конспект 8 класс Геометрия Тема урока. Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и свойства.
план-конспект урока по геометрии (8 класс)

8 класс

Геометрия
Тема урока. Вписанные и описанные четырёхугольники, их признаки и свойства.

Вспомним вместе.

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности. Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — это четырехугольник, все стороны которого касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник

Рассмотрим теоремы о вписанных и описанных четырехугольниках и их свойствах

Теорема 1. Четырёхугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны 180°.

Теорема 2. Четырёхугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы его противоположных сторон равны.

Теорема 3. (Птолемея). Произведение диагоналей вписанного четырёхугольника равно сумме произведений противоположных сторон.

Теорема 4. Площадь описанного четырехугольника равна произведению полупериметра четырёхугольника на радиус вписанной в него окружности.

Теорема 5. Окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Теорема 6. Окружность можно описать около ромба тогда и только тогда, когда ромб является квадратом.

Теорема 7. Окружность можно описать около трапеции тогда и только тогда, когда трапеция является равнобедренной.

Теорема 8. В любой ромб можно вписать окружность.

Теорема 9. В любой квадрат можно вписать окружность.

Теорема 10. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон равна сумме длин оснований.

Рассмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

Задача 1. Угол ∠A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол ∠C этого четырехугольника.

Решение

Четырехугольник вписан в окружность.

Значит, сумма его противоположных углов равна *

∠А + ∠С = 180°

Отсюда

Ответ: 148°.

Задача 2. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Решение

Четырехугольник вписан в окружность.

Значит, сумма его противоположных углов равна

Пусть А = , ∠А + ∠С = 180°, тогда ∠С = 180°-82°= 98°

Если угол ∠В=58°, то ∠D= 180°-58°= 122°

Ответ: 122°.

Задача 3. Три стороны четырехугольника, описанного около окружности, относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен см.

Решение

Пусть сторона = см, = см, а СD =3х см.

По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны:

АВ + СD=ВС + AD, значит

4х = ВС + 2х

ВС = 4х – 2х

ВС = 2х
Получается, что = .

Тогда периметр четырехугольника равен

Р =АВ+ВС+СD+AD,

х+2х+3х+2х=32 см:

8х = 32

Получим, что

Значит АВ = 4 см, ВС = AD = 2·4 = 8 см, СD= 3х=3 ·4 = 12 см.

Значит большая сторона равна см.

Ответ: 12 см.

Задача 4. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен 40 cм. Найдите ее среднюю линию.

Решение

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований.

Пусть основания трапеции равны ВС = а см, AD = с см,

а боковые стороны: АВ = см, СD=b cм.

По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен

Р = а + b + c + d = = 40 см
Получаем, что а + с = 20 см, а средняя линия равна

= 10 см.

Ответ: 10 см.

Задача 5. Угол A четырехугольника , вписанного в окружность, равен . Найдите угол C этого четырехугольника. Ответ дайте в градусах.

Решение:

Четырехугольник вписан в окружность. Значит, сумма его противоположных углов равна

Поэтому

Ответ: 148.

Задача 5. Углы четырехугольника относятся как . Найдите угол D, если около данного четырехугольника можно описать окружность.

Решение:

Пусть

Сумма всех углов четырехугольника равна

А сумма каждой пары противоположных углов равна (т.к. четырехугольник вписан в окружность).

Запишем эти два условия в виде двух уравнений с двумя неизвестными:

Подставляем второе уравнение в первое и получаем

Ответ: 90.

Задача 6. Стороны четырехугольника и стягивают дуги описанной окружности, градусные величины которых равны соответственно и . Найдите угол C этого четырехугольника.

Решение

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна .

Поэтому

Угол А – вписанный, опирается на дугу , равную сумме дуг и , т.е.

Тогда вписанный угол А равен половине дуги , т.е.

Ответ: 107.

Задача 7. Точки расположенные на окружности, делят эту окружность на четыре дуги и градусные величины которых относятся соответственно как Найдите угол A четырехугольника Ответ дайте в градусах.

Решение:

Угол А – вписанный, опирается на дугу равную сумме дуг и Найдем дуги и

Обозначим градусные величины дуг и как согласно заданному соотношению между дугами.

Тогда или

Сумма дуг и составляет

Вписанный угол А равен половине дуги т.е.

Ответ: 15.

Задача 8. Радиус окружности, описанной около квадрата, равен Найдите длину стороны этого квадрата.

Решение:

Радиус окружности, описанной около квадрата, равен половине диагонали квадрата. Тогда диагональ квадрата равна

Выразим сторону квадрата через его диагональ:

Ответ: 32.

Задача 9. Чему равна сторона правильного шестиугольника, вписанного в окружность, радиус которой равен 6?

Решение:

Если правильный шестиугольник вписан в окружность, то радиус окружности равен стороне шестиугольника. Поэтому сторона равна 6.

Ответ: 6.

Задача 10. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна ее меньшему основанию, угол при основании равен , большее основание равно 12. Найдите радиус описанной окружности этой трапеции.

Решение:

Поскольку трапеция вписана в окружность, она равнобедренная.

Рассмотрим равнобедренную трапецию с основаниями

Тогда боковые стороны

Проведем параллельно Тогда треугольник – равнобедренный, т.к. и равносторонний, т.к. Поэтому

– параллелограмм по построению, но , поэтому – ромб, и

Получаем, что О – центр описанной окружности с радиусом, равным меньшему основанию –

Ответ: 6.

Задача 11. Найти диагональ параллелограмма, вписанного в окружность радиусом 6 см.

Решение:

Согласно одной из теорем, окружность можно описать около параллелограмма тогда и только тогда, когда параллелограмм является прямоугольником.

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру, см.

Ответ: 12.

Задача 12. Около трапеции описана окружность. Периметр трапеции равен 60, средняя линия равна 25. Найдите боковую сторону трапеции.

Решение:

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Поэтому сумма оснований

Сумму боковых сторон найдем как разность между периметром и суммой оснований:

Трапеция вписана в окружность, следовательно, трапеция равнобедренная, боковые стороны равны:

Ответ: 5.

Задача 13. Найдите радиус окружности, описанной около прямоугольника, две стороны которого равны 13 и

Решение:

Прямой угол, вписанный в окружность, опирается на диаметр. Поэтому диагональ равна диаметру окружности.

В то же время по теореме Пифагора диагональ найдем как

Радиус окружности равен половине диаметра:

Ответ: 9.

Задача 14. Найдите радиус окружности, вписанной в квадрат со стороной 16.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в квадрат, равен половине его стороны. Поэтому

Ответ: 8.

Задача 15. Периметр прямоугольной трапеции, описанной около окружности, равен 22, ее большая боковая сторона равна 7. Найдите радиус окружности.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна 11 (половине периметра).

Боковая сторона тогда боковая сторона

Радиус вписанной окружности равен половине т.е. 2.

Ответ: 2.

Задача 16. Найдите высоту трапеции, в которую вписана окружность радиуса 14.

Решение:

Высота трапеции, в которую вписана окружность, равна диаметру этой окружности:

Ответ: 28.

Задача 17. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 19 и 13. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Трапеция описана около окружности. Следовательно, сумма оснований равна сумме боковых сторон и равна

Средняя линия трапеции равна полусумме оснований

Ответ: 16.

Задача 18. Около окружности, радиус которой равен 2, описан многоугольник, периметр которого равен 16. Найдите его площадь.

Решение:

Площадь описанного многоугольника можно найти как произведение полупериметра на радиус вписанной окружности:

Ответ: 16.

Задача 19. В равнобедренной трапеции, вписанной в окружность, диагонали взаимно перпендикулярны. Средняя линия трапеции равна 12. Найти радиус вписанной окружности.

Решение:

Радиус окружности, вписанной в трапецию, равен половине ее высоты.

Рассмотрим равнобедренную трапецию

Проведем Треугольник – прямоугольный (с прямым углом С) и равнобедренный. Его гипотенуза равна сумме оснований трапеции (т.к. – параллелограмм, и ),

Высота трапеции является также высотой и медианой, проведенной из прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника .

Радиус вписанной окружности

Ответ: 6.

Задача 20. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 6. Радиус описанной окружности равен 5. Центр окружности лежит внутри трапеции. Найдите высоту трапеции.

Решение:

Пусть О – центр описанной окружности. Проведем высоту проходящую через точку О. Тогда (радиусы окружности),

Треугольники и – прямоугольные. Применяя теорему Пифагора, найдем:

Ответ: 7.

Это были задачи по теме «Вписанные и описанные четырехугольники» из первой части ОГЭ и ЕГЭ. Покажем более сложную задачу, из второй части ОГЭ по математике.

Задача 21. В четырёхугольник можно вписать и вокруг него можно описать окружность. Диагонали этого четырёхугольника перпендикулярны. Найдите его площадь, если радиус описанной окружности равен 5, а

Решение:

Обозначим Тогда

Обозначим также

Вписать окружность в четырехугольник можно тогда и только тогда, когда суммы длин противоположных сторон четырехугольника равны.

Значит, Отсюда

Пусть О – точка пересечения диагоналей четырёхугольника

При пересечении и образуется четыре прямоугольных треугольника. Это

Пусть

Запишем для каждого из этих треугольников теорему Пифагора:

Из

Из

Из

Из

Мы получили систему уравнений.

Сложив первое и третье из них и выразив как получим:

Кроме того, Это мы нашли в самом начале.

Из системы уравнений

находим:

Значит,

Перестроим чертеж. Это надо сделать обязательно. Появились новые данные – рисуем новый чертеж. По условию, четырехугольник вписан в окружность.

Треугольники и равны по трем сторонам. Значит, углы и равны.

Четырехугольник вписан в окружность, поэтому сумма углов и равна 180 градусов. Мы получили, что углы и – прямые. Тогда – диаметр окружности.

По условию, , тогда

опирается на диаметр.

– прямоугольный, – его гипотенуза.

По теореме Пифагора для :

Отсюда

Ответ: 40.

Посмотрите видео по ссылке

Домашнее задание
Решить задачи.
1. Найдите все углы вписанного в окружность четырехугольника АВСD, если ∠ А=40º, а ∠D =90º
2. Три последовательные стороны четырехугольника, в который можно вписать окружность, равны 6 см, 8 см и 9 см. Найдите четвертую сторону и периметр этого четырехугольника.
3. Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 2 см и 4 см. Найдите среднюю линию трапеции.
4. Около окружности с диаметром 15 см описана равнобедренная трапеция с боковой стороной, равной 17 см. Найдите основания трапеции