Стереометрия
консультация по геометрии

Стереометрия        

§ 1.  Основные понятия и аксиомы стереометрии

Стереометрия — это раздел геометрии, в котором изучаются свойства фигур в пространстве.

Слово «стереометрия» происходит от греческих слов «στερεοσ» — объемный, пространственный и «μετρεο» — измерять.

Простейшие фигуры в пространстве: точка, прямая, плоскость.

1. Плоскость. 

Представление о плоскости дает гладкая поверхность стола или стены. Плоскость как геометрическую фигуру следует представлять себе простирающейся неограниченно во все стороны.

На рисунках плоскости изображаются в виде параллелограмма или в виде произвольной области и обозначаются греческими буквами α, β, γ и т.д. Точки А и В лежат в плоскости β (плоскость β проходит через эти точки), а точки M, N, P не лежат в этой плоскости. Коротко это записывают так: А ∈ β, B ∈ β, 

1.2.  Аксиомы стереометрии и их следствия.

Аксиома 1. 

Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.

Аксиома 2. 

Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости. (Прямая лежит на плоскости или плоскость проходит через прямую).

 Из аксиомы 2 следует, что если прямая не лежит в данной плоскости, то она имеет с ней не более одной общей точки. Если прямая и плоскость имеют одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

Аксиома 3. 
Если две различные плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

В таком случае говорят, плоскости пересекаются по прямой.

Пример: пересечение двух смежных стен, стены и потолка комнаты.

- 1 -

1.3.  Некоторые следствия из аксиом.

Теорема 1. Через прямую a и не лежащую на ней точку А проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 2. Через две пересекающиеся прямые a и b проходит плоскость, и при том только одна.

§ 2.  Параллельные прямые в пространстве

Две прямые в пространстве называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются. 

Теорема о параллельных прямых.  Через любую точку пространства, не лежащую на данной прямой, проходит прямая, параллельная данной, и притом только одна.

 Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.  Если одна из двух параллельных прямых пересекает данную плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Теорема о трех прямых в пространстве.   Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны (если a∥c и b∥c, то a∥b).

§ 3.  Параллельность прямой и плоскости

Прямая и плоскость называются параллельными, если они не имеют общих точек.

3.1.  Признак параллельности прямой и плоскости.

Теорема.  Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, лежащей в этой плоскости, то она параллельна данной плоскости.

- 2 -

Теорема.  Если плоскость проходит через данную прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой.

Теорема.  Если одна из двух параллельных прямых параллельна данной плоскости, то другая прямая либо также параллельна данной плоскости, либо лежит в этой плоскости. 

3.2.  Взаимное расположение прямых в пространстве.

§ 4.  Параллельность плоскостей

Две плоскости называются параллельными, если они не пересекаются, т.е. не имеют ни одной общей точки. α∥β.

- 3 -

4.1.  Признак параллельности двух плоскостей.

Теорема. Если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости , то эти плоскости параллельны.
Если а∥а1  и  b∥b1,  то α∥β.

4.2.  Свойства параллельных плоскостей.

§ 5.  Перпендикулярность прямых и плоскостей

5.1.  Угол между двумя скрещивающимися прямыми.

С появлением в стереометрии скрещивающихся прямых возникает вопрос: как определить угол между двумя скрещивающимися прямыми?

                      A      β

              А1                           b1 

                       β        

     a                                  b2

                                       b  

Пусть прямые a и b скрещивающиеся (см. рис.). Выберем на прямой a произвольную точку A. Проведем через нее прямую b1 || b. Угол β между прямыми a и b1  равен углу между скрещивающимися прямыми a и b. Ясно, что величина этого угла не зависит от выбора точки A. Действительно, выберем на прямой a точку A1 ≠ A и проведем через  нее прямую b2 || b. Поскольку b1 || b и b2|| b, то b2|| b1. Прямые b2 и b1 образуют с прямой a одинаковые углы.

- 4 -

Определение  1.  Углом  между двумя скрещивающимися прямыми называется угол между двумя пересекающимися прямыми, соответственно параллельными данным скрещивающимся прямым.

Определение  2.  Две прямые в пространстве называются перпендикулярными, если они образуют прямой угол.

На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Скрещивающиеся прямые  A1D1  и  CD перпендикулярны.  Действительно, A1D1 C1D1, а C1D1 || CD.

Назовем еще несколько пар скрещивающихся перпендикулярных прямых:  A1D1  и  AB,  A1B1  и   BC,  A1B1  и  AD,  B1C1  и AB.

5.2.  Перпендикулярность прямой и плоскости.

Определение  3.  Прямая называется  перпендикулярной плоскости, если она перпендикулярна любой прямой из этой плоскости.

Теорема  1. Признак перпендикулярности прямой и плоскости. Если прямая перпендикулярна каждой из двух пересекающихся прямых плоскости, то она перпендикулярна этой плоскости.

Сформулируем некоторые теоремы, устанавливающие связь между параллельностью и перпендикулярностью в пространстве.

Теорема  2.  Плоскость, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой.

Теорема  3.  Две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны между собой.

Теорема  4.  Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных плоскостей, то она перпендикулярна и другой.

Теорема  5.  Две плоскости, перпендикулярные одной прямой, параллельны между собой.

Определение  4.  Перпендикуляром, проведенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок прямой, перпендикулярной данной плоскости, который соединяет данную точку с точкой плоскости.

Пусть ММо  – перпендикуляр к плоскости α (см. рис.),  Мо - основание перпендикуляра. Длина этого перпендикуляра ММо называется расстоянием от точки М до плоскости α. Отрезок, соединяющий точку М с любой точкой плоскости, отличной от Мо, называется наклонной (МA – наклонная, А– основание наклонной, АМо – проекция наклонной на плоскость α, то есть АМо = Прα ММо ).

Теорема  6.  Если из одной точки вне плоскости проведены к ней перпендикуляр и наклонные, то

• длина перпендикуляра меньше длины любой наклонной;
• наклонные с равными проекциями равны;
• из двух наклонных большую длину имеет та, у которой больше проекция.

- 5 -

Теорема  7.  О трех перпендикулярах.  Для того, чтобы прямая на плоскости была перпендикулярна наклонной, необходимо и достаточно, чтобы эта прямая была перпендикулярна ортогональной проекции наклонной на плоскость.

5.3.  Перпендикулярность двух плоскостей.

Определение  5.  Пусть прямая a является линией пересечения плоскостей  α  и  β

                                                                       m

                                                                                         a

                                                                                                    α

                                              n                                               n

                                                            a 

                                                                           m            γ

                                                                β        

 (см. рис.). Пусть плоскость γ, перпендикулярная прямой a, пересекает плоскости  α  и  β  по прямым m и n, которые взаимно перпендикулярны, то есть γ  α = m, γ  β = n и m  n. Такие плоскости α и β называются взаимно перпендикулярными.

Это определение не зависит от плоскости γ. Действительно, если провести другую плоскость δ, перпендикулярную прямой a, то δ || γ.

Теорема  8. Признак перпендикулярности двух плоскостей.  Пусть a  α, a  β, тогда β α. То есть, если плоскость β содержит прямую a, перпендикулярную плоскости α, то плоскости α и β перпендикулярны.

Теорема  9.  Пусть α  β, α β = a, b  a, b β, тогда b  α. То есть прямая b, лежащая в одной из взаимно перпендикулярных плоскостей β и перпендикулярная линии пересечения a этих плоскостей, перпендикулярна и другой плоскости α.

Теорема  10.  Если плоскости α и β взаимно перпендикулярны, и к плоскости  α  проведен перпендикуляр, имеющий общую точку с плоскостью β, то этот перпендикуляр  лежит в плоскости β.

Теорема  11.  Пусть плоскости α и β перпендикулярны плоскости γ и пересекаются по прямой a, тогда a  γ.

5.4.  Теорема об общем перпендикуляре двух скрещивающихся прямых.

Определение  6.  Общим перпендикуляром двух скрещивающихся прямых  называется отрезок с концами на этих прямых, перпендикулярный каждой из этих прямых.

Теорема  12.  Две скрещивающиеся прямые имеют общий перпендикуляр, и притом единственный.

Лемма  1. Две скрещивающиеся прямые лежат в параллельных плоскостях.

- 6 -

5.5.    Двугранный угол.

Определение  8.   Двугранный угол – это часть пространства, заключенная между двумя  полуплоскостями, имеющими одну общую границу.

Полуплоскости α и β, образующие двугранный угол, называются его  гранями 

Общая прямая этих граней называется  ребром двугранного угла. Пусть точки A и B взяты на ребре двугранного угла. Двугранный угол обозначается двумя буквами: угол AB. Иногда двугранный угол обозначается четырьмя буквами, из которых две средних обозначают точки ребра, а две крайние – точки, взятые на гранях.

                                α          A           β

                                        γ  

                           M  a       φ             b  N

                                          С  

                                           B

Пусть M α, N β (cм. рис.), тогда двугранный угол обозначается так: угол MABN. Выберем на ребре AB двугранного угла произвольную точку C и проведем через нее плоскость γ перпендикулярно ребру AB. Плоскость γ пересекает грани двугранного угла по лучам a и b, которые образуют некоторый угол величиной φ. Этот угол называется  линейным углом двугранного угла. Легко доказать, что величина линейного угла не зависит от выбора точки C на ребре AP. Величина двугранного угла равна величине его линейного угла. Если  φ – величина двугранного угла, то 0° < φ < 180°.

Определение  9.  При пересечении двух плоскостей образуются четыре двугранных угла. Величина меньшего из этих двугранных углов называется  углом  между  этими плоскостями.

Если плоскости параллельны, то угол между ними равен 0° по определению. Если φ – величина угла между двумя плоскостями, то 0° < φ < 90°.

5.6.  Параллельный перенос.

Введём на плоскости декартовы координаты xОу. Преобразование некоторой фигуры F, при котором произвольная ее точка А (х;у) переходит в другую точку А (х+a; y+b), где а и b постоянные, называется параллельным переносом.

Параллельный перенос есть движение. При параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние.

- 7 -

§ 6.  Векторы в пространстве
6.1.  Понятие вектора.

Величины, которые характеризуются, не только числом, но еще и направлением, называются векторными величинами или просто векторами. Векторами являются, например, скорость, ускорение, сила.

Геометрически векторы изображаются направленными отрезками. 
Направленный отрезок называется вектором.
Вектор характеризуется следующими элементами: 1) начальной точкой (точкой приложения); 2 )направлением; 3) длиной («модулем вектора»).

Если начало вектора — точка А, а его конец — точка В, то вектор обозначается  или .

От любой точки можно отложить вектор, равный данному, и притом только один, используя параллельный перенос.

Нулевой вектор — точка в пространстве. Начало и конец нулевого вектора совпадают, и он не имеет длины и направления. Обозначается: .

Абсолютной величиной (или модулем) вектора называется длина отрезка, изображающего вектор. Абсолютная величина вектора .  Обозначается .

Векторы:  ,  ,  .
Два вектора называются равными, если они совмещаются параллельным переносом.  
АВСD — параллелограмм,        

Два ненулевых вектора называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.
Если векторы  и  коллинеарны и их лучи сонаправлены, то векторы  и  называются сонаправленными.    Обозначаются .
Если векторы и коллинеарны, а их лучи не являются сонаправленными, то векторы и  называются противоположно направленными.  Обозначаются  . 

Нулевой вектор условились считать сонаправленным с любым вектором. 

- 8 -

коллинеарные векторы:  

Свойство коллинеарных векторов. Если векторы  и  коллинеарны и , то существует число k такое, что  . причем если k > 0, то векторы  и  сонаправленные, если k < 0, то противоположно направленные.

6.2.  Сложение векторов

6.2.1.  Правило треугольника.

Каковы бы ни были точки А, В, С, имеет место векторное равенство:

Рисунки иллюстрируют сложение коллинеарных векторов с помощью параллельного переноса.

Если при сложении векторов и  по правилу треугольника точку А заменить другой точкой А1, то вектор  заменится равным ему вектором .

 6. 2.2.   Правило параллелограмма.  

Если векторы  и  не коллинеарны, их можно отложить от одной точки, достроив затем параллелограмм. Диагональ параллелограмма есть сумма двух векторов  и .

6.2.3.  Свойства сложения векторов.

Для любых векторов  заданных в пространстве, справедливы равенства

Переместительный закон  

Сочетательный закон

- 9 -

Правило многоугольника применяется, если нужно найти сумму трех или большего числа векторов. Сумма нескольких векторов не зависит от того, в каком порядке они складываются.  От произвольной точки О отложен вектор  затем от точки А отложен вектор  и, наконец, от точки В отложен вектор  В результате получается вектор 

6.3.  Умножение вектора на число.

Произведением ненулевого вектора  на число k называется такой вектор, , длина которого равна, , причем векторы  и  сонаправлены при  и противоположно направлены при k < 0. 
Произведением нулевого вектора на любое число считается нулевой вектор.

Свойства умножения вектора на число.  Для любых векторов  и  и любых чисел k, m справедливы равенства:

Сочетательный закон  

Первый распределительный закон  

Второй распределительный закон  

6.4.  Компланарные векторы.

Векторы называются компланарными, если при откладывании их от одной и той же точки они будут лежать в одной плоскости.

 Любые два вектора компланарны.

Три вектора, среди которых имеются два коллинеарных, также компланарны.

Три произвольных вектора могут быть компланарными (лежать в одной плоскости) или некомпланарными (не лежать в одной плоскости).

- 10 -

6.4.1.   Признак компланарности трех векторов.

Если вектор  можно разложить по векторам  и , т.е. представить в виде

,  где х и у — некоторые числа, то векторы ,  и компланарны.

6.4.2.   Правило параллелепипеда

Сумма трех некомпланарных векторов равна вектору, изображаемому направленной диагональю параллелепипеда, построенному на этих векторах:

6.5.   Угол между двумя векторами.

Углом между двумя направлениями в пространстве называется величина наименьшего угла между любыми лучами этих направлений с общим началом. 
Угол между лучами  обозначается . По определению угол между двумя направлениями находится в промежутке [0°; 180°].

Углом между двумя ненулевыми векторами называется угол между направлениями этих векторов.

- 11 -

6.6.   Базис вектора. Разложение вектора на плоскости по двум

 некомпланарным векторам.

Теорема: Любой вектор  на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде двух любых неколлинеарных векторов  и :

Числа x и y называются координатами вектора. Векторы  и  называются базисом вектора  на плоскости.

Разложение вектора по трем некомпланарным векторам

Базисом пространства называют любые три некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке

Теорема: Любой вектор  на плоскости может быть представлен, и притом единственным образом, в виде линейной комбинации трех любых неколлинеарных векторов ,  и :  

Числа x, y и z называются координатами вектора  в данном базисе. В этом случае пишут:

6.7.   Действия над векторами, заданными своими координатами

- 12 -

§ 7.  Прямоугольная система координат в пространстве

Если через точку пространства проведены три попарно перпендикулярные прямые, на каждой из них выбрано направление (оно обозначается стрелкой) и выбрана единица измерения отрезков, то говорят, что задана прямоугольная система координат в пространстве. 

Прямые с выбранными на них направлениями называются осями координат, а их общая точка О – началом координат.

Оси координат обозначаются так: Ох, Оу, Oz – и имеют названия: ось абсцисс, ось ординат, ось аппликат. 
Вся система координат обозначается Oxyz. 
Три плоскости, проходящие соответственно через оси координат Ох и Оу, Оу и Oz, Oz и Ох, называются координатными плоскостями и обозначаются Оху, Oyz, Ozx.

В прямоугольной системе координат каждой точке М пространства сопоставляется тройка чисел, которые называются ее  координатами. 
Они определяются аналогично координатам точек на плоскости. 

Проведем через точку М три плоскости, перпендикулярные к осям координат, и обозначим через M1, М2 и М3 точки пересечения этих плоскостей соответственно с осями абсцисс, ординат и аппликат.

 Первая координата точки М (она называется  абсциссой и обозначается обычно буквой х) определяется так: x = OM1.   Аналогично с помощью точки М2 определяется вторая координата (ордината) у точки  М, а с помощью точки М3 — третья координата (аппликата) z точки М. 

Координаты точки М записываются в скобках после обозначения точки: М (х; у; z). Все три координаты начала координат равны нулю: О (0; 0; 0).

- 13 -

Координаты вектора.

Зададим в пространстве прямоугольную систему координат Охуz. На каждой из положительных полуосей отложим от начала координат единичный вектор, т. е. вектор, длина которого равна единице. Обозначим через единичный вектор оси абсцисс, через – единичный вектор оси ординат и через – единичный вектор оси аппликат.

Векторы  называются  координатными векторами. Эти векторы не компланарны, т.е. не лежат в одной плоскости. Поэтому любой вектор  можно разложить по координатным векторам, т. е. представить в виде  где коэффициенты разложения вектора  по координатным осям x, y, z, являются координатами вектора в данной системе координат.

§ 8.   Многогранники

Призмой называется многогранник, который состоит из двух плоских многоугольников, лежащих в разных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих многоугольников. 

Многоугольники  называются  основаниями призмы (А1А2...Аn и  В1В2... Вn), а отрезки, соединяющие соответствующие вершины (А1В1) – боковыми ребрами призмы.

Так как параллельный перенос есть движение, то  основания призмы равны.

При параллельном переносе плоскость переходит в параллельную плоскость (или в себя), поэтому у призмы основания лежат в параллельных плоскостях.

Так как при параллельном переносе точки смещаются по параллельным (или совпадающим) прямым на одно и то же расстояние, то у призмы боковые ребра параллельны и равны.

Поверхность призмы состоит из оснований и боковой поверхности. Боковая поверхность состоит из параллелограммов. У каждого из этих параллелограммов две сторо-

ны являются соответствующими сторонами оснований, а две другие – соседними боковыми ребрами.

Высотой призмы (S1S2) называется расстояние между плоскостями ее оснований.

Отрезок, соединяющий две вершины призмы, не принадлежащие одной грани, на-

- 14 -

 зывается диагональю призмы, например АnВn.

Призма называется n-угольной, если ее основания – n-угольники.

Правильной пирамидой называется многогранник, в основании которого лежит правильный многоугольник, а отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром основания, является ее высотой.

Все ребра правильной пирамиды равны.

Высота боковой грани правильной пирамиды, проведенная из ее вершины, называется апофемой. Все апофемы правильной пирамиды равны.

Площадь боковой поверхности правильной пирамиды равна половине произведения периметра основания на апофему.

В усеченной пирамиде площадь боковой поверхности – это сумма площадей граней пирамиды, которые являются трапециями.

                                           § 9.  Тела вращения

Цилиндр.

Определение: круговым цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, не лежащих в одной плоскости и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. 

Сами круги называются основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей кругов, — образующими цилиндра. 

По свойствам параллельного переноса имеем: основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях, а образующие цилиндра параллельны и равны.

 Определение: цилиндр называется прямым, если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. 

Радиус оснований цилиндра называется радиусом цилиндра. Расстояние между плоскостями  оснований цилиндра называется высотой цилиндра. Прямая, проходящая через центры оснований, называется осью цилиндра. Боковой поверхностью цилиндра называется поверхность, составленная из его образующих.

Теорема: площадь боковой поверхности цилиндра равна произведению длины окружности основания на высоту цилиндра:

Рассмотрим сечения прямого кругового цилиндра различными плоскостями: осевым сечением называется сечение плоскостью, проходящей через ось цилиндра, оно представляет собой прямоугольник, две стороны которого — образующие цилиндра, а две другие стороны — диаметры оснований цилиндра.

 В сечении также может получиться круг, если секущая плоскость перпендикулярна к оси цилиндра.

- 15 -

Примеры:
1. Запаянная с двух концов водосточная труба имеет форму цилиндра.

2. При сечении цилиндра плоскостью, перпендикулярной к оси цилиндра, первоначальный цилиндр распадается на два цилиндра, радиусы которых равны радиусу первоначального цилиндра.

3. Если боковую поверхность прямого кругового цилиндра разрезать по одной из образующих, то в развертке получится прямоугольник.

Конус.

Определение: тело, которое состоит из круга — основания конуса, точки, не лежащей в плоскости этого круга, — вершины конуса, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания, называется круговым конусом.

Образующие конуса — отрезки, соединяющие вершину конуса Р с точками окружности основания.

Высота конуса h — перпендикуляр, опущенный из его вершины на плоскость основания. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая вершину конуса с центром основания, является высотой конуса.

Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту.

Боковая поверхность конуса — поверхность, образованная отрезками, соединяющими каждую точку окружности, лежащей в основании конуса, с вершиной конуса.

Теорема: площадь боковой поверхности конуса равна произведению половины длины окружности основания на образующую.

Примеры:  1. Если боковую поверхность прямого кругового конуса разрезать по одной из его образующих, то в развертке получится сектор круга, радиус которого равен длине образующей конуса.

2. При вращении прямоугольного треугольника вокруг любого из его катетов получается прямой круговой конус.

Сечением прямого кругового конуса плоскостью, проходящей через его вершину, является равнобедренный треугольник, у которого боковые стороны — образующие конуса. Частным случаем является осевое сечение — сечение, проходящее через ось конуса.

Если секущая плоскости перпендикулярна оси конуса, т.е. параллельна плоскости основания конуса, то сечение конуса представляет собой круг с центром на оси конуса.

Сфера и шар.

Определение: поверхность, состоящая из всех точек пространства, расположенных на данном расстоянии от 

данной точки, называется сферой. Центр сферы — данная

- 16 -

точка; радиус  сферы — данное расстояние; диаметр сферы — отрезок, соединяющий две точки сферы и проходящей через ее центр.

 Определение: тело, ограниченное сферой, называется шаром. 

Любое сечение шара плоскостью является кругом, а центр этого круга – основание перпендикуляра, опущенного из центра шара на секущую плоскость.

Большим кругом называется сечение шара диаметральной плоскостью — плоскостью, проходящей через центр шара. 

Теорема: площадь S сферы радиуса R вычисляется по формуле: .

Примеры:  1. Земля и глобус имеют форму, близкую к шару.

2. Если рассмотреть сечение Земли плоскостью, проходящей через экватор, то вся Земля разобьется на два полушария: северное и южное.

3. Баскетбольные, теннисные, футбольные, волейбольные мячи имеют форму шара.

§ 10.  Объемы многогранников

Формулы объема многогранников: прямоугольного параллелепипеда, наклонного параллелепипеда, призмы и пирамиды. Примеры.

Теорема: объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями а, b, с вычисляется по формуле   .

Теорема: объем наклонного (любого) параллелепипеда равен произведению площади основания S на высоту h:

 .

Теорема: объем любой призмы равен произведению площади ее основания S на высоту h:  .

Теорема: объем любой пирамиды равен одной трети произведения плошали ее основания S на высоту h:  .

Примеры:

1. Куб является прямоугольным параллелепипедом, все измерения которого равны между собой, поэтому объем куба с ребром  а  равен:  .
- 17 -

2. Если в правильной прямой четырехугольной призме провести сечение, которое проходит через диагональ квадрата, лежащего в его основании, и через высоту призмы, то получается две треугольные призмы, объемы которых равны.

§ 11.   Объемы тел вращения

Формулы объема тел вращения: цилиндра, конуса, шара.

Теорема: объем цилиндра равен произведению площади основания S на высоту h:

, где R - радиус основания.

Теорема: объем конуса равен одной трети произведения площади основания S на высоту h :  , где R - радиус основания конуса.

Теорема: объем шара равен  ,  где R — радиус шара.

Шаровым слоем называется часть шара, заключенная между двумя параллельными секущими плоскостями. Круги, получившиеся в сечении шара этими плоскостями, называются основаниями шарового слоя, а расстояние между плоскостями — высотой  шарового слоя.

Объем шарового слоя можно вычислить как разность объемов двух шаровых сегментов. Объем шарового слоя равен разности объемов шаровых сегментов, высоты которых равны АС и АВ.

Шаровым сектором называется тело, полученное вращением кругового сектора с углом, меньшим 90°, вокруг прямой, содержащей один из ограничивающих круговой сектор радиусов.

Шаровой сектор состоит из шарового сегмента и конуса. Если радиус шара равен R , а высота шарового сегмента равна h , то объем V шарового сектора вычисляется по формуле  .

Примеры: 
1. Объем цилиндра в три раза больше объема конуса с такой же высотой и радиусом основания.

2. Объем шара в четыре раза больше объема конуса, высота которого равна радиусу основания и равна радиусу шара.

3. При сечении шара диаметральной плоскостью получаются два полушария, объемы которых равны.

- 18 -