"Четырехугольники"
методическая разработка по геометрии (8 класс) по теме

МАОУ «Средняя общеобразовательная школа № 26 с углубленным изучением химии и биологии»

«Четырехугольники»

Автор Келка Марина Леонидовна

Учитель математики

Великий Новгород

2012 г

Пояснительная записка.

При изучении тем  «Четырехугольники» в 8 классе в работе использую общую основную схему описания  многоугольника.

Существует несколько способов получения алгоритма:

1. Первый способ: дать готовый алгоритм целиком.
2. Второй способ: постепенно, шаг за шагом.
3. Третий способ: путём наводящих вопросов вывести учеников на составление алгоритма.

Третий способ является наиболее результативным, поскольку он позволяет развивать логическое мышление, заставляет ученика думать, а не получать готовый продукт деятельности учителя. Поэтому, опираясь на знания, полученными учащимися в начальной школе, данная схема получена при совместной работе учителя и ученика. Создание схемы помогает учащимся при дальнейшем изучении различных видов четырехугольников, основные пункты новой фигуры (общие для всех) они называют сами, а педагог помогает выяснить индивидуальные особенности изучаемого четырехугольника. При этом происходит формирование умений выделять главное, существенное в изучаемом материале, сравнивать, классифицировать, обобщать изучаемые факты и понятия. Материал направлен на развитие познавательных способностей, навыков самостоятельной работы.

После введения алгоритма необходимо закрепление на многократном повторении действий, которое происходит как  в ходе устной работы, так и  при решении письменных задач.  При устном  проговаривании следует не только называть свойства фигур с помощью данных обозначений (сторона АВ, СD и пр.), но применять к этому фразы « противоположные стороны…, боковые стороны…, противоположные углы…. » , что  приводит к умению обобщать и классифицировать изучаемые в  факты.
В основу данной работы положены учебные темы:
«Виды четырехугольников их свойства, признаки»,
«Площади многоугольников».

В дальнейшем материалы используются в 10 – 11 классе при изучении темы «Поверхность тел вращения», «Площадь поверхности» и др.

Одно из важнейших свойств алгоритма – массовость, позволяет применять данную схему для целой группу геометрических фигур.

Схема описания (общая).

1. Определение четырехугольника.
2. Схематичный рисунок.
3. Вершины - количество, название (если есть обозначение).
4. Стороны - количество, название (если есть обозначение).

- взаимное расположение противоположных сторон (параллельны/ не паралелльны);

- взаимное расположение боковых сторон (перпендикулярны/ не перпендикулярны/ расположены под углом… )

 - соотношение длин противоположных сторон (равны/ не равны);

- соотношение длин боковых сторон (равны/ не равны);

- соотношение длин всех сторон (равны/ не равны);

5. Углы - количество, название (если есть обозначение).

- соотношение величин противоположных углов ( равны/ не равны);

- соотношение величин соседних углов ( равны/ не равны);

- соотношение величин всех углов ( равны/ не равны);

6. Диагонали - количество, название (если есть обозначение).

- взаимное расположение диагоналей (перпендикулярны/ не перпендикулярны/ расположены под углом…);

- соотношение длин диагоналей (или их частей) (равны/ не равны);

7. Сумма углов четырехугольника -  (n - 2) 1800

- сумма противоположных углов;

- сумма соседних углов;

8. Выпуклость / невыпуклость четырехугольника.
9. Периметр.
10.  Площадь.

Параллелограмм.

Параллелограмм – четырёхугольник, у которого противолежащие стороны попарно параллельны, т.е. лежат на параллельных прямых.

1. АBCD – четырехугольник, параллелограмм
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

 АB ║ CD  (противоположные стороны)  АB  = CD (противоположные стороны)  

 BC ║ АD   (противоположные стороны)  BC = АD (противоположные стороны)  

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.

             ∟A = ∟C (противоположные углы)  

             ∟B = ∟D (противоположные углы)  

5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.

О – точка пересечения диагоналей.

            АО = ОС

            ВО = ОD

6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟A+∟B = 1800

        ∟B+∟C = 1800

        ∟C+ ∟D = 1800

         ∟A+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = 2 (а+b)
9. Площадь S = a h

a – основание

h – высота

Прямоугольник.

Прямоугольник – четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90 градусам).

Прямоугольник является частным случаем параллелограмма

1. АBCD – четырехугольник, параллелограмм, прямоугольник.
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

             АB ║ CD              АB  = CD

             BC ║ АD              BC = АD

             AB ┴ AD              CD ┴ AD

             AB ┴ BC              CD ┴ BC

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.

             ∟A = ∟C = ∟B = ∟D = 90◦

5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.

О – точка пересечения диагоналей.

            АО = ОС

            ВО = ОD

6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟A+∟B = 1800

        ∟B+∟C = 1800

        ∟C+ ∟D = 1800

         ∟A+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = 2 (а+b)
9. Площадь S = a b

a, b - стороны

Ромб.

Ромб – четырёхугольник, у которого все стороны равны между собой.

Ромб является частным случаем параллелограмма

1. АBCD – четырехугольник, параллелограмм, ромб.
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

             АB ║ CD              АB  = CD = BC = АD

             BC ║ АD              

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.

             ∟A = ∟C

             ∟B = ∟D

5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.

О – точка пересечения диагоналей.

            АО = ОС

            ВО = ОD

            AC ┴ BD

6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟A+∟B = 1800

        ∟B+∟C = 1800

        ∟C+ ∟D = 1800

         ∟A+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = 4а
9. Площадь S = a h

a – сторона

h - высота

Квадрат.

Квадрат – правильный четырёхугольник, у которого все стороны и углы равны между собой.
Квадрат является частным случаем прямоугольника, ромба и параллелограмма.   

1. АBCD – четырехугольник, параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат.
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

             АB ║ CD              АB  = CD = BC = АD

             BC ║ АD

             AB ┴ AD              CD ┴ AD

             AB ┴ BC              CD ┴ BC

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.

             ∟A = ∟C

             ∟B = ∟D

5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.

О – точка пересечения диагоналей.

            АО = ОС

            ВО = ОD

            AC ┴ BD

6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟A+∟B = 1800

        ∟B+∟C = 1800

        ∟C+ ∟D = 1800

        ∟A+∟D = 1800

             ∟A+∟C = 1800

             ∟B+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = 4а
9. Площадь S = a2

       a – сторона

Трапеция.

Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

1. АBCD – четырехугольник, трапеция.
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

             АB ║ CD              

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.
5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.
6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟C+ ∟B = 1800

        ∟A+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = АB+BC+ CD+ АD
9. Площадь S = (a + b) h

                                            2

       а,b – стороны

       h - высота

Равнобокая (равнобедренная) трапеция.

Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны.

Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобокой или равнобедренной.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

1. АBCD – четырехугольник, трапеция, равнобокая трапеция.
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

             АB ║ CD              

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.

∟A =∟B

∟C =∟D.

5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.

AC = BD.

6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟C+ ∟B = 1800

        ∟A+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = АB+BC+ CD+ АD
9. Площадь S = (a + b) h

                                            2

       а,b – стороны

       h - высота

Прямоугольная  трапеция.

Трапеция – четырёхугольник, две противоположные стороны которого параллельны между собой, а две другие не параллельны.

Параллельные стороны трапеции называются основаниями, а непараллельные — боковыми сторонами.

Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

1. АBCD – четырехугольник, трапеция, прямоугольная трапеция.
2. Имеет 4 вершины – точки А, B, C, D
3. Имеет 4 стороны – отрезки АB, BC, CD, АD

             АB ║ CD  

             AD  ┴ AB

             AD ┴  DC            

4. Имеет 4 угла - ∟A,∟B,∟C, ∟D.

∟A =∟ D = 900

5. Имеет 2 диагонали – отрезки AC, BD.
6. Сумма углов равна  (n - 2) 1800

        ∟A+∟B+∟C+ ∟D = (4 - 2) 1800 = 3600

        ∟C+ ∟B = 1800

        ∟A+∟D = 1800

7. АВСD – выпуклый четырехугольник
8. Периметр Р = АB+BC+ CD+ АD
9. Площадь S = (a + b) h

                                            2

       а,b – стороны

       h – высота, совпадает со стороной АD.