Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной»
методическая разработка по алгебре (7 класс) на тему

Методика изучения темы «Уравнения с одной переменной»

1. Анализ содержания программы по математике

Изучение темы «Уравнения с одной переменной» курса алгебры 7 класса входит в программу экзамена. Поэтому контроль знаний, умений и навыков учащихся очень важен при изучении данного раздела алгебры, от этого зависит успешность сдачи экзамена. Для того чтобы определиться с выбором форм проверки, необходимо выделить содержание контроля.  Для начала необходимо сделать анализ программы, затем анализ содержания темы учебника, а затем, в соответствии с ним, выбрать формы и методы контроля.

В курсе алгебры в 7 классе содержатся задания теоретического и прикладного характера. Прикладная направленность курса обеспечивается систематическим обращением к примерам, раскрывающим возможности применения математики к изучению действительности и решению практических задач.

Целью изучения этого курса является развитие вычислительных и формально-оперативных алгебраических умений до уровня, позволяющего уверенно использовать их при решении задач математики и смежных предметов (физика, химия, основы информатики и вычислительной техники и другие), усвоение аппарата функций как основного средства математического моделирования, решение прикладных задач, осуществление функциональной подготовки школьников.

В связи с этим программа курса математики предполагает следующее содержание по изучению линейных уравнений с одной переменной в 7 классе основной школы:

– Уравнение с одной переменной. Корни уравнения. Линейное уравнение.

–  Решение текстовых задач методом составления уравнений.

В соответствии с программой  требования к математической подготовке учащихся:

– понимать, что уравнения – это математический аппарат решения разнообразных задач из математики, смежных областей знаний, практики;

– правильно употреблять термины «уравнение», «корень уравнения», понимать их в тексте, в речи учителя, понимать формулировку задачи «решить уравнение»;

– решать линейные уравнения;

– решать текстовые задачи с использованием  уравнений.

При организации учебного процесса следует опираться на тематическое планирование учебного материала, в котором разработано поурочное планирование, ориентированное на учебник алгебры 7 класса.

Анализ содержания тем, связанных с изучением уравнений позволяет продумать эффективный систематический контроль.

                     2. Уравнения с одной переменной

3.  Примеры уранений и алгоритмы  решения  уравнений.

 Пример 1. Решите уравнение:    4х = 32.

 Решение.

 Корнем уравнения является  х = 8, так как 4·8 = 32 верное равенство.

Ответ: х = 8.

 Пример 2.   Решите уравнение  .

 Решение.

Уравнение  имеет два корня:

х + 5 = 2                 или           2)  х + 5 = – 2  

х = – 3                                            х =  3                      

Ответ:   – 3;  3.                                                                  

     Пример 3. Решите уравнение   – 2(х + 6) = x + 6 .

Решение.

Шаг 1. Раскроем скобки:    – 2х – 12 = х + 6.

Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие  неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую. При переносе через знак равенства, знак, стоящий перед соответствующим членом уравнения, меняется на противоположный:

 – 2х – х = 6 + 12.

Шаг 3. Приведем подобные члены: –  3х = 18.

Шаг 4. Находим х:   х = – 6.

Ответ:   – 6.

Пример 4.   Решите уравнение  2t – 3(2 – 6t) = 4(t + 6).  

Решение.

Шаг 1. Раскроем скобки: 2t – 6 +18t = 4t +24.

Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие  неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую: 2t – 4t  +18t = 24 + 6.

Шаг 3. Приведем подобные члены: 16t = 30.

Шаг 4. Находим неизвестное и записываем ответ:

,

.

Ответ: .

 Пример 5. Решите уравнение (7х – 2)(3 – 5х) =0.

Условие равенства нулю произведения: произведение двух выражений равно нулю тогда и только тогда, когда одно из этих выражений обращается в нуль, а другое при этом не теряет смысла.

В данном примере оба сомножителя определены для любого действительного числа х, т.е. при любом значении числа х ни один из сомножителей не теряет смысла, следовательно, равенство нулю произведения равносильно совокупности условий: либо один, либо другой сомножитель равен нулю. При увеличении числа сомножителей, соответственно увеличивается количество условий.

Решение.

7х – 2 = 0 или 3 – 5х =0;

        или     .

Ответ: .

 Пример 6. Решите уравнение   0,5 (1 – 8х) – 1,5(6х – 3) = 3х –13.  

Решение.

Шаг 1. Раскроем скобки:  0,5 – 4х – 9х + 4,5 = 3х – 13.

 Шаг 2. Все члены уравнения, содержащие  неизвестное, переносим в одну сторону уравнения, а все остальные – в другую:  – 8х – 9х – 3х = – 13 – 4,5 – 0,5.

Шаг 3. Приведем подобные члены:   –  18х = – 18.

Шаг 4. Находим неизвестное и записываем ответ:  х = 1.

Ответ:    1.

 Пример 7. Решите уравнение   – –   = 1.

 Решение.

Умножим обе части уравнения на наименьшее общее кратное знаменателей дробей, т. е. на число 28:

(   –  ) · 28= 1·28;

  · 28 –  · 28 = 28;

7(3х + 5) – 4(6х –2) = 28;

21х + 35 – 24х + 8 = 28;

 – 3х = – 15;

    х = 5.

Ответ:    5.

4. Решение задач с помощью уравнений

При решении задач с помощью уравнений необходимо следовать определенному алгоритму:

1) Обозначить некоторое неизвестное число буквой;

2) используя условие задачи, составить уравнение;

3) решить уравнение;

4) полученный результат привести в соответствие с условием задачи.

Пример 8.  Периметр прямоугольника 28 см, причем одна из его сторон на 4 см больше, чем другая. Найти стороны и площадь прямоугольника.

Решение.

1) Пусть ширина прямоугольника х см, тогда его длина    (х + 4) см.

2)  Из условия задачи известно, что периметр прямоугольника равен  28 см, составим уравнение: .

 3) Решим уравнение: .

Значит, ширина прямоугольника равна 5 см.

4) Зная ширину прямоугольника и зависимость длины от ширины, найдем сначала его  вторую сторону, а затем и площадь.

х + 4 = 5 + 4 = 9 (см),  (см2).

Ответ: 9 см, 45 см2.

 Пример 9.  Один арбуз на 5 кг легче, чем второй и в 3 раза легче, чем третий. Первый и третий вместе в 2 раза тяжелее, чем второй. Найти массу второго арбуза.

 Решение.

Пусть первый арбуз  весит х кг,  тогда второй – (х + 5) кг,  а третий – 3х кг.

2)  По условию первый и третий в 2 раза тяжелее второго, составим и решим уравнение:

 х + 3х = 2(х + 5),

4х = 2х + 10,

2х = 10;

х = 5.

Значит, 5 кг весит первый арбуз, 5 + 5 = 10 (кг) – второй, а 3×5 =15(кг) – третий арбуз.

Ответ: 5кг; 10 кг; 15 кг.

 Пример 10. Катер преодолевает расстояние между пунктами А и В, двигаясь по течению, за 2 часа. На обратный путь он затрачивает 3 часа, двигаясь с той же скоростью. Какое расстояние преодолевает катер на маршруте, и какова его собственная скорость, если скорость течения 5 км/ч ? 

Решение.

1) Пусть х км/ч – собственная скорость катера. Тогда  (х + 5)  км/ч – скорость катера по течению, а  (х – 5) км/ч – скорость катера против течения.

2) Учитывая  время движения катера, составим уравнение: .

3) Решим уравнение:

2х + 10 = 3х – 15;

х = 25.

Значит, 25 км/ч – собственная скорость катера.

4) (25 + 5)·2 = 60 (км) – расстояние, которое преодолевает катер на маршруте.

Ответ: 60 км,  25 км/ч. 

Пример 11. 

  Из пунктов А и В навстречу друг другу выехали одновременно два велосипедиста, мужчина и женщина. Скорость мужчины была на 3 км/ч больше. Через два часа они встретились, а еще через 3 часа женщина прибыла в пункт А. 
 Какое расстояние (S) между этими пунктами? 

Решение.
  

1) Пусть х км/ч – скорость женщины,

Тогда  (х +3) км/ч – скорость мужчины.

Скорость сближения (их совместная скорость) – (2х + 3) км/ч,

2) Весь путь мужчина и женщина преодолели за 2 часа, а женщина на весь путь затратила 5 часов, учитывая это, составим уравнение:

.

3) Решим уравнение:

4х + 6 = 5х;

х = 6.

Значит, 6 км/ч – скорость женщины.

4) 6 + 3 = 9 (км/ч) – скорость мужчины.

Тогда расстояние между пунктами А и В:

6 · 5 = 30 (км).   

Ответ:  30 км.

Пример 12.  Отцу 42 года, а сыну 15 лет. Через сколько лет сын будет в два раза моложе отца? 

Решение.
1)  Пусть х – количество лет, через которое сын будет в два раза моложе отца.

2) Тогда можно составить уравнение:

42 + х = 2(15 + х).

 3) Решим уравнение:

42 + х = 30 + 2х;

х =12.

Ответ: через 12 лет.

В некоторых случаях при решении задачи целесообразно составить таблицу.  

 Пример 13. В корзине яблок в 4 раза меньше, чем в ящике. После того как из ящика переложили в корзину 1,5 кг яблок, в корзине стало в 3 раза меньше яблок, чем в ящике. Сколько килограммов яблок было в корзине и ящике сначала?

Решим эту задачу, следуя алгоритму.

 Внесем данные в таблицу:

 Составим и решим уравнение:

4х – 1,5 = 3 (х + 1,5),

4х – 1,5 = 3х + 4,5,

4х – 3х = 4,5 + 1,5,
            х = 6.
        6 × 4 = 24 (кг).
Ответ:  24 кг и 6 кг.

Пример 14. С одной станции выехал поезд со скоростью 48 км/ч, а через 2 часа с другой станции навстречу ему вышел поезд со скоростью 60 км/ч. Расстояние между станциями 528 км. Сколько времени в дороге был каждый поезд до встречи.

Составим  к этой задаче таблицу:

 Решение.
Какое расстояние прошел первый поезд за 2 часа?

 48×2 = 96 (км).
Какое расстояние стало между поездами с момента выхода второго поезда?

 528 – 96 = 432 (км).
До встречи они были в дороге одинаковое количество временами? 
Обозначив это время за х, составим уравнение:
48х + 60х = 432,
108х = 432,
х = 4.
4 часа был в дороге второй поезд,

4 + 2 = 6 (ч) был в дороге первый поезд с момента своего выхода.
Ответ: 4 часа и 6 часов.