Урок "Исторический взгляд на квадратные уравнения"
методическая разработка по алгебре (8 класс)

КОМИТЕТ ПО НАРОДНОМУ ОБРАЗОВАНИЮ АДМИНИСТРАЦИИ

СОЛНЕЧНОГОРСКОГО МУНИЦИПАЛЬНОГО РАЙОНА

МУНИЦИПАЛЬНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ПОВАРОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА

     141540 Московская область, Солнечногорский

                                                                 район,  посёлок Поварово

672-375 – канцелярия; учительская;                                              povar.school@mail.ru                                                                                                              

672-385 – директор; факс.

Открытый урок алгебры в 8 классе

«Исторический взгляд на квадратные уравнения»

Разработала учитель математики МБОУ Поваровской СОШ Морозова Н.С.

Декабрь 2017

Открытый урок в 8 классе «Исторический взгляд на квадратные уравнения»

Разработала и провела учитель математики МБОУ Поваровской СОШ

Декабрь 2017

Использование на уроках исторического материала способствует формированию устойчивого интереса к изучаемому предмету, побуждает школьников к дальнейшему познанию, выработке потребности постоянно пополнять, обновлять, развивать свои знания. Математическое развитие человека невозможно без повышения общей культуры, говорил В. А. Крутецкий. Исторический материал способен лучше, чем что-либо на уроке, воспрепятствовать однобокому развитию математических способностей. Такие уроки призваны повышать уровень грамотности, расширять знания, кругозор учащихся и дают возможность увеличить интеллектуальный ресурс учащихся, приучают их мыслить, быть способным быстро принять решение в самых сложных жизненных ситуациях. На уроке используется технология проблемного диалога. Исторический материал положен в основу конструирования проектных задач, которые являются средством создания ситуаций, позволяющих разворачивать предметное содержание. Освоение математических знаний в контексте применения в различных ситуаций а) обеспечивает системность и межпредметность знаний б) позволяет учащимся находиться в деятельностной позиции в)включает весь потенциал активности учащегося – от уровня восприятия до  уровня самостоятельного применения г)позволяет обучающимся накапливать опыт использования умений и знаний, приобретенных на уроках математики в качестве средства регуляции своей деятельности.

Цели урока:

обобщающие: формирование представлений об истории развитии квадратных уравнений.

♦ обобщение и систематизация знаний учащихся по теме «Неполные квадратные уравнения»;

♦ ликвидация пробелов в знаниях и умениях учащихся;

♦ усиление прикладной и практической направленности изученной темы;

♦ установление внутрипредметных и межпредметных связей изученной темы с другими темами курса алгебры, истории.

развивающие:

♦ расширение кругозора учащихся; пополнение их словарного запаса; развитие интереса учащихся к предмету и смежных дисциплинам; развитие личностных качеств учащихся, их коммуникативных характеристик;

воспитательные:

♦ воспитание чувств коллективизма, товарищества; ответственности за порученное дело; воспитание воли, упорства в достижении поставленной цели.

Задача урока: 

Исторический материал изложить как   основу конструирования проектных задач, которые являются средством создания ситуаций, позволяющих разворачивать предметное содержание темы «Квадратные уравнения».

Ход урока.

Слайд 2 Устные задания

Слайд 3   Посредством уравнений, теорем Я уйму всяких разрешил проблем.
(Английский поэт средних веков Чосер)

Найти стороны  прямоугольника, площадь которого  3  , а одна сторона больше другой на 2.

( Можно решить подбором: 3 и 1).

Можно ли решить подбором следующую задачу:

Найти стороны  прямоугольника, площадь которого  371 , а одна сторона больше другой на 41.

Нет. Для этого необходимо знать приёмы решения квадратных уравнений.

Сформулировать тему урока «Исторический взгляд на квадратные уравнения».

Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики. Квадратные уравнения - это фундамент, на котором покоится величественное здание алгебры. Различные уравнения как квадратные, так и уравнения высших степеней решались нашими далекими предками. Эти уравнения решали в самых разных и отдаленных друг от друга странах. Потребность в уравнениях была велика. Уравнения применялись в строительстве, в военных делах, и в бытовых ситуациях

Слайд 4 История развития квадратных уравнений

Слайд 5   Маршрут исследований

Слайд 6   Древний Вавилон (I тысячелетие до н.э.)

Вавилонское царство возникло в начале II тысячелетия до н. э. на территории современного Ирака, придя на смену Шумеру и Аккаду и унаследовав их развитую культуру. Просуществовало до персидского завоевания в 539 году до н. э. Вавилоняне писали клинописными значками на глиняных табличках, которые в немалом количестве дошли до наших дней (более 500000, из них около 400 связаны с математикой). Поэтому мы имеем довольно полное представление о математических достижениях учёных Вавилонского государства.

Слайд 7  Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики

Слайд 8   Имена математиков этого времени не сохранились. Вся информация у современных ученых заимствована из клинописных табличек. Математика  в то время считалась знанием для избранных, ей владели жрецы, которые тщательно оберегали информацию от  непосвященных.  Основным принципом того времени было указание к действию (делай как Я). Объяснение при решении уравнений в то время отсутствует. Вывода формул нет. Дается только рецепт решения конкретного квадратного уравнения, алгоритм носит общий характер. Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.

Слайд 9

Задаем вопрос: «Что настораживает, кажется странным?»

Отсутствует второй корень квадратного уравнения x2 = – 29 . В древнем Вавилоне не оперировали с отрицательными числами, все задачи определялись практической жизнью. Поэтому получен только положительный корень

Попробуй сам:

1. Взял эту одну и разделил пополам ½.
2. Умножить на саму себя ½ * ½ = ¼
3. Сложить с ¾    ¼ + ¾ = 1.
4. Корень из 1 = 1
5. Вычесть первую половина 1 – ½ = ½.
6. Проверка ¼ +1/2  = ¾,  ¾ = ¾ - верно

Слайд 10   Диофа́нт Александри́йский древнегреческий математик, живший предположительно в III веке н. э. Нередко упоминается как «отец алгебры». Автор «Арифметики» — книги, посвящённой нахождению положительных рациональных решений неопределённых уравнений.  Диофант был первым греческим математиком, который рассматривал дроби наравне с другими числами. Диофант также первым среди античных учёных предложил развитую математическую символику, которая позволяла формулировать полученные им результаты в достаточно компактном виде. В честь Диофанта назван кратер на видимой стороне Луны. О подробностях его жизни практически ничего не известно. С одной стороны, Диофант цитирует Гипсикла (II век до н. э.); с другой стороны, о Диофанте пишет Теон Александрийский (около 350 года н. э.), — откуда можно сделать вывод, что его жизнь протекала в границах этого периода. Возможное уточнение времени жизни Диофанта основано на том, что егоАрифметика посвящена «достопочтеннейшему Дионисию». Полагают, что этот Дионисий — не кто иной, как епископ Дионисий Александрийский, живший в середине III в. н. э.

Слайд 11  В Палатинской антологии содержится эпиграмма-задача:

  Прах Диофанта гробница покоит; дивись ей — и камень
  Мудрым искусством его скажет усопшего век.
  Волей богов шестую часть жизни он прожил ребёнком.
  И половину шестой встретил с пушком на щёках.
  Только минула седьмая, с подругой он обручился.
  С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец;
  Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил.
  Отнят он был у отца ранней могилой своей.
  Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе,
  Тут и увидел предел жизни печальной своей.
                       (Перевод С. П. Боброва)

Она эквивалентна решению следующего уравнения:

Х = х/6 + x/12 + x/7 + 5 + x/2 + 4

Это уравнение даёт х=84, то есть возраст Диофанта получается равным 84 годам. Однако достоверность сведений не может быть подтверждена.

Слайд 12

В «Арифметике» Диофанта нет систематического изложения алгебры, однако в ней содержится систематизированный ряд задач, сопровождаемых объяснениями и решаемых при помощи составления уравнений разных степеней.

Слайд 13   Примеры решения уравнений

Слайд 14

При составлении уравнений Диофант для упрощения решения умело выбирает неизвестные. Вот, к примеру, одна из его задач.

Задача:  «Найти два числа, зная, что их сумма равна 20, а произведение - 96»

Диофант рассуждает следующим образом: из условия задачи вытекает, что искомые числа не равны, так как если бы они были равны, то их произведение равнялось бы не 96, а 100. Таким образом, одно из них будет больше половины их суммы, т.е. 10 + х, другое же меньше, т.е. 10 - х. Разность между ними 2х.

Отсюда уравнение:

(10 + х)(10 - х) = 96

или же:

100 - х2 = 96

х2 - 4 = 0 (1)

Отсюда х = 2. Одно из искомых чисел равно 12, другое 8. Решение х = -2 для Диофанта не существует, так как греческая математика знала только положительные числа.

Если мы решим эту задачу, выбирая в качестве неизвестного одно из искомых чисел, то мы придем к решению уравнения

у(20 - у) = 96,

у2 - 20у + 96 = 0. (2)

 Диофант упрощает решение; ему удается свести задачу к решению неполного квадратного уравнения (1).

Квадратные уравнения из арифметики Диофанта:

12x2 +x = 1

      630x2+73x=6.

Слайд 15  Индия

Слайд 16 Квадратные уравнения в Индии. Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в астрономическом трактате «Ариабхаттиам», составленном в 499 г. индийским математиком и астрономом Ариабхаттой. Другой индийский ученый, Брахмагупта (VII в.), изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:

Слайд 17   В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.

Вот одна из задач знаменитого индийского математика XII в. Бхаскары.

Решение Бхаскары свидетельствует о том, что автор знал о двузначности корней квадратных уравнений.

Соответствующее задаче  уравнение:

Бхаскара пишет под видом:

и, чтобы дополнить левую часть этого уравнения до квадрата, прибавляет к обеим частям 322, получая затем:

Слайд 18 Домашнее задание Бхаскаре – Акариа – индийский математик в XII век н.э. открыл общий метод решения квадратных уравнений. Предлагается в качестве домашнего задания решить старинную индийскую задачу Бхаскары: «Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на три, спрятался в гроте, одна обезьяна влезла на дерево, была видна. Сколько было обезьян?»

Уравнение (х/5 – 3)2 + 1 = 4.

Слайд 19  Средневековый  Восток .Аль – Хорезми — арабский учёный, который в 825 г. написал книгу «Книга о восстановлении и противопоставлении». Это был первый в мире учебник алгебры. Он также дал шесть видов квадратных уравнений и для каждого из шести уравнений в словесной форме сформулировал особое правило его решения.

Слайд 20

Слайд 21

В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:

1. «Квадраты равны корням», т. е. .
2. «Квадраты равны числу», т. е. 
3. «Корни равны числу», т. е. 
4. «Квадраты и числа равны корням», т. е. 
5. «Квадраты и корни равны числу», т. е. 
6. «Корни и числа равны квадратам», т. е. 

Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила

Слайд 22 Задача Мухаммеда ибн Мусы ал-Хорезми 

    “Квадрат и 10 корней равны 39”.

Эта задача соответствует уравнению            х2+10х=39.

Ал-Хорезми предлагает решать ее следующим образом:

если бы у нас был квадрат со стороной (х+5), тогда его можно было бы разбить на квадрат со

стороной х, два прямоугольника 5х и квадрат со стороной 5 (см. рисунок). Нам известно, что х 2+2*5х=39. Тогда площадь большого квадрата 39+25=64, а значит его сторона равна 8. Но сторона этого квадрата равна х+5, то есть х=8-5=3.

Ответ: х=3. 

Слайд 23 Домашнее задание :решить геометрическим способом квадратное уравнение стиле Аль-Хорезми

x2 +6 x  - 16 = 0

Слайд 24 Знаменитое уравнение Аль-Хорезми:  «Квадрат и десять корней равны 39». x2 + 10x = 39 (IX век) . В своем трактате он пишет: «Правило таково: раздвой число корней, получится в этой задаче пять, умножь на это равное ему, будет двадцать пять. Прибавь это к тридцатидевяти, будет шестьдесят четыре. Извлеки из этого корень, будет восемь, и вычти из этого половину числа корней, т.е. пять, останется три: это и будет корень квадрата, который ты искал»

Слайд 25 Домашнее задание. Решить уравнение в стиле Аль-Хорезми

       «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается уравнения корень  ).

«Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается корень уравнения ).

Решение: раздели пополам число корней, получишь 5, умножь 5 само на себя, от произведения отними 21, останется 4. Извлеки корень из 4, получишь 2. Отними 2 от 5, получишь 3, это и будет искомый корень. Или же прибавь 2 к 5, что даст 7, это тоже есть корень.

Слайд 26 Квадратные уравнения в Европе в 13-17 веках.

Слайд 27 Выводы:

• Задачи на квадратные уравнения встречаются уже в 499 году.
• После работ Жирара (1592-1632), Декарта и Ньютона метод решения квадратных уравнений приобрёл нынешний вид.
• Выявляются новые методы решения квадратных уравнений.

Домашнее задание:

1. Решить уравнение х2 + х = ¾ (Древний Вавилон)

2. Решить старинную индийскую задачу Бхаскары: «Квадрат пятой части обезьян, уменьшенный на три, спрятался в гроте, одна обезьяна влезла на дерево, была видна. Сколько было обезьян?» 

3. Решить квадратное уравнение геометрическим способом в стиле Аль-Хорезми

у2   + 6 у – 16 = 0.

4. Решить уравнение в стиле Аль-Хорезми

 «Квадрат и число 21 равны 10 корням. Найти корень» (подразумевается уравнения корень  ).

Итог урока :

Проанализировав данные материалы, можно сделать вывод о том что развитие методов решения квадратных уравнений шло постепенно, усовершенствовалось с течением времени. В настоящее время используются методы, которые впервые были использованы в Европе в XIV веке, тогда были выведены формулы дискриминанта и корней уравнения, доказана теорема Виета. И об этом мы узнаем на следующем уроке. В настоящее время, умение решать квадратные уравнения необходимо для всех.  Умение быстро, рационально и правильно решать квадратные уравнения облегчает прохождение многих тем курса математики. Квадратные уравнения решаются   не только на уроках математики, но и на уроках физики, химии, информатики. Большинство практических задач реального мира тоже сводится к решению квадратных уравнений.