Алгоритмика в преподавании математики: современные подходы и технологии
статья

Алгоритмика в преподавании математики: современные подходы и технологии

Введение

Алгоритмика — не отдельный предмет, а сквозная линия, пронизывающая весь школьный курс математики от арифметики 5 класса до математического анализа в старших классах. Согласно ФГОС ООО, изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечивать «развитие алгоритмического мышления, необходимого для профессиональной деятельности в современном обществе», а предметные результаты включают «формирование информационной и алгоритмической культуры» и «понимание сущности алгоритма и его свойств». 

Алгоритм определяется как «точное понятное предписание о том, какие действия и в каком порядке необходимо выполнить, чтобы решить любую задачу из данного класса однотипных задач». Понятие алгоритма относится к числу фундаментальных математических понятий, и его формирование — одна из ключевых задач учителя математики. 

1. Сущность алгоритмического мышления и алгоритмической культуры

Алгоритмическое мышление — это система мыслительных действий и приёмов, направленных на решение задач посредством построения последовательности логически связанных шагов. Результатом такой деятельности становится алгоритм — упорядоченная система действий, позволяющая достигать поставленной цели. 

Структура алгоритмического мышления включает четыре базовых компонента: 

1. Анализ задачи — формулировка проблемы, выделение существенных элементов и исходных данных.
2. Разработка алгоритма — построение последовательности действий, приводящих к результату.
3. Тестирование и отладка — проверка алгоритма на конкретных данных, поиск и исправление ошибок.
4. Обобщение — перенос алгоритма на класс аналогичных задач.

Алгоритмическая культура — часть общей математической культуры, включающая: понимание сущности алгоритма и его свойств (дискретность, определённость, результативность, массовость); владение способами записи алгоритмов (словесный, табличный, графический — блок-схема, формульный); владение алгоритмами школьного курса; понимание элементарных основ программирования. 

Формирование алгоритмического стиля мышления способствует развитию таких качеств личности, как целеустремлённость, объективность, логичность, последовательность в планировании действий, умение лаконично выражать мысли и быстро ориентироваться в потоке информации. 

2. Методические подходы к формированию алгоритмической культуры

В практике преподавания выделяются три подхода к реализации алгоритмической линии: 

Первый подход. Алгоритм используется как дидактическое средство без специального изучения понятия. Учитель применяет алгоритмическую терминологику при формировании вычислительных умений, решении уравнений, построении отрезков. Способы действий задаются в форме словесных предписаний, памяток, образцов.

Второй подход. Помимо использования алгоритмов как средства, учитель целенаправленно проводит работу по формированию компонентов алгоритмической культуры: задания на чтение алгоритмов, различение алгоритма и не-алгоритма, конструирование алгоритмического описания способа действий.

Третий подход. В курс включается специальная тема, посвящённая понятию «алгоритм» и связанным с ним понятиям (программа, операция, шаги, способы задания, блок-схема).

Важно, чтобы изучение понятия алгоритма не было формальным. Термин сначала включается в речь учителя, затем — в речь учащихся, и постепенно становится таким же частотным, как «задача», «выражение», «равенство». 

Два способа обучения алгоритмам

• Сообщение готовых алгоритмов — учитель даёт правило, ученики заучивают и закрепляют упражнениями. Подходит для слабых учащихся как опора, но формирует механическое воспроизведение.
• Подведение к самостоятельному открытию — эвристический метод, при котором ученики сами выявляют шаги, формулируют алгоритм и применяют его. Эффективнее: формирует осознанное владение материалом. moluch.ru +1

Этапы формирования алгоритмических понятий

Процесс включает четыре фазы: 

1. Мотивация — актуализация знаний, показ необходимости алгоритма.
2. Введение алгоритма — открытие учащимися под руководством учителя, формулировка шагов.
3. Усвоение — отработка отдельных операций и их последовательности.
4. Применение — использование в знакомых и незнакомых ситуациях.

3. Формы представления алгоритмов

В школьной практике используются четыре основные формы записи: 

Словесный алгоритм — самый подробный вид, с которого следует начинать обучение. По мере освоения шаги выполняются по памяти, алгоритм сокращается и переходит в краткую или формульную запись. 

4. Примеры алгоритмов на уроках математики

Пример 1. Алгоритм решения линейного уравнения (6 класс)

Словесная запись: 

1. Раскрыть скобки (если они есть).
2. Перенести слагаемые с переменной в левую часть, а числа — в правую, меняя знаки на противоположные.
3. Привести подобные слагаемые в обеих частях.
4. Разделить обе части на коэффициент при переменной.
5. Сделать проверку.
6. Записать ответ.

Пример. Решить уравнение 

25−2(x+1)=13

25−2(x+1)=13.

25−2x−2=13  ⇒ 

−2x=13−25+2  ⇒ 

−2x=−10  ⇒ 

x=525−2x−2=13⇒

−2x=13−25+2⇒

−2x=−10⇒

x=5

Проверка: 25−2(5+1)=1325−2(5+1)=13, 13=1313=13 — верно. Ответ: 55. 

Методический комментарий. После решения нескольких уравнений ученики выделяют общий способ действий и формулируют алгоритм. Работа проводится в парах: ученики составляют пошаговые предписания, затем класс обсуждает и выбирает наиболее удачный вариант. В сильном классе можно сразу перейти к блок-схеме; в слабом — добавить конкретизирующие шаги. 

Пример 2. Алгоритм решения квадратного уравнения (8 класс)

Словесная запись: 

1. Выписать коэффициенты aa, bb, cc.
2. Вычислить дискриминант: D=b2−4acD=b2−4ac.
3. Если D>0D>0 — два корня: x1,2=−b±D2ax1,2​=2a−b±D​​.
4. Если D=0D=0 — один корень: x=−b2ax=2a−b​.
5. Если D<0D<0 — корней нет.
6. Записать ответ.

Блок-схема (разветвлённый алгоритм): 

text

Начало → Ввод a, b, c → D = b² - 4ac →

  D > 0? → Да: x₁ = (-b+√D)/(2a), x₂ = (-b-√D)/(2a) → Вывод x₁, x₂

         → Нет: D = 0? → Да: x = -b/(2a) → Вывод x

                           → Нет: Вывод «корней нет»

→ Конец

Пример. Решить уравнение 3x2−5x−2=03x2−5x−2=0.

a=3a=3, b=−5b=−5, c=−2c=−2.

D=(−5)2−4⋅3⋅(−2)=25+24=49>0D=(−5)2−4⋅3⋅(−2)=25+24=49>0

x1=5+76=2,x2=5−76=−13x1​=65+7​=2,x2​=65−7​=−31​

Ответ: −13−31​; 22. 

Методический комментарий. Этот алгоритм — классический пример ветвления. На интегрированном уроке математики и информатики ученики сначала составляют блок-схему, затем реализуют алгоритм на языке программирования Python. Это показывает связь между математической моделью и программной реализацией. 

Пример 3. Алгоритм Евклида для нахождения НОД (5–6 класс)

Словесная запись: kp.ru +1

1. Разделить большее число на меньшее.
2. Если остаток равен нулю — меньшее число и есть НОД.
3. Если остаток не равен нулю — заменить большее число на меньшее, а меньшее на остаток.
4. Повторять с шага 1, пока остаток не станет нулём.
5. Последний ненулевой остаток — НОД.

Пример. Найти НОД(270;186)НОД(270;186). 

270:186=1 (остаток 84)270:186=1 (остаток 84)

186:84=2 (остаток 18)186:84=2 (остаток 18)

84:18=4 (остаток 12)84:18=4 (остаток 12)

18:12=1 (остаток 6)18:12=1 (остаток 6)

12:6=2 (остаток 0)12:6=2 (остаток 0)

НОД(270;186)=6НОД(270;186)=6.

Методический комментарий. Алгоритм Евклида — пример циклического алгоритма. Его удобно сопровождать блок-схемой с условием «остаток = 0?» и стрелкой возврата. Для сильных учеников можно предложить доказательство корректности алгоритма и сравнение эффективности с методом разложения на множители. 

Пример 4. Алгоритм решения составного уравнения (5 класс)

Словесная запись: 

1. Записать уравнение.
2. Расставить порядок действий в части с неизвестными.
3. Дать характеристику компонентам последнего действия.
4. Вычислить неизвестный компонент.
5. Выяснить, какое получилось уравнение: простое или составное.
6. Если простое — решить; если составное — вернуться к шагу 2.

Пример. Решить уравнение 10+2x=3610+2x=36.

Ученик определяет: последнее действие — сложение, 2x2x — неизвестное слагаемое.

2x=36−10  ⇒  2x=26  ⇒  x=132x=36−10⇒2x=26⇒x=13

Методический комментарий. Здесь алгоритм содержит цикл (возврат к шагу 2), что пропедевтически знакомит пятиклассников с циклической конструкцией. Комментированное решение у доски с проговариванием каждого шага вслух тренирует математическую речь и помогает классу видеть логику. 

5. Практические приёмы на уроках

Комментированное решение. Ученик решает у доски, вслух проговаривая каждый шаг. Это тренирует математическую речь и помогает классу видеть логику алгоритма. 

«Найди ошибку». На доске выписываются варианты решения, среди которых есть неверные. Ученики ищут ошибку, объясняют причину и исправляют. Это развивает навык отладки — ключевой компонент алгоритмического мышления. 

Самостоятельное составление алгоритма. После решения нескольких задач одного типа ученики выделяют общий способ действий и формулируют алгоритм. Работа проводится в парах: ученики составляют пошаговые предписания, затем класс обсуждает и выбирает наиболее удачный вариант. 

Дифференциация. Школьные задачи делятся на алгоритмические, полуалгоритмические, полуэвристические и эвристические. На начальном этапе преобладают алгоритмические задачи; по мере освоения добавляются задачи с элементами творчества, где ученик адаптирует известный алгоритм к новым условиям. В более сильном классе алгоритм может состоять из последовательности необходимых шагов, а в слабом — потребуются дополнительные конкретизирующие шаги или разбиение одного алгоритма на несколько. 

6. Современные цифровые технологии

Визуальные среды блочного программирования

Scratch (рекомендуется для 5–6 классов) развивает навыки декомпозиции: создание игры «Лабиринт» разбивается на блоки — «движение спрайта», «столкновение со стенами», «подсчёт очков». 

Blockly (для 6–7 классов) служит мостом между блочным и текстовым программированием: ученик собирает визуальный алгоритм, а среда транслирует его в код на Python или JavaScript. На сайте К. Полякова доступны готовые наборы заданий с исполнителями «Робот», «Водолей» и «Черепаха», охватывающие линейные алгоритмы, циклы, ветвления и процедуры. school.infojournal.ru +1

ПиктоМир — российская среда для начальной школы, позволяет сфокусировать внимание ученика на алгоритмической составляющей без перегрузки синтаксисом. 

Геометрические и графические среды

GeoGebra — бесплатная многофункциональная платформа, объединяющая геометрию, алгебру и математический анализ. При изучении теоремы Пифагора ученики строят прямоугольный треугольник и наблюдают, как сумма площадей квадратов на катетах совпадает с площадью квадрата на гипотенузе при изменении размеров. На уроке алгебры ученики двигают ползунки для коэффициентов aa, bb, cc функции y=ax2+bx+cy=ax2+bx+c и наблюдают, как меняется форма параболы. infourok.ru +1

Desmos — онлайн-калькулятор для построения графиков. Ученики вводят уравнения y=2x+3y=2x+3 и y=−x2+5y=−x2+5, находят точки пересечения и интерпретируют их как решения системы. infourok.ru +1

Образовательные платформы

Учи.ру и Яндекс Учебник предоставляют адаптивные маршруты обучения, которые подстраиваются под темп и успехи ученика. Учи.ру ближе ученикам 1–4 классов: задания короткие, реакция на ответ приходит сразу. Яндекс Учебник ближе ученикам 3–6 классов: задания следуют школьной программе, учитель видит статистику класса. kvant.academy +1

Робототехника и безэкранное программирование

Образовательные наборы с программируемыми логоботами позволяют объединить математику, алгоритмику и программирование в практической деятельности. Ученик решает математическую задачу, определяет положение объекта, рассчитывает маршрут, составляет алгоритм и проверяет его на реальном исполнителе. 

7. Интеграция математики и информатики

Алгоритмика — естественная область интеграции двух предметов. ФГОС ООО прямо предусматривает, что изучение предметной области «Математика и информатика» должно обеспечивать «развитие алгоритмического мышления» и «формирование знаний об алгоритмических конструкциях — линейной, условной и циклической». 

Интегративный потенциал раскрывается через несколько направлений: 

Арифметические алгоритмы — алгоритмы действий с числами, которые изучаются в математике и реализуются в программировании.

• Теоретико-числовые алгоритмы — проверка делимости, нахождение НОД (алгоритм Евклида) — связывают математику с программированием.
• Геометрические алгоритмы — построения, исследование функций, нахождение площадей — допускают как математическое, так и компьютерное решение.
• Алгоритмы решения уравнений — от линейных до квадратных — могут быть реализованы в виде программ на Python или Pascal.

Пример интегрированного задания. «Найти корни уравнения ax2+bx+c=0ax2+bx+c=0». Ученики решают задачу математически, строят блок-схему алгоритма, затем пишут программу на Python. nsportal.ru +1

python

import math

a = int(input())

b = int(input())

c = int(input())

D = b**2 - 4*a*c

if D > 0:

    x1 = (-b + math.sqrt(D)) / (2*a)

    x2 = (-b - math.sqrt(D)) / (2*a)

    print('x1 =', x1, 'x2 =', x2)

elif D == 0:

    x1 = -b / (2*a)

    print('x =', x1)

else:

    print('корней нет')

Такое задание сочетает математическое решение с составлением алгоритма и программы, что способствует формированию алгоритмического мышления на продуктивном уровне. 

8. Диагностика и оценка результатов

Оценка развития алгоритмического мышления не сводится к проверке правильного ответа. Предлагается критериальный подход с четырьмя критериями: 

1. Когнитивный — знание базовых алгоритмических конструкций (цикл, ветвление, переменная).
2. Деятельностный — умение составить алгоритм в форме блок-схемы и текстового описания.
3. Прикладной — способность применить алгоритм к незнакомой задаче.
4. Рефлексивный — умение находить и исправлять логические ошибки (бесконечный цикл, неверное условие выхода).

Для количественной оценки полезны практические приёмы: «найди ошибку в чужом решении», составление обратной задачи, формулирование алгоритма своими словами.

Система заданий по формированию алгоритмического мышления может усиливаться по этапам: 

• Подготовительный: задания на логику, построение и обоснование простейших умозаключений.
• Основной: чтение алгоритмов, исправление ошибок, выполнение действий с обоснованием шагов, составление собственных алгоритмов линейного, разветвляющегося и циклического вида.

9. Результаты

Систематическая работа по формированию алгоритмического мышления даёт результаты по нескольким направлениям:

• Предметные: ученики увереннее решают задачи, понимая суть действий, а не заучивая правила; легче осваивают темы, требующие многошаговых процедур.
• Метапредметные: развиваются умения анализировать, сравнивать, обобщать, планировать последовательность действий, контролировать и оценивать результат.
• Личностные: формируется алгоритмическая культура как часть общей культуры мышления — способность действовать по плану, объективно оценивать результат, не бояться ошибок и уметь их исправлять.

Опыт показывает, что использование визуальных сред программирования (Scratch, Blockly) в сочетании с традиционными формами работы позволяет к концу учебного года повысить долю учеников, способных самостоятельно составить и записать алгоритм решения задачи. 

Заключение

Алгоритмика в преподавании математики — это системообразующая линия, которая связывает предметные знания с метапредметными умениями и готовит учеников к жизни в информационном обществе. Современный учитель математики располагает широким арсеналом средств — от классических блок-схем и словесных предписаний до визуальных сред программирования и образовательной робототехники.

Эффективность зависит не от количества технологий, а от методической обоснованности: алгоритм должен формироваться осознанно, через открытие, а не через заучивание; цифровые инструменты должны дополнять, а не заменять мыслительную деятельность ученика.

Дальнейшие перспективы связаны с включением элементов искусственного интеллекта в образовательный процесс — как инструмента, который помогает ученикам понять, как алгоритмы работают «в действии» и как данные преобразуются в решения.

Список литературы

1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования (утв. приказом Минпросвещения России от 31.05.2021 № 287, ред. от 22.01.2024). 
2. Методические рекомендации по преподаванию математики на 2024/2025 учебный год / Институт развития образования —. 
3. Новак Н. М. Алгоритмический подход к изучению математики в школе // Вестник Оренбургского государственного педагогического университета. — 2015. 
4. Калдыбаева И. М. Основные методические подходы к развитию алгоритмической культуры младших школьников при изучении начального курса математики // Научные высказывания. — 2023. № 2 (26). С. 10–12. 
5. Сидорова О. С. Формирование алгоритмического мышления учащихся — актуальное направление деятельностного метода обучения математике в свете требований ФГОС // Инфоурок. 
6. Гузиёва А. А. Формирование алгоритмической культуры младших школьников на уроках математики // Инфоурок, 2026. 
7. Дмитренко Т. В. Формирование алгоритмической культуры учащихся на уроках алгебры и начал математического анализа / Балтийский государственный университет —. 
8. Развитие алгоритмического мышления у школьников 5–7 классов с помощью визуальных сред программирования (Scratch, Blockly, ПиктоМир) // Альманах педагога, 2026. 
9. Цифровые инструменты (GeoGebra, Desmos) в преподавании математики: практические кейсы // Инфоурок, 2025. 
10. Бесплатные цифровые ресурсы в помощь математикам // Педсовет, 2021. 
11. Школьные среды визуального программирования: Робот-Blockly, Водолей-Blockly, Черепаха-Blockly // Школа информационного журнала, 2022. 
12. Интегрированные задания по математике и информатике // Преподаватель XXI века, 2022. 
13. Интегрированное изучение предметов математики и информатики // Открытый урок — 1 сентября. 
14. Алгоритмизация процесса обучения математике детей с ОВЗ в условиях реализации ФГОС // Молодой учёный. — 2016. № 123. 
15. Применение методических инструментов для развития алгоритмического мышления при обучении математике // Вестник Тюменского университета, 2023. 
16. Учи.ру или Яндекс Учебник: где ребёнку тренировать математику после уроков // Блог Квант, 2026. 
17. Алгоритм решения квадратного уравнения: блок-схема и программа на Python // Инфоурок, 2025. 
18. Наибольший общий делитель: алгоритмы нахождения // KP.ru, 2023. 
19. Памятка по теме «Решение линейных уравнений», 6 класс // Инфоурок, 2025. 
20. Байдак В. А., Ефимов В. И., Лапчик М. П. Формирование алгоритмической культуры у учащихся // Повышение эффективности обучения математике в школе. — М.: Просвещение, 1989. С. 74–78. 
21. Виленкин Н. Я., Дробышев Ю. А. Воспитание алгоритмического мышления на уроках математики // Начальная школа. — 1988. № 12. С. 34–37. 
22. Царёва С. Е. Формирование основ алгоритмического мышления в процессе начального обучения математике // Начальная школа. — 2012. № 4. С. 5–13.