дискуссия
план-конспект занятия по геометрии (8 класс)

УРОК С ЭЛЕМЕНТАМИ ДИСКУССИИ “ТЕОРЕМА ПИФАГОРА” (8 КЛАСС)

Цель:

1. Познакомить учащихся с теоремой Пифагора и научить ее применять к решению задач.
2. Развивать мыслительные способности учащихся посредством вовлечения их в обсуждение проблемы.
3. Воспитывать культуру общения, умение вести дискуссию.

План урока:

1. Создание проблемной ситуации, приводящей к пониманию необходимости знания теоремы Пифагора.
2. Теорема Пифагора. Различные способы доказательства.
3. Решение задач.
4. Итог урока.

 I. Наш урок мы начнем с решения одной старинной задачи.

Задача. На обоих берегах реки растет по пальме, одна против другой. Высота одной 30 локтей, другой – 20 локтей. Расстояние между их основаниями – 50 локтей. На верхушке каждой пальмы сидит птица. Внезапно обе птицы заметили рыбу, выплывшую к поверхности воды между пальмами. Они кинулись к ней разом и достигли ее одновременно. На каком расстоянии от более высокой пальмы появилась рыба?

Переведем задачу на математический язык.

       Дано: АС=30, ВД=20, АВ=50.

 Учитель: Что означает, что птицы летели с одинаковой скоростью и достигли рыбы одновременно?
1 ученик: Это означает, что до рыбы они летели одинаковое расстояние, т.е. СЕ=ДЕ.

Учитель: Что требуется найти в задаче?
2 ученик: Найти АЕ.

Учитель: Какой способ для решения задачи вы предлагаете?
3 ученик: С помощью уравнения. За Х можно принять расстояние АЕ. Тогда ВЕ=50-Х.

Учитель: Какие величины надо выразить через Х, чтобы мы могли составить уравнение?
4 ученик: Надо выразить СЕ и ДЕ.

Учитель: Можем ли мы это сделать?
1 ученик: Нет, мы не можем это сделать.

Учитель: Что мы можем сказать о треугольниках АСЕ и ВДЕ?
2 ученик: Они прямоугольные.

Учитель: Как называются стороны АС и АЕ в треугольнике АСЕ, ВД и ВЕ в треугольнике ВДЕ?
3 ученик: Они называются катетами.

Учитель: Как называются стороны СЕ и ДЕ?
4 ученик Они называются гипотенузами.

Учитель: Значит, нам надо знать зависимость между катетами и гипотенузой в прямоугольном треугольнике.

Эту зависимость подметили еще в глубокой древности и доказали теорему, которую знают теперь почти все школьники. Эта теорема носит имя Пифагора. Послушайте историческую справку.

Пифагор жил в Древней Греции (родился он в 580 г. до н.э., умер в 500 г. до н.э.). О жизни этого ученого известно немного, зато с его именем связан ряд легенд. Рассказывают, что он много путешествовал: был в Индии, Египте, Вавилоне; изучал древнюю культуру и достижения науки разных стран. Вернувшись на родину, Пифагор организовал кружок молодежи из представителей аристократии. В пифагорский союз, который имел свой кодекс чести, принимались с большими церемониями после долгих испытаний. Каждый вступающий отрекался от своего имущества и давал клятву хранить в тайне учение своего основателя. Пифагорейцы занимались математикой, философией, естественными науками. Ими было сделано много важных открытий в арифметике и геометрии. Авторство всех работ приписывалось Пифагору.

Пифагор был убит в уличной схватке во время народного восстания. После его смерти ученики окружили имя своего учителя множеством легенд.

Представим себе, как могли решать нашу проблему ученики Пофагора на одном из заседаний своего союза.

Попробуем найти зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике практическим путем.

Пифагор дает задание каждому из участников представления:

- Ты построй треугольник с катетами 3 и 4.

- Ты – 6 и 8.

- Ты – 8 и 15.

- Ты – 12 и 5.

Измерим длину гипотенузы в каждом треугольнике и данные занесем в таблицу:

 развернуть таблицу

 развернуть таблицу

Пифагор: Какую зависимость видит каждый из вас?

1 ученик: У меня .

2 ученик: У меня тоже .

Пифагор: Будет ли верно и в других случаях?

3 ученик: Нет, у меня  но у меня .

Пифагор: Будет ли это верно для других случаев?

1,2 ученики: Нет.

Пифагор: Значит, ни одна из формул не выражает зависимость между гипотенузой и катетами в прямоугольном треугольнике.

4 ученик: Я заметил, что 122+52=132, 144+25=169. Может, это будет верно и для других случаев?

Пифагор: Давайте проверим.

 развернуть таблицу

 развернуть таблицу

1,2,3 ученики: Действительно, это так.

 II. Пифагор: Значит a2+b2=c2. Попробуем доказать это.

Построим на сторонах прямоугольного треугольника квадраты со сторонами a,b,c.

Что означает запись a2?, площадь квадрата со стороной a; b2 - ?, площадь квадрата со стороной b; c2 - ?, площадь квадрата со стороной с.

 Пифагор: Попробуйте сформулировать теорему.
1 ученик: Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах.

Учитель: Так звучала теорема во времена Пифагора.
2 ученик: Квадрат гипотенузы в прямоугольном треугольнике равен сумме квадратов его катетов.

Учитель: А так звучит современная формулировка.

Пифагор: Друзья, обдумайте возможные доказательства этой теоремы. Того, кто придумает лучший способ, ждет награда.

Учитель: К настоящему времени известно более 200 способов доказательства этой теоремы. Посмотрим, какие из них предложили ученики Пифагора.

1 ученик: Квадраты, построенные на катетах, состоят из двух одинаковых треугольников. А квадрат, построенный на гипотенузе, состоит из четырех таких треугольников. Значит, теорема верна, все очень просто.

2 ученик: Просто и красиво, молодец, друг.

3 ученик: Просто и красиво, но ведь ты взял не обычный прямоугольный треугольник.

1 ученик: Что же в нем необычного?

3 ученик: Ты привел доказательство для равнобедренного прямоугольного треугольника. А будет ли оно верно, если a?b?

1 ученик: Да, пожалуй ты прав. Я подумаю еще.

2 ученик: А я кажется, придумал. Если закрасить 4 треугольника на первом рисунке, то останется квадрат площадью c2, а если такие же 4 треугольника закрасить на втором рисунке, то останутся квадраты площадью a2 и b2. Вот и получается, что c2=a2+b2.

3 ученик: Верно, верно. Я использовал этот же прием, но по-другому. Поставил рядом квадраты площадью a2 и b2. Теперь отрежем от них два одинаковых треугольника с катетами a и b и гипотенузой с, и переложим так, как показано на рисунке. Получим квадрат площадью с2. Значит, опять получается, что a2+b2=c2.

Пифагор: Вам обоим удалось решить эту проблему. При том вы предложили действительно простое и красивое доказательство. В этом и состоит самый лучший математический стиль – посредством остроумного построения сделать неочевидное очевидным.

Учитель: Ребята, вы тоже можете подумать дома и предложить свои способы доказательства теоремы Пифагора.

4 ученик: А я не смог неочевидное сделать очевидным, но я доказал теорему, используя уже известные, ранее доказанные факты.

Дано: ?АВС – прямоугольный. Угол с=900; АС=в, АВ=с, ВС=а.

Доказать: а2+в2=с2.

Доказательство: АМДС – прямоугольная трапеция.

С другой стороны   

И т.д.

Пифагор: В чем достоинство твоего способа доказательства?
4 ученик: Этот способ доступен пониманию каждого, кто занимается геометрией. Для того чтобы его освоить, не надо обладать воображением или еще какими-то особенными способностями.

1 ученик: Учитель, а как ты доказал эту теорему?
Пифагор предлагает доказательство, предложенное в учебнике.

Учитель: Ребята, мы познакомились с различными способами доказательства теоремы Пифагора, каждый из которых по-своему хорош. Вы можете выучить к следующему уроку любое из предложенных доказательств или придумать свое.

III. Учитель: А сейчас вернемся к нашей задаче.

Условие задачи сохранилось на доске.

Итак, в треугольнике АСЕ: СЕ2=АС2+АЕ2=302+Х2=900+Х2;
в треугольнике ВДЕ: ДЕ2=ВД2+ВЕ2=202+(50-Х)2=
=400+2500- 100Х+Х2=2900-100Х+Х2.

По СЕ=ДЕ СЕ2=ДЕ2=900+Х2=2900-100+Х2
100Х=2000
Х=20, АЕ=20.

Значит, рыба была на расстоянии 20 локтей от большой пальмы.

Рассмотрим еще одну задачу, для решения которой нам необходимо знать теорему Пифагора.

Задача.

                          Над озером тихим,
С полфута размером, высился лотоса цвет.
Он рос одиноко. И ветер порывом
Отнес его в сторону.
Нет боле цветка над водой.
Нашел же рыбак его ранней весной
В двух футах от места, где рос.
Итак, предложу я вопрос:
Как озера вода глубока?

СД – глубина озера

СД = Х, СВ=2 фута

                                    АД=ВД=Х+0,5

Треугольник ВСД – прямоугольный.

ВД2-ВС2=СД2

Х2=(Х+0,5)2 - 22

Х2=Х2+Х+0,25-4

Х=3,75 футов

Ответ: глубина озера 3,75 футов.

IV. Итог.

1. Возможно, было решение задач данного типа без знания теоремы Пифагора? Почему?
2. В чем суть теоремы Пифагора?
3. О чем надо помнить, применяя теорему Пифагора?
4. Древние египтяне для построения прямоугольных треугольников пользовались веревкой с завязанными на ней на одинаковых расстояниях узелками. По одной стороне они откладывали 3 отрезка, на другой 4, а на третьей – 5. Верно ли они поступали?

Треугольник со сторонами 3,4,5 теперь мы называем египетским. Этот способ был известен за 2000 лет до н.э., т.е. задолго до Пифагора. Пифагор же предложил первое, стройное с точки зрения математики доказательство, поэтому вся слава досталась ему.

На эту тему существует легенда о том, что, открыв теорему, Пифагор принес в жертву богам 100 быков.

Послушаем стихотворение А.Шамиссо.

Вам, наверное, известны также детские стишки о пифагоровых штанах.

Данный рисунок подтверждает их содержание.

 До нас дошли и другие шуточные рисунки к теореме Пифагора.