ТРАПЕЦИЯ, ЕЁ ВИДЫ И СВОЙСТВА. ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ ТРАПЕЦИИ
учебно-методический материал по геометрии (9 класс)

        ТРАПЕЦИЯ, ЕЁ ВИДЫ И СВОЙСТВА.

ФОРМУЛЫ ДЛЯ ВЫЧИСЛЕНИЯ ПЛОЩАДИ                  

                              ТРАПЕЦИИ

Определение трапеции и её элементы

Трапеция — это четырёхугольник, только две стороны которого параллельны. Параллельные стороны трапеции называются основаниями (верхнее, как правило, меньшее, а нижнее — большее). Две другие стороны, не параллельные друг другу, принято называть боковыми.

В трапеции можно провести две диагонали.

Так как в трапеции основания параллельны по определению, диагональ BD можно считать секущей. И тогда указанные выше углы равны, так как являются накрест лежащими. Аналогично для диагонали АС: угол ВСА и угол CAD равны.

Виды трапеций

Вышеперечисленные элементы есть у всех трапеций без исключений. А по виду трапеции делятся на:

1)обычные,

2)равнобедренные или равнобокие — у них равны боковые стороны и углы при основании,

3)прямоугольные, у которых один из углов при основании равен 90°, т. е. одна из боковых сторон перпендикулярна основаниям трапеции.

Средняя линия трапеции

Средняя линия трапеции — отрезок, соединяющий середины боковых сторон и параллельный основаниям трапеции.  Средняя линия равна полусумме оснований трапеции.

Длины оснований и средней линии трапеции составляют арифметическую прогрессию. То есть верхнее основание отличается от средней линии на столько же, на сколько средняя линия отличается от нижнего основания.

Например: если BC = 6 и AD = 14, то MN = (6 + 14) / 2 = 10.

Ряд чисел {6; 10; 14} — арифметическая прогрессия, в которой разница между соседними элементами равна 4.

Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка. Средний из них равен полуразности оснований, а два крайних равны между собой:

 Отрезки МL и KN равны половине верхнего основания,

​

 , так как являются средними линиями для треугольников, отсекаемых соответственными диагоналями.

Высота трапеции

Высота трапеции — это перпендикуляр, проведенный из вершины угла трапеции на прямую, содержащую противолежащее основание. Из какого бы угла мы ни провели высоты, они будут равны друг другу. А в прямоугольной трапеции высота совпадает с одной из боковых сторон!

Вписанная и описанная трапеции

Если трапеция вписана в окружность, то она равнобедренная. И наоборот, если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.

Если трапеция описана около окружности, то сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон.

Если в трапецию вписана окружность с радиусом r и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка — a и b, то

Радиус вписанной окружной также можно найти через формулу

, где h — высота трапеции.

Свойства трапеции

Основные свойства

Как у любой другой геометрической фигуры, у трапеции есть определённые свойства или характеристики, которые являются для неё отличительными, выделяют из списка фигур.

1)Для трапеции справедливо свойство любого четырёхугольника: сумма её углов равна 360°.

2)Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180°.

3)Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне.

4)Треугольники AOD и COB, образованные при пересечении диагоналей, подобны: k = AD/BC.

5)Треугольники ABO и DCO имеют одинаковую площадь, т. е. они равновеликие.

6) «Замечательное свойство трапеции»: точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.

7) Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.

Свойства равнобедренных трапеций

Отдельно можно выделить дополнительные свойства равнобедренных трапеций:

1)Диагонали в равнобедренной трапеции равны.

2)Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Площадь трапеции

1)Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

      где:  a, b — основания трапеции;  h — высота трапеции;  MN — средняя линия трапеции.

2)

d1, d2 — диагонали трапеции; sinφ — синус острого угла между ними.

3)

 где: p — полупериметр трапеции;  

                                                                r — радиус вписанной окружности.

 4)Площадь любой фигуры также можно найти через сумму площадей фигур, которые её составляют. Например, если в трапеции проведены диагонали, делящие её на четыре треугольника, то площадь трапеции будет равна сумме площадей этих треугольников.

5)Площадь равнобедренной трапеции через 3 ее стороны (формула брахмагупты)

 , где

6)Площадь трапеции через 4 стороны

  где

7)Площадь трапеции через основания и углы при основании