Главные вкладки

    Практическое занятие по теме Вычисление площади криволинейной трапеции
    учебно-методическое пособие по математике (11 класс) на тему

    Методическое пособие для учащихся

    Скачать:


    Предварительный просмотр:

    Практическое занятие

    ВЫЧИСЛЕНИЕ ПЛОЩАДЕЙ ПЛОСКИХ ФИГУР С ПОМОЩЬЮ

     ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА

    Цель практического занятия:  приобрести навыки и умения вычисления площадей фигур.

    1. Краткие сведения из теории 

    Геометрический смысл определенного интеграла.

    Если интегрируемая на отрезке функция f(x) неотрицательна, то определенный интеграл численно равен площади S криволинейной трапеции aABb, ограниченной графиком функции y = f(x), осью абсцисс 0х и прямыми х = а  и х = b, т.е.


    http://uztest.ru/plugins/abstracts/44_1.gif

    • Если функция  на отрезке , то площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью 0х и прямыми  равна

      (1)

    • Если функция  на , то площадь вычисляется по формуле (1) от абсолютной величины подынтегральной функции

                     или        

    • Если надо вычислить площадь фигуры, ограниченной двумя кривыми  и , при условии, что , то искомую площадь найдем как разность площадей двух криволинейных трапеций

     (2) 

    Для нахождения пределов интегрирования надо найти абсциссы точек А и В пересечения кривых, решив уравнение .

    1. Найдите площадь фигуры, ограниченной данными  линиями,

    в  соответствии с номером варианта:

    № варианта 

    Уравнения линий

    Уравнения линий

    Уравнения линий

    1

    2

    3

    4

    5

    6

     

    7

    8

    9

    10

    1. Решение типовых примеров:

    Пример 1.  Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101718.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201718.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0301718.JPG

    Решение.

    Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений:

    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101719.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201719.JPG

    Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101720.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201720.JPG    или    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101721.JPG.

    Находим: x1 = -2, x2 = 4.

    Итак, данные линии, представляющие собой параболу и прямую, пересекаются в точках A(-2; 0), B(4; 6).

    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101722.JPG

    Эти линии образуют замкнутую фигуру, площадь которой вычисляем по указанной выше формуле:

    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101723.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201723.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0301723.JPG

    По формуле Ньютона-Лейбница находим:

    Описание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0101724.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0201724.JPGОписание: http://www.pm298.ru/Mathem/ds0301724.JPG

    Ответ:

    Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченную линиями .

    Решение.

    Находим точки пересечения заданных линий. Для этого решаем систему уравнений: 

    Для нахождения абсцисс точек пересечения заданных линий решаем уравнение:

    Находим:

    Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

    Ответ:

    Пример 3. Вычислить площадь, ограниченную линиями

    .

    Решение.

    Искомую площадь криволинейной трапеции найдем по формуле:

    Ответ:

    Пример 4.Вычислить площадь, ограниченную линиями  и .

    Решение.

    Решая систему уравнений  и , найдем координаты точек пересечения параболы и прямой: .

    Искомая площадь равна разности площадей

    двух криволинейных трапеций:

    Ответ: 

    Пример 4.Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми , , ,  

    Ответ:

    Пример 5.Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=sinx, y=2sinx, x=0,

    Решение: Построим графики функций y=sinx, y=2sinx

    Ответ:

    Пример 6..  

     Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  , осями координат и прямой .

       В рассматриваемом случае функция    на отрезке  [0; 2]  меняет знак,  а именно   на отрезке  [0; 1]  и     на отрезке  [1; 2] .

    Для нахождения искомой площади воспользуемся формулой (3):

                   

                                   

                 (кв. ед.).

    Ответ: 


    По теме: методические разработки, презентации и конспекты

    Примеры_задач_по теме_"Нахождение площади криволинейной трапеции"

    Данный материал можно использовать как обучающий материал для практических занятий по теме "Вычисление неопределенного интеграла.Площади криволинейных трапеции", в помощь отстающим ученикам или как на...

    Конспект урока по алгебре и началам анализа по теме: "Вычисление площади криволинейной трапеции"

    Конспект урока позволяет проверить умения обучающихся находить первообразные элементарных функций по таблице. Также данный материал помогает объяснить, что называется криволинейной трапецией и как нах...

    "Конспект урока по теме: "Интеграл. Площадь криволинейной трапеции"

    Конспект занятия по алгебре для 2 курса СПО по теме: "Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции"...

    Конспект занятия по теме "Интеграл. Площадь криволинейной трапеции"

    Конспект занятия для обучающихся 2 курса СПО по теме: "Определенный интеграл. Площадь криволинейной трапеции"...

    Практическая работа по теме "Вычисление площади криволинейной трапеции"

    Практическая работа по теме "Вычисление площади криволинейной трапеции". Предлагается 6 вариантов заданий + образец выполнения...

    дистанционный урок по теме "Вычисление площади криволинейной трапеции"

    Урок предназначен для студентов СПО заочной формы обучения...

    Методическая разработка урока "Нестандартные случаи вычисления площади криволинейной трапеции с помощью интеграла", 11 класс

    Цель урока: Проверить и закрепить умения и навыки в вычислении интегралов по формуле Ньютона-Лейбница и площадей фигур. Познакомить с нестандартным приемом вычисления  определенного интеграл...