Последовательность.Арифметическая и геометрическая прогрессии
консультация по алгебре

Понятие последовательности

Ключевые слова конспекта: числовая последовательность, способы, конечные и бесконечные, возрастающие и убывающие. Раздел ОГЭ по математике: 4.1. Понятие последовательности.

В школьном курсе рассматриваются только числовые последовательности. Например:
1; 2; 3; 4; 5; … – последовательность натуральных чисел;
1; 3; 5; 7; 9; … – последовательность нечётных чисел;
1; 4; 9; 16; 25; … – последовательность квадратов натуральных чисел.

Числовая последовательность — это занумерованное множество чисел, расположенных в порядке возрастания номеров. Члены последовательности в общем случае обозначают буквами с индексами, указывающими порядковый номер члена. Например, а1, а2; а3; а4; а5; … .

Член последоватeльности с произвольным номером n обозначают символом аn и называют n–м членом последовательности. Тогда an-1 и аn+1 соответственно члены последовательности, предшествующий n–му члену и следующий за ним. Саму последовательность обозначают так: (аn).

Последовательность задана, если известен способ, позволяющий найти любой её член. Последовательности чаще всего задают двумя способами:

1. с помощью формулы n–го члена, т. е. формулы, которая позволит определить любой член последовательности по его номеру. Например, если последовательность задана формулой xn = x2 + 1, то пятый член последовательности x5 = 52 + 1 = 26;
2. с помощью рекуррентной формулы, т. е. формулы, которая выражает любой член последовательности через предыдущий. Например, an+1 = an – 1,5, тогда, если а1 = 17, то а2 = 17 – 1,5 = 15,5 и т. д.

Последовательнoсти бывают конечные и бесконечные.

Последовательность называется конечной, если она имеет конечное число членов, например 3, 6, 9, 12. Конечной является последовательность однозначных натуральных чисел: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Последовательность всех натуральных чисел бесконечна.

Последовательность называется возрастающей, если каждый ее член, начиная со второго, больше предыдущего: xn+1 > xn. Например, последовательность 3, 6, 9, 12, … 3n … — возрастающая. Последовательность называется убывающей, если каждый ее член, начиная со второго, меньше предыдущего: xn+1 < xn. Например, последовательность –3; –4; –5; –6 — убывающая.

Пример 1. Последовательность (сn) задана формулой n–го члена cn = (n + 5)/10. Эта формула позволяет вычислить любой член последовательности по его номеру. Найдём, например, с30. Подставив в формулу n = 30, получим: с30 = (30+5)/10 = 3,5.

Пример 2. Рассмотрим последовательность (аn), заданную условиями: a1 = 1, аn+1 = 2аn + 1. Эта последовательность задана с помощью рекуррентной формулы, которая указывает такой способ вычисления членов последовательности: чтобы получить следующий член, нужно предыдущий член умножить на 2 и к результату прибавить 1. Зная первый член, можно по этому правилу найти второй член; зная второй член, можно точно так же найти третий; и т. д.:

a2 = 2а1 + 1 = 2 • 1 + 1 = 3;
а3 = 2a2 + 1 = 2 • 3 + 1 = 7;
а4 = 2а3 + 1 = 2 • 7 + 1 = 15; и т. д.

А чтобы при таком способе задания найти a30, придётся последовательно вычислять все предыдущие члены со 2–го по 29–й включительно.

Арифметическая прогрессия

Код ОГЭ по математике: 4.2.1. Арифметическая прогрессия. Формула общего члена арифметической прогрессии. 4.2.2. Формула суммы первых нескольких членов арифметической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Арифметической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, получается прибавлением к предыдущему члену одного и того же числа.

В арифметической прогрессии разность между любыми двумя соседними членами одна и та же. Эту разность называют разностью арифметической прогрессии и обозначают буквой d. Правило, по которому образуются члены арифметической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы:

аn+1 – an = d.    Или иначе: an+1 = an + d.

Пример 1. В арифметической прогрессии 1; 3; 5; 7; 9; 11; … разность положительна: d = 3 – 1 = 2. В этой последовательности каждый следующий член больше предыдущего; такую последовательность называют возрастающей.

Пример 2. В арифметической прогрессии 100; 90; 80; 70; 60; … разность отрицательна: d = 90 – 100 = –10. Каждый следующий член этой последовательности меньше предыдущего, и поэтому последовательность называют убывающей.

Пример 3. Последовательность 5; 5; 5; 5; 5; … , все члены которой равны между собой, тоже является арифметической прогрессией, так как разность между любыми двумя её членами одна и та же: d = 5 – 5 = 0.

Свойство арифметической прогрессии. Любой член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому предыдущего и последующего членов:

Формулы n–го члена арифметической прогрессии

Формула n–го члена арифметической прогрессии (аn), первый член которой равен а1 и разность равна d:

аn = а1 + d(n – 1).

Формула содержит четыре переменные. Если известны значения трёх из них, то можно вычислить и значение четвёртой. Убедитесь в этом, решив следующие четыре задачи (в каждом случае укажите, какие переменные известны, и получите ответ):

1. В арифметической прогрессии а1 = 2 и d = 3. Найдите а65. (Ответ: 194.)
2. В арифметической прогрессии а86 = 100 и d = –4. Найдите а1. (Ответ: 440.)
3. В арифметической прогрессии а1 = 65 и а21 = –55. Найдите d. (Ответ: –6.)
4. В арифметической прогрессии а1 = 1 и d=4. Найдите номер члена, равного 397. (Ответ: 100.)

Пример 4. Дана арифметическая прогрессия: 1,5; 4,5; 7,5; 10,5; … . Начиная с какого номера члены этой прогрессии превосходят 1000?

В данной прогрессии а1 = 1,5 и d = 4,5 – 1,5 = 3. Составим формулу n–го члена: аn = 1,5 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 1,5.

Найдём значения n, при которых выполняется условие аn > 1000. Для этого решим неравенство 3n – 1,5 > 1000; n > 333. Таким образом, члены данной прогрессии превосходят 1000, начиная с члена, номер которого равен 334. (Для самопроверки можно вычислить а334: имеем a334 = 3 • 334 – 1,5 = 1000,5).

Пример 5. В арифметической прогрессии a15 = 40, а20 = 5. Найдём a30.

Способ 1. Выразив а15 и a20 через а1 и d, составим систему уравнений:

Решив её, найдём, что а1 = 138, d = –7. (Получите этот результат самостоятельно.) Воспользовавшись формулой n–го члена, найдём a30, a именно: а30 = 138 – 7 • 29 = –65.

Способ 2. Выразим а20 через а15 и d: a20 = а15 + 5d. Подставив значения а20 и а15, получим: 5 = 40 + 5d, откуда d = –7. Теперь найдём а30. Это можно сделать, например, так:
а30 = а20 + 10d = 5 – 7 • 10 = –65.

При решении задачи вторым способом мы воспользовались приёмом, основанным на следующим утверждении: если последовательность (аn) – арифметическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство:

аn = аm + (n – m)d.

Если вы эту формулу забудете, то в каждом конкретном случае можно выразить один член прогрессии через другой, выполнив несложные преобразования. Например, выразим а20 через а5:
а20 = а1 + 19d = (a1 + 4d) + 15d = а5 + 15d.

Изображение членов арифметической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

Если последовательность – арифметическая прогрессия, то точки, изображающие её члены, лежат на одной прямой. Дело в том, что зависимость n–го члена арифметической прогрессии от номера члена n является линейной. В самом деле:

an = a1 + d(n – 1) = dn + (a1 – 1).

Например, если в арифметической прогрессии а1 = 1 и d = 3, то аn = 1 + 3(n – 1), т.е. аn = 3n – 2. Значит, точки, изображающие члены этой прогрессии, лежат на прямой y = 3x – 2 (см. рис.).

Изменение членов арифметической прогрессии происходит равномерно: с каждым шагом по горизонтальной оси изображающие их точки поднимаются или опускаются на одно и то же число единиц вдоль вертикальной оси.

Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии

Если известны первый и последний из суммируемых членов, то удобно пользоваться формулой

Пример 6. Найдём сумму всех натуральных чисел от 1 до 1000.

Слагаемые в сумме 1 + 2 + 3 + … + 1000 образуют арифметическую прогрессию. Подставив в формулу суммы а1 = 1, аn = 1000, n = 1000, получим:

Формулу суммы первых n членов арифметической прогрессии можно записать в другом виде, выразив Sn через а1, d и n:

Пример 7. Найдём сумму всех двузначных чисел, кратных 3.

Последовательность 12; 15; 18; … ; 99 является арифметической прогрессией, в которой а1 = 12, аn = 99, d= 3. Найдём номер последнего члена. Подставив в формулу аn = а1 + d(n – 1) указанные значения, получим уравнение 99 = 12 + 3(n – 1). Решив его, найдём, что n = 30. Теперь можно вычислить искомую сумму:

Геометрическая прогрессия

Коды ОГЭ по математике: 4.2.3. Геометрическая прогрессия. Формула общего члена геометрической прогрессии. 4.2.4. Формула суммы первых нескольких членов геометрической прогрессии

Определения и обозначения

Определение. Геометрической прогрессией называют последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему члену, умноженному на одно и то же не равное нулю число. (Первый член геометрической прогрессии также не может быть равен нулю.)

В геометрической прогрессии отношение любого члена, начиная со второго, к предыдущему члену равно одному и тому же числу. Это число называют знаменателем геометрической прогрессии и обозначают буквой q. Правило, по которому образуются члены геометрической прогрессии, можно записать в виде рекуррентной формулы: 

Или bn+1 = bn • q.

Пример 1. Пусть b1 = 1 и q = 3. Получаем геометрическую прогрессию: 1; 3; 9; 27; 81; 243; … Это возрастающая последовательность.

Пример 2. Пусть b1 = 5 и q = –2. В этом случае знаки у членов прогрессии чередуются: 5; –10; 20; –40; 80; –160; 320; … . Это последовательность не является ни возрастающей, ни убывающей.

Геометрическая прогрессия, члены которой – положительные числа, обладает свойством: любой её член, начиная со второго, равен среднему геометрическому предыдущего и последующего членов, т. е.

Формулы n–го члена геометрической прогрессий

Формула n–го члена геометрической прогрессии (bn), первый член которой равен b1, a знаменатель равен q:

bn = b1 • qn–1

Формула содержит три переменные. Если известны значения двух из них, то можно вычислить и значение третьей.

Если последовательность (bn) – геометрическая прогрессия, то для любых натуральных n и m верно равенство: bn = bm • qn-m.

Пример 3. В геометрической прогрессии b3 = –1/2, b6 = 4. Найдём b12.

Так как b6 = b3 • q3, то q3 = b6 / b3 = –8. Далее имеем: b12 = b6 • q6 = b6 • (q3)2 = 4 • (–8)2 = 256.

Изображение членов геометрической прогрессии
точками на координатной плоскости

Члены числовой последовательности можно изображать точками на координатной плоскости. Для этого по горизонтальной оси откладывают номер члена, a по вертикальной – соответствующий член последовательности.

На рисунке точками изображены несколько членов геометрической прогрессии (bn), в которой b1 = 1, q = 2; эта прогрессия задаётся формулой
bn = 2n-1.

Скорость её роста всё время увеличивается, и точки, соответствующие её членам, резко «уходят» вверх. Все они лежат на кривой, которая носит название экспонента. Чем выше поднимается экспонента у = 2х, тем круче она становится.

Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии

Если q ≠ 1, то   

Заметим, что если 0 < q < 1, то удобнее пользоваться формулой суммы, представленной в виде: 

Если q = 1, то все члены прогрессии равны между собой и Sn = nb1.

Пример 4. Найдём сумму 

Слагаемые в этой сумме – члены геометрической прогрессии, первый член которой равен 1, a знаменатель равен ½. Всего суммируется 11 членов. Имеем:

Пример 5. Найдём сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, второй член которой равен 6, a четвёртый равен 24.