Кв.уравнения
учебно-методический материал по алгебре (8 класс)

 Вспомогательная карточка по квадратным уравнениям

🔹 Квадратное уравнение — общий вид  ax² + bx + c = 0

где: a ≠ 0 — старший коэффициент, b — второй коэффициент, c — свободный член

🟩 Часть 1. Неполные квадратные уравнения

Неполные кв. уравнения — когда отсутствует один из членов.  

Решаются без дискриминанта.

✅ Случай 1: ax² + c = 0  (нет bx, например: 3x² −12 = 0)

Алгоритм решения:

1. Перенесите c вправо: ax² = −c
2. Разделите на a: x² = −ac​
3. Извлеките корень:

• Если −ac​ > 0, то x = ±​​
• Если −ac​ < 0, то корней нет (в действительных числах)

📌 Пример: 2x² −18 = 0 → 2x² = 18 → x² = 9 → x = ±3

✅ Случай 2: ax² + bx = 0     (нет c, например: 4x² + 8x = 0)

Алгоритм решения:
Вынесите x за скобку:  x(ax + b) = 0

Получаем два решения: x = 0 или ax + b = 0 → x = −ab​

📌 Пример:  5x² − 15x = 0  →  x(5x −15) = 0  →  x₁ = 0 и x₂ = 3

✅ Случай 3: ax² = 0  (только квадратный член, например: 7x² = 0)

Решение: x = 0 — единственный корень

🟥 Часть 2. Решение по общей формуле.  Для любого уравнения вида ax² + bx + c = 0

Шаг 1: Найдите дискриминант  D = b² − 4ac

Шаг 2: Определите количество корней

• D > 0 → два корня
• D = 0 → один корень
• D < 0 → корней нет (в действительных числах)

Шаг 3: Найдите корни

x =

📌 Пример: Решите 2x² − 5x + 2 = 0

• a = 2, b = −5,  c = 2
• D = (−5)² − 4⋅2⋅2 = 25−16 = 9
• x₁ ​ = 45 + 3 ​= 2,  x₂ ​= 45 – 3 ​= 0.5

💡 Советы:

• Всегда сначала проверяй, можно ли решить проще (вынести x, перенести слагаемые)
• Если a = 1, попробуй теорему Виета:
  x₁ ​+ x₂ ​= −b, 

x₁​ ⋅ x₂ ​= c

• После решения - подставь корни в уравнение, чтобы проверить✅
• Не бойся дробей или иррациональных чисел (неизвлекаемых корней)— они бывают в ответах.