Обобщение опыта
методическая разработка ( класс) на тему

Знания – дети удивления и любопытства.

Луи де Бройль.

Повышение качества знаний школьников и их интереса к учению было и остается одной из важнейших задач школьного образования. Первостепенное значение отводится задаче развития у учащихся, будущих специалистов, творческого общего и профессионального мышления, способности самостоятельно и быстро ориентироваться в проблемах науки, техники и производства. Новое время предъявляет  новые требования к выпускнику школы.

 У истоков любого урока стоит учитель. Многое зависит от его профессионализма, педагогического мастерства. Какой учитель не мечтает, чтобы его ученики получали только хорошие и отличные оценки? Увы, этой мечте не всегда суждено сбыться, всем понятно, что у каждого ребенка свои индивидуальные интеллектуальные особенности, разный уровень мотивации обучения, да и содержание образовательных программ стремительно усложняется, уровень навыков, требований по всем учебным предметам повышается от класса к классу. Как в этих условиях построить урок? Как выкроить время на дополнительный интересный материал?

Успех развития школьника достигается главным  образом на уроке, когда учитель остается один на один со  своими  воспитанниками.  И от его умения " и наполнить сосуд, и зажечь    факел»,  от  его   умения организовать систематическую познавательную деятельность  зависит  степень  интереса учащихся  к учебе, уровень знаний, готовность  к   постоянному самообразованию.

Роль учебного предмета  «Математика»  в процессе формирования личности уникальна,  его образовательный и развивающий потенциал огромен. Не случайно ведущей целью математического образования является интеллектуальное развитие учащихся,  формирование качеств мышления,  необходимых человеку для полноценной жизни в  современном обществе.   По причине увеличения объема информации,  подлежащей усвоению,  решить задачу обеспечения современного качества образования традиционным путем недостаточно, необходимы особые методы развивающего обучения.

Проблемное обучение можно отнести к числу развивающих,  так как  его задача - развитие интеллекта учеников за счет повышения роли самостоятельности учащихся в процессе разрешения проблемных ситуаций,  активной познавательной деятельности, в условиях свободы применения способов умственной деятельности. Проблемное обучение не может не ориентироваться на личность учащегося,  получающего в условиях такого обучения возможность мыслить и действовать творчески.

Чтобы у школьника развивалось творческое мышление, необходимо, чтобы он почувствовал удивление и любопытство, повторил путь человечества в познании, удовлетворил с аппетитом возникшие потребности в знаниях. Только через преодоление трудностей, решение проблем, ребенок может войти в мир творчества. Увлечение создает то напряжение духовных сил, которое ведет к развитию способностей. Все знают: у кого большие способности, у того обычно есть интерес к занятиям. Но не все знают обратное правило: у кого больше интереса, у того быстрее развиваются способности. Увлечение и способности тесно связаны между собой. Умение заинтересовать математикой — дело непростое. Творческая активность учащихся, успех урока целиком зависит от методических приемов, которые выбирает учитель.

Цель педагогического опыта:

1)     Усвоение учащимися знаний, умений, добытых в ходе активного поиска и самостоятельного решения проблем;

2)     Развитие мышления и способностей учащихся, развитие творческих умений;

3)     Воспитание активной творческой личности учащегося, умеющего видеть, ставить и  решать нестандартные проблемы.

Задачи:

1)     Обеспечение  учащемуся с учётом индивидуальных способностей и личностных качеств условий для успешного выполнения задания, заинтересованности  его самим познавательным процессом;

2)     Активизация мыслительной деятельности, осознание учащимися процесса познания как решения проблем;

3)     Усвоение обобщённых способов решения проблем, способов  исследования;

4)     Более прочное усвоение знаний.

  Актуальность и перспективность опыта, его практическая значимость для повышения качества учебно-воспитательного процесса:

Актуальность выбора данной темы диктуется потребностями практики, поскольку школа должна создать условия для самореализации и самоопределения личности каждого ученика, должна выпускать людей творческих, способных самостоятельно приобретать новые знания и применять их в изменяющихся условиях современной действительности. Актуальность моей работы  основывается на применении математических знаний на практике. На реализацию данной задачи и направлен описываемый опыт: через создание  банка  заданий  для учащихся -  на повторение, сознательное и прочное усвоение знаний  в процессе   активной  умственной деятельности учащихся,  применение математических знаний  в практической деятельности человека,  решение занимательных задач и задач практического содержания,  использование

опорных схем,  использование информационных компьютерных технологий, игровых форм организации учебной деятельности, создание на уроках проблемных ситуаций.

Адресная направленность Опыт формировался в обычной средней школе, где обучаются дети с разными учебными возможностями, и рекомендуется для применения учителями общеобразовательных школ на любом предметном содержании и любой ступени.

Условие возникновения проблемы, становление опыта:

К творческим способностям учащихся, творческому мышлению у учащихся следует отнести:

- пытливость ума, стремление открывать и исследовать новое;

- способность находить и выражать оригинальные идеи;

- изобретательские порывы и богатое воображение;

- интерес к парадоксам и восприятие неоднозначных вещей;

- гибкость, быстрота и точность в мышлении и действиях.

Так как формирования этих способностей можно добиться и  проблемными методами обучения, то определилась тема моей работы «Технология проблемного обучения  на уроках математики».

Китайская мудрость гласит: «Я слышу – я забываю, я вижу – я запоминаю, я делаю – я усваиваю». Исследования ученых показали, что учащиеся удерживают в памяти:

 - 10% от того, что они читают;

 - 26% от того, что они слышат;

- 30% от того, что они видят;

- 50% от того, что они видят и слышат;

 - 70% от того, что они обсуждают с другими;

- 80% от того, что основано на личном опыте;

- 90 % от того, что они говорят (проговаривают) в то время, как делают;

- 95% от того, чему они обучаются сами

Технология проблемного обучения позволяет заменить традиционный урок «получения» знаний уроком “открытия ” знаний. В результате происходит развитие логического мышления, активного словарного запаса школьников, формирование умения анализировать проблемную ситуацию, выдвигать гипотезу, устанавливать ее истинность или ложность путем проверки, находить рациональный способ решения заданий.

Научно – методическое обоснование

В своей работе  опираюсь на исследования и разработки ученых - педагогов. Проблемное обучение основывается на теоретических положениях американского философа, психолога, педагога Джона Дьюи (1859-1952). В России дидактику проблемного обучения разработал И.Я. Лернер. Большое значение для становления теории проблемного обучения имели работы психологов, сделавших вывод о том, что умственное развитие характеризуется не только объёмом и качеством усвоенных знаний, но и структурой мыслительных процессов, системой логических операций и умственных действий, которыми владеет ученик (С.А. Рубинштейн, Н.А. Менчинская, Т.В. Кудрявцев), и раскрывших роль проблемной ситуации в мышлении и обучении (А.М. Матюшкин).

Сегодня под проблемным обучением понимается такая организация учебных занятий, которая предполагает создание под руководством учителя проблемных ситуаций и активную самостоятельную деятельность учащихся по их разрешению, в результате чего происходит творческое овладение профессиональными знаниями, навыками, умениями  и развитие мыслительных способностей.    

  Сущность опыта, его ведущая идея

  При проблемном обучении ведущими мотивами познавательной деятельности становятся интеллектуальные. Учащиеся самостоятельно ищут знания, испытывая удовлетворение от процесса интеллектуального труда, от преодоления сложностей и найденных решений, догадок, озарений. При проблемном обучении учитель либо не дает готовых знаний, либо дает их только на особом предметном содержании, новые знания, умения и навыки школьники приобретают самостоятельно при решении особого рода задач и вопросов, называемых проблемными.  Разрешение проблемной ситуации – центральное звено в проблемном обучении. От того, насколько она соответствует существу изучаемого вопроса, насколько удалось активизировать учащихся, возбудить их интерес, зависит эффективность обучения.

Данная технология позволяет:

- активизировать познавательную деятельность учащихся на уроке, что позволяет справляться с большим объемом учебного материала;

- сформировать стойкую учебную мотивацию - учение с увлечением

- использовать полученные навыки организации самостоятельной работы для получения новых знаний из разных источников информации;

- повысить самооценку учащихся, так как при решении проблемы выслушиваются и принимаются во внимание любые мнения. 

Проблемный урок

• Назначение: приобретение знаний и умений, активизация и развитие мыслительных действий (анализ, синтез, аналогия), развитие креативности , выход на проектную, исследовательскую деятельность.
• Базируется на проблемной ситуации.
• Методы решения проблемы:  исследовательский (индуктивное и дедуктивное исследование), проектирование.
• Средства решения проблемы: эксперимент, работа с источниками информации, наблюдение, моделирование.

Формы урока: беседа, лекция, экскурсия, эксперимент, работа в группах

При организации проблемного обучения необходимо формулировать задачи на четырех уровнях проблемности :

Уровни проблемного обучения:

1 уровень – ученик усваивает приёмы логического мышления репродуктивным методом, следуя образцу рассуждения учителя;

 2 уровень – учитель создаёт проблемную ситуацию, указывает на проблему и вовлекает их в совместный поиск путей её решения и в процесс самого решения;

 3 уровень – учащиеся формулируют аналоговую неполнозначную проблему и анализируют её вместе с учителем, совместно выдвигают предположения и обосновывают гипотезу, а доказывают и проверяют решения самостоятельно, решаются познавательные задачи;

     4 уровень – наличие любых типов проблем и полная самостоятельность в их решении

Проблемные ситуации могут создаваться на всех этапах процесса обучения: при объяснении, закреплении, контроле. Учитель создает проблемную ситуацию, направляет учащихся на ее решение, организует поиск решения. Таким образом, ребенок становится в позицию своего обучения, и как результат у него образуются новые знания, он овладевает новыми способами действия. Проблемная ситуация специально создается учителем путем применения особых методических приемов:

- учитель подводит школьников к противоречию ( теоретически возможным способом решения задачи, найденным учащимися на основе своих знаний, и невозможностью их практического осуществления) и предлагает им самим найти способ его разрешения; 

-учитель  создает  ситуацию неожиданности при ознакомлении учащихся с материалом, вызывающим удивление, поражающим своей необычностью, кажущимся парадоксальным;

- сталкивает противоречия практической деятельности: практически достигнутым результатом (известным фактом) и недостаточностью знаний для его теоретического обоснования,

 жизненным опытом учащихся, их бытовыми понятиями, представлениями и научными знаниями; 
- излагает различные точки зрения на один и тот же вопрос; 
- предлагает классу рассмотреть явление с различных позиций; 

-предлагает доказать несостоятельность какого-либо предположения, идеи, вывода, проекта, существование какого-либо явления или закона, расходящегося с полученными ранее знаниями, или же требуют доказательства справедливости какого-либо предположения;

- предлагает выбор из нескольких представленных вариантов ответов и его обоснование;
- побуждает обучаемых делать сравнения, обобщения, выводы из ситуации, сопоставлять факты; 
-  ставит конкретные вопросы  на обобщение, обоснование, конкретизацию, логику рассуждения; 
- определяет проблемные теоретические и практические задания; 
- ставит проблемные задачи (с недостаточными или избыточными исходными данными;  с неопределенностью в постановке вопроса; с противоречивыми данными; с заведомо допущенными ошибками; с ограниченным временем решения).

Всем ли учащимся доступно проблемное обучение? Практически всем.  Однако уровень проблемности и степень познавательной самостоятельности будут сильно различаться в зависимости от возрастных индивидуальных особенностей учащихся,  от степени их обученности методам проблемного обучения.

Выступая в роли организатора обучения на проблемной основе, учитель призван действовать скорее как руководитель и партнер,  нежели как источник готовых знаний и директив для учащихся. В процессе подготовки учитель должен приобрести опыт, который позволит ему:

1.  Тонко чувствовать проблемность ситуации,  с которой сталкиваются учащиеся, и уметь ставить перед классом реальные учебные задачи в понятной для детей форме.

2.  Выполнять функцию координатора и партнера.  В ходе исследования различных аспектов проблемы помогать отдельным учащимся и группам,  избегая директивных приемов.

3.  Стараться увлечь учащихся проблемой и процессом ее глубокого исследования,  стимулировать творческое мышление при помощи умело поставленных вопросов.

4. Проявлять терпимость к ошибкам учеников, допускаемых ими в попытках найти собственное решение, предлагая им свою помощь или адресуя их к нужным источникам информации только в тех случаях, когда учащийся начинает чувствовать безнадежность своего поиска.

Как же создавать проблемные ситуации? Приведу примеры из своей практики.

 (В приложении даны планы  уроков с применением технологии проблемного обучения.)

1. Создание проблемной ситуации через умышленно допущенные учителем ошибки.

8класс. Тема: «Квадратный корень»

Докажем , что 2•2 =5. К обеим частям тождества 16-36=25-45 добавим равные числа:

16-36+20,25=25-45+20,25;  Откуда (4-4,5)² = (5- 4,5)² . Извлекая корень из обеих частей равенства, получим: 4 - 4,5 = 5 - 4,5. Откуда 4=5, или 2•2 =5. Где ошибка? Проблемная ситуация. Учащиеся решают проблему. Ищут ошибку.   Результат - внимательность и заинтересованность на уроке.

 8 класс. Тема «Квадратный корень» Пусть х - вес слона, а у - вес комара. Обозначим сумму этих весов х + у = 2п. Из этого равенства можно получить еще два: х - 2п = - у           

                                                                                                                   х = - у + 2п

 Перемножим почленно эти два равенства  х2  - 2пх  = у2 – 2пу .

 Прибавим к обеим частям последнего равенства по п2:  х2  - 2пх +п2 = у2 – 2 пу + п2 или

(х – п)2 = (у – п)2 . Извлекая квадратный корень из обеих частей последнего равенства, получим:

х – п  = у – п или х = у, то есть вес слона равен весу комара. Разберитесь, в чем дело?  

Учащиеся указывают на небрежность при извлечении квадратного корня.

Алгебра, 11 класс. Возьмем верное неравенство  >  . Из него следует, что 2 > 3 . В силу возрастания функции у =    2 lg >3 lg. После сокращения на lg, получаем 2>3. В чем ошибка доказательства? Учащиеся находят, что при сокращении не был изменен знак неравенства. А должен был изменен, так как lg <0.

8 класс. Тема «Решение неравенств» Проверьте решение неравенств:

          а)   3х2 > х                б) х2 > (х-1)2

                3х > 1                     х  > х-1

                х >                        0   > -1  (решений нет)                                        

Алгебра, 7 класс.  Найдите ошибку в решении

                                    2 – 4х > 10;

                                  - 4х > 10 – 2;

                                   -4х > 8;  

                                    х > -2

2. Создание проблемной ситуации через выполнение практических заданий.
 5класс.Тема«Площадьквадрата»
К уроку было дано задание из газеты склеить 1 м2. Сколько человек поместится на нём? Выясняем, что 4 человека. Как вы думаете, можно ли на квадратной площадке со стороной 10 км  поместить всё население Калмыкии? (Численность населения республики по данным Росстата составляет 282 021 человек  за 2014г)

6класс. Тема «Координатнаяплоскость»
На этапе активного и осознанного усвоения нового материала, а также на этапе закрепления применяю практические работы «Животные на плоскости», «Астрономия и координатная плоскость». Ребята строят точки по координатам и рисуют животных и созвездия. Также выполняют творческую  работу-проект «Шифрование рисунков».

Тема «Окружность».  «Круг». Как найти центр окружности  с помощью чертежных инструментов и без линейки и циркуля?  Работа имеет исследовательский характер. В конце работы  было сделано обобщение этих способов: 1) центроискатель – прямой угол. Принцип работы: прямой угол опирается на диаметр. 2) центроискатель –– пара взаимно перпендикулярных прямых. Принцип работы: диаметр, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. 3) центроискатель - пара взаимно перпендикулярных прямых. Принцип работы: хорда, перпендикулярная другой хорде и проходящая через ее середину, есть диаметр. 4) центроискатель - угол с биссектрисой. Принцип работы: диаметр окружности лежит на биссектрисе угла, описанного около этой окружности.                        

Круг вырезан из листа бумаги, а его центр нужно найти без использования инструментов.
Способ 1 (с помощью трех перегибаний листа бумаги): Линии сгиба будем обозначать пунктиром, а операцию сгибания и разгибания стрелкой.
а) Согнуть круг, как показано на рис. 1, получим хорду АВ.
б) Согнуть круг так, чтобы  А и В совпали, затем разогнуть. Получится  линия сгиба СD.( рис. 2)
в) Согнуть так, чтобы совместились точки  С и D, а потом разогнуть. Получим линию МN. (рис. 3)
Рис. 3
Обозначим точку пересечения СD и МN буквой О. Точка О — искомый центр круга (см. рис. 3).
Способ 2 (с помощью четырех перегибаний круга): центр круга получается как точка пересечения двух диаметров, перпендикулярных двум хордам. Построение показано на рис. 4—6.

Рис. 6
Способ 3(с помощью двух перегибаний круга): Центр круга можно получить как точку пересечения взаимно перпендикулярных диаметров. Для этого достаточно двух сгибаний. Они выполняются так, чтобы  одна полуокружность совпала с другой полуокружностью (рис  7, 8).
Рис. 7Рис. 8
Способ 4  (с использованием листа прямоугольной формы и линейки без делений):
а) Сгибая лист (рис. 9), находим биссектрису прямого угла;
б) Расположим круг поверх прямоугольника так, чтобы окружность касалась сторон угла, и с помощью линейки построим ось симметрии круга (рис. 10);
в) Повернем круг так, чтобы он по-прежнему касался сторон угла, и проведем вторую ось симметрии (рис. 11).
  
Рис. 9                            Рис. 10                     Рис. 11
Пересечение двух осей симметрии -  центр круга.

7 класс. Темы: «Построение треугольника по трем элементам», «Неравенство  треугольника». 
Теорему о неравенстве треугольника вводим при изучении темы «Построение треугольника по трем элементам», решая задачу на построение треугольника по трем его сторонам. Предлагаем ученикам построить с помощью циркуля и линейки треугольник со сторонами:

а) 3см; 4см; 5см; б) 8см; 5см; 6см; в) 2см; 3см; 5см; г) 3см; 4см; 9см. 
Ребята работают самостоятельно и приходят к тому, что построить треугольник в последних двух примерах не удается. Возникает проблема: «При каких же условиях существует треугольник»?  Чертежи,  полученные учащимися при решении этой задачи, дают возможность легко сделать вывод: «Каждая сторона треугольника меньше суммы двух других сторон». Доказываем полученную теорему. 

7 класс. Тема:  «Сумма внутренних углов треугольника».    Перед изучением темы можно предложить такую задачу  «Построить треугольник по трем заданным углам:

а) 900, 600, 400;  б) 600, 300, 500;  в) 500, 600, 700 ».

При построении становится понятным,  что только в третьем случае получается треугольник с заданными углами. Можно выдвинуть предположение о сумме внутренних углов треугольника. Можно задать  вопрос: «В каком треугольнике сумма внутренних углов больше:  в остроугольном, в прямоугольном  или тупоугольном?». Проверить все на практике.

Создание проблемной ситуации через доказательство несостоятельности предположения

Обычно на уроке учащимся приходится опровергать ложные суждения. В процессе этой работы они должны проявить высокую наблюдательность и путём сопоставления найти ошибку.

1. уравнение вида ах2+вх+с=0,где в и с – любые числа, х – переменная, называется квадратным уравнением.

2.биссектриса угла в равнобедренном треугольнике есть одновременно его высота и медиана;

3.в 6 классе всего 25 учеников.  Девочек было на 4 больше, чем мальчиков. Сколько было в классе  девочек и мальчиков?

4.больший угол треугольника равен 50. Найдите остальные углы.

5.внешний угол при основании равнобедренного треугольника равен 75°. Найдите углы треугольника.
6. диагональ ромба в два раза больше его стороны. Найдите углы ромба.

7. равным наклонным соответствуют равные наклонные.

Как правило, учителя предлагают учащимся задания, в которых ошибки исключаются. В результате у школьников вырабатывается абсолютное доверие сообщениям, указаниям, заданиям. Чтобы этого избежать, необходимо развивать у школьников способность к анализу, умению находить ошибки и обосновывать их. Прививать школьникам эти навыки надо постепенно: сначала научить определять суждение, в котором имеется ошибка, затем подбирать аргументы, опровергающие ошибки, и, наконец, развёрнуто и последовательно строить опровержение. Учитель использует различные приемы для поиска ошибок: взаимопроверка, рецензирование и диспут, предлагает доказать несостоятельность какого-либо предположения, идеи, вывода, проекта, существование какого-либо явления или закона, теории,  расходящегося с полученными ранее знаниями, или же требуют доказательства справедливости какого-либо предположения. Выполнение таких задач гарантирует успех в решении задания №13 из модуля «Геометрия» на итоговой аттестации.

Создание проблемной ситуации через самостоятельное открытие

Когда же ученик участвует в составлении определения, он действительно слушает и больше понимает (понятие и определение складываются в его уме постепенно), тогда материал усваивается прочнее, у ученика активизируется способность к познанию нового, развивается мышление. Это способствует экономии времени при изучении последующего материала и повышает уровень его усвоения. Открывать самому интересно, следовательно, меняется отношение школьника к учебе, появляется потребность в освоении нового.

 Тема «Арифметическая прогрессия». Предлагается следующая задача: «Даны три последовательности: а) 3, 9, 15, 21, (…), … б) (…), 4, 7, 10, … в) 5, (…), 19, 26, 33, (…), … Они составлены по одному закону. Угадайте, какое число пропущено в каждой последовательности? Напишите, по какому закону они составлены и подберите подобную последовательность». Выполнив задание, ученик будет подготовлен к составлению определения арифметической прогрессии.

Создание проблемной ситуации через различные способы решения одной задачи

Геометрия. 9 класс. Класс разбиваем на 4 группы по уровню подготовленности учащихся. Первая и вторая группы – средний уровень, третья и четвертая – сложный уровень. Предлагается решить следующую задачу: найти  площадь трапеции, у которой основания равны 15 см и 5 см, а боковые стороны равны 8 см и 6 см. Группам предлагается решить тем или иным способом. Можно предложить примерный план решения задачи.

Группа №1. Теорема Пифагора.

1.рассмотрим прямоугольный   АВН (АВ=6см, АН= х см). По теореме Пифагора выразим ВН.  

2.рассмотрим прямоугольный   СЕД (СД=8см, ДЕ=10-х см). По теореме Пифагора выразим СЕ

3.ВН=СЕ. Составим соответствующее уравнение относительно х.

4.найдем высоту трапеции

5.найдем площадь трапеции.

Группа №2.  Формула Герона.

1.выполним дополнительное построение:  СЕ // ВА

2.четырехугольник АВСЕ является параллелограммом

3. рассмотрим    СЕД: по формуле Герона найдем его площадь.

4.зная площадь треугольника и его основание, найдем высоту

5.найдем площадь трапеции.

Группа №3. Подобие треугольников

1. выполним дополнительное построение:  АВСД=Е

2. рассмотрим треугольники АЕД и ВЕС

3. из подобия этих треугольников найдем стороны ВЕ и ЕС

4. по формуле Герона найдем площадь треугольника АЕД

5. по формуле Герона найдем площадь треугольника ВЕС

6. найдем площадь трапеции.

Группа №4. Теорема косинусов

1.рассмотрим параллельные прямые ВС и АД и секущую ВД

2.<ВДА=<ДВС, следовательно, ВДА=ДВС

3.пусть ВД = х

4.рассмотрим треугольник ВДС. По теореме косинусов выразим угол ДВС

5. рассмотрим треугольник ВДА. По теореме косинусов выразим угол ВДА

6. Составим  уравнение относительно переменной  х.

7.по формуле Герона найдем площадь треугольника АВД

8. по формуле Герона найдем площадь треугольника ВСД

9. найдем площадь трапеции.

         Можно предложить решить любым способом аналогичную задачу в качестве самостоятельной работы: найдите площадь и высоту трапеции, у которой основания равны 10 см и 24 см, а боковые стороны равны 13 см и 15 см.

         При такой работе формируется логическое мышление учащихся, расширяется кругозор, систематизируются знания, накапливается опыт. В результате решения одной задачи различными способами, учащиеся овладевают основными методами решения задач, учатся планировать поиск решения задачи, а также применять  известные приемы познавательной деятельности – наблюдение, сравнение, обобщение.

Создание проблемной ситуации через  теоретические и практические задания 
9 класс. «Правильные многоугольники». «Геометрия пчелиных сот». 
Пчелиные соты всегда привлекали внимание исследователей своей изумительной красотой и изяществом. Мудрые пчёлы на практике решили задачу строительства ячейки для размещения возможно большего количества мёда,  экономии воска и времени для постройки сот: при разрезе пчелиных сот плоскостью, перпендикулярной их рёбрам, видна сеть равных друг другу правильных шестиугольников, уложенных в виде паркета; пчёлы строят донышки своих ячеек в форме части трёхгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы, а не делают дно сот плоским. Учащиеся исследовали следующие вопросы: 
1. «Почему пчёлы строят соты именно так, почему они предпочли сеть правильных шестиугольников, а не правильных треугольников или квадратов, ведь их, казалось бы, гораздо проще сконструировать?» 
2. «Почему пчёлы строят донышки своих ячеек в форме части трёхгранного угла, в качестве граней которого служат ромбы. Нельзя ли было поступить проще, сделать дно сот плоским, то есть обычным правильным шестиугольником? Какая же здесь выгода для пчёл?» 
Цель данной работы – с помощью геометрии и математического анализа исследовать, как пчёлы оптимизируют свои восковые постройки, убедится во всесторонней эффективности математики.

Учащиеся делают вывод: при условии одинаковой площади многоугольников наименьший периметр имеет правильный шестиугольник, площадь поверхности многогранника-ячейки меньше площади поверхности правильной шестиугольной призмы.

Создание проблемной ситуации через различные точки зрения на один и тот же вопрос

Тема «Формулы сокращенного умножения»

Докажите формулу  квадрата суммы алгебраическим и геометрическим способом. Некоторые ученики, считая, что квадрат суммы равен сумме квадратов, с помощью чертежа убеждаются в том, что, забыв 2ав,  выкидывают два прямоугольник

Создание проблемной ситуации через задачи с недостаточными или избыточными исходными данными

Темы «Нахождение дроби от числа» и «Нахождение числа по его дроби»

Можно предложить следующие задачи:

1. Поле имеет площадь 800 м2. Часть его засеяна луком. Найдите площадь, засеянную луком.

Ученикам предложили  дополнить условие задачи. Одни советуют указать, сколько % составляет площадь, засеянная луком; другие – указать, на  сколько  эта площадь меньше площади всего поля; третьи выразить эту площадь в долях от всего поля. Учитель выбирает третий вариант.

2. Часть дистанции, пройденная лыжником, равна 2км. Найдите длину всей дистанции.

Ученики дополняют условие задачи. Рассматривается нахождение числа по его дроби.

Создание проблемной ситуации через использование чертежа

9 класс. Тема «Движение»

1.В какой последовательности и какие преобразования выполнены?

 На первом чертеже – центральная симметрия, затем параллельный перенос, на втором чертеже – параллельный перенос, затем поворот.

2.Каким одним движением может быть заменена композиция двух осевых симметрий отрезка, если оси взаимно перпендикулярны?

11 класс. Тема «Иррациональные уравнения»: решите уравнение   =3

Указание. Построить  графики обоих корней в одной системе координат.

Видно, что сумма корней меньше 3, значит, решений нет. Попробуйте поменять числа в примере так, чтобы появилось одно решение.

Тема «Графики», «Диаграммы»

Собрать исходные статистические данные, составить диаграмму или график и подобрать вопросы для изучения одной из проблем: температурные колебания в поселке Комсомольский, расход электроэнергии в школе, распределение занятости населения поселка, рост рождаемости в Черноземельском районе.

  Создание проблемной ситуации через использование занимательных заданий

Тема «Длина окружности» , «Площадь круга»

1. Предположим, что земной шар по экватору плотно обтянут веревкой. Ее длину увеличили на 1м. Будем считать, что образовавшийся зазор равномерно распределили по всему экватору. Сможет ли в этот зазор прошмыгнуть мышь?
2. Изменится ли зазор, если не земной шар, а мяч сначала был обтянут плотно веревкой, а затем длину ее увеличили на 1 м? (заслушать ответы, а затем провести эксперимент)
3. Как измерить площадь поперечного  сечения проволоки, имея в своем распоряжении тетрадный лист в клетку и карандаш?
4. Коза привязана к колу веревкой, длина которой 10м. Найти площадь участка, на котором она может пастись.
5. Чтобы сделать выкройку юбки «солнце» для девочки, построили две концентрические окружности, длина одной из них равна длине  «окружности талии», 62,8 см, а радиус второй окружности больше первой на 60см (длина юбки). Сколько квадратных метров ткани потребовалось на пошив юбки?

Тема «Единицы измерения»

1. Что больше: а) грамм или сантиграмм;  б) сантирубль или копейка; в) миллиметр или дециметр; г) тысяча сантиметров или километр; д) пядь или деципядь
2. Упростите выражения: килокилограмм, децисантикилометр, киломиллилитр, децитонна, миллитонна , сантикилометр.
3. Кто ниже или выше? Дюймовочка, житель Лилипутии, житель страны Бробдингнег или «тавн то сахлта нег то овгн» (старичок сам с пядь, а борода в пять пядь). Дюймовочка -  ростом с дюйм (длина фаланги большого пальца – 2,5 см), старичок ростом с пядь (расстояние между большим пальцем и мизинцем – примерно 18 см), у жителя Лилипутии рост  в 12 раз меньше роста обычного человека – 165:12=13,75см, у жителя страны великанов, наоборот, в 12 раз больше - 165·12=1980см=19,8м
4. Существует такое высказывание: «семь пядей во лбу». Покажите лоб, в котором 7 пядей

Тема «Геометрическая прогрессия»

1. Городские слухи. В городе 50 000 жителей. Приезжий в 8.00. рассказывает новость трем соседям, каждый из них рассказывает новость уже трем своим соседям и т.д. Во сколько эта новость станет известной половине города?

В данном случае q=3, в1  =1,  Sп =25 000, п – неизвестно. Подставляя известные числа в формулу, получим: 25 000 =  , 3п = 50 001. Чтобы найти п , заметим, что 36 =729, 33 = 27, 39 =  36 33 =729·27<730·30 = 21 900. Значит , n должно быть не меньше 10. При п = 10 имеем: S10 =  =  =  = 29 524 >25 000. Значит, на 10-м шаге более половины жителей города будут знать новость. Легко подсчитать, что это произойдет в 10.15  утра.

2. Финансовая пирамида. Вы получили письмо, в котором говорится, что если выслать по указанным пяти адресам по 1 рублю, а затем разослать еще 5 таких же писем по другим адресам, вычеркнув первый адрес и дописав свой последним, то через некоторое время вы получите уйму денег. Через какое время вы будете в выигрыше?  Если пятерка устроителей разошлет 25 писем со своими адресами, то в первом круге участвуют 25 человек, во втором круге – 125 человек, в третьем - 625 человек, в четвертом – 3125, в пятом – 15 625, в шестом – 78 125, …, в одиннадцатом круге – 244 140 625 человек, это намного больше населения страны. Так что участник, включившийся в девятом или десятом круге, уже ничего не получит

            Проблемные ситуации возникают, если учащиеся не знают способа решения поставленной задачи, не могут ответить на проблемный вопрос, дать объяснение новому факту в учебной  и жизненной ситуации, т.е.  в случае осознании учащимися недостаточности прежних знаний для объяснения нового факта.

   7 класс.  Тема «Формулы сокращённого умножения».

   1.  На уроке учитель предлагает решить примеры, результаты которых можно вычислить быстро устно: 201·199 = 39 999; 42·38=1596

     2. Учитель просит кого–нибудь из ребят назвать два   последовательных натуральных числа. Пусть школьник назовёт 129 и 130. Теперь учитель и класс вычисляют на скорость 1302 – 1292 = 

5 класс. Тема «Умножение натуральных чисел и его свойства»

Как быстро найти результат: 789·64+789·36 = 78 900

Создается проблемная ситуация. Ребята с большим вниманием слушают объяснение учителя: 201·199 = (200+1)(200-1) = 2002 – 12 = 40 000 - 1=39 999;   789·64+789·36 = 789 (64+36)=78 900

Разрешение проблемной ситуации проходит через исследование. Происходит смена механической подстановки осмысленным методом решения.

Проблемные ситуации возникают при всевозможных формах кодирования ответов. На доске рядом с примерами предлагаются ответы, закодированные буквами. Учащиеся решают пример, выбирают верный ответ и записывают в тетрадь букву-код, соответствующую верному ответу. Желательно, чтобы по окончанию счета у ребят появилось слово, или целое предложение, или пословица.

Создание проблемной ситуации через решение задач на сравнение и внимание

1. Найти как можно больше равнобедренных треугольников.

2. сколько различных по величине углов можно увидеть на этом рисунке?

3. сравните корни  уравнений:  х2 -12х+35=0;  х2+12х+35=0;  35х2-12х+1=0; 35 х2+12х+1=0
4. а) построить окружности:     (х-4)2+(у-3)2=4;   (х+4)2+(у-3)2=4;

                                                            (х-4)2+(у+3)2=4;  (х+4)2+(у+3)2=4                                          

          б) Построить окружности с неизвестными параметрами а, в, R       

                                                        (х-а)2+(у- 3)2=4

                                                              (х-4)2+(у-в)2=4

                                                             (х-4)2+(у-3)2=R2

Анализ таких работ формирует у учащихся элементы исследовательской работы. Как же меняется положение окружностей, если а, R –const, в меняется; в, R –const, а меняется; а, в –const, R меняется; R –const, а, в меняются. Учащиеся получили множество окружностей, центры которых лежат на прямой у=3 или на х=4, и концентрические окружности. Ребята учатся наблюдать, сравнивать, обобщать. При выполнении таких заданий учащиеся сталкиваются с понятием симметрии графиков относительно осей или начала координат, получают представление о параллельном переносе по осям х=а и у=в , по вектору (а;в). Нестандартные задачи дают возможность подходить более дифференцированно к процессу обучения, позволяют заботиться о развитии сильного ученика.

Создание проблемной ситуации через выполнение небольших исследовательских заданий

а) Найти равные треугольники. Найти равновеликие треугольники

б) начертите прямоугольный треугольник с катетом, равным 2 см и площадью 1 см2. Сколько таких треугольников с катетом АВ, равным 2, можно построить?

в) начертите равнобедренный треугольник с основанием АВ=2 см и площадью  1 см2. Какой получился АВС? (прямоугольный). Сколько таких равнобедренных  треугольников с основанием  АВ можно построить? (таких треугольников на плоскости с основанием АВ можно получить два). А в пространстве? Где будут находиться все вершины С таких треугольников? (на окружности)

г) начертите остроугольный, но неравнобедренный треугольник с АВ = 2 см и площадью 1 см2. Сколько таких  треугольников с основанием  АВ можно построить? Где будут находиться вершины С всех таких треугольников? Почему у всех этих треугольников площадь равна 1 см2 ?

д) где в пространстве будут находиться  вершины всех прямоугольных треугольников с площадью, равной 1 см2, и  АВ = 2см? (на цилиндрической поверхности).

е) Начертите тупоугольный треугольник АВС со стороной АВ=2 см и площадью  1 см2. Где будут находиться вершины  С всех таких треугольников со стороной АВ=2см.. А в пространстве?

   Создание проблемной ситуации через устные задания

Для каждого числа из первой колонки подбери подходящие названия из второй колонки

Создание проблемной ситуации через опережающее обучение и укрупнение дидактических единиц.  

1. Решение заданий следующих видов:

а) ах2+вх+с 0; б) У ах2+вх+с; в) SIN  = SIN = cos; г) (а+⎕)2=а2+14а+⎕.

2. Выясните  различные случаи расположения графика и заполните таблицу-матрицу

3. На уроке алгебры учащиеся знакомятся с одним из критериев возрастания и убывания функции: Функция   в некотором промежутке, если для любых х1, х2 из этого промежутка, таких, что   х2  >х1    выполняется     . Наряду с этим определением было дано другое через угловой коэффициент касательной к функции. При изучении этой темы было предложено построить касательные через точки А1,  А2 , А3, А4, А5, А6 ,А7. Ученики определяют знаки угловых коэффициентов касательных. Если  касательная в некоторой точке функции образует острый угол с положительным направлением оси ОХ, то к>0, если образует тупой, то к0. Ученики делают вывод: угловой коэффициент касательной к функции положителен, если функция возрастает. Если функция убывает, то угловой коэффициент касательной отрицателен. В точках А2, А4, А6  меняет знак к либо с «+» на «-», либо с «-» на «+», в этих точках к=0. Вводится понятие максимума – как переход от возрастания к убыванию, а минимум – переход от убывания к возрастанию. Опережающее обучение побуждает учащихся к переосмыслению старых знаний, создает предпосылки для возникновения проблемных ситуаций и решения проблем, для развития познавательной активности и творческой самостоятельности.

4. Использование опорных схем      

 Сопровождая  уроки различными формами, методами и способами подачи математического материала,  мы тем самым  повышаем его привлекательность. Использование технологии проблемного обучения требует  значительных затрат времени при подготовке уроков, так как сформулировать проблемный вопрос достаточно сложно, важно продумывать каждое задание и каждое слово, чтобы они вызвали затруднение у учащихся и в то же время не отбили желания это затруднение преодолеть. Достаточно много времени тратится на уроке на разрешение той или иной проблемы.   Проблемное обучение недостаточно эффективно  при решении задач формирования практических умений и навыков, где показ и подражание имеют большое значение, а также при изучении сложных тем, где крайне необходимо объяснение учителем, а самостоятельный поиск оказывается недоступным для большинства школьников. Самое главное - вызвать у учеников интерес к предмету и пробудить желание заниматься математикой в дальнейшем, максимально полно раскрыть потенциальные возможности, природные задатки. Постоянная постановка перед ребенком проблемных ситуаций приводит к тому, что он не «пасует» перед проблемами, а стремится их разрешить, тем самым мы имеем дело с творческой личностью всегда способной к поиску. Внедрение элементов проблемного обучения активизирует стремление детей к знаниям, способствует развитию познавательной активности, осознанности знаний, предупреждает появление формализма, бездумности, приучает  учащихся сталкиваться с противоречиями, разбираться в них, искать решение, обеспечивает более прочное усвоение знаний, развивает аналитическое мышление. Ученики чувствуют себя ответственными, приучаются к самоорганизации учебного труда.

         Создание проблемных ситуаций на уроках математики не только формирует  систему математических знаний, умений и навыков, которая предусмотрена программой, но и  развивает у школьников творческую активность. Ситуация затруднения школьника в решении задач приводит к пониманию учеником недостаточности имеющихся у него знаний, что в свою очередь вызывает интерес к познанию и установку на приобретение новых.

           Современный урок немыслим без творчества учителя и ученика, инициативы учителя, обратной связи, понимания учеником учителя, комфортности работы ученика, наличия проблемных вопросов и ситуаций, самоотверженности работы учителя, заботы учителя о творческом росте ученика. Всему этому способствует проблемное обучение.