Решение тригонометрических уравнений - теория
материал для подготовки к егэ (гиа) по алгебре (11 класс)

Решение тригонометрических уравнений.

В ходе изучения алгебры и начала анализа в 10-м классе учащиеся сталкиваются с тригонометрическими уравнениями. Не существует единого метода, следуя которому можно было бы решить любое тригонометрическое уравнение. Успех обеспечивается хорошим знанием формул и умением преобразовывать входящие в тригонометрические уравнения выражения к такому виду, чтобы корни находились из так называемых простейших уравнений.

В процессе решения надо следить за тем, чтобы не допустить потери корней (например, при сокращении на общий множитель) или приобретения посторонних корней (например, при возведении обеих частей в квадрат). Нужно также контролировать, принадлежат ли получающиеся корни к области допустимых значений рассматриваемого уравнения, или делать проверку.

В 10 классе начинается изучение темы простых тригонометрических уравнений: cos(x) = a, sin(x) = a, tg(x) = a и ctg(x) = a. При этом необходимо изучать частные случаи, представленные в таблице ниже.

Уравнение вида a*sin(x) + b*cos(x) = c является одним из центральных в тригонометрическим. К нему сводятся многие математические задачи, а также задачи механики, физики и других наук. Уравнение вида a*sin(x) + b*cos(x) = 0 называется однородным уравнением 1 степени относительно sin(x) и cos(x). Это уравнение имеет бесконечно много решений.

Необходимо показать ученику метод сведения к однородному уравнению второй степени. При этом использовать нужную формулу двойного угла из таблицы ниже.

Важным при решении тригонометрических уравнений является вопрос приобретения посторонних корней и потери решений. Применение большинства формул тригонометрии приводит к изменению ОДЗ выражений, поэтому решений тригонометрических уравнений необходимо сопровождать анализом ОДЗ, не допуская потери решений. Одним из способов проверки является отбор корней.\

Далее приводятся примеры решения тригонометрических уравнений:

1 уравнение

2 уравнение

3 задание

4 задание

5 задание

6 задание