Открытый урок "Вписанная и описанная сфера"
план-конспект урока по геометрии (11 класс) по теме

Описанная окружность.

Определение: Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около многоугольника, а многоугольник – вписанным в окружность.

Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

В отличие от треугольника около четырехугольника не всегда можно описать окружность. Например: ромб.

Теорема. В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 1800.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 1800, то около него можно описать окружность.

Для того чтобы четырехугольник АВСD был вписанным, необходимо и достаточно, выполнения любого из следующих условий:

• ABCD выпуклый четырехугольник и ∟ABD=∟ACD;
• Сумма двух противоположных углов четырехугольника равна 1800.

Центр окружности равноудален от каждой из его вершин и поэтому совпадает с точкой пересечения серединных перпендикуляров к сторонам многоугольника, а радиус равен расстоянию от центра до вершин.

Для треугольника:        Для правильного многоугольника:

Вписанная окружность.

Определение: Если все стороны многоугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в многоугольник, а многоугольник – описанным около этой окружности.

Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например: прямоугольник, не являющийся квадратом.

Теорема. В любом описанном четырехугольнике суммы длин противоположных сторон равны.

Если суммы длин противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Для того чтобы выпуклый четырехугольник ABCD являлся описанным, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие AB+DC=BC+AD (суммы  длин противоположных сторон равны).

Центр окружности равноудален от сторон многоугольника, значит, совпадает с точкой пересечения биссектрис углов многоугольника (свойство биссектрисы угла). Радиус равен расстоянию от центра окружности до сторон многоугольника.

Для треугольника:   Для правильного    

 многоугольника:    

Вписанная сфера.

Определение: Сфера называется вписанной в многогранник, если она касается всех граней многогранника. Многогранник в таком случае называется описанным около сферы.

Центр вписанной сферы – точка пересечения биссекторных плоскостей всех двугранных углов.

Сфера называется вписанной в двугранный угол, если она касается его граней. Центр вписанной в двугранный угол сферы лежит на биссекторной плоскости этого двугранного угла. Сфера называется вписанной в многогранный угол, если она касается всех граней многогранного угла.

Не во всякий многогранник можно вписать сферу. Например: в прямоугольный параллелепипед, не являющийся кубом, сферу вписать нельзя.

Теорема. В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу и притом только одну.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду CABD. Проведем биссекторные плоскости ее двугранных углов с ребрами AС и BC. Они пересекаются по прямой, которая пересечет биссекторную плоскость двугранного угла с ребром АВ. Таким образом, биссекторные плоскости двугранных углав с ребрами АВ,АС и ВС имеют единственную общую точку. Обозначим ее Q. Точка Q равноудалена от всех граней пирамиды. Следовательно, сфера соответствующего радиуса с центром в точке Q является вписанной в пирамиду САBD.

Докажем ее единственность. Центр любой сферы вписанной в пирамиду CABD равноудален от ее граней, значит, он принадлежит биссекторным плоскостям двугранных углов. Следовательно, центр сферы совпадает с точкой Q. Что требовалось доказать.

Теорема. В пирамиду, у которой в основание можно вписать окружность, центр которой служит основанием высоты пирамиды, можно вписать сферу.

Следствие. В любую правильную пирамиду можно вписать сферу.

Докажите, что центр сферы вписанной в правильную пирамиду, лежит на высоте этой пирамиды (докажите самостоятельно).

Центр сферы, вписанной в правильную пирамиду, есть точка пересечения высоты пирамиды с биссектрисой угла, образованного апофемой и ее проекцией на основание.

Проанализируйте решение задачи.

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

Решите задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены  к основанию под углом 600. Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

Описанная сфера.

Определение. Сфера называется описанной около многогранника, если________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________. Многогранник при этом называется _______________________________________.

Каким свойством обладает центр описанной сферы?

Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?

Определение. Геометрическим местом точек пространства, равноудаленных от концов некоторого отрезка, является ___________________________________________________________________________________________________________  ___________________________________________________________________________________________________________.

Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?

Около какого многогранника можно описать сферу?

Приведите пример многогранника, около которого нельзя описать сферу: ________________________ __________________________________________________________________________________________________________ .

Около какой пирамиды можно описать сферу?

Теорема. ____________________________________________________________________________________________   ____________________________________________________________________________________________________.

Доказательство. Рассмотрим треугольную пирамиду ABCD. Построим плоскости, перпендикулярные соответственно ребрам АВ, АС и AD и проходящие через их середины. Обозначим через О точку пересечения этих плоскостей. Такая точка существует, и она единственна. Докажем это. Возьмем первые две плоскости. Они пересекаются, поскольку перпендикулярны непараллельным прямым. Обозначим прямую, по которой пересекаются первые две плоскости, через l. Эта прямая l перпендикулярна плоскости АВС. Плоскость, перпендикулярная AD, не параллельна l и не содержит ее, поскольку в противном случае прямая AD перпендикулярна l, т.е. лежит в плоскости АВС. Точка О равноудалена от точек А и В, А и С, А и D, значит, она равноудалена ото всех вершин пирамиды ABCD, т. е. сфера с центром в О соответствующего радиуса является описанной сферой для пирамиды.

Докажем ее единственность. Центр любой сферы, проходящей через вершины пирамиды, равноудален от этих вершин, значит, он принадлежит плоскостям, которые перпендикулярны ребрам пирамиды и проходят через середины этих ребер. Следовательно, центр такой сферы совпадает с точкой О.  Теорема доказана.

Около какой еще пирамиды можно описать сферу?

Теорема. _____________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Центр сферы, описанной около пирамиды, совпадает с точкой пересечения прямой, перпендикулярной основанию пирамиды, проходящей через центр описанной около основания окружности и плоскости, перпендикулярной любому боковому ребру, проведенной через середину этого ребра.

Для того чтобы около многогранника можно было описать сферу необходимо, __________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

При этом центр описанной сферы может лежать ___________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________ и проектируется в центр описанной около любой грани окружности; перпендикуляр, опущенный из центра описанной около многогранника сферы на ребро многогранника, делит это ребро пополам.

Следствие. ___________________________________________________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Центр сферы, описанной около правильной пирамиды, лежит ________________________________________________ ___________________________________________________________________________________________________________.

Проанализируйте решение задачи.

Задача. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна h. Найдите радиус сферы, описанной около пирамиды.

Решите задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 600. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

Открытый урок по теме «Вписанные и описанные многогранники»

Тема урока: Сфера, вписанная в пирамиду. Сфера, описанная около пирамиды.

Тип урока: Урок ознакомления с новым материалом.

Цели урока:

• Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.
• Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.
• Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.
• Сформировать навыки решения задач по теме.
• Развитие у учащихся навыков самостоятельной работы.
• Развитие логического мышления, алгоритмической культуры,  пространственного воображения, развитие математического мышления и интуиции,  творческих способностей на уровне, необходимом для продолжения образования и  для самостоятельной  деятельности в области математики и ее приложений  в будущей профессиональной деятельности;

Оборудование:

• Интерактивная доска
• Презентация «Вписанная и описанная сфера»
• Условия задач в рисунках на доске.
• Раздаточный материал (опорные конспекты).

1. Планиметрия. Вписанная и описанная окружность.
2. Стереометрия. Вписанная сфера
3. Стереометрия. Описанная сфера

Структура урока:

• Постановка целей урока (2 минуты).
• Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос) (6 минут).
• Объяснение нового материала (15 минут)
• Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по теме «Стереометрия. Описанная сфера»  и  применение темы при решении задач (15 минут).
• Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся (5 минут).
• Постановка домашнего задания (2 минуты).
•  Резервные задания.

Ход урока

1. Постановка целей урока.

• Ввести понятие сферы, вписанной в многогранник; сферы, описанной около многогранника.
• Сравнить описанную окружность и описанную сферу, вписанную окружность и вписанную сферу.
• Проанализировать условия существования вписанной сферы и описанной сферы.
• Сформировать навыки решения задач по теме.

2. Подготовка к изучению нового материала повторением (фронтальный опрос).

Окружность, вписанная в многоугольник.

• Какая окружность называется вписанной в многоугольник?
• Как называется многоугольник, в который вписана окружность?
• Какая точка является центром окружности, вписанной в многоугольник?
• Каким свойством обладает центр окружности, вписанной в многоугольник?
• Где располагается центр окружности, вписанной в многоугольник?
• Какой многоугольник можно описать около окружности, при каких условиях?

Окружность, описанная около многоугольника.

• Какая окружность называется описанной около многоугольника?
• Как называется многоугольник, около которого описана окружность?
• Какая точка является центром окружности, описанной около многоугольника?
• Каким свойством обладает центр окружности, описанной около многоугольника?
• Где может располагаться центр окружности, описанной около многоугольника?
• Какой многоугольник можно вписать в окружность и при каких условиях?

3. Объяснение нового материала.

А. По аналогии учащиеся формулируют новые определения и отвечают на поставленные вопросы.

Сфера, вписанная в многогранник.

• Сформулируйте определение сферы, вписанной в многогранник.
• Как называется многогранник, в который можно вписать сферу?
• Каким свойством обладает центр вписанной в многогранник сферы?
• Что представляет множество точек пространства, равноудаленных от граней двугранного угла? (трехгранного угла?)
• Какая точка является центром сферы, вписанной в многогранник?
• В какой многогранник можно вписать сферу, при каких условиях?

В. Учащиеся доказывают теорему.

В любую треугольную пирамиду можно вписать сферу.

В процессе работы на уроке учащиеся пользуются опорными конспектами.

С. Учащиеся анализируют  решение задачи.

В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна а, высота равна h. Найдите радиус сферы, вписанной в пирамиду.

D. Учащиеся решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 4, боковые грани наклонены  к основанию под углом 600. Найдите радиус, вписанной в эту пирамиду сферы.

4. Осмысление темы при самостоятельном составлении конспекта по «Сфера, описанная около многогранника» и  применение при решении задач.

А. Учащиеся самостоятельно заполняют конспект по теме «Сфера, описанная около многогранника». Отвечают на следующие вопросы:

• Сформулируйте определение сферы, описанной около многогранника.
• Как называется многогранник, около которого можно описать сферу?
• Каким свойством обладает центр описанной около многогранника сферы?
• Что представляет собой множество точек пространства, равноудаленных от двух точек?
• Какая точка является центром сферы, описанной около многогранника?
• Где может быть расположен центр сферы, описанной около пирамиды? (многогранника?)
• Около какого многогранника можно описать сферу?

В. Учащиеся самостоятельно решают задачу.

Задача. В правильной треугольной пирамиде сторона основания равна 3, а боковые ребра наклонены к основанию под углом 600. Найдите радиус описанной около пирамиды сферы.

С. Проверка составленного конспекта и анализ решения задачи.

5. Подведение итогов урока проверкой знания и понимания изученной темы (фронтальный опрос). Оценка ответов учащихся.

А. Учащиеся самостоятельно подводят итоги урока. 

В.  Отвечают на дополнительные вопросы.

• Можно ли описать сферу около четырехугольной пирамиды, в основании которой лежит ромб, не являющийся квадратом?
• Можно ли описать сферу около прямоугольного параллелепипеда? Если да, то где находится его центр?
• Где в жизни применяется изученная на уроке теория (архитектура, сотовая телефонная связь, геостационарные спутники, система обнаружения GPS).

6. Постановка домашнего задания.

А. Составить конспект  по теме «Сфера, описанная около призмы. Сфера, вписанная в призму». ( Рассмотреть по учебнику задачи: №632,637,638)

В. Решить из учебника задачу № 640.

С. Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс» решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

D. Дополнительное задание: Вариант №5 С12 (1).

7. Резервные задания.

Из методички Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс»решить задачи: Вариант №3 С12(1), Вариант №4 С12(1).

Учебно – методический комплект

1. Геометрия,  10-11:   Учебник для общеобразовательных учреждений. Базовый и профильный уровни/ Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев и др., М.: Просвещение, 2010г.
2. Б.Г. Зив «Дидактические материалы по геометрии 10 класс», М.: Просвещение.

Учитель математики

ГБОУ лицей-интернат «ЦОД»

г Нижний Новгород

Аксенова М.А.