Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Лазарево»

Конспект урока по математике в 10 классе

по теме:

«Логарифмы и их свойства»

Учитель:

Журавлева Наталья Владимировна

с.Лазарево, 2019г

Конспект урока

Класс: 10

УМК: Алгебра и начала математического анализа,10-11. Ш. А. Алимов, Ю. М. Колягин и др., Просвещение, 2014.

Продолжительность урока: 45 мин.

Тема: «Логарифмы и их свойства»

Тип урока: Урок изучения и первичного закрепления новых знаний.

Цель урока:

• Образовательная – сформировать понятие логарифма, изучить основные свойства логарифмов и способствовать формированию умения применять свойства логарифмов при решении заданий различного уровня.
• Развивающая – развивать логическое мышление; алгоритм вычисления; умение  рационально работать.
• Воспитательная – содействовать воспитанию интереса к математике, воспитывать чувство самоконтроля, ответственности.

Оборудование: компьютер, проектор, презентация "Логарифмы и их свойства", раздаточный материал.

Ход урока:

1. Организационный момент: проверка готовности учащихся к уроку.(2мин)

2. Повторение пройденного материала. (фронтальный опрос 3 мин)

1. Дать определение степени.
2. Что называется основанием и показателем? (Корень n-ой степени из числа а называется такое число, n-я степень которого равна а. 24 = 16.)
3. Сформулируйте свойства степени.

3. Изучение новой темы.(20 мин)

История возникновения логарифма:

                Логарифмы были введены шотландским математиком Джоном Непером (1550-1617) и математиком Иостом Бюрги (1552-1632). 

Бюрги пришел к логарифмам раньше, но опубликовал свои таблицы с опозданием (в 1620г.), а первой в 1614г. появилась работа Непера «Описание удивительной таблицы логарифмов». 

С точки зрения вычислительной практики, изобретение логарифмов  можно смело поставить рядом с другими, более древним великим изобретением  – нашей десятичной системой нумерации. 

                Через десяток лет после появления логарифмов Непера английский ученый Гунтер изобрел очень популярный прежде счетный прибор – логарифмическую линейку. Она помогала астрономам и инженерам при вычислениях, она позволяла быстро получать ответ с достаточной точностью в три значащие цифры. Теперь ее вытеснили калькуляторы, но без логарифмической линейки не были бы созданы ни первые компьютеры, ни микрокалькуляторы. 

«Логарифмы и их свойства» (откройте тетради и запишите дату и тему).

 На какие вопросы мы должны ответить?

Что обозначает слово «логарифм»

Какие свойства имеет логарифм

                Для это ответим на вопросы :

1) В какую степень нужно возвести 6, чтобы получить 36? Очевидно, во вторую. Показатель степени, в которую нужно возвести число 6, чтобы получить 36, равен 2.

2) В какую степень нужно возвести 4, чтобы получить 64? Очевидно, в третью. Показатель степени, в которую нужно возвести число 4, чтобы получить 64, равен 3.

                Во всех случаях мы искали показатель степени, в которую нужно что-то возвести, чтобы что-то получить. Показатель степени, в которую нужно что-то возвести называется логарифмом и обозначается log.

                Число, которое мы возводим в степень, т.е. основание степени, называется основанием логарифма и записывается в нижнем индексе. Затем пишется число, которое мы получает, т.е. число, которое мы ищем:  log636=2

                Эта запись читается так: «Логарифм числа 36 по основанию 6». Логарифм числа 36 по основанию 6- это показатель степени, в которую нужно возвести 6, чтобы получить 36. Этот показатель равен 2.

                Дадим определение логарифма.

                Определение. Логарифмом числа b>0  по основанию a>0, a ≠ 1  называется показатель степени, в которую надо возвести число a, чтобы получить число b. 

                Логарифмом числа b  по основанию a обозначается loga b.

                Рассмотрим примеры:

log327=3;   log525=2;    log366=1/2;

 log5 1/25=-2;    log-2 (-8)- не существует;   log1001=0;   log88=1

                Рассмотрим свойствами логарифма:

10. loga1=0, а>0, a ≠ 1;

20. logaа=1, а>0, a ≠ 1.

        Ими можно пользоваться при решении задач.

                Как перейти из логарифмического равенства к показательному?

 logаb=с, с – это логарифм, показатель степени, в которую нужно возвести а, чтобы получить b. Следовательно, а степени с равен b: а с= b.

                Выведем основное логарифмическое тождество:       (Доказательство рассматривается на слайде).

a log a b =b

                Рассмотрим пример.

4 log 4 37 =37

                Рассмотрим ещё важные свойства логарифмов (работа с учебником).

Свойства логарифмов:

3°. logа ху = logах + logау.

4°. logа х/у = logах - logау.

5°.  logах p = p · logах, для любого действительного p.

Рассмотрим пример на проверку 3 свойства:

log28 + log216= log2 8∙16= log2 128=7

        3 +4           =               7

Рассмотрим пример на проверку 5 свойства:

3∙ log28= log283= log2512 =9

          3∙3         =     9

4. Закрепление. Самостоятельная работа по карточкам. (10 мин)

Задание 1.  Назовите свойство, которое применяется при вычислении следующих логарифмов, и вычислите :

• log66

• log 0,51
• log63+ log62
• log36- log32
• log448

Задание 2. 

Вычислите:

1. log327            
2. log4 1
3. log49 7
4. log55
5. log416
6. log12144
7. log82
8. log66

Задание 3.  Перед вами 8 решённых примеров, среди которых есть правильные и с ошибкой. Определите верное равенство , в остальных исправьте ошибки.

1. log232+ log22= log264=6
2. log553 = 2;
3. log345 - log35 =  log340
4. 3∙log24 = log2 (4∙3)
5. log315 + log33 = log345;
6. 2∙log56 = log512
7. 3∙log23 = log227
8. log2162 = 8.

Проверка и оценивание самостоятельной работы (3 мин)

5. Подведение итогов. (5 мин)

С каким математическим понятием вы познакомились на уроке?

Что вам не составило труда выполнить задание

Какие моменты остались непонятными

Оценивание своей работы на уроке

6. Домашнее задание. (2 мин)

Домашнее задание: выучить определение и свойства логарифмов

Разноуровневые задания

1 уровень: №310,311.312,313(четные).

2 уровень: №314(4),315(4),316(4),318(4),321(2,4,6).

Раздаточный материал для самостоятельной работы

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Лазарево»

Программа внеурочной деятельности

 «Математическое моделирование нестандартных задач”

 для 5-6 классов

Учитель:

Журавлева Наталья Владимировна

с.Лазарево, 2019г

Пояснительная записка

Программа внеурочной деятельности «Математическое моделирование нестандартных задач”, предназначена для учащихся 5-6-х классов, проявляющих повышенный интерес к математике, которые участвуют в различных олимпиадах и конкурсах по математике.

Цель:

• ознакомление учащихся с составлением математической модели при решения нестандартных задач;
• развитие творческого мышления школьников, их способностей к плодотворной умственной деятельности;
• расширение и углубление знаний учащихся по математике.

Основными формами организации учебно-познавательной деятельности являются практикумы, математические соревнования.

Программа внеурочной деятельности составлена на два года и предполагает занятия с учащимися по 0,5 часов в неделю. Объем курса -35 часов. В данный курс учитель математики может вносить изменения и дополнения по своему усмотрению.

УЧЕБНО-ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН

Планируемые результаты

В результате изучения учащиеся должны знать:

• основные методы и  приемы составления математической модели при решения нестандартных задач;

должны уметь:

• применять математическую модель  при решении нестандартных задач.

СОДЕРЖАНИЕ

Тема 1. Задачи с использованием натуральных чисел

Тема 2. Принцип Дирихле

• понятие о принципе Дирихле
• решение простейших задач на принцип Дирихле

Тема 3. Комбинаторные задачи

• правило суммы и правило произведения
• комбинаторные задачи

Тема 4. Задачи на Круги Эйлера

• задачи с использованием Кругов Эйлера

Тема 5. Магический квадрат

• задачи на расстановку чисел

Тема 6. Логические задачи

• логические задачи и методы их решения.

Тема 7.  Танграм

• задачи на составление фигур

Тема 1. Задачи с использованием натуральных чисел

Задача 1. Найдите следующие два числа:

а) 2,4,6,8,10…                                      б) 23,20,17,14,11…

в) 5,10,15,20,25…                                 в) 1,2,4,2,16…

Задача 2. Восстановите поврежденные записи арифметических действий:

а)                                 б)                               в)

Задача 3. Расшифруйте «животноводческий» ребус (замените буквы цифрами так, чтобы пример был решен верно). Одинаковые буквы обозначают одинаковые цифры, разные буквы – разные цифры:

Б + БЕЕЕ = МУУУ.

Задача 4. Решите числовые ребусы:

а)  +  У Д А Р         б)  + О Д И Н             в)   + К О З А

         У Д А Р                  О Д И Н                       К О З А

     Д  Р А К А             М Н О Г О                   С Т А Д О

Задача 5. Сумма двух натуральных чисел равна 474. Одно из них оканчивается цифрой 1. Если эту цифру зачеркнуть, то получится второе число. Найдите эти числа.

Задача 5. Найдите наибольшее натуральное число:

а) все цифры которого различны;

б) все цифры которого различны и которое делится на 4.

Задача 6. Расставьте знаки арифметических действий и скобки так, чтобы получились верные равенства:

 а) 4444 = 5:            б) 4444 = 17;           в) 4444 = 20;

 г) 4444 = 32;          д) 4444 = 64.

Задача 7. Расставьте в записи   4 · 12 + 18 : 6 + 3   скобки так, чтобы получилось число 50.

Задача 8. Решите ребусы:

а) ЧАЙ : АЙ = 5;

б)  СОТНЯ + СОТНЯ + СОТНЯ = ТРИСТА

Задача 9. Девочка заменила каждую букву в своём имени её номером в русском алфавите. Получилось 2011533. Как её зовут?

Тема 2. Принцип Дирихле

Задача 1 В классе 30 человек. Саша Иванов в диктанте сделал 13 ошибок, а остальные – меньше. Докажите, что по крайней мере 3 ученика сделали ошибок поровну (работа может быть и безошибочной).

Решение.

Предположим, что никакие  3 ученика не сделали одинаковое число ошибок, т.е. в каждую клетку от 0 до 12 попало меньше трех школьников. Тогда в классе не больше 2*13+1=27, а в классе 30 учеников. Значит, наше предположение неверно. Поэтому найдутся три ученика, сделавшие одинаковое число ошибок.

Задача 2. В Москве живет около 8,3 млн. человек на голове у каждого не более 100 000 волос. Докажите, что в Москве есть по крайней мере 80 человек с одинаковым числом волос на голове.

Решение.

Пусть в наших клетках – люди с одинаковым числом волос на голове: 0 волос, с 1 волосом, с двумя и т.д. до 100 000 волос. Всего у нас 100 001 клетка. И пусть в каждой клетке не более 80 человек. Тогда население Москвы не более 80*100 001= 8 000 080, а всего 8 300 000 человек. Значит, наше предположение неверно.

Задача 3. Пусть в классе 41 человек. Маша Петрова сделала больше всех ошибок – 13. Докажите, что найдутся четверо учащихся, сделавших одинаковое число ошибок. Безошибочных работ не было.

Решение.

Клетки 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13- число ошибок.

Предположим, что только трое сделали одинаковое число ошибок. Тогда в классе не больше, чем 3*13=39 человек, а их 41. Значит, найдутся четверо, которые сделали одинаковое число ошибок.

Задача 4. В хвойном лесу 800 000 елей, и ни на одной из них не более 500 000 игл. Докажите, что по крайней мере у двух елей число игл одинаковое.

Решение

Пусть в одну клетку попали ели с одинаковым числом иголок 0; 1; 2; … 500 000. Если в каждой клетке по одной ели, то их 1*500 000=500 000, а  в лесу – 800 000. Значит, хотя бы у двух елей число игл одинаковое.

Задача 5. В городе 15 школ. В них обучается 6015 школьников. В концертном зале городского Дворца культуры 400 мест. Докажите, что найдется школа, ученики которой не поместятся в этом зале.

Решение.

Предположим, что в каждой школе не более 400 учеников. Значит, в 15 школах не более 15*400=6000 школьников. Но, по условию, в школах обучается 6015 человек. Значит, найдется школа, в которой  больше 400 учеников. Поэтому ученики этой школы не поместятся в зале на 400 мест.

Задача 6. 20 учеников (больше половины из них – девочки) сидят за круглым столом. Докажите, что какие-то две девочки сидят напротив друг друга.

Решение.

Образуем 10 пар из учеников, сидящих напротив друг друга. Так как девочек больше половины, то есть больше 10, то найдется пара, состоящая из двух девочек.

Задача 7. 15 девочек собрали 100 орехов. Докажите, что какие-то две из них собрали одинаковое количество орехов.

Решение.

Пусть все девочки собрали разное количество орехов: 1; 2; 3; …; 15. Тогда суммарное количество собранных орехов равно (1+ 15)/ 2*15= 120>100. Значит, какие-то две девочки собрали одинаковое количество орехов.

Задача 8. На далекой планете, имеющей форму шара, суша занимает больше половины поверхности планеты. Докажите, что можно прорыть туннель, проходящий через центр планеты, который соединит сушу с сушей.

Решение.

Покрасим сушу на планете в зеленый цвет, а поверхность планеты, симметричную суше,- в синий. Так как суша занимает больше половины поверхности планеты, то найдется точка на планете, покрашенная в оба цвета. Через нее и надо рыть туннель.

Задача 9. В походе участвовало 25 человек, каждому из которых было от 24 до 30 полных лет (на данный день) Докажите, что найдутся четыре человека, родившихся в один год.

Решение.

Различных годов рождения может быть 7. Предположим, что каждый год родилось не более трех участников похода. Значит, за 7 лет могли родиться не более 3*7=21 участника. Но, по условию, в походе участвовало 25 человек. Получили противоречие. Значит, найдутся четыре участника похода, родившихся в один год.

Задача 10. На шахматной доске 8 * 8 отмечены центры всех полей. Можно ли 13 прямыми разбить доску на части так, чтобы в каждой части  было не более одной отмеченной точки?

Решение.

Рассмотрим внешний ряд клеток доски (по периметру). Центры полей образуют квадрат 7 * 7, между ними 28 промежутков. Мы должны разбить доску так, чтобы все отмеченные точки попали в разные части. Значит, прямые должны пересекать все промежутки между клетками. Но прямая может пересечь стороны квадрата не более чем в двух точках (случай противоположных по диагонали вершин квадрата нужно исключить), значит, нужно не менее 14 прямых.

Задача 11. Внутри равностороннего треугольника со стороной 10 отмечено пять точек. Докажите, что найдутся две из них, расстояние  между  которыми будет не более 5.

Решение.

Разделим треугольник на 4  равных  равносторонних треугольника. Длина их стороны равна 5, значит, расстояние между любыми двумя точками маленького треугольника не более 5. Точек 5, треугольников 4, значит, хотя бы 2 точки попадут в один треугольник. И расстояние между ними будет не более пяти.

Задача 12. Плоскость раскрашена в два цвета. Докажите, что найдутся две точки одного цвета на расстоянии 1 метр друг от друга.

Решение.

Рассмотрим вершины равностороннего треугольника со стороной 1 метр. Если две точки разного цвета, то третья обязательно либо первого, либо второго цвета, значит, мы нашли две точки одного цвета.

Задача 13. В магазин привезли 25 ящиков конфет трех разных сортов (в каждом ящике – только один сорт). Докажите, что  есть хотя бы 9 ящиков с одним и тем же сортом конфет.

Решение.

Если бы ящиков с конфетами каждого из трех сортов привезли не более 8, то всего привезли бы не более 24-х ящиков, что противоречит условию. Значит, найдутся 9 ящиков с одинаковым сортом конфет.

Задача 14. Какое максимальное количество ладей можно расставить на шахматной доске так, чтобы они не били друг друга?

Решение.

Каждая  ладья бьет горизонталь и вертикаль, на пересечении которых стоит. Значит, на каждой горизонтали можно поставить не более одной ладьи, всего ладей будет не более восьми. Для 8 ладей можно придумать много вариантов расстановок, например, по диагонали.

Задача 15. На окно размером 40 см * 30 см село 25 мух. Докажите, что квадратной мухобойкой 11 см * 11 см можно прихлопнуть сразу трех мух.

Решение.

Разделим окно на 12 квадратов размером 10 см * 10 см. Если в каждом квадрате не более двух мух, то всего на окне не более 2 * 12 = 24 мух, а по условию мух 25, значит, в каком – то квадрате сидит хотя бы 3 мухи. Мухобойка закроет этот квадрат. Значит, такой мухобойкой можно прихлопнуть сразу трех мух.

Задача 16. В коробке лежат карандаши: 4 красных и 3 синих. В темноте берут карандаши. Сколько надо взять карандашей, чтобы среди них было не менее одного синего?

Ответ: 5 карандашей.

Задача 17. У мальчика 9 медных монет. Докажите, что у него есть хотя бы три монеты одинакового достоинства.

Решение.

Всего различных медных монет 4. Пусть мальчик имеет набор по 2 монеты каждого вида, всего будет 8 монет. Оставшаяся  монета из 9 имеющихся,  будет третьей монетой одного из видов. Значит, у мальчика есть хотя бы 3 монеты одинакового достоинства.

Задача 18. Какое наименьшее количество любых натуральных чисел следует взять, чтобы среди них всегда нашлась такая пара чисел, разность которых делилась бы на 5?

Решение.

Разобьем множество натуральных чисел на 5 классов: к первому классу отнесем все числа, которые при делении на 5 дают остаток, равный 0, ко второму классу – остаток, равный 1, к третьему классу – остаток, равный 2, к четвертому классу – остаток, равный 3, к пятому – остаток, равный 4. Очевидно, что разность двух чисел, принадлежащих разным классам, на 5 не делится. Если же взять шесть чисел, то среди них обязательно найдутся два числа, принадлежащие одному и тому же классу, и разность этих чисел делится на 5.

Итак, наименьшее количество натуральных чисел, которое следует взять, равно 6.

Задача 19. В классе 41 ученик написал по три контрольные работы. В результате учитель не поставил ни одной неудовлетворительной отметки, и каждый ученик получил все остальные отметки. Узнав об этом, один ученик заметил, что по крайней мере 7 человек получили одинаковые отметки по всем трем контрольным, а другой, подумав, сказал, что таких учеников с одинаковыми отметками, наверно будет 8. Кто из них прав?

Решение.

Разобьем класс на группы в соответствии со всевозможными наборами отметок: 3, 4, 5;  3, 5, 4;  4, 3, 5;  4, 5, 3;  5, 4,3;  5, 3, 4 (всего 6 групп). Если в каждой из этих групп не больше 6 человек, то всего в классе не больше 36 человек, что противоречит условию. Следовательно, по крайней мере в одной из этих групп не меньше 7 человек. Возможен, однако, и случай, когда в каждой группе не больше 7 человек (например, в одной группе 6, а в остальных – по 7 человек), и, следовательно, утверждение второго ученика может быть не верным.

Итак, прав только первый ученик.

Ответ: первый ученик

Задача 20. В школе 370 учеников. Найдутся ли в этой школе хотя бы два ученика, у которых день рождения приходится на одну и ту же дату календаря?

Ответ: да

Задача 21. У каждого из пяти мальчиков было не меньше одного шара,  а всего у них было 7 шаров. Мог ли кто- либо из них иметь: а) 3 шара? б) 4 шара?

Ответ: а) да; б) нет

Тема 3. Комбинаторные задачи.

Задача 1. В вазе 6 апельсин, 5 груш и 4 персика. Сколько вариантов выбора одного плода?

Задача 2. Из города А в город В ведут пять дорог, а из города  В в город С – три дороги. Сколько путей, проходящих через город В, ведут из города А в город С?

Задача 3. Сколькими способами можно выбрать гласную и согласную буквы в слове «скачок»?

Задача 4. В столовой есть 5 первых блюда и 8 вторых. Сколько различных вариантов обеда из двух блюд можно составить?

Задача 5. Сколько различных двузначных чисел можно составить, используя цифры 1,4 и 7 если цифры могут повторяться?

Задача 6. Сколько существует трехзначных чисел, у которых все цифры четные?

Задача 7. В пятом классе изучаются 8 предметов. Сколько различных вариантов расписания можно составить на понедельник, если в этот день должно быть 5 уроков и все уроки различные?

Задача 8. Сколько вариантов семизначных телефонных номеров можно составить, если исключить из них номера, начинающиеся с нуля и девяти?

Задача 9. Телефонная станция обслуживает абонентов, у которых номера телефонов состоят из 7 цифр и начинаются с 394. На сколько абонентов рассчитана станция.

Задача 10. Сколько существует шестизначных чисел, у которых вторая цифра – 2, четвертая – 4, шестая – 6, а все остальные – нечетные?

Задача 11. В классе учатся 30 человек. Сколькими способами из них можно выбрать дежурного и заместителя дежурного?

Задача 12. Сколько комбинаций из четырех букв русского алфавита (в алфавите всего 33 буквы) можно составить при условии, что две соседние буквы будут разными?

Задача 13. Сколькими способами можно обозначить вершины треугольника, используя буквы А ,В, С и D?

Задача 14. Сколько различных трехзначных чисел, меньших 400, можно составить из цифр 1,3,5,7,9?

Тема 4. Задачи на круги Эйлера

Задача 1. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий и 83 – французский. Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Задача 1. Все мои подруги выращивают в своих квартирах какие-нибудь растения. Шестеро из них разводят кактусы, а пятеро- фиалки. И только у двоих есть и кактусы и фиалки. Угадайте, сколько у меня подруг?

Решение: Обратимся к кругам Эйлера:

Изобразим два круга, так как у нас два вида цветов. В одном будем фиксировать владелиц кактусов, в другом – фиалок. Поскольку у некоторых подруг есть и те, и другие цветы, то круги нарисуем так, чтобы у них была общая часть. В этой общей части ставим цифру два. Так  как кактусы и фиалки у двоих. В оставшейся части «кактусового»круга ставим цифру 4 (6-2=4).

В свободной части «фиалкового» круга ставим цифру 3 (5-2=3). А теперь рисунок сам подсказывает, что всего у меня  4+2+3=9 подруг.                                                                                

Задача 2. В хоккейной команде «Зенит» 30 игроков, сред них 18 нападающих, 11 полузащитников, 17 защитников и вратари. Известно, что трое могут быть полузащитники и защитниками, 10 защитниками и нападающими, 6 нападающими  и полузащитниками, а 1 и нападающим, и защитником, и полузащитником. Вратари не заменимы. Сколько в команде «Зенит» вратарей?

Решение:

18+11+17-3-10-6+1 = 28

игроков  или

9+1+5+3+5+2+3=28

Но в команде всего 30 футболистов.

Значит, вратарей будет 30-28 = 2  

Задача 3. Приехало 100 туристов. Из них 10 человек не знали ни немецкого языка, ни французского, 75 знали немецкий и 83 – французский.

Сколько туристов знали французский и немецкий языки?

Задача 4. В нашем классе коллекционируют только марки, и монеты.

Марки коллекционируют 8 человек, монеты -5 человек, а всего коллекционеров 11. Объясните, как это может быть. Сколько человек коллекционируют только марки?

Задача 5. В классе 35 учеников. 20 из них занимается в математическом кружке, 11 – в биологическом, а 10 ничем не занимаются. Сколько ребят занимается и математикой, и биологией?

Задача 6. На зимних каникулах из 36 учащихся класса только двое просидели дома, а 25 ребят ходили в кино, 15 – в театр, 17 – в цирк. Кино и театр посетили 11 человек, кино и цирк – 10, театр и цирк – 4. Сколько ребят побывали и в кино, и в театре, и в цирке?

Задача 7. Из 100 туристов, отправляющихся в заграничное путешествие, немецким языком владеют 30 человек, английским – 28. Французским – 42. Английским и немецким одновременно владеют 8 человек, английским и французским – 10, немецким и французским – 5, всеми тремя языками – 3.

Сколько туристов не владеют ни одним языком?

Задача 8. В группе 29 студентов. Среди них 14 любителей классической музыке, 15- джаза и 14 – народной музыки. Классическую музыку и джаз слушают 6 студентов, народную музыку и джаз – 7, классику и народную – 9. Пятеро студентов слушают всякую музыку. а остальные не любят никакой музыки. Сколько их?

Тема 5. Логические задачи

Задача 1. Ира, Даша, Коля и Митя собирали ягоды. Даша собрала ягод больше всех, Ира – не меньше всех. Верно ли, что девочки собрали ягод больше чем мальчики?

Ответ: да.

Задача 2. Волк и Лиса соревновались в беге. Кто какое место занял, если известно, что Волк был одним из первых, а Лиса была предпоследней?

Ответ: Лиса – первая, Волк – второй.

Задача 3. Катя и Лена собирали грибы. Вместе они собрали на 18 грибов больше, чем Катя, и на 12 грибов больше, чем Лена. Сколько грибов собрала Катя и сколько грибов собрала Лена?

Ответ: Лена собрала 18 грибов, а Катя – 12 грибов.

Задача 4. В квартирах № 1, № 2, и № 3 жили три котенка: белый, черный и рыжий. В квартирах № 1 и № 2 жил не черный котенок. Белый жил не в квартире № 1. В какой квартире жил какой котенок?

Ответ: белый котенок живет в квартире № 2, черный котенок – в квартире № 3, рыжий котенок – в квартире № 1.

Задача 5. Команда провела три матча: один выиграла, один свела вничью, один проиграла, забив три меча и пропустив один. Как закончился (с каким счетом) каждый матч команды?

Ответ: 0 : 1, 0 : 0, 3 : 0.

Задача 6. Катя, Соня, Галя и Тамара родились 2 марта, 17 мая, 2 июля и 20 марта. Соня и Галя родились в одном месяце, а у Гали и Кати день рождения обозначается одинаковыми числами. Кто какого числа и в каком месяце родился?

Ответ: День рождения Кати – 2 июля, Гали 2 марта, Сони – 20 марта, а Тамары – 17 мая.

Задача 7. Три мальчика: Миша, Сережа и Гриша живут в одном подъезде на разных этажах: пятом, седьмом и восьмом. Миша живет не ниже Гриши, а Сережа не выше Гриши. Кто из мальчиков на каком этаже живет?

Ответ: Миша живет на 8 этаже, Гриша – на 7, а Сережа – на 5.

Задача 8. Встретились три товарища: Белов, Рыжов и Чернов. Чернов сказал, что ни у одного из них цвет волос не соответствует своей фамилии. «Правильно!», – ответил Белов. Какого цвета волосы у каждого из них?

Ответ: у Белова волосы рыжие, у Чернова белые, а у Рыжова черные.

Задача 9. В трех ящиках находится крупа, вермишель и сахар. На одном из них написано «Крупа», на другом «Вермишель», на третьем «Крупа или сахар». В каком ящике что находится, если содержимое каждого из них не соответствует надписи?

Ответ: в ящике с надписью «Крупа или сахар» находится вермишель, с надписью «Вермишель» – крупа, с надписью «Крупа» – сахар.

Задача 10. В четырех ящиках лежит по одному шарику: белый, черный, красный и зеленый. На первом ящике надпись «Белый», на втором «Зеленый или белый», на третьем «Красный или зеленый», на четвертом «Черный или зеленый, или красный». Но ни одна надпись не соответствует действительности. Какого цвета шарик лежит в каком ящике?

Ответ: в ящике с надписью «Белый» лежит зеленый шарик; с надписью «Зеленый или белый» – красный шарик; с надписью «Красный или зеленый» – черный шарик; с надписью «Черный или зеленый, или красный» – белый шарик.

Задача 11. На острове живут два племени: аборигены и пришельцы. Аборигены всегда говорят правду, а пришельцы всегда лгут.  Путешественник, приехавший на остров, решил узнать, куда ведет интересующая его дорога.

Какой вопрос он должен задать встретившемуся ему островитянину?

Решение.

Путешественник должен задать вопрос: « Эта дорога ведет в ваше племя?» Абориген ответит «да», если дорога ведет к его племени, и «нет», если – не к его племени. А пришелец, если дорога ведет к ним , ответит «нет», а если в племя аборигенов, то «да». Таким образом, при ответе «да» дорога будет вести в племя аборигенов, а при ответе «нет» – в племя пришельцев.

Тема 6. Натуральные числа

Задача 1. Иван живет  на улице, дома на которой имеют номера с 1 по 24. Сколько раз при написании этих номеров используется цифра 2?

Решение.

Выпишем номера, использующие цифру 2: 2,12,20, 21,22, 23, 24. Видим, что цифра 2 используется 8 раз.

Ответ: 8.

Задача 2. На доске в строчку написаны двадцать пятерок. Поставив между некоторыми из них знак «+», Вася обнаружил, что сумма равна 1000.

Сколько плюсов поставил Вася?

Решение.

Понятно, что 5555 и более – слишком много. Если  бы все слагаемые были по 55 и 5, то сумма была бы не больше, чем 550 – это слишком мало. Следовательно, должно быть ровно одно слагаемое 555. Остается 17 пятерок, которыми нужно набрать сумму 445, но 445 = 55 * 8 + 5. Всего 9 плюсов.

Ответ: 9.

Задача 3. Может ли при перемножении двух двузначных чисел получиться  четырехзначное число из одинаковых цифр?

Решение.

Четырехзначное число из одинаковых цифр имеет вид аааа = а*11 *101.

Очевидно, что один из множителей данного числа будет 101 – трехзначное число, поэтому при перемножении двух двузначных чисел получиться четырехзначное число из одинаковых цифр не может.

Ответ: не может.

Задача 4. Какова первая цифра в наименьшем натуральном числе, сумма цифр которого равна 2001?

Решение.

Наименьшее натуральное число,  удовлетворяющее  условию, должно содержать наименьшее число цифр. На конце будем ставить девятки. Если разделить 2001 на 9, то получается  остаток 3.

2001= 222* 9 + 3

Поставив цифру 3 вперед и, приписав 222 девятки, получаем наименьшее натуральное число, сумма цифр которого равна 2001. Значит, первая цифра 3.

Ответ: 3.

Задача 5. Сколько цифр содержит запись наименьшего натурального числа, которое делиться на 225 и записывается ( в десятичной системе ) только нулями и единицами ?

Решение.

Число 225 является произведением 25 и 9. Чтобы число делилось на 9, его сумма цифр должна делиться на 9. Значит, в результате должно быть девять единиц.

Чтобы такое число делилось на 25, необходимо справа приписать два нуля. Получаем одиннадцать цифр в числе 11111111100.

Задача 6. Напишите наибольшее пятизначное число, кратное 9, так чтобы первая цифра была 3 и все цифры были различные.

Решение.

Пусть данное число будет 3 * 9 * 8 * 7х. Вставим вторую, третью и четвертую цифры так, чтобы получить наибольшее число 9, 8, 7.  3 + 9 + 8 + 7 = 27. На последнее место можно ставить 0 или9, чтобы число делилось на 9, но 9 уже есть в записи, значит, ставим 0.

Ответ: 39 870.

Задача 7. Напишите в строку 5 чисел, чтобы сумма любых двух соседних была отрицательной, а сумма всех чисел – положительной.

Ответ: например: 3; -4; 3; -4; 3

Задача 8. Света выполнила действия: 1997 * 1999 * 2001 – 1998 * 2000.  Какова последняя цифра ответа?

Решение.

Произведение 1997 * 1999 * 2001 оканчивается цифрой 3, поскольку 7 * 9 * 1 = 63. Произведение 1998 * 2000 оканчивается тремя нолями . Разность 1997 * 1999 * 2001 – 1998 * 2000 оканчивается на 3.

Ответ: 3

Задача 9. Докажите, что сумма всех натуральных чисел от 1 до 1000 делится на 143.

Решение.

1 + 2 + 3 + … + 998 + 999 + 1000 = 500 * 1001 = 500 * 7 * 11 * 13 = 3500 * 143. Произведение 3500 * 143 делится на 143.

Ответ: делится

Задача 10. По кругу расставлены цифры в произвольном порядке. Цифр 9: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Каждые 3 цифры, стоящие подряд по часовой стрелке, образуют трехзначное число.

Найдите сумму всех девяти таких трехзначных чисел. Зависит ли она от порядка, в котором расставлены цифры?

Решение.

Каждая цифра а учитывается в сумме трижды:

а + 10а +100а = 111а

s = 111 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9) = 111 * 45 = 4995.

Ответ: 4995, сумма не зависит от порядка, в котором расставлены здесь цифры.

Задача 11. Коля открыл книгу и обнаружил, что сумма номеров левой и правой страниц – 25.

Чему равно произведение этих номеров?

Решение.

Так как это левая правая страницы, то номер правой на 1 больше номера левой. (25 – 1) : 2 = 12.

Значит, это страница 12 и 13, 12 * 13 = 156.

Ответ: 156

Задача 12. Какое самое маленькое число, большее 2007, имеет туже сумму цифр, что и 2007, но отличается от 2007 произведением цифр?

Решение.

Сумма цифр данного числа 2 + 0 + 0 + 7 = 9. Произведение искомого числа не может быть равно 0, значит, искомое число не содержит 0. Наименьшее будет иметь вид 2 * * *, где сумма цифр, замененных звездочками, равна 7. Из таких чисел самое маленькое – 115. Получаем 2115.

Ответ: 2115

Задача 13. Найдите сумму всех трехзначных чисел, все цифры которых нечетны.

Решение.

Всего 5 * 5 * 5 = 125 чисел

1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

Сумма всех цифр будет равна 25 * 25 = 625.

625 * (100 + 10 + 1) = 625 * 111 = 69 375

Ответ: 69 375

Задача 14. Число b записывается одними единицами – всего 2003 цифры. Сколько цифр содержит произведение числа b на 2003?

Решение.

Умножая столбиком, получаем, учитывая сдвиги вправо из-за двух нулей, 2006 цифр.

Ответ: 2006

Задача 15. Из набора чисел 1, 2, 3, … , 17 вычеркнуты все четные числа, а также все такие числа х, что (19 – х) делится на 3.

Сколько чисел осталось?

Решение.

Останутся после вычеркивания следующие числа 3, 5, 9, 11, 15, 17

Ответ: 6

Задача 16. Сколько из следующих чисел уменьшаются, если их прочитать справа налево: 1991, 2323, 2112, 2222, 3131, 2332, 5252?

Ответ: 2

Задача 17. Средний возраст 11 игроков футбольной команды 22 года. Одного игрока удалили с поля, и средний возраст оставшихся составил 21 год.

Сколько лет удаленному с поля игроку?

Решение.

22 * 11 = 242 (года) – было все вместе

21 * 10 = 210 (лет) – стало всем вместе

242 – 210 = 32 (года) – возраст удаленного игрока.

Ответ: 32

Тема 7. Дроби

Задача 1. У Тани и Димы денег поровну. Какую часть своих денег должна Таня отдать Диме, чтобы у него стало в два раза больше, чем у неё?

Решение.

Пусть у Тани и Димы денег было по 3х рублей. Если Таня отдаст Диме х рублей, то у него станет 4х рублей, а у нее останется 2х рублей. Таким образом, у него станет в два раза больше, чем у нее.

Ответ: 1/3

Задача 2. Когда велосипедист проехал 2/3 всего  пути, лопнула шина. На остальной путь пешком он затратил вдвое больше времени, чем на велосипедную езду. Во сколько раз велосипедист ехал быстрее, чем шел?

Решение.

Велосипедист прошел пешком 1/3 пути, т.е. в два раза меньше, чем проехал на велосипеде. Времени же затратил в два раза больше. Поэтому он ехал в 4 раза быстрее, чем шел.

Ответ: в 4 раза

Задача 3. На одной чаше весов лежит кусок мыла, на другой 2/3   такого же куска и еще 2/3 кг. Весы в равновесии. Сколько весит весь кусок мыла?

Решение.

По условию получаем, что 1/3 куска равна 2/3 кг.  Поэтому весь кусок будет 2/3 кг * 3 = 2 кг.

Ответ: 2 кг

Задача 4. Отрежьте от шнура длиной 2/3 метра кусок  длиной полметра, не имея под руками метра.

Решение.

Сложим кусок пополам и ещё раз пополам. Получим кусок длиной 2/3 : 4 = 1/6 (м), которой и надо отрезать, чтобы остаток равнялся 1/2 м (ибо 2/3 – 1/6 = 1/2)

Задача 5. Разделите 5 яблок поровну между шестью детьми, не разрезав никакое яблоко больше чем на три части.

Решение.

Три яблока разрежем на половинки. Каждое из остальных двух яблок разрежем на три равные части. Каждый ребенок получит половину и ещё треть яблока.

Ответ: каждый ребенок получит половину и ещё треть яблока.

Задача 6. Слава взял у товарища книгу на 3 дня. В первый день он прочитал половину книги; во второй – треть оставшихся страниц; а количество страниц, прочитанных в третий день, было равно половине числа страниц, прочитанных в первые два дня.

Успел ли Слава прочитать книгу?

Решение.

За первые два дня Слава прочел 1/2 + 1/6 = 2/3 книги, а в третий день – ещё 1/3, тем самым завершив чтение.

Ответ: успел.

Задача 7. Разделите 5 яблок на 6 равных частей, не разрезая ни одного яблока на 6 частей.

Решение.

Два яблока надо разделить на три равные части каждое и три яблока – пополам каждое, получится 6 порций по 1/3 + 1/2 = 5/6.

Ответ: в каждую из шести равных частей помещаем половину яблока и ещё его 1/3.

Задача 8. В классе 36 учеников. Сколько среди них мальчиков и сколько девочек, если 2/5 числа всех мальчиков равны половине числа всех девочек?

Решение.

Пусть было х девочек, тогда мальчиков (36 – х).

Тогда 2/5 * (36 – х) = 1/2х.

Решив это уравнение, получаем х = 16.

Ответ: 20 мальчиков и 16 девочек.

Задача 9. Крестьянка продала из принесенных ею на рынок яиц первому покупателю половину от количества всех её яиц, уменьшенных на 6. Второму – третью часть от остатка, уменьшенного на 6. Третьему – четвертую часть остатка, уменьшенного на 6. После чего у нее осталась половина принесенных ею на рынок яиц. Сколько яиц она продала каждому из покупателей?

Решение.

24х – было всего яиц.

(12х – 3) – столько яиц продано первому покупателю

24х – (12х – 3) = (12х + 3) яиц – остаток после первого покупателя

(12х + 3 – 6) : 3 = (4х – 1) – столько яиц продано второму покупателю

12х + 3 – (4х – 1) = (8х + 4) яиц – остаток после второго покупателя

(8х + 4 – 6) : 4 = (2х – 0,5) – столько яиц продано третьему покупателю

По условию задачи составим уравнение:

12х – 3 + 4х – 1 + 2х – 0,5 = 12х,

6х = 4,5; х = 0,75. Всего яиц было 24 * 0,75 = 18.

Значит, первому покупателю она продала 6 яиц, второму – 2 яйца, третьему – 1 яйцо.

Ответ: 6, 2, 1.

Литература

1. Бабинская И.Л.. Задачи математических олимпиад. – М:  Наука, 1975
2. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. – М: Наука, 1986.
3. Генкин С. А., Итенберг И.В., Фомин Д.В. Ленинградские математические кружки. – Киров: «АСА»,1994.
4. Гусев В.А. Математика. Сборник геометрических задач. 5-6 классы. «ЭКЗАМЕН». Москва. 2011.
5. Давыдова М. Ю. Нестандартные задачи в школьном курсе математики // Молодой ученый. – 2011. – №8. Т.2. – С. 101-104.

Муниципальное казенное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа с.Лазарево»

Программа элективного курса

«Решение задач с параметрами»

(подготовка к ЕГЭ)

Учитель:

Журавлева Наталья Владимировна

с.Лазарево, 2019г

                        Пояснительная записка

Целью профильного обучения, как одного из направлений модернизации математического образования является обеспечение углубленного изучения предмета и подготовка учащихся к продолжению образования. Основным направлением модернизации математического школьного образования является отработка механизмов итоговой аттестации через введение единого государственного экзамена. Появление таких заданий на экзаменах далеко не случайно, т.к. с их помощью проверяется техника владения формулами элементарной математики, методами решения уравнений и неравенств, умение выстраивать логическую цепочку рассуждений, уровень логического мышления учащегося и их математической культуры. Решению задач с параметрами в школьной программе уделяется мало внимания. Большинство учащихся либо вовсе не справляются с такими задачами, либо приводят громоздкие выкладки. Причиной этого является отсутствие системы заданий по данной теме в школьных учебниках. В связи с этим возникла необходимость в разработке и проведении элективного курса для старшеклассников по теме: «Решение задач с параметрами». Многообразие задач с параметрами охватывает весь курс школьной математики. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления. Задачи с параметрами дают прекрасный материал для настоящей учебно-исследовательской работы.

                                   Цель курса

• Формировать у учащихся умения и навыки по решению задач с параметрами для подготовки к ЕГЭ и к обучению в ВУЗе.
• Изучение курса предполагает формирование у учащихся интереса к предмету, развитие их математических способностей.
• Развивать исследовательскую и познавательную деятельность учащихся.
• Обеспечить условия для самостоятельной творческой работы.

              В результате изучения курса учащийся должен:

• усвоить основные приемы и методы решения уравнений, неравенств, систем уравнений с параметрами;
• применять алгоритм решения уравнений, неравенств, содержащих параметр;
• проводить полное обоснование при решении задач с параметрами;
• овладеть исследовательской деятельностью.

Структура курса планирования учебного материала

Темы:

1. Первоначальные сведения. 2ч
2. Решения линейных уравнений, содержащих параметры. 2ч
3. Решения линейных неравенств, содержащих параметры. 2ч
4. Модуль и параметр. 2ч.
5. Квадратные уравнения и неравенства, содержащие параметры. 7ч
6. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами. 4ч
7. Рациональные уравнения.  2ч
8. Рациональные неравенства. 2 ч
9. Иррациональные уравнения. 2ч  
10. Иррациональные неравенства. 2ч
11. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.  4 ч  
12. Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры . 4ч  
13. Производная и ее применения. 4ч
14. Тригонометрия и параметры. 4ч
15. Графические приемы решения. 4ч
16. Нестандартные задачи с параметрами. 6ч

• количество решений уравнений;
• уравнения и неравенства с параметрами с некоторыми условиями.

17. Текстовые задачи с использованием параметра. 4 ч

                               Краткое содержание курса

1. Первоначальные сведения.

Определение параметра. Виды уравнений и неравенств, содержащие параметр.
Основные приемы решения задач с параметрам.
Решение простейших уравнений с параметрами.

Цель: Дать первоначальное представление учащемуся о параметре и помочь привыкнуть к параметру, к необычной форме ответов при решении уравнений.

II. Решение линейных уравнений (и уравнений, приводимых к линейным), содержащих параметр.

Общие подходы к решению линейных уравнений. Решение линейных уравнений, содержащих параметр.
Решение уравнений, приводимых к линейным.
Решение линейно-кусочных уравнений.
Применение алгоритма решения линейных уравнений, содержащих параметр.
Геометрическая интерпретация.
Решение систем уравнений.

Цель: Поиск решения линейных уравнений в общем виде; исследование количества корней в зависимости от значений параметра.

III. Решение линейных неравенств, содержащих параметр.

Определение линейного неравенства.
Алгоритм решения неравенств.
Решение стандартных линейных неравенств, простейших неравенств с параметрами.
Исследование полученного ответа.
Обработка результатов, полученных при решении.

Цель: Выработать навыки решения стандартных неравенств и приводимых к ним, углубленное изучение методов решения линейных неравенств.

IV. Модуль и параметр.

Определение модуля.

Алгоритм решения уравнений и неравенств с модулем.

Раскрытие разных модулей.

Графический способ решения.

Цель: Выработать навыки решения уравнений и неравенств с модулем, содержащих параметр.

V. Квадратные уравнения, содержащие параметр.

Актуализация знаний о квадратном уравнении. Исследования количества корней, в зависимости от дискриминанта. Использование теоремы Виета.

Исследование трехчлена.
Алгоритм решения уравнений.
Графический способ. Аналитический способ решения.
Классификация задач, с позиций применения к ним методов исследования.

Цель: Формировать умение и навыки решения квадратных уравнений с параметрами.

VI. Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами.

Область значений функции.        
Область определения функции.
Монотонность. Координаты вершины параболы.

Цель: Познакомить с многообразием задач с параметрами, решаемых с помощью свойств  квадратичной функции.

VII. Рациональные уравнения. 

Общая схема решения целых и дробно-рациональных уравнений.

Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Различные способы решения.

Цель: Сформировать умение решать рациональные уравнения с параметром.

Исследование дробно-рациональных уравнений, содержащих параметр.

VIII. Рациональные неравенства.

Общая схема решения, «метод областей».

Различные способы решений.

Цель: Формировать умение и навыки решения рациональных неравенств с параметром.

9. Иррациональные уравнения.

Схемы решения иррациональных уравнений.

Область определения уравнения.

Решение соответствующих уравнений, содержащих параметр.

Цель: Сформировать умение решать иррациональные уравнения с параметром.

Исследование иррациональных уравнений, содержащих параметр.

Х. Иррациональные неравенства.

Схемы решения иррациональных неравенств.

Решение соответствующих неравенств, содержащих параметр.

Цель: Формировать умение и навыки решения иррациональных неравенств с параметром.

XI. Показательные и логарифмические уравнения, содержащие параметры.  

Свойства степеней и показательной функции. Решение показательных уравнений, содержащих параметры.
Свойства логарифмов и логарифмической функции. Решение логарифмических уравнений с параметрами.

Цель: Сформировать умение решать показательные и логарифмические уравнения с параметрами.

XII. Показательные и логарифмические неравенства, содержащие параметры.

Свойства показательной функции. Решение показательных неравенств, содержащих параметры.
Свойства логарифмической функции. Решение логарифмических неравенств с параметрами.

Цель: Формировать умение и навыки решения показательных и логарифмических неравенств с параметром.

XIII. Производная и ее применения.

Касательная к функции.
Критические точки.
Монотонность.
Наибольшие и наименьшие значения функции.
Построение графиков функций.

Цель: Познакомить учащихся с типом задач с параметрами на применение методов дифференциального исчисления.

XIV. Тригонометрия и параметры.

Использование основных свойств тригонометрических функций в задачах с параметрами. Тригонометрические уравнения, содержащие параметр.
Тригонометрические неравенства, содержащие параметр.
Область значений тригонометрических функций.

Цель: Сформировать умение использования свойств тригонометрических функций при решении тригонометрических уравнений и неравенств с параметрами.

XV. Графические приемы решения.

Использование свойств различных функций при решении заданий с параметром.

Специфика решений графическим способом.

Преимущества и недостатки графического способа.

Цель: Научить графическим приемам решения задач с параметром.

XVI. Нестандартные задачи с параметрами.

Использование различных свойств при решении задач с параметрами.

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.

Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.

XII. Текстовые задачи с использованием параметра.

Использование различных свойств при решении задач с параметрами.

Умение проводить анализ задачи, находить алгоритм решения.

Цель: Формировать навыки исследовательской деятельности, развивать логическое и математическое мышление.

Планирование   (64 часа)

Методические рекомендации  при изучении некоторых тем

                       Линейные и квадратные уравнения

Линейное уравнение, записанное в общем виде, можно рассматривать как уравнение с параметрами: ах = b, где х – неизвестное, а, b – параметры. Для этого уравнения особым или контрольным значением параметра является то, при котором обращается в нуль коэффициент при неизвестном.

При решении линейного уравнения с параметром рассматриваются случаи, когда параметр равен своему особому значению и отличен от него.

Особым значением параметра а является значение а = 0. 

1. Если  а ≠ 0 , то  при  любой  паре  параметров  а   и  b  оно  имеет  единственное  решение  х = .

2. Если  а = 0, то  уравнение  принимает  вид: 0 х = b. В  этом  случае  значение  b = 0  является  особым  значением  параметра  b.  

2.1.    При  b ≠ 0 уравнение  решений  не  имеет.

2.2.    При  b = 0  уравнение  примет  вид: 0 х = 0. Решением  данного  уравнения  является  любое  действительное  число.

Пример.        Решить уравнение

2а(а — 2) х = а — 2.         (1)

Решение. Здесь контрольными будут те значения параметра, при которых коэффициент при х обращается в 0. Такими значениями являются а=0 и а=2. При этих значениях а невозможно деление обеих частей уравнения на коэффициент при х. В то же время при значениях параметра а≠0, а≠2 это деление возможно. Таким образом, целесообразно множество всех действительных значений параметра разбить на подмножества

A1={0}, А2={2} и А3= {а≠0, а≠2}

и  решить уравнение (1) на каждом из этих подмножеств, т. е. решить уравнение (1) как семейство уравнений, получающихся из него при следующих значениях параметра:

1) а=0 ;    2) а=2 ;    3) а≠0, а≠2.

Рассмотрим эти случаи.

1) При а=0 уравнение (1) принимает вид 0 х = - 2. Это уравнение не имеет корней.

2) При а=2 уравнение (1) принимает вид 0 х=0. Корнем этого уравнения является любое действительное число.                                                                                  

3) При а≠0, а≠2  из уравнения (1) получаем, х =  ,

откуда х =  .

0твет:        1) Если а=0,то корней нет;

                       2)если а=2, то х – любое  действительное число;                                          

                       3)  если а≠0, а≠2 , то  х = .

Свойства квадратичной функции в задачах с параметрами

При решении различных задач часто используются не только свойства квадратного уравнения, но и свойства квадратичной функции. Полезно дать учащимся таблицу, позволяющую составлять систему неравенств для  нахождения решений задачи. Обратить внимание, что тогда  неравенства составляются в виде  аf(A)< 0 или аf(A)> 0 (а- старший коэффициент).

Пример. При каких значениях параметра а один из корней уравнения

(а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а=0

больше числа а, а другой меньше числа а?

Решение. Задача равносильна следующей: при каких значениях параметра а нули квадратичной функции

              g(х)= (а2-2)х2+(а2+а-1)х-а3+а

лежат на вещественной оси по разные стороны от точки х = а?

Исходя из таблицы, имеем условие: аf(A)< 0. 

В нашем случае это условие принимает вид

(а2-2) g(а)<0.

Следовательно, требованию задачи удовлетворяют решения неравенства

(а2-2)((а2-2)а2+(а2+а-1)а-а3+а)<0, где а2-20 (а =, а =- требованию задачи не удовлетворяют).

Решая полученное неравенство,

находим, что а(-; -1)(1; ).

Ответ:         При  а(-; -1)(1; ).

                 Иррациональные уравнения с параметрами

       Существует несколько способов решения иррациональных уравнений с параметрами. Познакомимся с ними, разобрав следующий пример.

 Пример.         В зависимости от значений параметра  решить уравнение

(1)                                                                

Решение. Решим уравнение (1) пятью способами, которые необходимо знать, ибо наряду с другими подходами они могут быть использованы и при решении иных типов уравнений.

1.Уравнение (1) равносильно системе

или системе

        (2)                                                                        

Решая уравнение из системы (2), находим

                                                                                         (3)

откуда следует, что при  уравнение (1) имеет одно решение . Если , то , и тогда уравнение (1) будет иметь два решения при тех значениях параметра , при которых совместна система

,

т.е. при

Уравнение (1) будет иметь только один корень , если , а . В этом случае решая систему

приходим к выводу, что .

Замечая теперь, что при  дискриминант уравнения системы (2) отрицателен, получаем

Ответ:        если , то решений нет;

                если , то ;

                если , то ;

                если , то .

                                               Заключение

        Введение элективного курса «Решение задач с параметрами» необходимо учащимся в наше время как при подготовке к ЕГЭ, так и к вступительным экзаменам в ВУЗы. Владение приемами решения задач с параметрами можно считать критерием знаний основных разделов школьной математики.

      Поэтому учащиеся, владеющие методами решения задач с параметрами, успешно справляются (и опыт это подтверждает) с другими задачами. Решение задач, уравнений с параметрами открывает перед учащимися значительное число эвристических приемов общего характера, ценных для математического развития личности, применяемых в исследованиях и на любом другом математическом материале.

      При решении задач с параметрами одновременно активно реализуются основные методические принципы:

принцип параллельности – следует постоянно держать в поле зрения несколько тем, постепенно продвигаясь по ним вперед и вглубь;

принцип вариативности – рассматриваются различные приемы и методы решения с различных точек зрения: стандартность и оригинальность, объем вычислительной и исследовательской работы;

принцип самоконтроля – невозможность подстроиться под ответ вынуждает делать регулярный и систематический анализ своих ошибок и неудач;

принцип регулярности – увлеченные математикой дети с удовольствием дома индивидуально исследуют задачи, т. е. занятия математикой становятся регулярными, а не от случая к случаю на уроках.  

Разработанный элективный курс может быть использован учителями математики при подготовке к ЕГЭ, вступительным экзаменам в ВУЗы, на занятиях математического кружка.

Список литературы.

1. Амелькин. В. В., Рабцевич В. Л.  Задачи с параметрами. Справочное пособие по      математике. – 2-е изд. - Мн. ООО «Асар», 2012. – 464 с.; ил.
2. Галицкий М. Л. и др.  Сборник задач по алгебре для      учащихся шк. и кл. с углубл. изуч. математики. – 4-е изд. – Просвещение, 2007. – 271 с.; ил.
3. Горнштейн П. И., Полонский В. Б., Якир М. С.  Задачи с параметрами. – 3-е изд. – М.; Илекса, Харьков: Гимназия, 2008, - 336 с.
4. Дорофеев Г. В. и др.  Математика: Для поступающих в вузы: Пособие. – 5-е изд. – М.: Дрофа, 2010. – 672 с.; ил.
5. Сканави М. И. и др. Сборник задач по математике для поступающих во втузы. – 7-е изд. – М. 1996. – 528 с.; ил.

Подбор задач с параметрами 7-11 классы.

7 класс

1. При каком значении  параметра  ,   является корнем уравнения   7?

Решение: Так как  корень уравнения 7 , то при подстановке    в уравнение получим верное равенство7  , откуда находим  .

Ответ:  при .

2. Решить уравнение      

1. Если  , , то уравнение  примет следующий вид

   ,, это уравнение не имеет корней.

2. Если ,                    

Ответ:  при , корней нет;

при   

3. Решить уравнение  относительно переменной  .

Решение:    Раскроем скобки:     

Запишем уравнение в стандартном виде: .     

В случае, если выражение а + 2 не нуль , т. е. если   , имеем решение

.

 Если  равно нулю, т.е., то имеем  равенство , поэтому

 – любое число.

Ответ: при         ;

при        - любое число.

4.Найдите значение коэффициента а в уравнении ах + 5у – 40 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:

а) (3; 2); б) (9; -1)

5. Найдите значение коэффициента b в уравнении 6х + bу – 35 = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел:

а) (0; 1); б) (3; 8,5)

6.  Найдите значение коэффициента с в уравнении 8х + 3у – с = 0, если известно, что решением уравнения является пара чисел: а) (2; -1); б) (3; 0)

7. При каком значении m решением уравнения mх + 4у – 12 m = 0 является пара чисел: а) (0; 3); б) (12; 0)

8.  Дана система уравнений х + ау = 35,bх + 2у = 27.Известно, что пара чисел (5; 6) является её решением, найдите значения а и b.

9.  При каком значении р график функции у = рх + 1 пройдёт через точку пересечения прямых 6х – у = 13 и 5х + у = 20 ?

10.  При каких значениях р график функции у = р2 – 2рх проходит через точку (-1; 0) ?

8класс

1.  При каких значениях параметра а уравнение а(а + 3)х2+2(а + 3) – 3(а + 3) = 0

имеет более одного корня?

Решение.

Рассмотрим три случая.

1).   а  и   а-3

При таких значениях параметра а уравнение будет квадратным. Квадратное уравнение имеет более одного корня ( 2 различных ), когда дискриминант  Д>0.

Д = 4 ( а +3 )2 + 12а ( а + 3 )2 = 4 ( а + 3 )2( 1 + 3а ) >0.

Решая данное неравенство методом интервалов получаем ано так как а, то получаем, что а.

2).  а = 0.  Тогда данное уравнение принимает вид 6х – 9 = 0  и имеет только один корень, что не удовлетворяет условию задачи.

3).  а= -3. Получаем уравнение  0х2  + 0х + 0 = 0, которое имеет бесконечное множество решений, что удовлетворяет условию задачи.

  Ответ:   при а ; а = - 3.

2. При каких значениях a уравнение ax2—x+3=0 имеет единственное решение?

Решение.

Ошибочно считать данное уравнение квадратным. На самом деле это уравнение степени не выше второй. Исходя из этого соображения, рассмотрим следующие случаи:

а) a=0. При этом уравнении принимает вид –x+3=0, откуда x=3, т.е. решение единственно.

б) a≠0, тогда ax2—x+3=0 – квадратное уравнение, дискриминант D=1-12a. для того, чтобы уравнение имело единственное решение, нужно чтобы D=0, откуда   

ответ:   или 

3. при каких значениях a уравнение (a-2)x²+(4-2a)x+3=0 имеет единственное решение?

Решение.

1)При a=2 исходное уравнение не имеет решения.

2) a≠2, тогда данное уравнение является квадратным и принимает вид

Искомые значения параметра- это корни дискриминанта, который обращается в нуль при         

Ответ: 

4.  Решить уравнение при всех значениях параметра.

c - 2 = x + 2 (Какое значение будет иметь корень уравнения при ?

Ответ: х = с - 4,

5.  Решить уравнение при всех значениях параметра.

x + 4 = a - 3 (Выяснить, при каких значениях параметра а корень уравнения равен -7)

Ответ: х = а - 7, х ≠ -7 ⇒ а ≠ 0.

6.  Решить уравнение при всех значениях параметра.

b - 8 + 2x = 2b (Выяснить, при каких значениях параметра корень уравнения не равен 4,5)

Ответ:

7.  При каких значениях параметра а уравнение (а2 - 6а + 5) = а - 1 имеет

1) один корень;

2) ни одного корня;

3) бесконечно много корней?

Ответ: 1) а ≠ 1; а ≠ 5;

2) а = 5;

3) а = 1.

Решить уравнения при всех значениях параметра (№5 - 6).

8.  (2 - х)а = х + 1.

Ответ: а ≠ -1 ⇒x = (2a - 1)/(1+a).

9.  ( а2 - 1)х = а + 1.

Ответ: а ≠ 1 ⇒ х = 1/(а - 1).

10*. |3x - c| = |x + 2|.

Ответ: с = -6 ⇒x = -2;c ≠ -6 ⇒x1 = 0,5(c + 2), x2 = 0,25(c - 2).

9 класс

1. Найдите все значения параметра а, при которых график функции

у=ах2+2х-а+2 пересекает ось Ох в одной точке.

Решение:1)Если а =0,то у=2х+2—линейная функции, графиком которой является прямая, пересекающая ось Ох в одной точке, т.к. к=2≠0

2)Если а≠0, то у=ах2+2х-а+2 - квадратичная функция, графиком которой является парабола, и пересекающая ось Ох в одной точке, если ув=0

Итак, ув= -(4-4а(-а+2))/4а, ув=0

-(4+4а2-8а)/4а=0,

(4а2-8а+4)/4а=0

Т.к. а ≠ 0, то 4а2-8а+4=0,

а2-2а+1=0,

(а-1)2=0,

а=1.

2. Найдите все значения m, при которых парабола у=х2- х+1 имеет с прямой х + my - 1= 0 одну единственную общую точку.

Решение: Парабола и прямая имеют единственную общую точку, если система y=x2-x+1,x+my -1=0 имеет единственное решение.

Выясним, при каких m это возможно:

y=x2-x+1,

x+my-1=0;

x=1-my,

y=(1-my)2-(1-my)+1.

Преобразуем второе уравнение системы:

у=1-2my+m2y2 - 1+my+1,

m2y2 – (1+m)y+1=0.

Очевидно, что рассматриваемая система имеет единственное решение, если полученное квадратное уравнение имеет единственное решение.

Если m=0, то уравнение примет вид: у+1=0, которое имеет единственное решение и условие задачи выполняется.

Если m ≠ 0, то квадратное уравнение имеет 1 решение, если его D=0

D = (1+m)2- 4m2= 1+2m+m2- 4m2= 1+2m-3m2,

3m2- 2m -1 = 0

Ответ:  0; 1.

3. Найдите все значения а, при которых уравнение |3|x| - a2| =x – a имеет ровно три различных решения.    (Ответ: а=-3, а=-1)

4. Найдите все значения а, при каждом из которых уравнение ||x – a| - 2| =x+4 имеет бесконечное число корней.      (Ответ: а=-2, а=-6)

Найдите все значения k, при которых прямая y=kx пересекает график функции у= ||2x – 10|-4| в четырех различных точках.   (Ответ: 0

5. Найдите все положительные значения k, при которых прямая y=kx пересекает в двух различных точках ломаную, заданную условиями:

                                 1,   если |x|≤ 3

                  у=   -2x-5, если х<-3

                        2x-5, если x>3        

         (Ответ:  < k <2)

6.Найдите все значения m, при котором точки  А(-3;15), В(9;-5) и С(24;m) лежат на одной прямой.                (Ответ: m=-30)

7.  Найдите все значения а, при которых точка пересечения прямых у=2х+1 и у=а-5х находится в первой координатной четверти. (Ответ:а>1)

8.  Парабола у=х2+bx+c, симметричная относительно прямой х=-2, касается  прямой у= х+3. Найдите коэффициенты b, c.  (Ответ: b=4,c=4)

9.   При каких значениях а парабола у=3х2-2ах+4 и прямая у=а-2 не имеют общих точек?       (Ответ: -6

10.  Постройте график функции y=f(x), где

                                       2x2+8x+8, если x<-1

                     f(x) =    |x|+1, если   -1≤x≤3

                                                , если  x>3.

 При каких значениях m прямая у=m имеет с графиком этой функции три общих точки.    (Ответ: m ∈ (0;1)∪(2;4))

10-11 класс 

            1.     При каких значениях a сумма квадратов корней уравнения больше чем 12? 
Решение:     Дискриминант уравнения  равен 4a. Поэтому действительные корни этого уравнения существуют, если a і 0. Применяя к данному уравнению теорему Виета получаем x1+x2 = 2a и  . Отсюда  . Решениями неравенства  > 12, удовлетворяющими условию a і 0, являются числа a > 2. 
Ответ: a > 2. 

2.  Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения |x²-7|x|+6| =а .

Решение:

Заметим, что количество решений уравнения

 |x²-7|x|+6| =а . 

 равно количеству точек пересечения графиков функций

y= |x²-7|x|+6|  и y = a.

График функции  y=x²-7x+6=(x)²-  показан на рис.1.

Рис.1

           Рис. 2

                                       Рис. 3

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при  a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a < 0 – решений нет; при a = 0 и a = 25/4  – четыре решения; при 0 < a < 6  – восемь решений; при a = 6 – семь решений; при

6 < a < 25/4 – шесть решений; при a > 25/4 – два решения.

Метод симметрии.  

 Довольно часто среди задач с параметрами встречаются такие, в которых требуется единственность решения. В ряде случаев необходимо обратить внимание на внешний вид условия задачи. Различного рода симметрии (симметрия областей значений, областей определения; симметрия относительно переменных) могут значительно упростить поиск искомых значений параметра.

Для решения задач данным методом можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1.Изучить условие задачи.

2. Выполнить преобразования.

3. Решить задачу в данном виде.

3.Выбрать достаточное условие для даной задачи .

3. Найти все значения параметра b, при которых уравнение

  имеет единственное решение. [1]

Решение:

Уравнение не меняет своего вида при замене x на (−x) (ведь x ² и cos x это чётные функции).

 Уравнение  симметрично относительно преобразования x → (−x) (по другому относительно отражения в начале координат). Значит, данной симметрией будут обладать и решения данного уравнения. Если x₀ — корень уравнения  , то и число (−x₀) будет его корнем. Однако, условию задачи решение должно быть одно. Соответственно, корнем уравнения  является ноль. Если уравнение имеет ненулевое решение, то всего решений будет как минимум два.

Подставляя x = 0 в уравнение  , получаем

     .

Это — необходимое условие на b (только при таком b  уравнение может иметь нулевое решение).

 Является ли это условие достаточным; то есть, окажется ли при b = ctg 1 нулевое решение и в самом деле единственным, или же уравнение   будет иметь и другие корни помимо нуля.

 Для выяснения условия достаточности  значение b подставляется в уравнение :

Тангенс является возрастающей функцией на интервале (– ; ) . Косинус, являющийся аргументом тангенса, принимает значения из отрезка [−1; 1], а этот отрезок находится внутри интервала (– ; )

 Тогда, справедливо неравенство tg(cos (x)) <= tg 1, то есть при x = 0.

Итак,  при b = ctg 1 уравнение    имеет единственное (нулевое) решение. Ответ: b = ctg 1.

 Метод изменения ролей переменных.

Достаточно часто бывает необходимым поменять роли искомой переменной и одного из параметров, чтобы, по крайней мере, получить возможность проведения анализа представленного условия. Достаточно часто бывает, что степень искомой переменной гораздо выше, чем степень входящего в условие параметра. Изменение ролей в этом случае приводит к реальному упрощению процесса решения.

Для решения задач данным методом можно воспользоваться следующим алгоритмом:

1. Выполнить преобразования исходя из условия задачи.

3. Решить задачу в данном виде.

3.вернуться к первоначальному варианту и завершить решение.

4. Указать все значения параметра а , для которых уравнение имеет решение:   [4]

 =sinx

Sinx = t

│t│

 =t

│t│

Решение: Обозначим исходное уравнение равносильно системе

рассмотрим квадратное уравнение относительно параметра, найдём дискриминант данного уравнения :

    (2

   или

Последняя система равносильна

y= t²-t (  )[;0]

Ответ  

5. При каких значениях параметра  уравнение  имеет единственный корень?

Ответ:  )            .

6.  При каких значениях параметра  уравнение     имеет ровно три корня?

ответ:                 .

7. При каких  уравнение     имеет ровно три корня?

Ответ: .

8. Найдите все значения параметра , при каждом из которых система уравнений

имеет ровно два решения.

ответ: .

9. Найти все значения параметра , при которых система

имеет ровно два решения.

ответ: 

10. Найдите все значения , при каждом из которых уравнение  имеет два корня.

ответ: 

Входная контрольная работа по математике для 10 класса

1. Сократите дробь: .

2. Упростите выражение:.

3. Литр бензина стоит 22 руб. Какое наибольшее целое число литров бензина можно приобрести на 700 руб. при повышении цены на 5%?

4. Найдите область определения выражения: .    

5. Решите уравнение:.

2 вариант

1. Сократите дробь: .

2. Упростите выражение:.

3. Стоимость одной пачки бумаги в магазине равна 240 руб.  Какое наибольшее число таких пачек бумаги можно приобрести на 950 руб. при понижении цены на 10%?

4. Найдите область определения выражения: .

5. Решите уравнение:.

7. Решите систему неравенств: .

Сборник текстовых задач для подготовки к ОГЭ по математике

Задачи на движение

1. За 20 минут велосипедист проехал 7 километров. Сколько километров он проедет за 35 минут, если будет ехать с той же скоростью?
2. Из пунктов А и В, расстояние между которыми 19 км, вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились в 9 км от А. Найдите скорость пешехода, шедшего из А, если известно, что он шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход, шедший из В, и сделал в пути получасовую остановку.
3. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми 19 км, вышел пешеход. Через полчаса навстречу ему из пункта В вышел турист и встретил пешехода в 9 км от В. Турист шёл со скоростью, на 1 км/ч большей, чем пешеход. Найдите скорость пешехода, шедшего из А.
4. Расстояние между городами А и В равно 375 км. Город С находится между городами А и В. Из города А в город В выехал автомобиль, а через 1 час 30 минут следом за ним со скоростью 75 км/ч выехал мотоциклист, догнал автомобиль в городе С и повернул обратно. Когда он вернулся в А, автомобиль прибыл в В. Найдите расстояние от А до С.
5. Расстояние между городами А и В равно 750 км. Из города А в город В со скоростью 50 км/ч выехал первый автомобиль, а через три часа после этого навстречу ему из города В выехал со скоростью 70 км/ч второй автомобиль. На каком расстоянии от города А автомобили встретятся?
6. Железнодорожный состав длиной в 1 км прошёл бы мимо столба за 1 мин., а через туннель (от входа локомотива до выхода последнего вагона) при той же скорости — за 3 мин. Какова длина туннеля (в км)?
7. Рыболов в 5 часов утра на моторной лодке отправился от пристани против течения реки, через некоторое время бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно в 10 часов утра того же дня. На какое расстояние от пристани он отдалился, если скорость реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч.
8. Туристы проплыли на лодке от лагеря некоторое расстояние вверх по течению реки, затем причалили к берегу и, погуляв 2 часа, вернулись обратно через 6 часов от начала путешествия. На какое расстояние от лагеря они отплыли, если скорость течения реки равна 3 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
9. Рыболов проплыл на лодке от пристани некоторое расстояние вверх по течению реки, затем бросил якорь, 2 часа ловил рыбу и вернулся обратно через 5 часов от начала путешествия. На какое расстояние от пристани он отплыл, если скорость течения реки равна 2 км/ч, а собственная скорость лодки 6 км/ч?
10. Катер прошёл от одной пристани до другой, расстояние между которыми по реке равно 48 км, сделал стоянку на 20 мин и вернулся обратно через  после начала поездки. Найдите скорость течения реки, если известно, что скорость катера в стоячей воде равна 20 км/ч.

Задачи на совместную работу

1. Два оператора, работая вместе, могут набрать текст газеты объявлений за 8 ч. Если первый оператор будет работать 3 ч, а второй 12 ч, то они выполнят только 75% всей работы. За какое время может набрать весь текст каждый оператор, работая отдельно?
2. На изготовление 231 детали ученик тратит на 11 часов больше, чем мастер на изготовление 462 таких же деталей. Известно, что ученик за час делает на 4 детали меньше, чем мастер. Сколько деталей в час делает ученик?
3. Что бы накачать в бак 117 л воды, требуется на 5 минут больше времени, чем на то, чтобы выкачать из него 96 л воды. За одну минуту можно выкачать на 3 л воды больше, чем накачать. Сколько литров воды накачивается в бак за минуту?
4. Дима и Саша выполняют одинаковый тест. Дима отвечает за час на 12 вопросов теста, а Саша — на 22. Они одновременно начали отвечать на вопросы теста, и Дима закончил свой тест позже Саши на 75 минут. Сколько вопросов содержит тест?
5. Две трубы наполняют бассейн за 8 часов 45 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 21 час. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
6. Первая труба пропускает на 2 литра воды в минуту меньше, чем вторая. Сколько литров воды в минуту пропускает вторая труба, если резервуар объёмом 130 литров она заполняет на 4 минуты быстрее, чем первая труба заполняет резервуар объёмом 136 литров?
7. Две трубы наполняют бассейн за 6 часов 18 минут, а одна первая труба наполняет бассейн за 9 часов. За сколько часов наполняет бассейн одна вторая труба?
8. Первый рабочий за час делает на 10 деталей больше, чем второй, и выполняет заказ, состоящий из 60 деталей, на 3 часа быстрее, чем второй рабочий, выполняющий такой же заказ. Сколько деталей в час делает второй рабочий?
9. Игорь и Паша красят забор за 20 часов. Паша и Володя красят этот же забор за 24 часа, а Володя и Игорь — за 30 часов. За сколько часов мальчики покрасят забор, работая втроём?
10. Три бригады изготовили вместе 114 деталей. Известно, что вторая бригада изготовила деталей в 3 раза больше, чем первая, и на 16 деталей меньше, чем третья. На сколько деталей больше изготовила третья бригада, чем первая.

Задачи на проценты, смеси и сплавы

1. Смешав 60%−ый и 30%−ый растворы кислоты и добавив 5 кг чистой воды, получили 20%−ый раствор кислоты. Если бы вместо 5 кг воды добавили 5 кг 90%−го раствора той же кислоты, то получили бы 70%−ый раствор кислоты. Сколько килограммов 60%−го раствора использовали для получения смеси?
2. Имеется два сплава с разным содержанием меди: в первом содержится 60%, а во втором — 45% меди. В каком отношении надо взять первый и второй сплавы, чтобы получить из них новый сплав, содержащий 55% меди?
3. При смешивании первого раствора кислоты, концентрация которого 20%, и второго раствора этой же кислоты, концентрация которого 50%, получили раствор, содержащий 30% кислоты. В каком отношении были взяты первый и второй растворы?
4. Свежие фрукты содержат 80% воды, а высушенные — 28%. Сколько сухих фруктов получится из 288 кг свежих фруктов?
5. Имеются два сосуда, содержащие 10 кг и 16 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получится раствор, содержащий 55% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 61% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится в первом растворе?
6. Имеются два сосуда, содержащие 48 кг и 42 кг раствора кислоты различной концентрации. Если их слить вместе, то получим раствор, содержащий 42% кислоты. Если же слить равные массы этих растворов, то полученный раствор будет содержать 40% кислоты. Сколько килограммов кислоты содержится во втором растворе?
7. Первый сплав содержит 5% меди, второй — 13% меди. Масса второго сплава больше массы первого на 4 кг. Из этих двух сплавов получили третий сплав, содержащий 10% меди. Найдите массу третьего сплава.
8. Свежие фрукты содержат 86 % воды, а высушенные — 23 %. Сколько требуется свежих фруктов для приготовления 72 кг высушенных фруктов?
9. Смешали некоторое количество 21-процентного раствора некоторого вещества с таким же количеством 95-процентного раствора этого же вещества. Сколько процентов составляет концентрация получившегося раствора?
10. Свежие фрукты содержат 93% воды, а высушенные — 16%. Сколько сухих фруктов получится из 252 кг свежих фруктов?

Задачи на арифметические и геометрические прогрессии

1. В первом ряду кинозала 30 мест, а в каждом следующем на 2 места больше, чем в предыдущем. Сколько мест в ряду с номером n?
2.  Дана арифметическая прогрессия: 33; 25; 17; … Найдите первый отрицательный член этой прогрессии.
3. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии: −8,6; −8,4; ...
4. Какое наибольшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, можно сложить, чтобы получившаяся сумма была меньше 528?
5. Найдите сумму всех положительных членов арифметической прогрессии 11,2; 10,8; …
6. Какое наименьшее число последовательных натуральных чисел, начиная с 1, нужно сложить, чтобы получившаяся сумма была больше 465?
7. Найдите сумму всех отрицательных членов арифметической прогрессии –7,2; –6,9; …
8. Арифметическая прогрессия (an) задана условиями: a1 = 3, an + 1 = an + 4. Найдите a10.
9. Записаны первые три члена арифметической прогрессии: 20; 17; 14. Какое число стоит в этой арифметической прогрессии на 91-м месте?
10. Дана арифметическая прогрессия (аn): −6; −2; 2; … . Найдите a16.

Задачи на вероятности

1. Телевизор у Маши сломался и показывает только один случайный канал. Маша включает телевизор. В это время по трем каналам из двадцати показывают кинокомедии. Найдите вероятность того, что Маша попадет на канал, где комедия не идет.
2. На тарелке 12 пирожков: 5 с мясом, 4 с капустой и 3 с вишней. Наташа наугад выбирает один пирожок. Найдите вероятность того, что он окажется с вишней.
3. В фирме такси в данный момент свободно 20 машин: 9 черных, 4 желтых и 7 зеленых. По вызову выехала одна из машин, случайно оказавшаяся ближе всего к заказчику. Найдите вероятность того, что к нему приедет желтое такси.
4. В каждой десятой банке кофе согласно условиям акции есть приз. Призы распределены по банкам случайно. Варя покупает банку кофе в надежде выиграть приз. Найдите вероятность того, что Варя не найдет приз в своей банке.
5. Миша с папой решили покататься на колесе обозрения. Всего на колесе двадцать четыре кабинки, из них 5 — синие, 7 — зеленые, остальные — красные. Кабинки по очереди подходят к платформе для посадки. Найдите вероятность того, что Миша прокатится в красной кабинке.
6. У бабушки 20 чашек: 5 с красными цветами, остальные с синими. Бабушка наливает чай в случайно выбранную чашку. Найдите вероятность того, что это будет чашка с синими цветами.
7. В среднем из каждых 80 поступивших в продажу аккумуляторов 76 аккумуляторов заряжены. Найдите вероятность того, что купленный аккумулятор не заряжен.
8. Для экзамена подготовили билеты с номерами от 1 до 50. Какова вероятность того, что наугад взятый учеником билет имеет однозначный номер?
9. В мешке содержатся жетоны с номерами от 5 до 54 включительно. Какова вероятность, того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит двузначное число?
10. В денежно-вещевой лотерее на 100 000 билетов разыгрывается 1300 вещевых и 850 денежных выигрышей. Какова вероятность получить вещевой выигрыш?

«Умножение и деление целых чисел».

Урок математики в 6 классе.

Цели урока:                                                                                              повторение изученного материала по теме «Умножение и деление целых чисел», отработка навыков применения операций умножения и деления положительных и     отрицательных чисел.

Задачи урока.

1) образовательные:                                                                                                                                    - отрабатывать в процессе устной и письменной работы  вычислительные навыки действия с отрицательными числами и числами с разными знаками;

- совершенствовать навыки работы с отрицательными числами и числами с разными знаками;

2) развивающие:

- развитие познавательного интереса;

-развитие логического мышления, памяти, внимания;

3) воспитательные:

-развитие активности;

-привитие учащимся навыков самостоятельной работы;

-воспитание настойчивости в достижении цели.

Тип урока: Урок - повторения и обобщения.

Виды деятельности: фронтальный опрос, работа в тетради, работа в парах.

Оборудование: компьютер, проектор, раздаточный материал.

Ход урока:  1) сообщение темы;

                            2) постановка целей и задач урока учащимися;  

                            3) систематизация знаний и умений по пройденному  

                                материалу  с использованием готовых упражнений;

                            4)  самостоятельная работа с взаимопроверкой;

                            5) домашнее задание

                            6) оценивание работы на уроке;

    1 ряд.

1)-48: (-4)                                                                                         Р)12;       А)-12;       В)-52

2)-32+49                                                                                           И)-17;     Е)81;         А)17

3)15· (-2)                                                                                           Д)-30;    М)-17;       К)30

4)-12-6                                                                                              Д) -6;     У)-18;        Т)18

5) 60: (-10)                                                                                        Г) -6;    К)6;            И)-50

6) -7·(-12)                                                                                          К)74;     О) -19;      А)84

2 ряд

1) -5·(-12)                                                                                      Т) -17;     Д)60;       П) -60

2) 25-38                                                                                         О) -13;     Е)-63;      И)13

3) -280:70                                                                                      В) -40;     Д)-210;    Р) -4

4) -21+(-83)                                                                                    О)-104;    Р)-62;      Е)62

5) -18: (-2)                                                                                      Г) 9;       Т)16;        И) 36

6) -30·7                                                                                          И)210;      К)-21;     А)-210

3 ряд

1) -18+39                                                                                         В)-57;        М)-21;       П)21.                  

2) -8·(-70)                                                                                      А) -540;     О)560;       Л)-560

3)-88:4                                                                                             Г)-22;        Н)22;         К)-84

4) -72-12;                                                                                           М)-60;        О)-84;        Е)60            

5)-360: (-12);                                                                                     И)-3;          Т)-30;        Д)30

6)16·(-2);                                                                                            Р)-14;        А)-32;         К)-8

VI) Работа по учебнику № 328(а, ж)