Четырехугольники
электронный образовательный ресурс по геометрии (8 класс)

Слайд 1

Многоугольники

Слайд 2

Ломаная, ее элементы Фигура на рисунке составлена из отрезков АВ, ВС, CD, DE, EF, FS, ST, TR. Отрезки АВ и ВС, ВС и CD и т.п. называются смежными . Смежные отрезки не лежат на одной прямой. Данная фигура называется ломаной . Отрезки АВ, ВС, CD, DE, EF, FS, ST, TR называются звеньями ломаной. Концы отрезков - точки А, В, C, D, E, F, S, T и R называются вершинами ломаной. Точки А и R называются концами ломаной. Сумма длин всех звеньев называется длиной ломаной.

Слайд 3

Ломаная T А B C D E F S R Концы ломаной А и R не совпадают T А B C D E F S ( R ) Концы ломаной А и R совпадают Замкнутая ломаная

Слайд 4

Многоугольник Несмежные звенья замкнутой ломаной не пересекаются Многоугольник Несмежные звенья AB и ST замкнутой ломаной пересекаются Не многоугольник

Слайд 5

Многоугольник Звенья ломаной называются сторонами многоугольника. Длина ломаной называется периметром многоугольника. Две вершины, принадлежащие одной стороне называются соседними Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю

Слайд 6

б) Среди всех фигур, изображенных на рисунке, укажите те, которые являются многоугольниками. а) в) г) д ) е) е) з )

Слайд 7

Любой многоугольник разделяет плоскость на две части: внутренняя область и внешняя область. Внутренняя область Внешняя область Фигуру, состоящую из сторон многоугольника и его внутренней области также называют многоугольником

Слайд 8

Многоугольник с n вершинами называется n -угольником n = 3 треугольник n = 4 четырехугольник n = 5 пятиугольник n = 6 шестиугольник

Слайд 9

Выпуклый многоугольник Если многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины , то он называется выпуклым .

Слайд 10

Это не выпуклый многоугольник Если многоугольник лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины , то он называется выпуклым .

Слайд 11

б) Среди всех фигур, изображенных на рисунке, укажите те, которые являются : а) многоугольниками; б) выпуклыми многоугольниками; в) невыпуклыми многоугольниками а) в) г) д ) е) е) з )

Слайд 12

Углы выпуклого многоугольника А 1 А 2 А 3 А n А n-1 Углы А 1 , А 2 , А 3 , …, A n-1 , A n называются углами многоугольника.

Слайд 13

Сумма углов выпуклого n- угольника А 1 А 2 А 3 А n А n-1 А 1 + А 2 + А 3 + …+ A n-1 + A n =180 0 ∙ n – 360 0 = 180 0 ∙ (n-2) О Сумма углов треугольника А 1 О А 2 равна 180 0 Количество треугольников равно n Сумма углов при вершине О равна 360 0 Сумма углов выпуклого n- угольника равна 180 0 ∙ (n-2)

Слайд 1

Четырехугольник и его элементы

Слайд 2

Разбейте данные фигуры на группы. По какому признаку разбили фигуры на группы?

Слайд 3

Четырехугольник Количество вершин – 4 Количество сторон – 4 Количество углов – 4 Количество диагоналей – 2 Две несмежные стороны называются противоположными Две несмежные стороны называются противоположными Сумма углов равна 180 0 ∙ ( 4 -2) = 360 0

Слайд 4

Стороны четырехугольника, являющиеся соседними отрезками, называются соседними сторонами четырехугольника Вершины четырехугольника, являющиеся концами одной стороны, называют соседними вершинами четырехугольника Стороны четырехугольника, не являющиеся соседними, называют противолежащими сторонами четырехугольника Несоседние вершины четырехугольника, называют противолежащими вершинами четырехугольника Отрезок, соединяющий противолежащие вершины четырехугольника, называют диагональю четырехугольника

Слайд 5

Задание . 1.Какие вершины четырехугольника являются соседними, противолежащими? 2.Какие стороны четырехугольника являются соседними, противолежащими?

Слайд 6

Углы ABC,BCD,CDA,DAB называют углами четырехугольника ABCD В этом четырехугольнике все они меньше развернутого угла Такой четырехугольник называют выпуклым . В четырехугольнике ABCD ˪ ABC больше развернутого. Такой четырехугольник не является выпуклым .

Слайд 7

Задание . Среди четырехугольников, изображенных на рисунке, назовите выпуклые.

Слайд 8

Теорема . Сумма углов четырехугольника равна 360 º Дано : А BCD – четырехугольник Доказать : ˪А+˪В+˪С+˪ D =360 º Доказательство: Диагональ BD разбивает четырехугольник на два треугольника. Сумма углов треугольника равна 180°. Сумма углов четырехугольника ABCD равна сумме углов треугольников ABD и CBD. Значит, ˪А+˪В+˪С+˪ D =360 º Теорема доказана

Слайд 9

Задание . Чему равен четвертый угол четырехугольника, если три его угла равны 78 º , 89 º и 93 º ? 100 º Задание . Найдите углы четырехугольника, если они равны между собой. 90 º

Слайд 10

Задача. Может ли у четырехугольника быть: три прямых угла и один острый; три прямых угла и один тупой; четыре прямых угла; четыре острых угла; два прямых и два тупых угла; два прямых угла, один острый и один тупой? Задача. Могут ли стороны четырехугольника быть равными: 2 дм, 3 дм, 4 дм, 9 дм; 2 дм, 3 дм, 4 дм, 10 дм?

Слайд 1

Параллелограмм – это четырехугольник, у которого противоположные стороны параллельны . ABCD - параллелограмм

Слайд 2

Свойства углов параллелограмма Сумма соседних углов равна 180° ∠ A + ∠B = 180° , т.к. они являются односторонними при параллельных прямых BC и AD , и секущей AB Противоположные углы параллелограмма равны ∠ A + ∠B = 180° ∠ C + ∠B = 180° , углы A и C дополняют угол B до 180°, значит они равны, т.е. ∠ A = ∠ С. Аналогично ∠ B = ∠D . Сумма углов параллелограмма равна 360° S=180°( n-2) , где n =4 – число углов, значит S=180°(4 -2) =360° - сумма углов.

Слайд 3

Свойство сторон параллелограмма Противоположные стороны параллелограмма равны. Докажем, что Доп. Построение: Проведем диагональ BD . Рассмотрим треугольники АВ D и С DB . BD – общая сторона, ∠ ABD = ∠CDB ( накрест лежащие при AB ∥ CD и секущей BD ), ∠ ADB = ∠DBC ( накрест лежащие при B С ∥ AD и секущей BD ). Треугольники равны по второму признаку Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т.е. AB = CD , BC = AD

Слайд 4

Свойство диагоналей параллелограмма Диагонали параллелограмма пересекаются и точкой пересечения делятся пополам Докажем, что точка О – середина диагоналей AC и BD . Треугольники BOC и DOA равны, т.к. 1. BC = AD (по свойству сторон параллелограмма), 2. ∠ OBC =∠ODA (накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей BD ), 3. ∠ BCO = ∠OAD (накрест лежащие при BC ∥ AD и секущей AC). Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, т.е. BO = OD, CO = OA , значит O – середина диагоналей AC и BD.

Слайд 5

Параллелограмм. Решение задач Задача : В параллелограмме ABCD проведена диагональ AC. ∠ BCA = 30°, ∠BAC = 4 0°. Найдите все углы параллелограмма. Решение : Рассмотрим Δ BAC. У него ∠ BCA = 30°, ∠BAC = 40° , значит ∠ B = 180° . ∠ B = ∠D = 110° ( по свойству противоположных углов), ∠ A+∠B=180°, ⇒ ∠A=180°-110°=70°, ∠C=∠A=70° (по свойству противоположных углов параллелограмма ) Ответ : ∠C=∠A=70° , ∠ B = ∠D = 110°

Слайд 6

Параллелограмм. Решение задач Задача : Найдите стороны параллелограмма, если две его стороны относятся как 4:5, а периметр равен 72 см. Решение : Т. к. отношение сторон равно 4 : 5, то речь в условии задачи идет о соседних сторонах параллелограмма. 4+5 = 9 – частей на сумму сторон AB и BC. AB + BC = 72: 2 = 36 см, 36 : 9 = 4 (см) – одна часть, AB = 4 ·4=16 (см), BC = 4·5=20 ( см). CD = AB = 16 см, AD = BC = 20 см (по свойству сторон параллелограмма) Ответ : CD = AB = 16 см, AD = BC = 20 см

Слайд 7

Параллелограмм. Решение задач Задача : в параллелограмме ABCD проведена биссектриса угла А. Она разбивает сторону ВС на отрезки BH = 6 см и HC = 4 см. Найдите периметр параллелограмма. Решение : ∠ 3 =∠2, т.к. А H – биссектриса, ∠1=∠3 (накрест лежащие при BC∥AD и секущей AH) , ⇒ ∠1=∠2, Δ ABH – равнобедренный ( по признаку ), ⇒ AB = BH = 6c м. BC = AD = 10 c м, AB = CD = 6 c м. Р = 2·(10+6) = 32 см. Ответ : P=32 см.

Слайд 8

Параллелограмм. Решение задач Задача : ABCD – параллелограмм. Высота BK равна 2 см, ∠ A=30° , сторона BC=13 см. Найти периметр параллелограмма. Решение. Δ ABK – прямоугольный, ∠ A=30° , ⇒ BK = ½ AB , ⇒ AB =2 BK , AB =4см P=2· (AB+BC) , Р=2·(4+13)=34(см). Ответ : 34 см

Слайд 1

Прямоугольник Прямоугольник – это параллелограмм, у которого все углы прямые. ∠ A = ∠B=∠C=∠D=90°

Слайд 2

Свойства прямоугольника Противоположные стороны равны Все углы прямые Диагонали равны Диагонали точкой пересечения делятся пополам

Слайд 3

Свойство диагоналей прямоугольника Диагонали прямоугольника равны. Доказательство : Прямоугольные треугольники BAD и CDA равны по двум катетам ( AB=CD, AD – общий катет). Отсюда следует, что гипотенузы треугольников равны, т.е . AC=BD.

Слайд 4

Прямоугольник. Решение задач Задача : ABCD – прямоугольник. Найти ∠ COD, если BD=12 см, AB=6 см. Ответ : 60°

Слайд 5

Прямоугольник. Решение задач Задача : ABCD – прямоугольник. Найти O Н , если BD=12 см, AB=6 см . Ответ : 3 см

Слайд 6

Прямоугольник. Решение задач Задача : ABCD – прямоугольник. АК – биссектриса ∠ A , СК=2,7 см, К D =4,5 см. Найти периметр ABCD . Ответ : Р=23,4 см

Слайд 1

Ромб Ромб – это параллелограмм, у которого все стороны равны. A B=BC=CD=DA

Слайд 2

Свойства ромба Все стороны равны Противоположные углы равны Диагонали ромба перпендикулярны Диагонали ромба – биссектрисы углов ромба

Слайд 3

Свойства диагоналей ромба Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам. Доказательство : Рассмотрим ромб ABCD. По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный. Т.к. ромб – параллелограмм, то его диагонали точкой О делятся пополам. Следовательно, АО – медиана треугольника BAD , а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Итак, AC⊥BD и ∠ BAC=∠DAC , ч.т.д .

Слайд 4

Ромб. Решение задач Задача : ABCD – ромб. Найдите углы ромба, если AB=AC Ответ : 60 °,60°,120°,12 O°

Слайд 5

Ромб. Решение задач Задача : ABCD – ромб. Найдите углы ромба, если сторона АВ ромба образует с диагоналями углы 70 °,2 O° . Ответ : 40°,40°,14 O°,14O°

Слайд 6

Ромб. Решение задач Задача : ABCD – ромб. Найдите углы ромба, если сторона АВ ромба образует с диагоналями углы, такие, что один больше другого на 10 °. Ответ : 80°,80°,10 O°,1 0 O°

Слайд 7

Ромб. Решение задач Задача : ABCD – ромб. Найти ∠ CBE Ответ : 15°

Слайд 8

Ромб. Решение задач Задача : ABCD – ромб. Найти ∠С. Ответ : 70°

Слайд 9

Квадрат Квадрат – это прямоугольник, у которого все стороны равны. AB = BC = CD = DA

Слайд 10

Квадрат. Свойства квадрата Все стороны равны Диагонали равны Все углы прямые Диагонали п ерпендикулярны Диагонали делятся точкой пересечения пополам Диагонали – биссектрисы углов квадрата