Методическая разработка "Решение тригонометрических уравнений"
план-конспект занятия по алгебре (10 класс)

Департамент образования города Москвы

Государственное бюджетное профессиональное

образовательное учреждение города Москвы

«Образовательный комплекс градостроительства «Столица»

отделение «Кржижановское»

МЕТОДИЧЕСКАЯ

РАЗРАБОТКА

по теме

«Решение тригонометрических уравнений»

Преподаватель: Плюснина Н.М.

Решение тригонометрических уравнений

Цели урока:

• Образовательные: закрепить навыки решения простейших тригонометрических уравнений, рассмотреть различные виды тригонометрических уравнений и общие подходы решения данных уравнений; сформировать навыки решения тригонометрических уравнений различными способами.
• Развивающие: содействовать развитию у учащихся мыслительных операций: умение анализировать, сравнивать, систематизировать, обобщать; формировать и развивать общеучебные умения и навыки: поиск способов решения, используя алгоритмы решения, самопроверки по образцу, взаимопроверки. 
• Воспитательные: вырабатывать внимание, самостоятельность при работе на уроке;вырабатывать умение работать в группе, умение продуктивно общаться, слушать и отстаивать свое мнение;способствовать формированию активности, максимальной работоспособности, чувства ответственности; воспитывать волю и настойчивость для достижения конечных результатов.

Оборудование: компьютер, проектор, аудиторная доска.

Тип урока:Комбинированный

План урока

1. Организационный момент (1 мин)
2. Подготовка обучающихся к освоению новых знаний (2 мин)
3. Историческая справка (5 мин)
4. Повторение пройденного материала: устные вопросы и задания, тест (20 мин)
5. Изучение нового материала (36 мин)
6. Самостоятельная работа, самопроверка (20 мин)
7. Подведение итогов урока, выставление оценок (5 мин)
8. Домашнее задание (1 мин)

Эпиграфом нашего урока будут такие слова:

Результат учения равен
произведению способности
на старательность.
Если старательность равна нулю,
То и все произведение равно нулю.
А способности есть у каждого.

Ход урока

1. Организационный момент

Преподаватель организует начало урока. Активизируется внимание учащихся на начало учебного процесса.

Обучающиеся демонстрируют готовность к началу урока.

2. Подготовка обучающихся к усвоению новых знаний (Слайд 1)

Преподаватель определяет тему урока.

Обучающиеся фиксируют в тетрадь.

Актуализация знаний.

На предыдущих уроках мы изучили понятия арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, а также рассмотрели решения простейших тригонометрических уравнений. Сегодня мы познакомимся с более сложными тригонометрическими уравнениями, их видами, рассмотрим способы решения таких уравнений. Тригонометрические уравнения актуальны, так как обязательно входят в задания ЕГЭ профильного уровня с полным решением.

3. Историческая справка о возникновении тригонометрии (Слайд 2-3)

(сообщение делает обучающийся)

Тригонометрия – слово греческое и в буквальном переводе означает измерение треугольников (trigwnon – треугольник, а metrew – измеряю).

Возникновение тригонометрии связано с землемереием, астрономией и строительным делом. Значительный вклад в развитие тригонометрии внесли арабские ученые Аль-Батани (850-929) и Абу-ль-Вафа, Мухаммед-бен Мухаммед (940-998), который составил таблицы синусов и тангенсов.

Теорему синусов уже знали индийский ученый Бхаскара и азербайджанский астроном и математик НасиреддинТуси Мухаммед (1201-1274). Кроме того, НасиреддинТуси в своей работе «Трактат о полном четырехстороннике» изложил плоскую и сферическую тригонометрию как самостоятельную дисциплину.

Длительную историю имеет понятие синус. Фактически различные отношения отрезков треугольника и окружности (а, по существу, и тригонометрические функции) встречаются уже в III веке до н.э. в работах великих математиков Древней Греции – Евклида, Архимеда, АпполонияПергского. В римский период эти отношения достаточно систематично исследовались Менелаем (I век н.э.), хотя и не приобрели специального названия. 

Современный синус, например, изучался как полухорда, на которую опирается центральный угол величиной α, или как хорда удвоенной дуги.

В IV-V веках появился уже специальный термин в трудах по астрономии великого индийского ученого Ариабхаты. Отрезок он назвал ардхаджива (ардха – половина, джива – тетива лука, которую напоминает хорда). Позднее появилось более краткое название джива. Арабскими математиками в IX веке это слово было заменено на арабское слово джайб (выпуклость). При переводе арабских математических текстов в XIIвеке оно было заменено латинским синус (sinus – изгиб, кривизна).

Слово косинус намного моложе. Косинус – это сокращение латинского выражения completelysinus, т.е. «дополнительный синус».

Тангенсы возникли в связи с решением задачи об определении длины тени. Тангенс (а также котангенс) введен в X веке арабским математиком Абу-ль-Вафой, который составил и первые таблицы для нахождения тангенсов и котангенсов.

Эти открытия долгое время оставались неизвестными европейским ученым, и тангенсы были заново открыты в XIV веке немецким математиком, астрономом Регимонтаном (1467 г.). Он доказал теорему тангенсов. Региомонтан составил также подробные тригонометрические таблицы: благодаря его трудам плоская и сферическая тригонометрия стала самостоятельной дисциплиной в Европе. Название «тангенс», происходящее от латинского tanger (касаться), появилось в 1583 г. Тангенс переводится как «касающийся» (линия тангенсов – это касательная к единичной окружности)

Дальнейшее развитие тригонометрия получила в трудах выдающихся астрономов Николая Коперника (1473-1543) – творца гелиоцентрической системы мира, Тихо Браге (1546-1607) и Иоганна Кеплера (1571-1630), а также в работах математика Франсуа Виета (1540-1603), который полностью решил задачу об определениях всех элементов плоского или сферического треугольника по трем данным.

Долгое время тригонометрия носила чисто геометрический характер. Начиная с XVII в., тригонометрические функции начали применять к решению уравнений, задач механики, оптики, электричества, радиотехники, для описания колебательных процессов, распространения волн, движения различных механизмов, для изучения переменного электрического тока и т.д. Поэтому тригонометрические функции всесторонне и глубоко исследовались и приобрели важное значение для всей математики.

Аналитическая теория тригонометрических функций в основном была создана выдающимся математиком XVIII векаЛеонардом Эйлером (1707-1783) членом Петербургской Академии наук.Громадное научное наследие Эйлера включает блестящие результаты, относящиеся к математическому анализу, геометрии, теории чисел, механике и другим приложениям математики. Именно Эйлер первым ввел известные определения тригонометрических функций, стал рассматривать функции произвольного угла, получил формулы приведения. В математике Эйлер написал боле 800 работ, доказал многие теоремы.

Таким образом, тригонометрия, возникшая как наука о решении треугольников, со временем развилась и в науку о тригонометрических функциях.

4. Повторение пройденного материала (Слайд 4-6)

Устная работа.

1) Дайте определение арксинуса, арккосинуса, арктангенса.

2) Вычислите:

3) Решите уравнения (письменно; у доски решает один из обучающихся)

4) Назовите основные тождества тригонометрии, формулы синуса и косинуса двойного угла.

5) Тест по повторенному материалу (3 варианта). После выполнения заданий теста делается самопроверка по готовым ответам через проектор, и выставляются оценки.

Ключ к тестам

5. Изучение нового материала (Работа на доске и в тетрадях. Слайд 7-11)

Мы повторили темы, необходимые для решения более сложных тригонометрических уравнений. Рассмотрим несколько способов решения таких уравнений на примерах.

Пример 1.

Решение тригонометрических уравнений методом введения новой переменной, сводящихся к квадратному уравнению.

Закрепление материала: № 165(а), 167(а) по учебнику  А.Н. Колмогорова.

Пример 2.

Решение тригонометрических уравнений с помощью замены одной из тригонометрических функций.

Закрепление материала: № 166(а), 167(б) по учебнику  А.Н. Колмогорова.

Пример 3.

Решение тригонометрических уравнений разложением на множители.

Закрепление материала: № 168(а,в) по учебнику  А.Н. Колмогорова.

2 sin2xcos2x – 3cos2x = 0.

Пример 4.

Решение однородных тригонометрических уравнений.

1. Уравнения вида  , где a и b – некоторые числа, называются однородными уравнениями первой степени относительно  sinx или  cosx.

Закрепление материала:  (Ответ: )

2. Уравнения вида  , где a, b, c –некоторые числа, называются однородными уравнениями второй степени относительно sin x или cos x.

Закрепление материала: № 169(а) по учебнику  А.Н. Колмогорова.

3. Рассмотрим еще одно уравнение  .

Закрепление материала: № 170(а) по учебнику  А.Н. Колмогорова.

 (Ответ: ; )

Пример 5.

Решение уравнений преобразованием суммы или разности тригонометрических функций в произведение.

6. Самостоятельная работа (Слайд 12)

1) Задания по вариантам на карточках.  

Критерии оценки

оценка «3» - 1 верный ответ

оценка «4» - 2 верных ответа

оценка «5» - 3-4 верных ответа

Критерии оценки

оценка «3» - 1 верный ответ

оценка «4» - 2 верных ответа

оценка «5» - 3-4 верных ответа

2) Самопроверка по готовым ответам через проектор.

Ответы

7. Подведение итогов урока. Выставление оценок

Обучающиеся вычисляют среднее арифметическое оценок, выставленных за тест и самостоятельную работу, и полученная оценка ставится в журнал.

8. Домашнее задание (Слайд 13)

№ 170(г), 172(б), 174(в) по учебнику  А.Н. Колмогорова