Методическая разработка Открытого занятия по дисциплине "Математика" для студентов 1 курса СПО по теме "Производная"
план-конспект урока по алгебре

Урок – пресс-конференция

 (урок в группе ТПР-102 )

Нет ни одной области математики,
которая когда-нибудь не окажется применимой
к явлениям действительного мира.
Н.И. Лобачевский

Цели: 

• систематизирование и обобщение знаний по теме: "Производная и ее применение";
• раскрытие практической необходимости и теоретической значимости темы в исследовании процессов современного производства;
• формирование познавательной активности, умение рационально работать. Развитие культуры математической речи.

Оборудование: графопроектор, экран, цветной мел, карточки-задания, таблички с указанием названий газет и журналов, чертежные принадлежности, изображение трех групп формул.

Ход урока

1. Организационный момент

Учащиеся занимают свои места в исследовательских группах. Рассаживаются корреспонденты периодических изданий, у каждого табличка – какое издание представляет.

2. Разминка

Слово преподавателя. Сегодня вы – сотрудники научно-исследовательского института, участники пресс-конференции. У нас присутствуют корреспонденты различных изданий, желающие получить ответы на интересующие их вопросы. Для начала давайте ознакомим гостей с проблемой, над какой мы работаем. Предлагаю вам такое задание.

Имеются три ящика и функции. Надо установить соответствие между ящиками и функциями. Работая в малых подгруппах, из предложенных функций выберите только те, для которых производная находится только по предложенному правилу, и найдите ее.

Ответы:

1 ящик – 1), 2), 4), 5), 10).

2 ящик – 3), 7), 9).

3 ящик – 4), 6), 8).

3. Интервью с корреспондентами

А. Корреспондент журнала "Наука и Жизнь"

По просьбе читателей в рубрике "Наш толковый словарь" мы должны дать математическое значение слова "производная, ее геометрический смысл". Помогите нам в этом вопросе.

Ответ:

Производной функции F в точке x0 называется предел отношения изменения функции f к изменению аргумента х при изменении аргумента х, стремящемся к нулю.

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке равно условному коэффициенту касательной к графику функции в этой точке.

Для того, чтобы задать прямую, проходящую через данную точку А, достаточно указать ее угловой коэффициент. Угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной.

Рассмотрим рисунок № 1.

Угловой коэффициент секущей определяется так:

k = tg a =

Угловой коэффициент прямой y = kх + b равен тангенсу угла , который эта прямая образует с осью абсцисс. При х, стремящемся к 0, угловой коэффициент секущей стремится к угловому коэффициенту касательной f`(x0), поэтому говорят, что касательная – есть предельное положение секущей.

Имея в виду геометрическое определение касательной к графику функции f, дифференцируемой в точке х0, называется прямая, проходящая через точку (х0; f (x0)) и имеющая угловой коэффициент F`(x0) мы получим, что существование производной функции f в точке х0 эквивалентно существованию невертикальной касательной в точке (х0; f (x0)), причем угловой коэффициент касательной равен f`(x0).

В этом и состоит геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной позволяет дать наглядную иллюстрацию многих фактов.

Например: касательная к параболе у = х2 в точке х0 пересекает ось 0х в точке х0/2 .

Рассмотрим рисунок № 2

Отсюда следует простой геометрический способ построения касательной к параболе у = х2. Построив касательную к параболе, можно построить ее фокус F.

Фокусом F является точка, в которую можно поместить источник света, чтобы все лучи, отраженные от параболического зеркала, были параллельны оси симметрии параболы.

Для построения фокуса F нужно построить прямую АВ, параллельную оси 0у, и прямую AF, образующую с касательной такой же угол, что и прямая АВ.

Б. Корреспондент журнала "Квант"

Вы изучаете производную. Объясните ее механический смысл. В редакцию нашего журнала прошло письмо студента  горно-строительного техникума, в котором он предлагает задачу: "Количество электричества, протекающего через проводник, задается формулой g (t) = t + 4 / t. В какой момент времени t сила тока в цепи равна 0"? Помогите разобраться в задаче.

Ответ:

Производная – это скорость. С движением связаны две величины – путь S, скорость v, которые являются функциями времени:

S = S (t); v = v (t);

Ясно, что S и v связаны между собой. Исаак Ньютон в конце XVII века открыл общий способ вычисления скорости по заданному пути. С помощью этого способа можно для каждой функции S построить новую функцию v. Эту функцию называют производной функции S, а сам переход от S к v – дифференцированием. v (t) = S` (t).

Открытие Ньютона показало, что количественные характеристики самых различных процессов, исследуемых в физике, химии, биологии, в технических дисциплинах, и выраженные на языке математического анализа, самая простая модель механического движения, и самый короткий ответ, что Производная – это скорость.

Сила тока I – это производная от заряда g (t)

Если g (t) = t+ 4/t

I (t) = g` (t) = (t + 4/t )` = 1 – 4/t2 

I (t) = 0 при 1 – 4/t2= 0

(t2 - 4) / t2 = 0

Условию задачи не удовлетворяет t = – 2 (c)

Значит, сила тока I = 0, при t = 2(c).

Производная – это скорость роста функции.

1. Мощность – это производная работы по времени P = A` (t).
2. Сила тока – производная от заряда по времени I = g` (t).
3. Сила – есть производная работы по перемещению F = A` (x).
4. Теплоемкость – это производная количества теплоты по температуре C = Q` (t).
5. Давление – производная силы по площади P = F` (S)
6. Длина окружности – это производная площади круга по радиусу lокр=S'кр(R).
7. Темп роста производительности труда – это производная производительности труда по времени.
8. А успехи в учебе? Когда вырастают знания.

В. Корреспондент журнала “Техника молодежи”

Молодые инженеры-конструкторы работают над созданием моделей с новыми скоростями. Они предложили на суд читателей задачу.

“Два тела движутся прямолинейно по законам:

S1 (t) = 2,5t2 – 6t + l
S2 (t) = 0,5t2 +2t –3

В какой момент времени скорости тел будут равны?

Как бы вы ответили на этот вопрос?” Помогите читателям.

Ответ:

v (t) = S' (t)
v1 (t) = v2 (t)
v1 (t) = S1' (t) = (2,5 t2 – 6t + 1)' = 5t – 6
v2 (t) = S2'(t) = (0,5 t2 + 2t – 3)' = t + 2

Значит:

5t – 6 = t + 2
5t – t = 2 + 6
4t = 8
t = 2

При t = 2 (с) скорости тел будут равны.

Г. Корреспондент газеты “Горняцкая правда ”

К нам обратился читатель с таким вопросом.

Над центром круглой площади надо подвесить фонарь. При какой высоте подвески (столба) на краях площадки получится наибольшая освещенность?

Ответ:

Из физики известно, что освещенность Е в точке А выражается формулой

Е = k, где
k – некоторый постоянный коэффициент пропорциональности.
l – расстояние от фонаря до точки А.
– угол, получаемый между прямой l и плоскостью площадки.

По определению косинуса угла cos = r/l, где r – противолежащий катет, l – гипотенуза.

Выразим: l = r/cos2; J2 = r2/cos2.

Подставим 12 в формулу

Исследуем функцию на экстремумы на отрезке [0; ]

Е' = (sin cos2)' = (cos cos2 + sin(-2cos sin))

Е' = (cos3 – 2sin2 cos)

Решая уравнение: Е' = 0

cos (cos2 – 2sin2 ) = 0

cos = 0 cos2 – 2sin2 = 0 (:cos2 )

= 0°, 

1 – 2tg2 = 0

2tg2 = 0

tg2  = 1/2

tg =

Так как при = 0 и = Е будет равна 0, а при 0< 0 <   Е будет > 0. Ясно, что 0 отвечает наибольшей освещенности (Енаиб). Требуемая высота столба вычисляется по формуле h = r*tg0 = r* 0.7r.

Производная функции используется всюду, где есть неравномерное протекание процесса: это и неравномерное механическое движение, и переменный ток, и химические реакции и радиоактивный распад вещества и т.д.

Мы убедились в важности изучения темы "Производная", ее роли в исследовании процессов науки и техники, в возможности конструирования по реальным событиям математические модели, и решать важные задачи.

IV.  ДОМАШНЯЯ РАБОТА .ИНСТПУКЦИЯ ПО ВЫПОЛНЕНИЮ.

Домашняя работа

1. Известно, что тело массой 5 кг движется прямолинейно по закону

s(t)= t2+2. Найдите кинетическую энергию тела через 2 с после начала движения.

2. Найдите силу F, действующую на материальную точку с массой 10 кг, движущуюся прямолинейно по закону х(t) = 2t3- t2 при t = 2с.

3. Закон изменения температуры тела в зависимости от времени задаётся уравнением T = 0,2t2. С какой скоростью изменяется температура тела в момент времени 5с ?

4. Изменение силы тока в зависимости от времени задано уравнением

 I = 2t2 – 5t. Найдите скорость изменения силы тока в момент времени 10 с.

5. Маховик вращается вокруг оси по закону (t) = t4 – 1. Найдите его угловую скорость w в момент времени t и t=2 с.

6.(2) При вращении проволочной рамки в однородном магнитном поле пронизывающий рамку магнитный поток изменяется в зависимости от времени по закону Ф = 10-2cos 10 t. Вычислив производную Ф,t , написать формулу зависимости ЭДС от времени = (t).  

7. (2) Заряд q на пластинах конденсатора изменяется по закону

q = 10 - 6cos 10 4t.  Записать закон зависимости силы тока от времени i= i(t), вычислив производную q,t.  

V. САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА.

  Вы успешно справились с поставленной перед вами задачей.  Однако скоро вам предстоит самое важное испытание.  Поэтому в  конце урока мы проведем небольшую самостоятельную работу на решение задач из открытого банка заданий ЕГЭ.   Решение задач на геометрический смысл производной. Задача   В8.

В заключении урока я хочу вам прочитать стихотворение:

“Музыка может возвышать или умиротворять душу,
Живопись – радовать глаз,
Поэзия – пробуждать чувства,
Философия – удовлетворять потребности разума,
Инженерное дело – совершенствовать материальную сторону жизни людей,
А математика способна достичь всех этих целей”.

Так сказал американский математик Морис Клайн.

Спасибо за работу!