение изучения темы «Выделение квадрата двучлена из квадратного трехчлена

1. Проверка Д/З  №64(б, г); №65(б, г)
2. Создание проблемной ситуации

Существует ли наименьшее значение выражения/наибольшее значение выражения?

Так как на прошлом уроке было установлено, что  то легко установить, что данное выражение будет наименьшим, если x-6=0, то есть при x=6 наименьшее значение данного выражения равно 32

3. Рассмотреть пример 3 (п2 пар 2 стр 21)

Вопросы: 1. Если 2 четырехугольника имеют одинаковый периметр, одинакова ли у них площадь? Привести пример.

        2. Установить опытным путем, что квадрат имеет наибольшую площадь, доказать этот факт.

Доказать, что из всех прямоугольников с периметром 20 см наибольшую площадь имеет квадрат.

Решение                                  Пусть a=x , тогда b=10-x

                                        Найдем Sпрямоугольника

Выделим квадрат двучлена:

при любом  x≠5 отрицательно, то сумма (-x-5)2+25 принимает наибольшее значение при x=5, то есть a=5. Тогда b=10-x=5. Значит площадь будет наибольшая, если a=b, то есть если данный прямоугольник будет квадратом.

2. Изучение нового материала

1. Создание проблемной ситуации: сократить дробь:  (наводящие вопросы: можно ли числитель разложить на множители?)

Решение

Или

Таким образом 

Вывод формулы для разложения Квадратного трехчлена на множители

 , где x1, x2 – корни квадратного трехчлена

Так как  то

Решить вышеприведенный пример эти способом и сравнить время, затраченное на решение, установив таким образом полезность данный формулы.

3. Закрепление изученного материала

Использование выведенной формулы на практике

Пример №1,2 (стр 25) +№77 (а, в,); №78 (а, в)

Вопрос: Где может быть использована данная формула?

(Ответ: при сокращении дробей)

Пример №3 (стр26) + №84 (а); №85(а)

4. Домашнее задание

№77 (б, г); №78  (б, г); №84  (б) №85 (б)

Урок 3 «Разложение квадратного трехчлена на множители»

Цели: Продолжить изучение темы; выполнить промежуточный контроль за состоянием знаний, умений, навыков учащихся с целью выявления «пробелов»; закрепить применение теоретического материала при решении задач. Продолжить развитие алгоритмического и логического мышления у учащихся

Ход урока

1. Проверка усвоения знаний

Проверочная работа

 В 4 задании ставится 1 балл если учащийся смог разложить числитель на множители.

2. Провести анализ проверочной работы, наиболее сложные задания разобрать на доске.
3. Продолжение изучения темы (связь квадратного трехчлена и функции)

(Учащиеся знают только график линейной функции)

1. Построить графики функции:  и

                        О.О.Ф. x≠5

Вопрос: В чем различие графиков этих функций

(Ответ: различна О.О.Ф., на втором графике выколота 1 точка)

4.  Домашнее задание 

№86 Чем различаются графики функций  
и построить графики этих функций.

Задание на повторение: №87, №88, №89

Урок №4 «Подготовка к контрольной работе по теме «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители»».

Цели: Закрепление полученных знаний учащимися. Развитие аналитико-логического мышления; развитие алгоритмического мышления; развитие рационального подхода к решению задач. Формирование навыка самоанализа.

Ход урока:

1. Проверка Д/З . Анализ ошибок допущенных при выполнении д/з и проверочной работы
2. Отработка полученных навыков и умений

1. Дана функция  а) f(x)=17x-51.

При каких значениях аргумента f(x)=0? Является ли эта функция убывающей/возрастающей? Почему? Что является графиком этой функции? Как его построить?

б)     те же вопросы

2. Область определения функции y= ϕ(x) отрезок [-6;5]. Найдите нули функции, промежутки возрастания/убывания, наибольшее/наименьшее значение функции.
3. Разложите на множители

а)

Какую формулу «удобнее» использовать при решения данных уравнений
ема Виета)
(Формулу когда b – четное,

4. Сократите дробь:

Вопросы:

1. Что необходимо для сокращения дроби  (разложить на множитель числитель и знаменатель)
2. Вспомните алгоритм разложения на множители:

1. Вынести за скобки общий множитель
2. Формулы сокращенного умножения
3. Способ группировки
4. Разложение квадратного трехчлена н множители

3. При каких значениях а данное выражение (дробь) не имеет смысла? Почему?

5. Cумма положительных  чисел a и b равна 50. При каких значениях a и b

Их произведение будет наибольшим?

Решение: Пусть a=x, тогда b=50-x, ab=x(50-x)

Поскольку  отрицательно при любом x≠25, наибольшее значение ab  возможно при x=25 и равно оно 625

(Вспомнить урок №2 и пример 3 стр 21)

3. Домашнее задание: Подготовиться к К/Р

Урок №5 Контрольная работа по теме: «Функции их свойства. Квадратный трехчлен, его корни разложение квадратного трехчлена на множители».

Цели: Выявление знаний и умений учащихся. Формирование навыков самоанализа и самоконтроля. Формирование навыка регулировать собственную деятельность посредством письменной речи. Формирование навыка выбора наиболее эффективного способа решения задачи. Научить организовывать выделенное на решение задачи время

Контрольная работа

Частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена

Тема «Квадратный трехчлен и его крни» имеет широкое применение в курсе алгебры в 10-11-х классах при решении показательных, логарифмических, тригонометрических уравнений и неравенств. За урок учащимся приходится решать большое количество этих уравнений и времени на нахождение корней трехчлена по формуле  нет. Поэтому в 9 классе целесообразно рассмотреть частные случаи нахождения корней квадратного трехчлена. Это можно сделать и на уроках во время изучения тем «Квадратные уравнения» и «квадратные неравенства» Можно ( и наверное – лучше) отвести для усвоения этой темы 1 занятие из элективных курсов.

1. Если

Например:

Так как 4+5-9=0, то

Следовательно

2. Если

Например:

Так как 4-5+1=0, то

Следовательно

3. Если )

Например:

Так как a=c=2, b=22+1, то

Следовательно

4. Если )

Например:

Так как a=c=3, b=-(32+1), то

Следовательно

5. Применять теорему Виета при решении неприведенных квадратных уравнений бывает неудобно (  можно воспользоваться следующим приемом

Тогда:

Например:  

6. Используя теорему Виета можно вывести еще некоторое соотношение между корнями и коэффициентами квадратного трехчлена

То есть

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ОГЭ

№15 (I часть) При решении квадратных неравенств

(314579)*

Ответ: 4

 №21 (II часть) При решении квадратных уравнений

(338632) Решите уравнение

№23 (II часть) При построении графиков

(338288)*

Построить график:

Сократим дробь:

№23 (II часть) Построение графиков

(353520)*

Сократим дробь

Построим график  и «выколем точку x=3  

Нули функции: x1=2;  x2=1

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «Базовый»

№7 при решении квадратных уравнений

(506842)**

Ответ -7

(100879)**  

Ответ: -3

№17 при решении квадратных неравенств

(511990)**

(512614)**

Использование темы «Квадратный трехчлен, его корни, разложение на множители» в заданиях ЕГЭ «профильный»

№5 (I часть) Простейшие уравнения

(№100759)** ( Решите уравнение, в ответ запишите сумму корней)

№13 (С-1, II часть)  Уравнения

(№514623)**

а) 

Пусть t=, тогда

Ответ: x1=2;      x2=

(№516779)**

а)

пусть t=, тогда

Ответ:

№15 (С-3, II часть) Решение неравенств

(№516333)** Решите неравенство

p:
q:
в.к.  

x=1:    12-6+3+1=0

Таким образом отмечаем точки:

Ответ:

*все задания взяты с сайта Д. Д. Гущина «Решу ОГЭ»

**все задания взяты с сайта Д. Д. Гущина «Решу ЕГЭ «математика базового уровня»»

***все задания взяты с сайта Д. Д. Гущина «Решу ЕГЭ «математика профильного уровня»»

Формулировка понятия «квадратный трехчлен»

1 этап: Систематизировать другие понятия, входящие в понятие «квадратный трехчлен»:
переменная, одночлен, многочлен с одной переменной, многочлен с несколькими переменными, степень многочлена

1. Предложить учащимся ответить устно на вопросы, касающиеся этих понятий

(Что такое одночлен? Что такое многочлен? Что такое степень одночлена?)

Предложить учащимся теоретическую самостоятельную работу на понимание этих понятий
Распределите по столбцам:

2 этап: Ввести термин «квадратный трехчлен»

Попросить учащихся самостоятельно сформулировать определение задавая наводящие вопросы.
Как вы думаете, если речь идет о трехчлене, сколько должно быть слагаемых в многочлене?
Что означает понятие «Квадратный»?
Обращая внимание на «необходимое» для данного понятия сформулировать определение:

Квадратным трехчленом называется многочлен вида ax2+bx+c, где x – переменная, a, b, c – некоторые числа, причем a≠0

3 этап: Проверить усвоение понятия учащимися
На доске выписать примеры различных многочленов и попросить учащихся найти среди ник квадратный трехчлен.

4 этап: Закрепить понятие «Квадратный трехчлен»

Проверить предыдущее задание и проанализировать допущенные ошибки

Формулировка понятия «корень квадратного трехчлена»

1 этап: Систематизировать другие понятия, входящие в данное понятие

Уравнение с одной переменной, корни уравнения

Задать устные вопросы: Что такое уравнение? Что называется корнями уравнения?

2 этап: Ввести понятие «корни квадратного трехчлена»

Корнями квадратного трехчлена ax2+bx+c называются корни уравнения ax2+bx+c=0

3 этап: Закрепление усвоения понятия в процессе решения практических задач

№59(а,в,д); №60(а,в); №61(а,в); №62(а,в) (задания решают учащиеся на доске, учитель контролирует процесс и помогает в случае необходимости)

4 этап: контроль за усвоением данного понятия.

Контроль будет проведен на последующих уроках во время проведения проверочной работы (3 урок по теме) и контрольной работы (5 урок по теме)

Этапы работы с теоремой о разложении квадратного трехчлена на множители:

1 этап: Актуализация ранее полученных знаний.

Вспомните алгоритм разложения многочлена на множители:

1. Вынесение общего множителя за скобки
   например:
2. Применение формул сокращенного умножения (квадрат суммы и разности, разность квадратов, куб суммы и разности, сумма и разность кубов)
   (например:
3. Применение «Группировки»
   (например:

2 этап: Мотивация изучения нового факта.

1. Предложить учащимся разложить на множители выражение:
   Решение:

Показать учащимся формулу , где  x1,x2 –корни уравнения
Выполнить разложение на множители того же выражения с помощью этой формулы:

Подчеркнуть, что применение этой формулы упрощает решение задачи.

3 этап. Доказательство

1. Привести доказательство справедливости данной формулы «справа налево» (так как это более простое доказательство)

(На этом этапе вспомнить полную теорему Виета, когда a≠0)

2. Привести доказательство справедливости этой формулы «слева направо» (пошагово)

1 шаг: вынесем старший коэффициент за скобки  

(Вспомните выше рассмотренный пример, что мы делали сначала (вынесли за скобки общий множитель)

2 шаг: Чем можно заменить . Почему?

==

3 шаг. Как разложить на множители выражение в скобках? (с помощью группировки)

4 этап: Закрепление вывода справедливости формулы

1. Акцентировать внимание учащихся на понятиях, входящих в формулу:
   Что такое x? (переменная) x1x2? (числа, корни уравнения)
   Чем отличается квадратное уравнение от квадратного трехчлена (кв. тр – многочлен, а уравнение -  равенство)
2. Составить план доказательства теоремы:

• Вынести за скобки общий множитель
• Использую теорему Виета выполнить замену
• Раскрыть «внутренние» скобки
• Разложить на множители выражение в скобках с помощью группировки

3. Прорешать несколько задач с использованием данной формулы в обе стороны.

Пример:

Обратить внимание учащихся, что множитель «2» удобно внести в 1-ю скобку (

Обратить внимание учащихся, что в уравнении можно  обе части сократить на «-4», а в многочлене нельзя

(

=a

Пример:

Можно проверить с помощью непосредственного перемножения:

Учебно-методический комплекс

• Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра 9 класс»
• Поурочные планы по учебнику Ю.Н. Макарычева «алгебра 9 класс»
• Рабочая тетрадь по алгебре Т. М. Ерина, М. Ю. Ерина. (к учебнику Ю.Н. Макарычева)

Список Литературы:

1. Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра» 7 класс
2. Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра» 8 класс
3. Учебник Ю. Н. Макарычев «Алгебра» 9 класс
4. Учебник Ш. А. Алимов «Алгебра» 8 класс
5. Учебник Ш. А. Алимов «Алгебра» 9 класс
6. Учебник Ш. А. Алимов «Алгебра и начала математического анализа» 10-11 класс
7. Сайт решу ЕГЭ « математика базового уровня» Д. Д. Гущина
   https://mathb-ege.sdamgia.ru/
8. Сайт решу ЕГЭ «математика профильного уровня» Д. Д. Гущина
   https://math-ege.sdamgia.ru/